2024屆吉林省長春市東北師大附中新城學(xué)校數(shù)學(xué)八下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆吉林省長春市東北師大附中新城學(xué)校數(shù)學(xué)八下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列命題是真命題的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對角線相等的菱形是正方形C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 D．對角線相等的四邊形是矩形2．如圖，在正方形ABCD中，AB=10，點E、F是正方形內(nèi)兩點，AE=FC=6,BE=DF=8,則EF的長為()A． B． C． D．33．若一個三角形各邊的長度都擴大2倍，則擴大后的三角形各角的度數(shù)都（）A．縮小2倍 B．不變 C．?dāng)U大2倍 D．?dāng)U大4倍4．將直線y＝﹣7x+4向下平移3個單位長度后得到的直線的表達式是（）A．y＝﹣7x+7 B．y＝﹣7x+1 C．y＝﹣7x﹣17 D．y＝﹣7x+255．如圖所示，某產(chǎn)品的生產(chǎn)流水線每小時可生產(chǎn)100件產(chǎn)品，生產(chǎn)前沒有產(chǎn)品積壓，生產(chǎn)3h后安排工人裝箱，若每小時裝產(chǎn)品150件，未裝箱的產(chǎn)品數(shù)量（y）是時間（x）的函數(shù)，那么這個函數(shù)的大致圖像只能是（）A． B． C． D．6．如圖，在中，分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線分別交，于點，連接，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．平分7．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a﹣b+c=0那么我們稱這個方程為“美好”方程，如果一個一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是（）A．方有兩個相等的實數(shù)根 B．方程有一根等于0C．方程兩根之和等于0 D．方程兩根之積等于08．如圖所示，在平行直角坐標(biāo)系中，?OMNP的頂點P坐標(biāo)是（3，4），頂點M坐標(biāo)是（4，0）、則頂點N的坐標(biāo)是（）A．N（7，4） B．N（8，4） C．N（7，3） D．N（8，3）9．如圖，在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊BC上兩點，ED垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，連接AE，AF，若∠BAC＝115°，則∠EAF的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．65°10．如圖，以正方形ABCD的邊AD為一邊作等邊△ADE，則∠AEB等于（）A．10° B．15° C．20° D．12.5°二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，△ABC中，已知M、N分別為AB、BC的中點，且MN＝3，則AC的長為_____．12．如圖，是將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的．若點，，在同一條直線上，則的度數(shù)是______．13．八年級（1）班四個綠化小組植樹的棵數(shù)如下：8，8，10，x．已知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)相等，那么這組數(shù)據(jù)的方差是_____．14．如圖，在正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，E、F分別為BC、CD上的兩點，，AE、BF分別交BD、AC于M、N兩點，連OE、下列結(jié)論：；；；，其中正確的序數(shù)是______．15．用4個全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1，用個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則的值為__________．16．將長為10米的梯子斜靠在墻上，若梯子的上端到梯子的底端的距離為6米，則梯子的底端到墻的底端的距離為_____．17．已知點A（），B（）是一次函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，__.（填“>”、“＝”或“<”）18．如圖，中，，，，點是邊上一定點，且，點是線段上一動點，連接，以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角．當(dāng)點從點出發(fā)運動至點停止時，點的運動的路徑長為_________．三、解答題(共66分)19．（10分）某商品原來單價48元，廠家對該商品進行了兩次降價，每次降低的百分?jǐn)?shù)相同，現(xiàn)單價為27元，求平均每次降價的百分?jǐn)?shù).20．（6分）如圖，?ABCD中，AC為對角線，G為CD的中點，連接AG并廷長交BC的延長線于點F，連接DF，求證：四邊形ACFD為平行四邊形．21．（6分）已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC和BD相交于點F，DE//AC，AE//BD.(1)求證：四邊形DEAF是菱形；(2)若AE=CD，求∠DFC的度數(shù).22．（8分）當(dāng)k值相同時，我們把正比例函數(shù)與反比例函數(shù)叫做“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.(1)如圖，若k>0，這兩個函數(shù)圖象的交點分別為A，B，求點A，B的坐標(biāo)（用k表示）；(2)若k=1，點P是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點（點P不與B重合），設(shè)點P的坐標(biāo)為（），其中m>0且m≠2.作直線PA，PB分別與x軸交于點C，D，則△PCD是等腰三角形，請說明理由；(3)在(2)的基礎(chǔ)上，是否存在點P使△PCD為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.23．（8分）如圖①，在正方形中，點，分別在、上，且．（1）試探索線段、的關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；（2）連接、，分別取、、、的中點、、、，四邊形是什么特殊平行四邊形？請在圖②中補全圖形，并說明理由．24．（8分）某商場購進甲、乙兩種空調(diào)共40臺．已知購進一臺甲種空調(diào)比購進一臺乙種空調(diào)進價多0.2萬元；用36萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量是用18萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量的4倍．請解答下列問題：（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺進價各是多少萬元？（2）若商場預(yù)計投入資金不多于11.5萬元用于購買甲、乙兩種空調(diào)，且購進甲種空調(diào)至少14臺，商場有哪幾種購進方案？25．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的長．26．（10分）已知：如圖，在△ABC中，點D在AC上（點D不與A，C重合）．若再添加一個條件，就可證出△ABD∽△ACB．（1）你添加的條件是；（2）根據(jù)題目中的條件和添加上的條件證明△ABD∽△ACB．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解題分析】

根據(jù)菱形的判定方法、正方形的判定方法以及矩形的判定方法對各選項加以判斷即可.【題目詳解】A：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項錯誤，為假命題；B：對角線相等的菱形是正方形，故選項正確，為真命題；C：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項錯誤，為假命題；D：對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項錯誤，為假命題；故選：B.【題目點撥】本題主要考查了菱形、正方形以及矩形的判定方法，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.2、B【解題分析】

延長AE交DF于G，再根據(jù)全等三角形的判定得出△AGD與△ABE全等，得出AG=BE=8，由AE=6，得出EG=2，同理得出GF=2，再根據(jù)勾股定理得出EF的長．【題目詳解】延長AE交DF于G，如圖：∵AB=10，AE=6，BE=8，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE(ASA)，∴AG=BE=8，DG=AE=6，∴EG=2，同理可得：GF=2，∴EF=，故選B.【題目點撥】此題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線.3、B【解題分析】

由一個三角形各邊的長度都擴大2倍，可得新三角形與原三角形相似，然后由相似三角形的對應(yīng)角相等，求得答案．【題目詳解】解：∵一個三角形各邊的長度都擴大2倍，

∴新三角形與原三角形相似，

∴擴大后的三角形各角的度數(shù)都不變．

故選：B．【題目點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意根據(jù)題意得到新三角形與原三角形相似是解此題的關(guān)鍵．4、B【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)的圖象平移的法則即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：直線y＝﹣7x+4向下平移3個單位長度后得到的直線的表達式是y＝﹣7x+4﹣3＝﹣7x+1．故選B．【題目點撥】考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．5、A【解題分析】分析：根據(jù)題意中的生產(chǎn)流程，發(fā)現(xiàn)前三個小時是生產(chǎn)時間，所以未裝箱的產(chǎn)品的數(shù)量是增加的，后開始裝箱，每小時裝的產(chǎn)品比每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量多，所以未裝箱的產(chǎn)品數(shù)量是下降的，直至減為零．詳解：由題意，得前三個小時是生產(chǎn)時間，所以未裝箱的產(chǎn)品的數(shù)量是增加的．∵3小時后開始裝箱，每小時裝的產(chǎn)品比每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量多，∴3小時后，未裝箱的產(chǎn)品數(shù)量是下降的，直至減至為零．表現(xiàn)在圖象上為隨著時間的增加，圖象是先上升后下降至0的．故選A．點睛：本題考查了的實際生活中函數(shù)的圖形變化，屬于基礎(chǔ)題．解決本題的主要方法是根據(jù)題意判斷函數(shù)圖形的大致走勢，然后再下結(jié)論，本題無需計算，通過觀察看圖，做法比較新穎．6、D【解題分析】

根據(jù)題意可知DE是AB的垂直平分線，由此即可得出△AEB是等腰三角形，據(jù)此作出判斷．【題目詳解】由題可知，是的垂直平分線，∴，，故A、C選項正確；∵是等腰的外角，∴，故B選項正確；D無法證明，故選：D.【題目點撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題時注意：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．7、C【解題分析】試題分析：根據(jù)已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根x=1和x=﹣1，再判斷即可．解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有選項C正確；選項A、B、D都錯誤；故選C．8、A【解題分析】

此題可過P作PE⊥OM，過點N作NF⊥OM，根據(jù)勾股定理求出OP的長度，則N點坐標(biāo)便不難求出．【題目詳解】過P作PE⊥OM，過點N作NF⊥OM，∵頂點P的坐標(biāo)是（3，4），∴OE=3，PE=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OE=MF=3，∵4+3=7，∴點N的坐標(biāo)為（7，4）．故選A．【題目點撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點P的坐標(biāo)，作出輔助線是解決本題的突破口．9、B【解題分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C=65°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，結(jié)合圖形計算即可．【題目詳解】解：∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=180°-115°=65°，∵ED垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EA=EB，F(xiàn)A=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=65°，∴∠EAF=∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=50°，故選：B．【題目點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．10、B【解題分析】

根據(jù)正方形性質(zhì)求出AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠EAD=60°，AD=AE=AB，推出∠ABE=∠AEB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵三角形ADE是等邊三角形，∴∠EAD=60°，AD=AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∴∠AEB=12×（180°-90°-60°）=15故選：B．【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BAE的度數(shù)，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．二、填空題(每小題3分,共24分)11、6【解題分析】

由題意可知，MN是三角形ABC的中位線，然后依據(jù)三角形的中位線定理求解即可?！绢}目詳解】解：∵M、N分別為AB、BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴.AC=2MN=2×3=6.故答案為：6.【題目點撥】本題主要考查的是三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【題目詳解】旋轉(zhuǎn)，，，，．故答案為：．【題目點撥】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13、1.【解題分析】

根據(jù)題意先確定x的值，再根據(jù)方差公式進行計算即可.【題目詳解】解：當(dāng)x=10時，有兩個眾數(shù)，而平均數(shù)只有一個，不合題意舍去．當(dāng)眾數(shù)為8時，根據(jù)題意得，解得x=6，則這組數(shù)據(jù)的方差是：.故答案為1．【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的收集和處理，主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)和方差的知識，解題時需要理解題意，分類討論．14、【解題分析】

易證得≌，則可證得結(jié)論正確；由≌，可得，證得，選項正確；證明是等腰直角三角形，求得選項正確；證明≌，根據(jù)正方形被對角線將面積四等分，即可得出選項正確．【題目詳解】解：四邊形ABCD是正方形，，，在和中，，≌，，故正確；由知：≌，，，，故正確；四邊形ABCD是正方形，，，是等腰直角三角形，，，故正確；四邊形ABCD是正方形，，，在和中，，≌，，，故正確；故答案為：．【題目點撥】此題屬于四邊形的綜合題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．15、1【解題分析】

根據(jù)正六邊形的一個內(nèi)角為120°，可求出正六邊形密鋪時中間的正多邊形的內(nèi)角，繼而可求出n的值．【題目詳解】解：兩個正六邊形拼接，一個公共點處組成的角度為240°，故如果要密鋪，則中間需要一個內(nèi)角為120°的正多邊形，而正六邊形的內(nèi)角為120°，所以中間的多邊形為正六邊形，故n=1.故答案為：1．【題目點撥】此題考查了平面密鋪的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出在密鋪條件下中間需要的正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，進而得到n的值，難度不大．16、8米．【解題分析】

在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出BC的值．【題目詳解】在Rt△ABC中，AB1=AC1+BC1．∵AB=10米，AC=6米，∴BC8米，即梯子的底端到墻的底端的距離為8米．故答案為8米．【題目點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理在直角三角形中的表達式．17、<【解題分析】試題解析：∵一次函數(shù)y=-1x+5中k=-1＜0，∴該一次函數(shù)y隨x的增大而減小，∵x1＞x1，∴y1＜y1．18、【解題分析】

如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥AC于N．證明△FNA≌△FME（AAS），推出FM=FM，AN=EM，推出四邊形CMFN是正方形，推出點F在射線CF上運動（CF是∠ACB的角平分線），求出兩種特殊位置CF的長即可解決問題．【題目詳解】如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥AC于N．

∵∠FNC=∠MCN=∠FMC=90°，

∴四邊形CMFN是矩形，

∴∠MFN=∠AFE=90°，

∴∠AFN=∠MFE，

∵AF=FE，∠FNA=∠FME=90°，

∴△FNA≌△FME（AAS），

∴FM=FM，AN=EM，

∴四邊形CMFN是正方形，

∴CN=CM，CF=CM，∠FCN=∠FCM=45°，

∵AC+CE=CN+AN+CM-EM=2CM，

∴CF=（AC+CE）．

∴點F在射線CF上運動（CF是∠ACB的角平分線），

當(dāng)點E與D重合時，CF=（AC+CD）=2，

當(dāng)點E與B重合時，CF=（AC+CB）=，

∵-2=，

∴點F的運動的路徑長為．

故答案為：．【題目點撥】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運用幾何性質(zhì)確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算．三、解答題(共66分)19、平均每次降價的百分?jǐn)?shù)為25％.【解題分析】

設(shè)平均每次降價的百分率為x，那么這種藥品經(jīng)過一次降價后的價格為48（1-x）元，經(jīng)過兩次降價后的價格為48（1-x）元，而此時藥品價格是27元，根據(jù)這個等量關(guān)系可以列出方程.【題目詳解】設(shè)平均每次降價的百分?jǐn)?shù)為x，依題意得：解得：答：平均每次降價的百分?jǐn)?shù)為25％?！绢}目點撥】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出方程.20、見解析【解題分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出∠ADC=∠FCD，然后再證明△ADG≌△FCG可得AD=FC，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；【題目詳解】證明：∵在?ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵G為CD的中點，∴DG=CG．在△ADG和△FCG中，，∴△ADG≌△FCG（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四邊形ACFD是平行四邊形．【題目點撥】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21、(1)證明見解析；(2)∠DFC=60【解題分析】

（1）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；（2）利用菱形的性質(zhì)證明ΔFDC為等邊三角形可得結(jié)論.【題目詳解】解：(1)證明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形DEAF為平行四邊形∵四邊形ABCD為矩形，∴AF=CF=12AC，DF=∴AF=DF=CF∴四邊形DEAF為菱形(2)解：∵四邊形DEAF為菱形，∴AE=FD∵AE=CD，∴FD=CD，∵FD=CF，∴ΔFDC為等邊三角形∴∠DFC=【題目點撥】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，綜合應(yīng)用兩者的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22、（1）點A坐標(biāo)為（-k，-1），點B坐標(biāo)（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形；，理由見解析；（3）不存在，理由見解析．【解題分析】

（1）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式即可；（2）先求出點C和點D的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點距離公式得到PC=PD即可；（3）過點P作PH⊥CD于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CD=2PH，可求m的值；然后再點P不與B重合即可解答．【題目詳解】解：（1）∵兩個函數(shù)圖象的交點分別為點A和點B，∴，解得：或∴點A坐標(biāo)為（-k，-1），點B坐標(biāo)（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：∵k=1∴點A和點B的坐標(biāo)為（-1，-1）和（1，1），設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，）∴直線PA解析式為：∵當(dāng)y=0時，x=m-1，∴點C的坐標(biāo)為（m-1，0）同理可求直線PB解析式為：∵當(dāng)y=0時，x=m+1，∴點D的坐標(biāo)為（m+1，0）∴，∴PC=PD∴△PCD是等腰三角形；（3）如圖：過點P作PH⊥CD于H∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，∴CD=2PH，∴m+1-（m-1）=2×，解得m=1∴點P的坐標(biāo)為（1，1），∵點B（1，1）與點函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點P不重合∴不存在點P使△PCD為直角三角形．【題目點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、兩點距離公式等知識點，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23、（1）AF＝DE，AF⊥DE，理由見詳解；（2）四邊形HIJK是正方形，補圖、理由見詳解．【解題分析】

（1）根據(jù)已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF＝DE，∠BAF＝∠ADE，再由直角三角形的兩個銳角互余和有兩個角互余的三角形是直角三角形可證得AF⊥DE．（2）根據(jù)已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．【題目詳解】解：（1）AF＝DE，AF⊥DE．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，∴AF＝DE，∠BAF＝∠ADE．∵∠DAB＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∴AF⊥DE．∴AF＝DE，AF⊥DE．（2）四邊形HIJK是正方形．如下圖，H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四邊形HIJK是菱形，∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°∴∠KHI＝90°，∴四邊形HIJK是正方形．【題目點撥】此題主要考查正方形的判定的方法與性質(zhì)和菱形的判定，及全等三角形的判定等知識點的綜合運用．24、（1）甲空調(diào)每臺的進價為0.4萬元，則乙空調(diào)每臺的進價為0.2萬元；（2）商場共有四種購進方案：①購進甲種空調(diào)14臺，乙種空調(diào)26臺；②購進甲種空調(diào)15臺，乙種空調(diào)25臺；③購進甲種空調(diào)16臺，乙種空調(diào)24臺；④購進甲種空調(diào)17臺，乙種空調(diào)23臺．【解題分析】

（1）設(shè)甲空調(diào)每臺的進價為x萬元，則乙空調(diào)每臺的進價為（x﹣0.2）萬元，根據(jù)“用36萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量是用18