數(shù)學(xué)-專題4 二次根式的運(yùn)算與應(yīng)用（帶答案）

專題4二次根式的運(yùn)算與應(yīng)用（解析版）典例精析+變式訓(xùn)練類型一二次根式的計(jì)算典例1（2022秋?渠縣校級(jí)期末）化簡：（1）(2（2）計(jì)算：27+思路引領(lǐng)：（1）先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答；（2）先計(jì)算二次根式的乘除法，再算加減法，即可解答．解：（1）(=36?6＝6﹣63＝6﹣73；（2）27=9＝3+4+2﹣3＝6．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022秋?長安區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．23+32=55 B．23×32C．55?23=32 D．30÷（思路引領(lǐng)：先根據(jù)二次根式的加減法法法則，二次根式的除法法則和二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再得出選項(xiàng)即可．解：A．23和32不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．23×32=（2×3）3×2C．55和﹣23不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．30÷（5

=30=5故選：B．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算式子（3?2）2021（3+2）A．﹣1 B．3?2 C．2?3思路引領(lǐng)：先根據(jù)積的乘方進(jìn)行變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．解：（3?2）2021（3+＝[（3?2）×（3+2）]2020×（＝（﹣1）2020×（3?＝1×（3?=3故選：B．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式和積的乘方等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．類型二與二次根式有關(guān)的化簡求值例2（2022秋?商水縣校級(jí)月考）問題：先化簡，再求值：2a+a2?10a+25小宇和小穎在解答該問題時(shí)產(chǎn)生了不同意見，具體如下．小宇的解答過程如下：解：2a+＝2a+(a?5＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小穎為驗(yàn)證小宇的做法是否正確，她將a＝3直接代入原式中：2a+

＝6+＝6+2＝8．由此，小穎認(rèn)為小宇的解答有錯(cuò)誤，你認(rèn)為小宇的解答錯(cuò)在哪一步？并給出完整正確的解答過程．思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡后，再代入求值即可．解：錯(cuò)在第二步，原式＝2a+(a?5)2=2∵a＝3＜5，∴a﹣5＜0，∴原式＝2a+（5﹣a）＝a+5，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝3+5＝8．總結(jié)提升：本題康熙二次根式的化簡與求值，掌握a2=|變式訓(xùn)練1．（2022春?藁城區(qū)校級(jí)月考）先化簡，再求值：2?(a?2)2+(a+1)(a?1)思路引領(lǐng)：利用二次根式的相應(yīng)的運(yùn)算法則對(duì)式子進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．解：2?＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1＝a2+1﹣|a﹣2|，當(dāng)a=2原式＝（2）2+1﹣（2?2＝2+1﹣2+＝1+2總結(jié)提升：本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．2．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）先化簡，再求值，如果a＝2?3，b=12?思路引領(lǐng)：直接利用二次根式的性質(zhì)分母有理化，進(jìn)而化簡二次根式得出答案．

解：∵b=12?3=2+3(2?∴a﹣b＝2?3?（2+3）＝2?3?∴a2?2ab+b總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．典例3（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）先化簡再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy思路引領(lǐng)：根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡，利用分母有理化法則把x、y化簡，代入計(jì)算即可．解：原式=(x?y＝（x?y）?（＝x﹣y，當(dāng)x=13+22=3?22(3+22原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．總結(jié)提升：本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）先化簡，再求值：4a?b+a+b思路引領(lǐng)：利用二次根式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．解：4=4=4=4=?2=?2(∵a＝1，b＝2，

∴原式=?2(總結(jié)提升：本題主要考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的化簡求值的方法是解決本題的關(guān)鍵．典例4（2022春?鄒城市校級(jí)月考）先化簡，再求值：（1）2（a+3）（a?3）﹣a（a﹣6）+6，a（2）已知a＝2+3，b＝2?3，求思路引領(lǐng)：（1）利用乘法公式展開，然后合并同類項(xiàng)，再把a(bǔ)的值代入計(jì)算；（2）先計(jì)算出a+b、a﹣b和ab的值，再通分和平方差公式得到原式=(a+b)(a?b)解：（1）原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6＝2a2﹣6﹣a2+6a+6＝a2+6a，當(dāng)a=2?1時(shí)，原式＝（2?1）2＝2﹣22+1+62＝42?（2）∵a＝2+3，b＝2?∴a+b＝4，ab＝4﹣3＝1，a﹣b＝23，∴ab?b總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．利用整體代入的方法可簡化計(jì)算．變式訓(xùn)練1．已知x=2?3，求代數(shù)式(7+4思路引領(lǐng)：先根據(jù)完全平方公式求出x2，再根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；解：∵x＝2?3∴x2＝（2?3）2＝4﹣43+3＝7﹣4則原式＝（7+43）（7﹣43）+（2+3）（2?3＝49﹣48+4﹣3+＝2+3

總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．利用整體代入的方法可簡化計(jì)算．類型三與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究典例5（2022秋?新蔡縣校級(jí)月考）發(fā)現(xiàn)①計(jì)算（2）2＝，（23）2＝②計(jì)算：22=；(?總結(jié)通過①②的計(jì)算，分別探索（a）2（a≥0）與a、a2與a應(yīng)用利用你總結(jié)的規(guī)律，結(jié)合圖示計(jì)算4(m+2)2+(m?1)思路引領(lǐng)：發(fā)現(xiàn)：①利用有理數(shù)的乘方的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；②利用算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；總結(jié)：根據(jù)有理數(shù)的乘方的計(jì)算方法以及算術(shù)平方根的定義進(jìn)行總結(jié)即可；應(yīng)用：根據(jù)數(shù)m在數(shù)軸上的位置，確定m+2，m﹣1的符號(hào)，再根據(jù)上述結(jié)論進(jìn)行解答即可．解：發(fā)現(xiàn)：①（2）2＝2，（23）2=故答案為：2，23②22=|2|＝2，(?23)故答案為：2，23總結(jié)：（a）2＝a（a≥0），a2=|a|應(yīng)用：由數(shù)m在數(shù)軸上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，答：4(m+2)2+(m?1)總結(jié)提升：本題考查二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的性質(zhì)以及乘除法的計(jì)算法則是正確解答的前提．變式訓(xùn)練1．（2022秋?忻州月考）綜合與實(shí)踐

小麗根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律，下面是小麗的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．等式1：1+1等式2：2+1等式3：3+1等式4：．（2）觀察、歸納，得出猜想．n為正整數(shù)，猜想等式n可表示為，并證明你的猜想．（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律．①化簡：99+1②小麗寫出一個(gè)等式m2?2m+1+1n=101n（n思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)所給的特例的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式進(jìn)行總結(jié)即可；對(duì)等式的左邊進(jìn)行整理，即可求證；（3）①②利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．解：（1）由題意得：4+16=故答案為：4+16=（2）猜想等式n可表示為n+1n+2=（n故答案為：n+1n+2=（n證明：等式左邊=n2+2n+1n+2=故猜想成立；（3）①原式＝1001101×＝100×200×＝200002；

②∵等式m2?2m+1+1∴m2﹣2m+1＝9，n＝11，解得m＝﹣2或4，∴m﹣n＝﹣13或﹣7．故答案為：﹣13或﹣7．總結(jié)提升：本題主要考查二次根式混合運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．典例6（2022秋?浦東新區(qū)期中）觀察下列運(yùn)算：（1）由(2+1)(2（2）由(3+……問題：（1）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來；（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：(1思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律進(jìn)行變形，再根據(jù)二次根式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)平方差公式求出答案即可．解：（1）1n+1+n（2）原式＝（2?1+3?2+＝（2019?1）（2019＝2019﹣1＝2018．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化和平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中）著名數(shù)學(xué)教育家G

?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請(qǐng)先閱讀下列材料，再解決問題：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào)．例如：3+22=1+2×1×解決問題：（1）在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：14+65①：，②：，③．（2）根據(jù)上述思路，化簡并求出28?103思路引領(lǐng)：（1）模仿樣例進(jìn)行解答便可；（2）把28看成52+(3解：（1）由題意得，14+65=9+2×3×則①＝5，②=5，③＝3+故答案為：①5；②5；③3+5（2）28?10=25?2×5×=(5?＝5?＝7．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方式的應(yīng)用，關(guān)鍵是把被開方數(shù)化成完全平方數(shù)．類型四二次根式的應(yīng)用典例1（2022秋?新蔡縣校級(jí)月考）如圖，有一張面積為50cm2的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為2cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積．

思路引領(lǐng)：（1）結(jié)合題意可知該長方體盒子的長、寬都為52?22=32cm，高為（2）該長方體盒子的側(cè)面為長方形，長為32cm，寬為2cm，共4個(gè)面，即可得答案．解：（1）由題意可知：長方體盒子的容積為：(52?22)答：長方體盒子的容積為182cm3；（2）長方體盒子的側(cè)面積為：(52?22)×答：這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積為24cm2．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖形，結(jié)合二次根式的乘法法則求解．變式訓(xùn)練1．（2022秋?洛寧縣月考）如圖，有一張長為162cm，寬為82cm的長方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形．（1）若小正方形的邊長為2cm，則制作成的無蓋長方體盒子的體積是多少？（2）求這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積．思路引領(lǐng)：（1）利用長方體的體積公式計(jì)算即可；（2）大長方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積，再減去底面面積就是盒子的側(cè)面積．（兩個(gè)小長方形面積和兩個(gè)大長方形面積和）解：（1）無蓋長方體盒子的體積為：（162?22）×（82?22＝142＝1682（cm3）；答：制作成的無蓋長方體盒子的體積是1682cm3．（2）方法一，長方體盒子的側(cè)面積為：162×82?4×2×2?（162?＝256﹣8﹣168＝80（cm2）；答：這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積為80cm2．

方法二，長方體盒子的側(cè)面積為：（82?22）×2×2+（162?2＝62×2×＝24+56＝80cm2．答：這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積為80cm2．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的應(yīng)用，做題關(guān)鍵是讀懂題意列出正確的算式．典例2（2022春?錦江區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)；當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，有(a?b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為；當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x的最大值為（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為12和27，求四邊形ABCD面積的最小值．思路引領(lǐng)：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，直接根據(jù)公式a+b≥2ab計(jì)算即可；當(dāng)x＜0時(shí)，先將x+1x變形為﹣（﹣x?1s），再根據(jù)公式a+（2）將原式的分子分別除以分母，變形為可利用公式a+b≥2ab計(jì)算的形式，計(jì)算即可；（3）根據(jù)等高三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x≥當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x=?（﹣∵﹣x?1x≥∴﹣（﹣x?1x）≤﹣2，即x

故答案為：2；﹣2；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y=x2+3x+25x=∴當(dāng)x＞0時(shí)，y的最小值13；（3）設(shè)S△BOC＝x，∵S△AOB＝12，S△COD＝27，∴由等高三角形可得：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，∴x：27＝12：S△AOD，∴S△AOD=324∴四邊形ABCD面積＝12+27+x+324x=39+x+總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質(zhì)，讀懂閱讀材料中的方法并正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?武陵區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵(a?b)2=a?2ab請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為（2）當(dāng)m＞0時(shí)，求m2（3）請(qǐng)解答以下問題：如圖所示，某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成，設(shè)垂直于墻的一邊長為x米．若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)閱讀中的公式計(jì)算即可；（2）先配方，化簡，運(yùn)用公式計(jì)算即可；

（3）設(shè)所需的籬笆長為L米，由題意得L＝2x+200解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，1x∴x+1x≥∴x+1故答案為：2；（2）m2+5m+12m=∵m＞0，∴m+5+12m≥又∵m?12m=∴m+5+12m≥43+5，即∴m2+5m+12m（3）設(shè)所需的籬笆長為L米，由題意得L＝2x+200由題意可知：2x+200又∵22x?∴2x+200∴需要用的籬笆最少是40米．總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中閱讀內(nèi)容解答．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．下列計(jì)算正確的是（）A．2÷16=3 B．246=思路引領(lǐng)：應(yīng)用分母有理化及二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：A．∵2÷16=2×6=12B．∵246=246=

C．∵3÷25=325D．∵255=2555=5故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了分母有理化及二次根式的乘除法，熟練掌握分母有理化及二次根式的乘除法法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）先化簡，再求值：25xy+xyx?4yxy思路引領(lǐng)：先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y解：∵x=13＞∴原式＝5xy+xy=xy當(dāng)x=13，y＝4時(shí)，原式總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．3．（2022春?呼和浩特期末）（1）計(jì)算：18?（2）先化簡，再求值：(3?2x+1)÷思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)二次根式的加減法法則、零指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，把x的值代入計(jì)算即可．解：（1）原式＝32?32=2（2）原式＝（3x+3x+1?=3x+1x+1?=1當(dāng)x=3+1時(shí)，原式總結(jié)提升：本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?金華月考）在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，李老師出了這樣一道題目：

先化簡，再求值：|x﹣1|+(x?10)2，其中小明同學(xué)是這樣計(jì)算的：解：|x﹣1|+(x?10)2=x﹣1+x當(dāng)x＝9時(shí)，原式＝2×9﹣11＝7．小榮同學(xué)是這樣計(jì)算的：解：|x﹣1|+(x?10)2=x聰明的同學(xué)，誰的計(jì)算結(jié)果是正確的呢？錯(cuò)誤的計(jì)算錯(cuò)在哪里？思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．解：小榮的計(jì)算結(jié)果正確，小明的計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，錯(cuò)在去掉根號(hào)：|x﹣1|+(x?10)2=x﹣1+x﹣10（應(yīng)為x總結(jié)提升：本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：a2=|a|5．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）先化簡，再求值：已知x=13+22思路引領(lǐng)：原式利用二次根式化簡，約分得到最簡結(jié)果，由x的值求出x﹣1與1x解：∵x=13+22∴x﹣1＝3﹣22?1＝2﹣22＜0，1x則原式=＝x﹣1+＝（x﹣1）?＝2﹣22?（3+22＝2﹣22?3﹣2＝﹣1﹣42．總結(jié)提升：此題考查了二次根式的化簡求值，分式的化簡求值，以及分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

6．（2021春?霍邱縣期中）觀察與思考：①223=2+23式①驗(yàn)證：223式②驗(yàn)證：338（1）仿照上述式①、式②的驗(yàn)證過程，請(qǐng)寫出式③的驗(yàn)證過程；（2）猜想5524=（3）試用含n（n為自然數(shù)，且n≥2）的等式表示這一規(guī)律，并加以驗(yàn)證．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知算式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)得出的規(guī)律得出答案即可；（3）根據(jù)已知規(guī)律得出算式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）4415（2）5524故答案為：5+5（3）nnn證明：nnn總結(jié)提升：本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．7．（2021秋?鄞州區(qū)期中）先閱讀材料，再解決問題．13131313…根據(jù)上面的規(guī)律，解決問題：

（1）13+23（2）求13+2思路引領(lǐng)：（1）觀察各個(gè)等式中最左邊的被開方數(shù)中各個(gè)冪的底數(shù)的和與最右邊的結(jié)果的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）利用（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可．解：∵131313∴等式中最左邊的被開方數(shù)中各個(gè)冪的底數(shù)的和＝右邊的結(jié)果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）13故答案為：21（2）由（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得：13+23總結(jié)提升：本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，本題是規(guī)律型題目，發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?中原區(qū)校級(jí)月考）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，看到北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本43頁有這樣一道題目：如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別是多少？你能借助這個(gè)圖形解釋8=2小明想了想做出如下解答過程：“如圖，大正方形的面積為8，則它的邊長為8；小正方形的面積為2，則小正方形的邊長為2．借助這個(gè)圖形，可以得到大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，即8=2老師夸贊小明做得非常好，繼續(xù)提出一個(gè)新的問題：你能設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋12思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形的面積公式得到2個(gè)正方形的邊長，利用圖形得出邊長的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．

解：如圖，大正方形的面積為2，則它的邊長為2；小正方形的面積為12，則小正方形的邊長為1觀察圖形可以得到大正方形邊長是小正方形邊長的2倍，則12總結(jié)提升：此題主要考查了算術(shù)平方根，正方形的面積，利用已知結(jié)合相似圖形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．9．（2022春?周至縣期末）在一個(gè)長為45，寬為35的矩形內(nèi)部挖去一個(gè)邊長為（215?思路引領(lǐng)：根據(jù)矩形的面積﹣正方形的面積即可得到剩余部分的面積．解：45×35?（215＝60﹣（60﹣203+＝60﹣60+203?＝（203?答：剩余部分的面積為（203?總結(jié)提升：本題考查了二次根式的應(yīng)用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?濟(jì)源期末）【再讀教材】：我們八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本第16頁介紹了“海倫﹣秦九韶公式”：如果一個(gè)三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為【解決問題】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．（1）請(qǐng)你用“海倫﹣秦九韶公式”求△ABC的面積．（2）除了利用“海