山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作業(yè)題

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

成員簽名：

曹云20070901005

李憲鋒20070901061

李曉翻20070901062

施尚20070901110

實(shí)驗(yàn)二教堂頂部曲面面積的計(jì)算方法

實(shí)驗(yàn)題目：

教堂頂部曲面面積的計(jì)算方法

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

本試驗(yàn)主要涉及微積分，通過試驗(yàn)將復(fù)習(xí)曲面面積的計(jì)算、重積分和Taylor展

開等知識(shí)；另外將介紹重積分的數(shù)值計(jì)算法和取得函數(shù)近似解析表達(dá)式的攝動(dòng)方

法。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

思考下面這個(gè)實(shí)際問題并借助數(shù)學(xué)軟件完成后面4個(gè)題的解答：

某個(gè)阿拉伯國家有一座著名的伊斯蘭教堂，它以中央大廳的金色巨大拱形圓

頂名震遐邇。因年久失修，國王下令將教堂頂部重新貼金箔裝飾。據(jù)檔案記載，

大廳的頂部形狀為球面，其半徑為30m?？紤]到可能的損耗和其他技術(shù)因素，實(shí)

際用量將會(huì)比教堂頂部面積多1.5%.據(jù)此，國王的財(cái)政大臣撥出了可制造

5750m有規(guī)定厚度金箔的黃金。建筑商人哈桑略通數(shù)學(xué)，他計(jì)算了一下，覺得

黃金會(huì)有盈余。于是，他以較低的承包價(jià)得到了這項(xiàng)裝飾

工程，但在施工前的測量中，工程師發(fā)現(xiàn)教堂頂部實(shí)際上并非是一個(gè)精確的半球

面而是半橢圓球面，其半立軸恰是30m,而半長軸和半短軸分別是30.6m

和29.6m。這一來哈桑犯了愁，他擔(dān)心黃金是否還有盈余？甚至可能短缺。最后

的結(jié)果究竟如何呢？

1.用近似格式(2.10)計(jì)算教堂頂部面積，與用格式(2.8)計(jì)算的結(jié)果

相比較；

2.試用數(shù)學(xué)軟件直接計(jì)算面積(2.3)；

3.在俄國沙皇的宮廷寶藏中，有許多復(fù)活節(jié)蛋，它們大都以金銀制作，裝

飾著或者內(nèi)藏著各種鉆石。其中有一中較大的金“蛋"，"蛋''殼的外層表面是一

個(gè)橢球面，其半長軸、半短軸和半立軸分別為8cm、5.2m和5cm?！暗啊睔さ?/p>

厚度為0.24cm,重量是1680go

用所學(xué)的知識(shí)解決這只復(fù)活節(jié)蛋的殼是否用純金制作的。(金的密度是19.2g/cm)

4.建筑商人哈桑在對(duì)另一座伊斯蘭建筑物頂部表面進(jìn)行裝飾時(shí)，他碰到的

是一個(gè)類似半球面、然而又具有一些其他變化規(guī)律的曲面，哈桑這次仍要對(duì)

該建筑物的頂部貼以金箔，我們可以確切地用球坐標(biāo)表示該曲面方程，為

x-Rsin(9(l+0.1|sin6同)cos<p,

'y-Rsin^(1+0.1|sin6^>|)sinip,0<^><2^

TT

z=Reos。Q<0<—

I2

其中R=30(m),(請(qǐng)考慮一下，這是怎樣地一個(gè)曲面？)如果由技術(shù)和損耗的

因素將使用料比實(shí)際面積多1.6%,那么裝飾這個(gè)頂部至少需要多少金箔？

試用數(shù)值方法和攝動(dòng)方法分別求解這個(gè)問題，并將兩種方法的結(jié)果比較。

（注意：這里給出的曲面方程是參數(shù)形式的，因此首先需要弄清這種情況下曲面

的計(jì)算式有什么變化。）

采用方法：1.取橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則教堂頂部半橢

圓球面的方程可寫為：

z聞-，啜（2.1）

其中R=30,a=30.6,b=29.6,而其表面積為

s=-^-zjdxdy（2.2）

D

這里積分區(qū)域D為1/

LL

通過簡單的計(jì)算容易得到一立+”

Ia2b2

引進(jìn)變量代換x~arcos。，y-/?rsin0

2

?2->(cos0sin'

RT+

則有5=0詔f[1+------g~---------Lhrdr(2.3)

這個(gè)積分相當(dāng)復(fù)雜，不過關(guān)于變量r還是可以積出初等函數(shù)的表達(dá)式，有興趣的

讀者可以試一試，若記

Jcos20sin28、/_

"=匕「+"（24）

那么（2.3）中關(guān)于r的積分

3上(1+)1-

(〃<1)

22yli-〃

（2.5）

1〃

—H----.arcsin(〃>1)

、227/7^1

這里M=1的情況要對(duì)表達(dá)式求極限。注意到M的表達(dá)式（2.4）,若將式（2.5）

帶入式(2.3)得到的是一個(gè)極為復(fù)雜的積分式。事實(shí)上，這是一個(gè)無法以初等

函數(shù)形式來表達(dá)的積分，因此我們必須使用近似方法來處理它?？紤]到這一積

分形式相當(dāng)復(fù)雜，我們寧可直接對(duì)式(2.3)來進(jìn)行處理。

2.數(shù)值積分方法：

對(duì)于二重積分，可以如同一元函數(shù)定積分那樣，將區(qū)域劃分為小塊，然后在每個(gè)

小區(qū)域上對(duì)被積函數(shù)作近似簡化求積，再把所得的值求和即可。

3.攝動(dòng)方法：

簡單地說，攝動(dòng)方法就是對(duì)解析式中的小參數(shù)進(jìn)行展開，從而求得近似解析解的

方法，應(yīng)用于積分計(jì)算，常常是采取將被積函數(shù)(或其部分)展開的方法。

使用的主要程序：

程序1：

m=18;

a=8.0-0.14;

b=5.2-0.14;

R=5.0-0.14;

h=l/(2*m);

k=2*pi/(2*m);

e=0:k:2*pi;

t=(0:h:1),;

%算式(2.13)

f=sqrt(t.A2*ones(size(t))'+RA2*(1-t.A2)*((cos(e)/a).A2+(sin(e)/b).A2));

clearIij;

forj=2:2:2*m

fori=2:2:2*m

%算式(2.10)

Iij(i,j)=k*h/9*(f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1)...

+4*(f(i,j-l)+f(i-1,j)+f(i+Lj)+f(i,j+1))-

+16*f(i,j));

end

end

1=sum(sum(Iij));

S=2*a*b*I;

L=0.24*S;

sprintfC不是。純金蛋應(yīng)重％7.2f克，該蛋殼密度為%5.2f(g/cm3)。

\n',19.2*L,1680/L)

程序2：

m=15;

R=30;

k=pi/6/(2*m);

h=pi/2/(2*m);

u=0:k:pi/6;

v=(0:h:pi/2),;

forj=l:2*m+l

fori=l:2*m+l

f(i,j)=sqrt(l/100*RA2*sin(v(j))A2*(101+20*sin(6*u(i))+35*cos(6*u(i))A2)...

*(l/100*RA2*cos(v(j))A2+l/5*RA2*cos(v(j))A2*sin(6*u(i))...

-l/100*RA2*cos(v(j))A2*cos(6*u(i))A2+RA2)...

-9/2500*sin(v(j))A2*RA4*cos(v(j))A2*cos(6*u(i))A2*(10+sin(6*u(i)))A2);

end

end

clearIij;

forj=2:2:2*m

fori=2:2:2*m

%算式(2.10)

Iij(i,j)=k*h/9*(f(i-l,j-l)+f(i+Lj-l)+f(i-Lj+l)+f(i+Lj+l)...

+4*(f(i,j-l)+f(i-l,j)+f(i+l,j)+f(i,j+l)).??

+16*f(ij));

end

end

1=sum(sum(Iij));

S=12*1;

ans=sprintf(1表面積％7.2f(m2),需金箔％7.2f(m2)\n',S,(l+0.016)*S)

text(-50,-70,l,ans)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果:

1.近似格式2.8計(jì)算的結(jié)果:

mSms

25621.42165679.83

45679.78245679.82

65679.89445679.81

105679.891005679.81

近似格式2.10計(jì)算的結(jié)果:

msms

25700.54165679.81

45679.88245679.81

65679.81445679.81

105679.811005679.81

2.用數(shù)學(xué)軟件直接計(jì)算面積2.3得：S=5679.82

3.由算式2.10(見程序1)計(jì)算得：

不是。純金蛋應(yīng)重2004.25克，該蛋殼密度為16.09(g/cm3)。

4.由程序2計(jì)算得：

表面積為6454.59(m2),需要金箔6557.87(m2)

實(shí)驗(yàn)三導(dǎo)彈跟蹤問題

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?

本實(shí)驗(yàn)主要涉及常微分方程的建模和求解；介紹兩種微分方程的數(shù)值方法：Euler

法和改進(jìn)的Euler法；還介紹了仿真方法。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

1.應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件或編制計(jì)算程序?qū)栴}（3.12）-（3.14）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，先運(yùn)用

Euler法，與表3.2以及表3.3的數(shù)據(jù)比較，并以更小的步長計(jì)算結(jié)果；再用改進(jìn)

的Euler法計(jì)算（步長與Euler法相同）。

2.在本實(shí)驗(yàn)介紹的計(jì)算過程中，我們是計(jì)算到"<",”+1之”即停止，然后取

L，小，這樣做法可能會(huì)有不小的誤差。有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)整體步長改小而結(jié)果卻

未必能改進(jìn)的情況。由于Euler法或改進(jìn)的Euler法的計(jì)算格式中每一步值的取

得僅僅依賴上一步的值，因此在計(jì)算過程中改變步長是可行的，即當(dāng)計(jì)算到

為<”,"+]2”而y遠(yuǎn)大于H時(shí)，可縮小步長（例如為原來的十分之一）以xy

作為新起點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行迭代。試用這種變步長方法來改進(jìn)在任務(wù)1中得到的結(jié)果。

3.如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時(shí)，敵艇立即由儀器發(fā)覺。假定敵艇為一高速快艇，

它即刻以135km/h的速度與導(dǎo)彈方向垂直的方向逃逸，問導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁锌?/p>

艇？試建立數(shù)學(xué)模型并求解。

采用方法：

主要公式：

數(shù)學(xué)模型：

解析方法：

導(dǎo)彈軌跡方程：

l(H-y)A+,,AH

X=-[r------------------------------JH---------

24"(X+1)1-21-A2

設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艦于點(diǎn)（L,H）：

數(shù)值方法：

Euler格式:

則八為所求

匕

改進(jìn)的Euler方法：

主要程序：

1.

Euler法

h=0.0005;

H=120;Vw=450;Ve=90;

clearxy;

tk=0;

k=1;

%(3.23)

x(1)=0;y(1)=0;

whiley(k)<H

%(3.21)

x(k+1)=x(k)+

Vw*h*(Ve*tk-x(k))/sqrt((Ve*tk-x(k))人2+(H-y(k))人2);

%(3.22)

y(k+1)=y(k)+Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))A2);

k=k+1;tk=tk+h;

end

x

y

11

sprintf(k=%dztk=%7.4f\n,k-1,tk)

1

sprintf(L=%8.4f,T=%8.4f\n*,x(k)zx(k)/Ve)

改進(jìn)的Euler法

h=0.0005;

H=120;Vw=450;Ve=90;

clearxy;

tk=0;

k=1;

%(3.28)

x(1)=0;y(1)=0;

whiley(k)<H

tkl=tk+h;

%(3.26)

xkl=x(k)+

Vw*h*(Ve*tk-x(k))/sqrt((Ve*tk-x(k))A2+(H-y(k))A2);

%(3.27)

ykl=y(k)+Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))A2);

%(3.24)

x(k+1)=0.5*(xkl+x(k)+

Vw*h/sqrt(1+((H-ykl)/(Ve*tkl-xkl))人2));

%(3.25)

y(k+1)=0.5*(ykl+y(k)+

Vw*h/sqrt(1+((Ve*tkl-xkl)/(H-ykl))A2));

tk=tk+h;k=k+1;

end

x

y

sprintf(*k=%d,tk=%7.4f\n*,k-1,tk)

sprintf(1L=%8.4f,T=%8.4f\n*,x(k),x(k)/Ve)

2.

h=0.01;

H=120;Vw=450;Ve=90;

clearxy;

tk=0;

k=1;

%(3.28)

x(1)=0;y(1)=0;

whileh>0.00001

ify(k)>H

tk=tk-h;tkl=tk-h;k=k-l;h=h/10;

end

tkl=tk+h;

%(3.26)

xkl=x(k)+

Vw*h*(Ve*tk-x(k))/sqrt((Ve*tk-x(k))A2+(H-y(k))A2);

%(3.27)

ykl=y(k)+Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))A2);

%(3.24)

x(k+l)=0.5*(xkl+x(k)+

Vw*h/sqrt(1+((H-ykl)/(Ve*tkl-xkl))人2));

%(3.25)

y(k+1)=0.5*(ykl+y(k)+

Vw*h/sqrt(1+((Ve*tkl-xkl)/(H-ykl))人2));

tk=tk+h;k=k+l;

end

11

sprintf(k=%dztk=%7.4f\n,k-lztk)

1

sprintf(L=%8.4f,T=%8.4f\n*,x(k)zx(k)/Ve)

3.

h=0.0005;

H=120;Vw=450;Ve=135;

elf

axis([-535-10130])

holdon

title(1pD^Oep^p-z^iiOOY1)

11

plot(0,Hzbo)

plot(0,0,1r.1)

pause

clearXwYwXeYe;

tk=0;s=0;

k=1;

Xw(1)=0;Yw(1)=0;

Xe(1)=0;Ye(1)=H;

while(Xw(k)-Xe(k))A2+(Yw(k)-Ye(k))A2>0.4

Xw(k+1)=Xw(k)+

A

Vw*h*(Xe(k)-Xw(k))/sqrt((Xe(k)-Xw(k))八2+(Ye(k)-Yw(k))2);

Yw(k+1)=Yw(k)+

Vw*h/sqrt(1+((Xe(k)-Xw(k))/(Ye(k)-Yw(k)))人2);

Xe(k+l)=Xe(k)+

Ve*h/sqrt(1+((Xe(k)-Xw(k))/(Ye(k)-Yw(k)))八2);

Ye(k+1)=Ye(k)-

Ve*h*(Xe(k)-Xw(k))/sqrt((Xe(k)-Xw(k))人2+(Ye(k)-Yw(k))^2);

s=s+sqrt((Xe(k+1)-Xe(k))A2+(Ye(k+1)-Ye(k))A2);

Wx(1)=Xw(k);

Wx(2)=Xw(k+1)

Wy(1)=Yw(k);

Wy(2)=Yw(k+1)

Ex(l)=Xe(k);

Ex(2)=Xe(k+1)

Ey(l)=Ye(k);

Ey(2)=Ye(k+1)

1

plot(Xe(k)zYe(k),*wo)

1

plot(Xw(k)zYw(k)zw.*)

plot(Xe(k+1),Ye(k+1),*bof)

f1

plot(Xw(k+1),Yw(k+1)zr.)

plot(Ex,Ey,1)

forrp=0:10

plot(Wx,Wy,1y1)

plot(Wx,Wy,1w')

plot(Wx,Wy,1r*)

end

k=k+1;tk=tk+h;

end

plot(Xe(k),Ye(k),*ro1)

plot(Xe(k),Ye(k),'y*')

text(Xe(k)-1,Ye(k)-8,!!1)

sprintf(1k=%d,tk=%7.4f\n*,k-1,tk)

ans=sprintf(1X=%8.4f,Y=%8.4f,

T=%8.4f\n,,Xe(k),Ye(k),s/Ve)

text(10,10,ans)

holdoff

pause

close

clearall

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

1.用Euler法：當(dāng)令u=0.0005時(shí),L=25.0763,T=0.2786。

用改進(jìn)的Euler法：當(dāng)令T=0.0005時(shí)，L=25.0608,T=0.2785。

用更小的步長，所得結(jié)果更接近解析方法的結(jié)果。

2.所得結(jié)果為：L=24.9563,T=0.2773

3.敵艦被擊中的位置為(33.0906,110.2464)

實(shí)驗(yàn)六：個(gè)人住房抵押貸款和其他金融問題

實(shí)驗(yàn)題目：

個(gè)人住房抵押貸款和其他金融問題

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

本實(shí)驗(yàn)涉及微積分和線性代數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)數(shù)列，函數(shù)方程求根和與線性代數(shù)方

程組有關(guān)的某些知識(shí):主要是介紹與經(jīng)濟(jì)生活中某些常見重要問題有關(guān)的離散形

式數(shù)學(xué)模型-差分方程。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

1、實(shí)際問題：

1998年12月，中國人民銀行公布了新的存，貸款利率水平，其中貸款利率如表

1,表2和表3分別列出了上海商業(yè)銀行報(bào)章公布的個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款年利

率和上海商業(yè)銀行提供的個(gè)人住房商業(yè)性抵押貸款（萬元）還款額的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

表1

貸款期限半年1年3年5年5年以上

利率%6.126.396.667.207.56

表2

貸款期限1年2年3年4年5年

利率6.1206.2556.3906.5256.660

表3

貸款期年12345

月1224364860

月還款期到期一次還444.356305.9896237.2649196.4118

本付息

本息總額10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71

2、數(shù)學(xué)模型:

以商業(yè)貸款1000元為例，一年期貸款年利率為6.12%,到期一次還本付息總

計(jì)10612.00元，二年期貸款的年利率為6.255%,月還款數(shù)444.3560元恰為本息

總額10664.54元的1/24,這是怎么產(chǎn)生的呢？

設(shè)貸款后第k個(gè)月是欠款余數(shù)位阿Ak元，月還款為m元，則由人變化到

Ak+1,有還款數(shù)和利息因素，月利率設(shè)為r,從而得到

Ak+i=(l+k)Ak-m,k=0,1,2.......(1)

開始的貸款數(shù)A。=10000(2)

成為數(shù)學(xué)模型。

月利率采用將年利率R=0.06255平均，即r=0.06255/12=0.0052125(3)

(1)稱為差分方程。

3、問題的解法與討論：

a.月還款額

二年期貸款滿足Aw=0(4)

令Bk=A1Ai(5)

由(1)得及產(chǎn)(l+r)Bk于是得Bk=B?+r)i,k=l,2……(6)

Ai(—A()=BI+B2+...Bk

=B」l+(l+r)+...+(l+r)k-1]

k,

=(A,-A0)[[(l+r)-]/r]

=[(l+r)A°-m-Aj[[(l+r)i]/r]

從而得到差分方程的解：Ak=A°(l+r)-m/r[(l+r)i],k=0,1,2,……(7)

將Ak,A0,r,k=24的值代入得,m=444.3560(元)。

b.還款周期

如果按月還款的話，顯然要比按年付款的錢少?？紤]到人們的收入一般均以月

薪方式獲得，因此逐月歸還法對(duì)于貸款這是合適的。

若改為逐年歸還方法，情況如何呢？以二年為例，則（7）中的r代為

R=0.06255,k=2,Ao=10000,得到m~=5473.8673（元）。

本息總額為2m~=10947.73（元）。

c.平衡點(diǎn)

若令A(yù)g=Ak=A,可解得A=m/r稱之為差分方程（1）的平衡點(diǎn)。

當(dāng)A0=m/r時(shí)，衡有Ak=m/r,k=0,1,2,……，則每月還款額恰抵上利息，則所

欠額保持不變。

當(dāng)A。稍大于或小于m/r時(shí)，Ak隨著k的增大越來越遠(yuǎn)離m/r,這種平衡點(diǎn)稱為

不穩(wěn)定的。

對(duì)一般的差分方程Ak*尸f（A）k=0,1,2,……（9）

當(dāng)初始值稍大于或小于差分方程的平衡點(diǎn)A時(shí)，若Ak-A,（當(dāng)k-8）則

稱A為穩(wěn)定的，否則，稱A為不穩(wěn)定的。

4.其他問題

a.養(yǎng)老保險(xiǎn)

數(shù)學(xué)模型：養(yǎng)老保險(xiǎn)是與人們生活密切相關(guān)的一種保險(xiǎn)類型。通常保險(xiǎn)公司

會(huì)提供多種方式的養(yǎng)老金計(jì)劃讓投保人選擇，在計(jì)劃中詳細(xì)列出保險(xiǎn)費(fèi)和養(yǎng)老金

的數(shù)額。例如某保險(xiǎn)公司的一份材料指出：在每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)養(yǎng)

老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時(shí)月養(yǎng)老金2282元，若35歲起投保，

月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元。我們來考慮這三種情況所

交保險(xiǎn)費(fèi)獲得的利率。

Fk+i=Fk(l+r)+p,k=0,1,2...,N(11)

Fk+i=Fk(l+r)-q,k=N+l,N+2,....M(12)

其中P，q分別是60歲前所交的月保險(xiǎn)費(fèi)和60歲起所領(lǐng)月養(yǎng)老金數(shù)目，r是

交保險(xiǎn)金獲得利率，N,M分別是自投保起至停交保險(xiǎn)費(fèi)和至停交養(yǎng)老金的時(shí)間。

射手名平均值75歲。以25歲起投保為例，則有p=20均q=2282；N=420,M=600o

不難得到

kk

Fk=Fo(l+r)+p/r[(l+r)-l],k=0,1,2……N

(13)

k-NkN

Fk=FN(1+r)-q/r[(1+r)--1],k=N+l,N+2,....M

(14)

(13)中k=N,(14)中k=M

且R=0。則得關(guān)于r方程

(1+r)M-(1+q/p)(1+r)"'+q/p=O

記x=l+r,代入數(shù)據(jù)解出根x=1.00485,r=0.00485o對(duì)于35歲和45歲起投保

情況，得月利率分別為0.00461和0.00413o

b.金融公司的支付基金的流動(dòng)

某金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付，設(shè)立一筆總額$540萬元的基金，分開放置

在位于A城和B城的兩公司。發(fā)現(xiàn)每過一周，A城公司有10%支付基金流動(dòng)到B

公司，B公司則有12%支付基金流動(dòng)到A城公司。此時(shí)，A城公司基金額為$260

萬，B城公司基金額$280萬。按此規(guī)律，兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何？

設(shè)此后第k周結(jié)算時(shí)，A和B基金數(shù)分別是ak和bk(萬元)，則有

ak+I=0.9ak+0.12bk,k=0,1,2...

bk+i=0.lak+0.88bk,k=0,1,2...(17)

3O=260,bo=28O

(18)

迭代可求得各周末時(shí)小和bk的數(shù)值。表(4)給出1至12周末兩公司基金數(shù)

(單位:萬美元)：

表(4)

kkk

akbk3kbkakbk

1267.6000272.40005284.5716255.42849290.8536249.1464

2273.5280266.47206284.7658253.234210291.6658248.3342

3278.1518261.84827288.4773251.522711292.2993247.7007

4281.7584258.24168289v8123250.187712292.7935247.2065

由表知，A城公司支付基金數(shù)在逐步增加，但增幅逐步減小;

B城公司支付基金數(shù)則正好相反，但ak是否有上界，bk是否有下界？(附程序)

5.問題與討論(實(shí)驗(yàn)任務(wù))

(1)確定表2中二、三、四期貸款利率是如何產(chǎn)生的，推導(dǎo)出相應(yīng)的一至五年萬

元貸款的還款額表。

(2)制定一張完整的個(gè)人住房商業(yè)貸款利率和還款表，貸款期從一年至二十年。

表中包含貸款期(年，月)、年利率、月利率月還款額和本息總額。

(3)小李夫婦曾準(zhǔn)備申請(qǐng)商業(yè)貸款10萬元用于購置住房，每月還款880.66元,

25年還清。此時(shí)，房產(chǎn)商介紹的一家金融機(jī)構(gòu)提出：貸款10萬元，每月還款440.33

元，22年還清。貸款時(shí)預(yù)付4000元。試分析兩種情況哪個(gè)更合適？

(4)從還款周期比較看出逐月還款比逐年還款付出較少本息總額則逐月還款情

況如何？考慮是否有必要采取盡可能短的周期還款？

6.實(shí)驗(yàn)中所用的程序和方法

實(shí)驗(yàn)任務(wù)1

對(duì)比表6.1和6.2可知：表一中的半年利率、一年利率、三年利率分別是表二中

的一年、三年、五年利率。而表二中的利率呈線性關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)表一中的利率

亦成線性關(guān)系。表二中的二三四年利率就是根據(jù)此線性關(guān)系產(chǎn)生。依據(jù)前面的同

樣的解差分方程的方法將前面2年期對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別改成1年、3年、4年和5

年期，分別計(jì)算ml、m3、m4、m5,將得到的數(shù)據(jù)與表3進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是相

同的。這驗(yàn)證了表3。

實(shí)驗(yàn)任務(wù)2

程序如下：

Ao=10000;

sdr=[6.126.396.667.207.567.56];

sdk=[0.5135620];

fdk=1:9;

fdr=0.135*(fdk-l)+6.12;

fork=10:20

fdk(k)=k;

fdr(k)=7.20;

end

m(l)=0;

s(l)=10612.00;

r=fdr/12/100;

fork=2:20

m(k)=(A0*r(k)*(1+r(k))'(k*12))/(((1+r(k))"(k*12))-1);

s(k)=k*12*m(k);

end

tb=sprintfC貸款為d元還款表\n\n',AO);

tb=[tbsprintfC年月年利率月利率月還款額本息總額\n'n')];

fork=l:20

tb=[tbsprintf('%2d%3d%6.4f%6.4f%8.4f%8.2f\n',...

k,12*k,fdr(k),fdr(k)/12,m(k),s(k))];

end

tb

plot(sdk,sdr,fdk,fdr)

pause

close

clearall

程序結(jié)果如下表:

年月年利率月利率月還款額本息總額

1126.12000.51000.000010612.00

2246.25000.5212444.356010664.54

3366.39000.5325305.989611015.63

4486.52500.5438237.264911388.71

5606.66000.5550196.411811784.71

6726.79500.5663169.507412204.53

7846.93000.5775150.584812649.13

8967.06500.5888136.660913119.44

91087.20000.6000126.078213616.44

101207.20000.6000117.141914057.02

111327.20000.6000109.892414505.79

121147.20000.6000103.907314962.65

131567.20000.600098.894315427.52

141687.20000.600094.644515900.28

151807.20000.600091.004716380.84

161927.20000.600087.859816869.08

172047.20000.600085.122017364.88

182167.20000.600082.722817868.12

192287.20000.600080.608218378.66

202407.20000.600078.734918896.38

實(shí)驗(yàn)任務(wù)3函數(shù)文件：

%函數(shù)返回值rate為實(shí)際享受到的貸款年利率，％參數(shù)A。貸款總額，m每次還

款額，y貸款年數(shù)，c每年還款次數(shù)。

程序1：

A0=100000;

m=880.66;

y=25;

c=12;

rate=ep6_f2(AO,m,y,c)

k=y*c;

P(D=AO;

p(2)=-m-AO;

p(k+l)=m;

x=roots(p);

rl=(x-l)*c;

nl=1;

forn=1:k

ifrl(n)>0

r(nl)=rl(n);

nl=nl+1;

end

rate=r;

sprintf('還款年利率為%f',r);

end

程序二

A0=96000;

m=440.33;

y=22;

c=24;

rate=ep6_f2(AO,m,y,c)

k=y*c;

p(l)=AO;

p(2)=-m-AO;

p(k+l)=m;

x=roots(p);

rl=(x-l)*c;

nl=1;

forn=1:k

ifrl(n)>0

r(nl)=rl(n);

nl=nl+1;

end

rate=r;

sprintfC還款年利率為%f',r);

end

運(yùn)行后1利率為0.0959,2利率為0。0969,所以并不優(yōu)惠。

實(shí)驗(yàn)任務(wù)4

程序如下：

文件1

functionout=ep6_f1(q,k)

Ao=10000;

fdk=1:9;

fdr=0.135*(fdk-l)+6.12;

forii=10:20

fdk(ii)=ii;

fdr(ii)=7.20;

end

r=q*fdr(q)/k/100;

m=(A0*r*(l+r)"k)/((1+r)-1);

[sprintf%d年期貸款,分%d次還款:'，q,k),??.

sprintf('每次還款%9.4f元，本息總額為%9.2f元。'，m,m*k)]

out=m*k;

文件2

s(1)=ep6_f1⑵2*1);

s(2)=ep6_f1(2,2*2);

s(3)=ep6_f1(2,2*4);

s(4)=ep6_f1(2,2*12);

s(5)=ep6_fl(2,2*12*4);

s(6)=ep6_f1(2,2*12*8);

s(7)=ep6_f1(2,2*365);

plot(s)

pause

close

程序結(jié)果為:

2年期貸款,分2次還款:每次還款5473.8673元,本息總額為10947.73元。

2年期貸款,分4次還款:每次還款2698.4778元,本息總額為10793.91元。

2年期貸款,分8次還款:每次還款1339.5528元,本息總額為10716.42元。

2年期貸款，分24次還款:每次還款444.3560元,本息總額為10664.54元。

2年期貸款，分96次還款:每次還款110.8859元,本息總額為10645.04元。

2年期貸款，分192次還款:每次還款55.4260元,本息總額為10641.79元。

2年期貸款，分730次還款:每次還款14.5745元，本息總額為10639.39元。

分析運(yùn)行結(jié)果可知，綜合考慮還款因素與人力因素，按月還款最為符合實(shí)際情況。

(

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

3、對(duì)實(shí)驗(yàn)任務(wù)3來說，看似第二種方法花的總錢數(shù)少，但實(shí)際上第一種情況對(duì)

小李夫婦更優(yōu)惠。

4、對(duì)還款周期來說，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，縮短還款周期確定所付的本息總額在逐

漸減少，但減少的幅度會(huì)越來越少，最后時(shí)，幾乎上下只差幾元錢，這顯然麻煩,

所以有時(shí)不必采取更短周期，只需按月就行。

五、實(shí)驗(yàn)總結(jié)：

《個(gè)人住房抵押貸款和其他金融問題》這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)比較貼近現(xiàn)實(shí)，和我們的

日常生活息息相關(guān)，所以在做這個(gè)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候我們感到比較熟悉。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)可

以看出，現(xiàn)在的保險(xiǎn)一般都沒有在銀行存款的利息高。最后，我們憑著一些生活

中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了一些簡單的分析，希望老師能指出我們實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤。通過互相

的配合，我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中積累了不少經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)給我們進(jìn)行以后的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)

建模打下更好的基礎(chǔ)。

實(shí)驗(yàn)九合金工廠的生產(chǎn)規(guī)劃問題

實(shí)驗(yàn)題目：

合金工廠的生產(chǎn)規(guī)劃問題

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

本實(shí)驗(yàn)涉及線性代數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)矩陣的運(yùn)算、初等變換和解線性方程組等知

識(shí)，另外介紹了運(yùn)籌學(xué)中一類重要的問題：線性規(guī)劃問題和求解的基本方法。

實(shí)際問題

某合金工廠生產(chǎn)甲、乙兩種合金，生產(chǎn)每噸甲種合金需用A元素20kg、B元素

40kg和C元素90kg,而生產(chǎn)每噸乙種合金需用A元素100kg、B元素80kg和

C元素60kg。由于A、B、C三種元素都是原料市場上十分緊缺的貨品，工廠每

月所能得到的這些元素的供應(yīng)量分別為200kg、200kg、和360kg。工廠生產(chǎn)每

噸甲種合金的利潤為30萬元，生產(chǎn)每噸乙種合金的利潤為40萬元。試問：該工

廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？

實(shí)驗(yàn)任務(wù)

①藥房有兩種復(fù)合維生素制劑，甲種每粒含維生素A、B各lg,D、E各4g和

C5g,乙種每粒含維生素A3g,B2g,D1g,E3g和C2g,一顧客每天需攝入維

生素A不超過18g、B不超過13g、D不超過24g和E至少12g,問

（1）每天應(yīng)服兩種維生素各多少才能滿足需要而且盡可能攝入較多的維生素

C?

（2）甲種復(fù)合維生素每粒1.5元，乙種復(fù)合維生素每粒1元，選擇怎樣的服法

才能花最少的錢而又滿足每天的需要，此時(shí)顧客攝入的維生素C是多少？試用

圖解法求解。

②某工廠準(zhǔn)備制造一批設(shè)備，每件設(shè)備需要7根2m長和2根7m長的鋼梁，鋼

梁由150根長15m的鋼材截成，問如何截取鋼材能使產(chǎn)生的廢料最少？

③試對(duì)上述兩個(gè)任務(wù)用單純形表求解。

④農(nóng)場有A、B和C三塊地，分別是200km2、400km2和600km2,計(jì)劃種植

水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為375t、120t和750t。估計(jì)

各塊地種植三種作物的單產(chǎn)（單位：t/km2）如表9.9所示：

表9.9

ABC

水稻11.2509.7509.000

大豆6.0006.7505.250

玉米15.00013.50012.750

應(yīng)如何制訂種植計(jì)劃能使總產(chǎn)量最高？又若作物的售價(jià)為水稻1100元/t,大

豆1950元/3玉米950元/t,那么應(yīng)如何制訂種植計(jì)劃能使總收益最高？

采用方法：

數(shù)學(xué)模型

設(shè)工廠每月生產(chǎn)甲種合禽兀乙種卷金利潤為U萬元，那么

u=30%,+40尤2（9.1）

顯然，問題是要求何時(shí)有

maxu-max(30X1+40x2)(9.2)

而為,%2滿足約束條件

20%+100x2<200

40X,+80X2<200（9.3）

90%+60/m360

%1>0,x2>0

其中最后一行的不等式是反映產(chǎn)量是非負(fù)的。

這就是實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。它是求一個(gè)線性函數(shù)在非負(fù)自變量受到線性不

等式（或等式）的約束時(shí)極值問題，稱之為線性規(guī)劃；所求極值問題的解稱為線

性規(guī)劃的最優(yōu)解。

處理方法

圖解法

我耕在平面上考察問題（9.的%卜+魚翔三瓦一次方程

代表了坐標(biāo)平面上的一條直線，C標(biāo)匚宛2秘冰噂式則代表了以

此直線為界的半平面，因此約束條件（9.3）意味著五個(gè)半平面的交集。圖9.1中的

陰影部分給出了這個(gè)集合，它是一個(gè)包含邊界的凸多邊形OPQRS.顯然，代表上

述線性規(guī)劃的最優(yōu)解的點(diǎn)必定位于這個(gè)集合中，故稱此集合（確切地說是此點(diǎn)集

對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)向量集）為線性規(guī)劃的容許集。

圖9.1

再來看由式（9.1）給出的目標(biāo)函數(shù)M=3O玉+40々如果將U視作參數(shù)，那

么30辦+4（比2=〃代表了斜率為的直線，隨著U的增加或減少，直線向右上

方或左下方平移（見圖9.2）容易理解：若直線經(jīng)過容許集的某個(gè)頂點(diǎn)而此時(shí)U

再增加將使直線離開容許集，則此臨界狀態(tài)的直線所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值就是所求問題

的最大值，所過頂點(diǎn)的坐標(biāo)就是問題的最優(yōu)解。從圖9.2可看出最優(yōu)解應(yīng)為R點(diǎn)。

圖9.2

由于R是直線*+80^=200與90%+60x,=360的交點(diǎn)，可得最優(yōu)

解為

%=3.5,羽=0.75,此時(shí)U有最大值為U=135.這說明應(yīng)安排每月生產(chǎn)甲、乙合

金分別為3.5t、0.75t,才能獲得最大利潤135萬元。

圖解法告訴我們，線性規(guī)劃的最優(yōu)解往往在容許集的頂點(diǎn)取得。因此在確定

了容許集是有界的條件下，也可以不畫圖而求出容許集所有頂點(diǎn)，再將目標(biāo)函數(shù)

在這些頂點(diǎn)上的值加以比較來求出最有解。這種做法一般在三個(gè)變量時(shí)采用，因

為三維空間中的多面體一般是不容易畫的。

然而上述方法雖然簡單，但在實(shí)際中卻很少應(yīng)用，因?yàn)樵谠从趯?shí)踐的真正的

線性規(guī)劃問題中，變量通常不是兩三個(gè)而往往是幾十甚至幾百個(gè)，所以既無法畫

圖也很難求出所有的容許集頂點(diǎn)，因此我們介紹了一種更普遍有效的方法。

單純形法

單純形法的基本思路是：線性規(guī)劃(通常是求最小值的形式)若有最有解，

其必定在容許集(相應(yīng)幾何空間中的凸多面體)的頂點(diǎn)達(dá)到，故從某一個(gè)定點(diǎn)出

發(fā)，沿著凸多面體的棱向另一頂點(diǎn)迭代，使得目標(biāo)函數(shù)的值下降，經(jīng)過有限次迭

代，將達(dá)到最優(yōu)解點(diǎn)。

I.標(biāo)準(zhǔn)型

首先我們通過令丫=-U,把問題變海於0石-40%,在約束下的極小

值，再引進(jìn)新變量，將線性規(guī)劃(9.2),(9.3)化為本：

minv=min(-30%]—40%+Ox,+0x4+Ox5)(9.4)

滿足約束條件

20西+100無2+七=200

40%+80%+8=200

(9.5)

90%+60X2+X5=360

于穌工霽駐負(fù)之外，其他的約束條件都化為等式，且約束等式

的個(gè)數(shù)聚式右端項(xiàng)非負(fù)。我們將符合這樣條件的線性規(guī)劃形式

稱為標(biāo)準(zhǔn)行型。

H.單純形法

，20、'100、11)'200

L己40，=80=0,々4=1，&5=0,b=200

<90；<60,O、360

那么約束條件(9.5)中的等式組成的方程組可寫為

4%+a2x2+/為+a4x4+a5x5=b(9.6)

在向量al、a2、a3、a4、a5中選取三個(gè)成為線性無關(guān)組，通?？偪梢?或

采取一些方法)取到單位向量，例如這里可以選取a3、a4、a5,稱之為基，相應(yīng)

的變量x3,x4,x5稱為基變量，而其余的變量xl,x2稱為非基變量。記Nl=(al,

a2),那么式(9.6)即

x.

=b-N1(9.7)

}1*2,

令

\X2j

可得⑹(200、

x=b、=b200(9.9)

^54J[360,

注意，bl的分量非負(fù)，故(9.8),(9.9)不僅構(gòu)成了(9.6)的一個(gè)解，而且

也是(9.5)的一個(gè)解，稱之為初始容許解。這就是單純形法的出發(fā)點(diǎn)。

現(xiàn)考慮是否和如何轉(zhuǎn)向下一個(gè)點(diǎn)，為說明一般的原則，把目標(biāo)函數(shù)V寫成

v=q由+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5(9.10)

對(duì)應(yīng)基變量J的系數(shù)為(C3,1,G)，而非基變量系數(shù)

記為

或=(。，。2)將(9.7)代入上式，則、、

V=(cl,c2)+(。3，。4，。5)八N、

7(工2JJ

/再、

=c箭一4N-4)

記(9.11)

那么丫=%一工巴與(912)

;=1

注意，對(duì)應(yīng)基變量的總是為零。以上顯然是將目標(biāo)函數(shù)寫成僅含非基變量的

形式，不過在我們的(9.4).(9.5)中目標(biāo)函數(shù)已有了這形式。從而容易看出：

(1)若非基變量的系數(shù)均不大于零，那么初始容許解就是最優(yōu)解。

(2)可以證明：在所有大于零的所對(duì)應(yīng)的非基變量aj中，只要有一個(gè)向量的

所有分量小于或等于零，則這個(gè)線性規(guī)劃無解。

在我們的問題中環(huán)=30,5=40,它們對(duì)屏矽均無非正分量，因此

不能得出以上兩種結(jié)論。此時(shí)，就將進(jìn)行所謂城麓

(3)換基的選擇是先從(9.11)給出的所有大于零的系數(shù)中比較出最大者，則

其所對(duì)應(yīng)的非基變量將成為基變量弓在速余同巡J

故心將進(jìn)入基變量。那么誰將離開基變量？記非基向量勺和相應(yīng)的bl分別

為

aj="4/，/=1,2;b=b，

其中的第一個(gè)下標(biāo)i是與基變量的下標(biāo)一致的?？甲鱿鄳?yīng)的比

值

b

W，i=3,4,5(9.13)

ai2

中分母為正的那些量，其中最小者的下標(biāo)所對(duì)應(yīng)的變量不再作為基變量。這

岬200.200.360

3100480560

最小者為“，購離開基變量，湖乂,不將成為一組新攜變量。

所理應(yīng)的'將被稱為主元。

(4)新基變量在約束條件(9.5)中的系數(shù)向量不是單位向量，但只要利用初等

變換可以化到這樣的結(jié)果。注意，要將主元所在方程中的新基變量的系數(shù)變?yōu)閘o

讀者容易驗(yàn)證：約束(9.5)可轉(zhuǎn)化為

11c

-XH---尤？+X,=2

5x1100-

4…

24M—Xo+x—40

v15-d4(9.14)

3

78xj—+網(wǎng)=