高考數(shù)學 5年高考真題與模擬 06 不等式 理 (二)

【備戰(zhàn)2013】高考數(shù)學5年高考真題精選與最新模擬專題06不等

式理

【2012高考真題精選】

1.(2012?福建卷)下列不等式一定成立的是()

A.lg(x2+￡)>lgx(x>0)

B.sinx+^^N2(x#k7t,k￡Z)

C.x2+l>2|x|(xGR)

D?瑪>I(XGR)

【答案】c1解析】本題考查不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應用，解題時注意使用不等式的性質(zhì)以

及基本不等式成立的條件.對于A選項，當、=細，：g；x：+；=：gx；所以A不一定正確；B命題，需要滿

足當時，不等式成立，所以B也不正確；C命題顯然正確；D命題不正確，'."v-+l>l>.,.0<-

x-4-l

所以正確的是C.

2.(2012?重慶卷)設數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn+l=a2Sn+al,其中a2/0.

⑴求證：｛an｝是首項為1的等比數(shù)列；

(2)若a2>—1,求證：Sn<^(al+an),并給出等號成立的充要條件.

【答案】解：(1)證法一：由S：=a?Si+a：得心+念=必6+。］,即位=g4

因8=0,故6=1,得三="

又由題設條件知

$-:=々5-1+。1，S.-尸aS+a］，

=-

兩式相減得Sn-2-Sn-1^2(54-1Sn)>

由<2：=0,知3,-1=0,因此馬二=位.

<2?-1

綜上，竽=8對所有“e、?成立，從而｛4｝是首項為1,公比為位的等比故列.

4

證法二：用數(shù)學歸納法證明&=之一】，心?.

當>：=1時，由$：=a：S：+a；,得a；+a：=a：a：+aj,即a：=a：a”再由生=Q,得=1,

所以結論成立.

假設”=2時，結論成立，即a尸療】，那么

當”=；:+1時，即］=$2：—5尸(aS+a?！?a5-i+aD=陽&—$1)="：=的

這就是說，當，:=計1時，結論也成立.

綜上可得，對任意〃￡、?，M=不，因此｛4｝是首項為1,公比為6的等比數(shù)列.

⑵當“=1或2時，顯然又=%：+%》等號成立.

設色3,位＞—1且8=。，由⑴知2=1,%=之二，所以要證的不等式化為

1+〃:+正+—+之二4（1+把-：）（"之3）,

"+1

即證：1+生+區(qū)+…+之三不~（1+上）（應2）.

當位=1時，上面不等式的等號成立.

當一iv^vi時，之一1與正二一1/=12...?八一1）同為負；

當位＞1時，上一1與上-，-1。=1,2,…，1-1）同為正.

因此當心＞—1且生=1時，總有［上一1）（7廠-1）＞0,即

上+aT'Vl+上（r=l：2,...,”-1）.

上面不等式對，?從1到n-1求和得

2（心+上+...+/r）V（;r—l）（l+o?）＞

"+1

由此可得1+9+W++不^^二^—：1+之）.

綜上，當8＞—1且8=0時，有S#a：+a“），當且僅當，:=1二或公=1時等號成立.

證法二：當"=1或2時，顯然$＜4（&：+4），等號成立.當位=1時，S,=?i=7（a＞+a＞t）?等號也成立.

當6=1時,由⑴知——,4=.-1,下證：

L包

7—4＜31+壯-】）（板3，位＞—1且6=1）.

］一心2

當一IV^Vl時，上面不等式化為

5-2）理+"必一次X、＜〃-2（?1＞3）.

令&:）=（"—2處+二必一“上一】.

當一IV^VQ時，1一之二＞0,故

2）工+，g（l—〈（藺-2）&：V“一2,

即所要證的不等式成立.

當OVaV1時，對位求導得/（8）=村（（〃-2）a「一｛”一1*一二+1］=啜6）.

其中g（6）=（〃一2）一一：一（n—1）更一二+1,則g（a：）=（"—2）（M—1）（a：———VO,即-0）是（0：1）上的魂函

數(shù),故g"）〉g⑴=Q,從而，（0）=咫依）＞0,進而網(wǎng)⑻是（Q1）上的噌函數(shù)，因此叉生）V"D=”一2,所要證

的不等式成立.

當a2＞l時，令b=A，則0＜bVl,由已知的結論知

az

兩邊同時乘以aa-l得所要證的不等式.

綜上，當a2>-l且a2和時，有Sn$(al+an),當且僅當n=1,2或a2=1時等號成立.

3.(2012?浙江卷)設a>0,b>0()

A.若2a+2a=2b+3b,則a>b

B.若2a+2a=2b+3b,則a<b

C.若2a—2a=2b—3b,則a>b

D.若2a-2a=2b-3b,則a〈b

【答案】A【解析】本題考查構造函數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì)來實現(xiàn)判斷邏輯推理的正確與否，

考查觀察、構想、推理的能力.若2a+2a=2b+3b,必有2a+2a>2b+2b.構造函數(shù)：Kx)=

2x+2x,則f(x)=2x+2x在x>0上單調(diào)遞增，即a>b成立，故A正確，B錯誤.其余選

項用同樣方法排除.

4.(2012?浙江卷)設Sn是公差為d(d#0)的無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項和，則下列命題錯誤

的是()

A.若d<0,則數(shù)列｛Sn｝有最大項

B.若數(shù)列｛Sn｝有最大項，則d〈0

C.若數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列，則對任意ndN*,均有Sn>0

D.若對任意n6N*,均有Sn>0,則數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列

【答案】C【解析】本題考查等差數(shù)列的通項、前，:項和，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及不等式知識，著查靈

活運用知識的能力，有一定的難度.

法一：特值驗證排除.選項C顯然是錯的，舉出反例：一1,(M23,.滿足牧列｛SQ是遞噌數(shù)列，但

是S”>Q不恒成立.

法二：由于S尸網(wǎng)+咚1=駢+6—。，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當作0時，數(shù)列⑸｝有最

大項，即選項A正確；同理選項3也是正確的；而若數(shù)列⑸J是遞嚕數(shù)列，那么辦?，但對任意的

$>0不成立，即選項C錯誤；反之，選項D是正確的；故應選C.

4.(2012?山東卷)若不等式|kx—4區(qū)2的解集為｛x|lWxW3｝,則實數(shù)k=.

【答案】2【解析】本題考查絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，容易題.

去絕對值得一20kx-4W2,B|J2<kx<6,又：其解集為｛x|l$xW3｝,；.k=2.

5.(2012?江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b@R)的值域為(0,+co),若關于x的不

等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實數(shù)c的值為.

【答案】9【解析】本題考查二次函數(shù)的解析式以及性質(zhì)和一元二次不等式的解法.解題

突破口為二次函數(shù)的性質(zhì)及三個“二次”之間的關系.

由條件得a2—4b=0,從而f(x)=(x+y2,

不等式f(x)<c解集為一3一始<xv—5+/，

故《兩式相減得/=3,c=9.

[一±+&=m+6,

6.(2012?天津卷)已知集合A={xdR||x+2|<3},集合B={xGR|(x—m)(x-2)<0},且ACB

=(—1,n),則m=,n=.

【答案】一1,1【解析】本題考查絕對值不等式的解法及集合的交并運算,考查運算求解

能力，容易題.

VA={x￡R|—5<x<l},且AClB=(—1,n),.'.m=—1,B={x|—l<x<2},

.*.AnB=(T,l),即n=l.

7.(2012?浙江卷)設集合A={x|lvx<4},集合B={x|x2—2x-3W0},則AC([RB)=()

A.(1,4)B.(3,4)

C.(1,3)D.(1,2)U(3,4)

【答案】B【解析】本題主要考查不等式的求解、集合的關系與運算等.由于8=@區(qū)2—

2x-3<0}={x|-l<x<3},貝”RB={x[x<-l或x>3},那么AC((RB)={x[3<x<4}=(3,4),故

應選B.

8.(2012?北京卷)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x—2,若同時滿足條件:

①VxdR,f(x)<0或g(x)<0；

(2)3xG(—co,—4),f(x)g(x)<0.

則m的取值范圍是.

【答案】(-4,-2)【解析】本題考查函數(shù)圖像與性質(zhì)、不等式求解、邏輯、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)等

基礎知識和基本技能.

滿足條件①時，由以4=2工-2<0,可得xvl,要使V1WR,.僅<0或蟆)<0,必須使它1時,.儂="小

—2w)(x+?i+3)<0恒成立，

當，”=Q時，.Kx)=，，Kx—2加)(工+加+3)=。不滿足條件，所以二次顯顏:爾:必須開口向下，也就是；，；”,

要滿足條件，必須使方程汽工)=。的兩根2冽，一加一？都小于1,即，可得〃{(一+。).

1-w—3<1>

滿足條件②時，因為工日：一工，7)時，g(x)<0,所以要使小E(一”，一4)時，產(chǎn),，g2<0,只要出工(一

x,-4)時，使人而A0即可，只要使一4比2冽,一加一3中較小的一個大即可，當也￡—1時，力心一7

-3,只要一』>一加一3,解得心1與加!一1：0)的交集為空集；

當冽=-1時,兩根為一2；—2>—4,不符合；當刑￡(-4.-1)時,2m<一加一3,所以只要一4>2川,

所以〃{(—4,—2).

綜上可知加￡(一4,-2).

Y---1

9.(2012?重慶卷)不等式去釬0的解集為()

A(T1

C.1-8,-￡)u(1,+oo)

D.(-8,-gU(1,+oo)

x—12x+l<0,1

【答案】A【解析】不等式等價于二1八.解得一^Vxq,選A.

[2x+l/),2

13

10.(2012?重慶卷)設f(x)=alnx+%+云+1,其中a￡R,曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的

切線垂直于y軸.

⑴求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

【答案】解：⑴因,心)=。!11]+二+；工+1,

MA工

故/(x)=5-圭+不

由于曲線丁=./)在點Q,7U))處的切線垂直于j,軸，故該切線斜率為0,即/(1)=0,從而a—《+：=0,

解得。=-1.

(2)由⑴知貝x)=-in工+*+￡+l(x>0)?

一3x+lx-1

=~~

令/(x)=0，解得x：=l,i：=—因4=—J不在定義域內(nèi)，舍去).

當曲/(x)V0,故?左)在電1)上為減函數(shù)；

當xW(l,+oc)時，/(x)>0,一人x)在(1,+工)上為增函數(shù).

故孔坐在x=l處取得極小值/11)=3,無極大值.

Inx,x>0

11.(2012?陜西卷)設函數(shù)f(x)=:D是由x軸和曲線y=f(x)及該曲線在點

2x—1,x<0,

(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為.

【答案】2【解析】本小題主要考查了利用導數(shù)求切線方程、線性規(guī)劃的知識，解題的突

破口是先求出切線的方程，畫出可行域.對于函數(shù)在x=l的導數(shù)，可只對函數(shù)y=Inx求導,

有y'=(，所以在X=1處的切線的斜率為k=l,在x=l處的切線方程為：y=x—1.此時可

畫出可行域.

當目標函數(shù)過點(0,-1)時z取得最大值2.

\+2y>2,

12.（2012?山東卷）已知變量x,y滿足約束條件<2x+y*,則目標函數(shù)z=3x—y的取

.4x—y>—1,

值范圍是（）

A.一|,6B.[-1,T

C.[-1,6]D[-6,|

【答案】A【解析】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)據(jù)處理能力，容易題.

可行域如圖所示陰彩部分.

當目標函數(shù)線移至可行域中的點WR6時，目標函數(shù)有最大值二=3x2—0=6；當目標函數(shù)線移至可

/I\1a

行域中的3點6，3時，目標函數(shù)有最小值二=34-3=一：.

13.（2012?重慶卷）設平面點集A=（x,y）（y—x）y-^>0,B={x,y|x—12-Fy—12<1},

則AAB所表示的平面圖形的面積為（）

A3「3

A彳兀B-7i

八4一九

C.yitD.2

y—x>0,

【答案】D【解析】平面點集A表示的平面區(qū)域就是不等式組（1

[y—Q0

表示的兩塊平面區(qū)域，而平面點集B表示的平面區(qū)域為以點（1,1）為圓心，以1為半徑的圓

及圓的內(nèi)部，作出它們所示的平面區(qū)域，如圖所示，圖中的陰影部分就是ACB所表示的平

面圖形.由于圓和曲線y=（關于直線y=x對稱，因此陰影部分所表示的圖形面積為圓面積

畤即為全

x—y<10,

14.（2012?遼寧卷）設變量x,y滿足<OWx+yMO,則2x+3y的最大值為（）

.0<y<15,

A.20B.35

C.45D.55

【答案】D【解析】本小題主要考查線性規(guī)劃.解題的突破口為作出可行域，借助目標函數(shù)的幾何意

義求目標函數(shù)的最值.

不等式組表示的區(qū)域如圖1―1所示，令二=2x+3j,目標函數(shù)變?yōu)閅=一2+之故而當截距越大，二

的取值越大，故當直線2=2X+3J經(jīng)過點A時，z最大，由于:=尸-今［=卜故而--的坐標為

（5,15）,代入z=2x+3i-.得到』=55,即lr+3j-的最大值為55.

X—y+1>0,

15.（2012?全國卷）若x,y滿足約束條件<x+y—3<0,則z=3x—y的最小值為.

,x+3y—3>0,

【答案】-1【解析】本小題主要考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的應用，解題的突破口是正確作出

可行域和平移目標函數(shù)曲線.

利用不等式組，作出可行域，則目標函數(shù)直線過（0,1）時，z取最小值-1.

//，0

//x+y_3=0、x+3y-3=0

x>0,

16.（2012?安徽卷）若x,y滿足約束條件，x+2定3,則x-y的取值范圍是________

2x+y<3,

【答案】[-3,0]【解析】本題考查線性規(guī)劃的應用.

x>0,

設二=工一]：作出約束條件，x+2花3,表示的可行域，如圖陰影部分所示（含邊界）.

.2x+jW3

易知當直線二=工一3經(jīng)過點*（Q3,時，直線在1軸上截距最大，目標函數(shù)二取得最小值，且二皿=一3,

當直線Z=.V-T經(jīng)過點CU」）時,直線在r軸上截距最小，目標跋二取得最大值?即&=0,所以x-,ve[-

3,0].

0<x<2,

17.（2012?北京卷）設不等式組八一一、表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,

[0<y<2

則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（）

A兀C兀-2

A]B.2

一兀e4一兀

C6。4

【答案】D【解析】設事件A：點到坐標原點的距離大于2.

.gS2S—S14一兀

如圖1—1,P（A）=w=Z=-7—.

oo4

圖1—1

18.（2012?四川卷）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1

千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的

利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消

耗A、B原料都不超過12千克，通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,

公司共可獲得的最大利潤是（）

A.1800元B.2400元

C.2800元D.3100元

【答案】C【解析】設該公司每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，

x+2y<12,

WiH2x+y<12,

、x￡N,y￡N,

利潤函數(shù)z=300x+400y,

如圖‘在/fxy+2=y=112,2的交點（44）處取得最大修

zmax=300x4+400x4=2800元.

x+y—3<0,

19.（2012?福建卷）若函數(shù)y=2x圖象上存在點（x,y）滿足約束條件,x—2y—3N，則實

.x>m,

數(shù)m的最大值為（）

A.1B.1C.|D.2

【答案】B【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域如下圖所示，

根據(jù)題意，顯然當曲線y=2x與直線y=—x+3相交，交點的橫坐標即為m的最大值，解

方程組：/2+3,解得x=Ly=2,所以交點的橫坐標為xr所以當ms時，曲

線y=2x上存在點（x,y）滿足約束條件，所以m的最大值為1.

y<2,

20.（2012?廣東卷）已知變量x,y滿足約束條件,x+y",則z=3x+y的最大值為（）

,x—y<l,

A.12B.11C.3D.-1

【答案】B

【解析】作出可行域，如圖所示.目標函數(shù)變形為：y=-3x+z,平移目標函數(shù)線，顯然當

（y—2）

直線經(jīng)過可行域中A點忖，z最大，由《得A（3,2）,所以zmax=3><3+2=ll.所以

[x—y=l

選擇B.

21.（2012?江西卷）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過

54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入一總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面

積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

【答案】B【解析】考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性規(guī)劃的實際應用、數(shù)形結合思想，

以及閱讀理解和數(shù)學建模能力；解題的突破口是按照線性規(guī)劃解決實際問題的步驟求解，即①設出X、）、二,

②列出約束條件，確定目標函數(shù)；③畫出可行域；④判斷最優(yōu)解；⑤求出目標函數(shù)的最值，并回到原問題

I>?-12x4-09v<54,

中作答.設種植黃瓜x畝，種植韭菜i?畝，因此，原問題轉化為在條件-：--下,

!.x>0,y>0

求二=0.55x4x+0.3x6j—1.2x—0.9J=X+0.9J,的最大值.畫出可行域如圖.利用線性規(guī)劃知識可知，當x,.）■

jx+】‘=V0,

取「、"J；-1的交點（30,2Q）時，二取得最大值?故選B.

11.2x+0.9v=54

x—y>-I,

22.（2012?課標全國卷）設x,y滿足約束條件"朽'則z=x_2y的取值范圍為

x>0,

.y>0,

【答案】[-3,3]

x—y>—1,

x+y<3,

【解析】作出不等式組jx>（）表示的平面區(qū)域（如下圖陰影部分所示，含邊界），

<y>0

平移直線z=x—2y,可知當直線z=x—2y經(jīng)過點M（l,2）時，z=x—2y取得最小值一3,經(jīng)

過點N（3,0）時,z=x—2y取得最大值3,所以z￡[—3,3].

%+丁=30，x-y=-1

x-2y4//M3,0）

23.(2012?福建卷)下列不等式一定成立的是()

A.lg(x2+j>lgx(x>0)

B.sinx+，^N2(xrk7t,k￡Z)

C.x2+l>2|x|(xGR)

D.^KxER)

【答案】C【解析】本題考查不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應用，解題時注意便用

不等式的性質(zhì)以及基本不等式成立的條件.對于A選項，當1=%，！§1/+；=】夕，所以

A不一定正確；B命題，需要滿足當sin.\>0時，不等式成立，所以B也不正確；C命題顯

0<±1，所以正確的是C.

然正確；D命題不正確，

24.（2012?安徽卷）設AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正

確的是（寫出所有正確命題的編號）.

①若ab>c2,則C<p

②若a+b>2c,則C<j；

7T

③若a3+b3=c3,貝ijCq；

④若(a+b)c〈2ab,則C號

TT

⑤若(a2+b2)c2V2a2b2,貝UC>§.

【答案】①②③【解析】本題考查命題真假的判斷，正、余弦定理，不等式的性質(zhì),

基本不等式等.

ai卜〃1

對于①，由::=^:+-2abcosC<ab得2cosC+l>~~~：—=-+r>2>貝UcosO",因為

aoaD1

0<C<^,所以C<p故①正確；

對于②，由七二=4東+4斤一8。2）SCQ^+K+Z的得而（385。+2）>3（出+少二）即

ScosC+2>3T+r,>6,則cosC>!因為0<。<兀，所以C4，故②正確；

對于③，爐+T=/可變?yōu)閊+="I，可得所以1=>+=但夫

+：『，所以捻s二十泊故C號故③正確；

對于④，（a+$）c<2而可變?yōu)?」>1+1之手=,可得、位>c,所以ab>c-9因為a：+

ca二嫻

:：

b>2ab>ab>c9所以C<7，④錯誤；

對于⑤,（？+汕Y￡於可變?yōu)樽?*也即所以也品竺片,所以cosCy一

>|,所以Cv，故⑤錯誤.故答案為①②③.

25.（2012?江蘇卷）已知iF數(shù)a,b,c滿足：5c—3a<b<4c—a,clnb>a+clnc,則二的取值范

a

圍是.

【答案】?[e,7]【解析】本題考查多元問題的求解以及線性規(guī)劃思想的運用.解題突破口

為將所給不等式條件同時除以c,三元換成兩元.

r3a.b廣

—+->5,

cc-<3x+y>5,

2十言4,1己x=2，y=g,則<x+y<4,v

題設條件可轉化為<且目標函數(shù)為z=?

y>ex,x

ba

->e-,、x,y>0,

<cc

上述區(qū)域表示第一象限內(nèi)兩直線與指數(shù)函數(shù)的圖象圍成如圖所示的曲邊形.由方程組

:二得交點坐標為星，0,止匕時zmax=7.又過原點作曲線y=ex的切線，切點

為（xO,yO）,因y'=ex,故切線斜率k=exO,切線方程為y=exOx,而yO=exO且yO=exOxO,

解之得xO=l,故切線方程為y=ex,從而zmin=e,所求取值范圍為[e,7].

26.(2012?廣東卷)設a<l,集合A={x￡R|x>0},B={xeR|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=AAB.

(1)求集合D(用區(qū)間表示)；

(2)求函數(shù)f(x)=2x3-3(l+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點.

【答案】解：(1)工且lv:-3(1+a)x+6df>0.

令h(x)=2x:-3(1+a)x+6a^

』=9(l+a?—4”=3(3。-1)(。一3).

①當;時，J<0,

Vx^R,ft(x)>0,.'.3=R.

于是Z>=.W「i3=V=(0,+x).

②當a=細，J=0,此時方程網(wǎng)x)=0有唯一解，

「?3=(-oc,1)U(L+x).

于是。=j「3=(CU)U(l,+x).

③當a<蛔，J>0,此時方程力(x)=0有兩個不同的解

_3+兌一由34—1。13

片=4，

—B+Ba+WBa-14-3

且A-2>0,

/.B=(—oo,xl)U(x2,+oo).

又???xl>0=a>0,所以

i)當O〈a<g時，D=AnB=(O,xl)U(x2,+oo)；

ii)當aWO時，D=(x2,+oo).

(2)f(x)=6x2—6(1+a)x+6a=6(x—l)(x—a).

當a〈l時，f(x)在R上的單調(diào)性如下表：

X(—oo,a)a(a,D1(1,+oo)

f(x)+0——0+

f(x)極大值極小值

①當鏟a〈l時，D=(0,+oo).

由表可得，x=a為f(x)在D內(nèi)的極大值點，x=l為Rx)在D內(nèi)的極小值點.

②當a=g時，D=(O,1)U(1,+00).

由表可得，為.心】在D內(nèi)的極大值點.

③當Osu期，

D=(O,Xi)U(x:,+x).

..一3+3a-A/33a-1—-3

-X1=4=一"

_3+3a--5#-16o;

=4

三;[3+3a-(3-5a)]=2a>q且xi<'^<1>

_3+3a+寸33。-1—-3

念=4

_3+3?+-3a二十8-24q

=4

3+3a+l-3a

>-7L=b

.'.aEDAiD.

由表可得，x=a為/U)在D內(nèi)的極大值點.

④當比。時，Z)=(X2，+工)且上>1.

由表可得，及X1在。內(nèi)單調(diào)涅噌.

因此.心)在D內(nèi)沒有極值點.

27.(2012?陜西卷)設函數(shù)fh(x)=xn+bx+c(n￡N+,b,ceR).

⑴設佗2,b=l,C=-1,證明：fn(x)在區(qū)間G，1)內(nèi)存在唯一零點；

(2)設n=2,若對任意xl,x2S[-l,l],W|f2(xl)-f2(x2)|<4,求b的取值范圍;

(3)在⑴的條件下，設xn是fh(x)在6，1)內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x2,x3,…，xn,…的增減

性.

【答案】解：(l)b=Lc=-1,吟2時,fh(x)=xn+x—1.

Vfh^fn(l)=(^-1)xi<o,???fn(x)在(；，1)內(nèi)存在零點.

又當1)時，fn(x)=nxn—1+1>0,

?..fn(x)在g,1)上是單調(diào)遞增的，.?.fn(x)在6，1)內(nèi)存在唯一零點.

(2)當n=2時，f2(x)=x2+bx+c.

對任意xl,x2￡［—1,1］都有|f2(xl)—f2(x2)|“等價于f2(x)在［—1,1］上的最大值與最小值之差

MW4.據(jù)此分類討論如下：

b

-

①當2>1,即|中2時,

〃=力(1)一公(-1)=2$>4,與題設矛盾.

②當一1￡一土。，即0<J<2時，

w⑴一斤一W='：1+1F*怛成立.

③當匹-21，即一2￡日0時，

?./=/：(—1)—51—1=彳一1怛成立.

綜上可知，-2勁W2.

注：②，③也可合并證明如下：

用max{a,外表示a,匕中的較大者.

當一10一《1，即一把把2時，

.W=max{6(l),力(一1)}一應一半

*—1+A1t—1—KIf訃

=--——?<?；+-~：、?一?--—彳

=1+彳:<4恒成立.

(3)法一：設梟是工⑴在;京1內(nèi)的唯一零點(位2).

門'

/(x。一媚+&—1—：」，立一1(&-1)—療-：+&-1-1一/，19

于是有工(xOnOqt-lCS-Du落-++&-]-1<\彳7+工丁]—1=.、。7-1)，

又由(1)知工(X)在4，1上是遞增的，故r<X”T(位2)，所以，數(shù)列X：,X:,X4，.是

遞噌數(shù)列.

法二：設X”是.力X：在’311、內(nèi)的唯一零_點，

工T(xga)=?p+&-1)(丁1+1—1)

=焉-1+XL17+X"-1=0,

則￡-](X)的零點x?~i在(X"」)內(nèi),故X,<x,-i(?!>2)>

所以，數(shù)列X2,月，…，X，，..是涅噌數(shù)列.

28.(2012?江蘇卷汝1圖1-5,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上，y軸垂直于地平

面，單位長度為1km,某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx—點(1+

k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

(1)求炮的最大射程；

(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2km,試問它的橫坐標a不超過

多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

圖1一5

【答案】解：(1)令J=。，得K一方11+工)/=0,由實際意義和題設條件知Q0,

故『去=產(chǎn)普=以當且僅當胃1時取等號?

所以炮的最大射程為10km.

⑵因為o>0,所以

炮彈可擊中目標=存在D0，使3.2=出一專1+；:：)。：成立

zu

=關于<的方程W4-20aM~W+64=Q有正根

=判別式」=(-20a)--4i7-(o-+64)>0

=比6.

所以當a不超過6km時，可擊中目標.

29.(2012?四川卷)如圖1—7所示，動點M與兩定點A(T,0)、B(2,0)構成aMAB,且NMBA

=2NMAB,設動點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設直線y=-2x+m與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q、R,且|PQ|<|PR|,求㈱的

取值范圍.

圖1—7

【答案】解：(1)設M的坐標為(x,y),顯然有x>0,且y翔.

當NMBA=90。時，點M的坐標為(2,±3).

當NMBA?90。時，x/2,由NMBA=2NMAB,有

2tanZMAB

tanZMBA=

l-tan2ZMAB，

~v+l

即

1—5'+-1---」

化簡可得，3x：一產(chǎn)-3=0.

而點(2,±3)在曲線39一)二一3=。上，

綜上可知，軌跡C的方程為3x：—j,：-3=0(x>1).

?v=-2x+川,

(2)由,；..、c消去F可得

l.3x一爐一3=0

x：—4?ix+蘇+3=0.(*)

由題意，方程有兩根且均在(1，+工)內(nèi)，設.Kx)=x：—4?*+切:+3.

所以1A=1T斌+蘇+3>Q,

3=-4呼一揄1+3>0.

解得，憂>1,且m=2.

設Q、R的坐標分別為(黛，[0,(勺，由有."=2"1+、'3哂：-Lx2=2加

1<-H4—v7+4S，且一]]二7

5；14.1

一口rw

所以的取值范圍是IL7)U(7J++Vi).

30.(2012?四川卷)記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2,口.5]=1,[—0.3]=一

Xn+-xn-jneN*).現(xiàn)有下列命題:

1.設a為正整數(shù)，數(shù)列｛xn｝滿足xl=a,xn+l=

①當a=5時,數(shù)列｛xn｝的前3項依次為5,3,2；

②對數(shù)列｛xn｝都存在正整數(shù)k,當n>k時總有xn=xk；

③當啟1時，xn>^/a—1；

④對某個正整數(shù)k,若xk+Gxk,則xk=[,].

其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號)

由此可知，色2時，該數(shù)列所有奇數(shù)項等于1,所有偶數(shù)項等于2,故②錯誤;

對于③，由國的定義知因而a是正整數(shù)，故X2。，且改是整數(shù)，

又，!=1時，x：=a4&4-1,命題為真，

即停,一xZ。’...三一'W］—xZ。,即二一.\亡0,解得左￡\伉

結合③得：g—1<XWW，故注=［加］.④正確.

31.(2012?安徽卷)設AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確

的是(寫出所有正確命題的編號).

TT

①若ab>c2,則C<2；

7T

②若a+b>2c,則C<§；

,jr

③若a3+b3=c3,則C〈g；

■jr

④若(a+b)c〈2ab,貝U€>,；

JT

⑤若(a2+b2)c2V2a2b2,貝ijC>§.

【答案1①②③【解析】本題考查命題真假的判斷，正、余弦定理，不等式的性質(zhì)，基

本不等式等.

It22.[

對于①，由，二=々二十萬二一2gcosCsb得2cosC+1>-~r—=-+r>2>則cosO-,因為

aoaD2

0<C<itf所以C<p故①正確；

對于②，由4”=4c二+46二一3而cosCs:+K+2aB得ad(ScosC+2)>3(a-+5:)IP

ScosC+2>3；r+-!>6f則cose!因為0?。<兀，所以cj故②正確；

對于③,一+—可變?yōu)閮?件=1,可得0<%0&1,所以1=，$+9內(nèi)2：

+彳二，所以C：Q：+或故C4，故③正確；

\CJL

對于④，i^+b)c<2ab可變?yōu)榭傻?萬>c,所以ab>c-9因為a-+

z

b>2ab>ab>c-9所以C<^④錯誤；

對于⑤，(樂+職)c：v2?F可變?yōu)楣?44,即U,所以二所以cosO「^

uo-c-c-ao2lab

>1.所以cq，故⑤錯誤.故答案為①②?.

32.(2012?四川卷)已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=—x2+詈與x軸正半軸相交于

點A.設f(n)為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距.

⑴用a和n表示f(n)；

(2)求對所有n都有穌2-獸7成立的a的最小值；

fn+1n3十1

n127fl—fh

⑶當OVaVl時，比較五與??二臺的大小，并說明理由.

k=IKI[NK?-IU11

【答案】解：(1)由已知得，交點/的坐標為y號，o',對]=-x：+L”求導得rn-

ic,則拋物線在點X處的切線方程為丁=一"'^靛々一、片，即1=-S?x+爐，則員”)=

(2)由⑴知A?)=^>則^成立的充要條件是尸式爐+1.

fil+\?f+l

即知，0^)+1對所有，:成立，特別地，取"=2得到定標.

當a=”行，應3時，

->4"=(l+3)4=l+C*3+G*3：+0?33+...

>l+CV3+Cv3:+C^3-

=1+2?P+g:[5(a—2)-+(2n—5)]

>2相+L

當，:=0」2時，顯然(赤)空2聲+1.

故a=小時，線壬三對所有自然數(shù)”都成立.

加+1旅+1

所以滿足條件的a的最小值為標.

27空包

下面證明：E

首先證明：當。<xvl時，亍X.

X-X-4

、，)

7：

設函數(shù)g(x)=yx(x—x)+1,0<x<l.

ei2

則g，W=Y.v(x—j).

當。<1<胡，g[x)<Q；當Qcvv]時，F(xiàn)(x)>0.

故gg在區(qū)間電D上的最小值g(x)=gT=0.

所以，當(Xx<l時，g(x)>0,即得士亭、由0<^1知因此亍

a*,從而

意齊衣一擊M一小

_27一一產(chǎn)：