新教材2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考案23周測卷十四計(jì)數(shù)原理排列與組合二項(xiàng)式定理古典概型

新教材2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考案23周測卷十四計(jì)數(shù)原理排列與組合二項(xiàng)式定理古典概型目錄計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理古典概型高考真題演練總結(jié)與展望計(jì)數(shù)原理0101加法原理02乘法原理若完成一件事有$n$類不同的方法，且這些方法互不干擾，則完成這件事共有$n$種方法之和。若完成一件事需要分成$n$個(gè)不同的步驟，且這些步驟互不干擾，則完成這件事共有$n$個(gè)步驟方法數(shù)之積。加法原理與乘法原理從$n$個(gè)不同的元素中取出$m(mleqn)$個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素的一個(gè)排列。排列從$n$個(gè)不同的元素中取出$m(mleqn)$個(gè)元素，并成一組，叫做從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素的一個(gè)組合。組合排列與組合基本概念$A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)$，表示從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素的排列數(shù)。$C_{n}^{m}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，表示從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素的組合數(shù)。排列數(shù)公式與組合數(shù)公式組合數(shù)公式排列數(shù)公式0102特殊元素和特殊位置優(yōu)先…對于存在特殊元素或者特殊位置的計(jì)數(shù)問題，可以優(yōu)先考慮這些特殊元素或位置，從而簡化問題。相鄰問題捆綁策略對于要求某些元素相鄰的計(jì)數(shù)問題，可以將這些相鄰的元素看作一個(gè)整體進(jìn)行考慮。不相鄰問題插空策略對于要求某些元素不相鄰的計(jì)數(shù)問題，可以先考慮其他元素的排列，再將不相鄰的元素插入到空隙中。定序問題倍縮策略對于要求某些元素順序一定的計(jì)數(shù)問題，可以先不考慮順序進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后再除以這些元素的排列數(shù)。分組問題消序策略對于要求將元素分成幾組的計(jì)數(shù)問題，需要注意消除組內(nèi)的排列。030405常見計(jì)數(shù)問題解決方法輸入標(biāo)題02010403排列的定義及性質(zhì)排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列中允許有重復(fù)元素出現(xiàn)。排列具有順序性，即元素的排列順序不同，則排列也不同。排列的性質(zhì)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。組合具有無序性，即元素的排列順序不影響組合的結(jié)果。組合中不允許有重復(fù)元素出現(xiàn)。組合的性質(zhì)組合的定義及性質(zhì)

排列與組合的關(guān)系排列與組合都是研究從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的問題，但排列考慮元素的順序，而組合不考慮元素的順序。排列數(shù)是從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，而組合數(shù)是從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)。排列數(shù)與組合數(shù)之間有關(guān)系：排列數(shù)等于組合數(shù)乘以m的階乘，即Amn=Cmn×m!。典型問題解析定序問題對于定序的元素，可以先不考慮它們的順序，計(jì)算出所有可能的排列數(shù)，然后再除以定序元素的排列數(shù)。不相鄰問題對于不相鄰的元素，可以先考慮其他元素的排列，然后再將不相鄰的元素插入到合適的位置。相鄰問題對于相鄰的元素，可以將其看作一個(gè)整體進(jìn)行排列，然后再考慮整體內(nèi)部的排列。插空法對于需要插入到已有元素之間的問題，可以先考慮已有元素的排列，然后將需要插入的元素插入到合適的位置。捆綁法對于需要捆綁在一起進(jìn)行處理的元素，可以先將其看作一個(gè)整體進(jìn)行排列，然后再考慮整體內(nèi)部的排列。二項(xiàng)式定理0203展開式的特點(diǎn)每一項(xiàng)的系數(shù)都是二項(xiàng)式系數(shù)，即組合數(shù)$C_n^k$。01二項(xiàng)式定理的基本形式$(a+b)^n$的展開式，其中$n$為非負(fù)整數(shù)。02通項(xiàng)公式$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$k=0,1,2,...,n$。二項(xiàng)式定理的展開式01對稱性在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端等距離的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等。02增減性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且對稱軸上的二項(xiàng)式系數(shù)最大。03各二項(xiàng)式系數(shù)的和所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為$2^n$。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)010203利用通項(xiàng)公式求展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)。求特定項(xiàng)的系數(shù)利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算，如求平方根、對數(shù)的近似值等。近似計(jì)算利用二項(xiàng)式定理證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的恒等式。證明恒等式二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)問題利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解問題，如最大二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)和等。二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題利用二項(xiàng)式定理求解實(shí)際問題，如近似計(jì)算、證明恒等式等。特定項(xiàng)的系數(shù)問題求解展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)，如$x^2$的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等。典型問題解析古典概型03定義古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，用于描述在一定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小。特點(diǎn)在古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的，且所有基本事件是互斥的。古典概型的定義及特點(diǎn)事件的概率=該事件包含的基本事件數(shù)/總的基本事件數(shù)?；竟搅信e法排列組合法通過列舉所有可能的基本事件，計(jì)算每個(gè)基本事件發(fā)生的概率。利用排列組合的知識，計(jì)算滿足特定條件的基本事件數(shù)，從而求得事件的概率。030201古典概型的概率計(jì)算123在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。條件概率兩事件相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)其中一事件發(fā)生的概率不受另一事件發(fā)生與否的影響。獨(dú)立性若兩事件相互獨(dú)立，則它們的條件概率等于各自的概率之積。條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系條件概率與獨(dú)立性通過計(jì)算不同抽簽方式下，滿足特定條件的基本事件數(shù)，求得事件的概率。抽簽問題將一定數(shù)量的物品分配給若干個(gè)人或組，計(jì)算滿足特定條件的分配方式的概率。分配問題在幾何圖形中，利用古典概型的知識，計(jì)算某一區(qū)域或點(diǎn)集的概率。幾何概型與古典概型的結(jié)合對于涉及多個(gè)因素或多個(gè)步驟的復(fù)雜事件，需要綜合運(yùn)用古典概型、條件概率和獨(dú)立性等知識進(jìn)行概率計(jì)算。復(fù)雜事件的概率計(jì)算典型問題解析高考真題演練042022年全國卷I第17題01考查了排列組合中的分組分配問題，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。2022年全國卷II第16題02考查了古典概型的計(jì)算，以及排列組合在概率問題中的應(yīng)用。2022年全國卷III第18題03考查了計(jì)數(shù)原理中的加法原理和乘法原理，以及排列組合的綜合應(yīng)用。歷年高考真題回顧首先明確問題的實(shí)際意義，判斷是排列問題還是組合問題，然后利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解。排列組合的解題思路首先確定二項(xiàng)式展開式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)，然后根據(jù)通項(xiàng)公式求出各項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)，最后進(jìn)行求和或化簡。二項(xiàng)式定理的解題思路首先確定試驗(yàn)的樣本空間和基本事件的總數(shù)，然后求出所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，最后利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解。古典概型的解題思路解題思路與方法總結(jié)模擬試題1：從5名男生和4名女生中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，要求男生和女生至少各有一人參加，則不同的選法共有____種。答案解析：首先，從9人中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽的選法有$C{9}^{4}$種。然后，排除其中只包含男生或只包含女生的情況，即$C{5}^{4}+C{4}^{4}$種。因此，滿足條件的選法共有$C{9}^{4}-(C{5}^{4}+C{4}^{4})=126-(5+1)=120$種。模擬試題2：若$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中$x^{3}$的系數(shù)為$20$，則$a=$____。答案解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中第$r+1$項(xiàng)為$T{r+1}=C{6}^{r}x^{6-r}(-\frac{a}{x})^{r}=(-a)^{r}C_{6}^{r}x^{6-2r}$。令$6-2r=3$，解得$r=\frac{3}{2}$（舍去）。再令$6-2r=-3$，解得$r=\frac{9}{2}$（舍去）。因此，$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中不存在$x^{3}$項(xiàng)，故題目有誤。模擬試題訓(xùn)練與答案解析總結(jié)與展望05包括加法原理與乘法原理，是排列組合問題的基本出發(fā)點(diǎn)。計(jì)數(shù)原理明確排列與組合的定義，掌握排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，理解其區(qū)別與聯(lián)系。排列與組合掌握二項(xiàng)式定理的展開式，了解通項(xiàng)公式，能運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問題。二項(xiàng)式定理理解古典概型的定義，掌握其概率計(jì)算公式，能運(yùn)用古典概型解決實(shí)際問題。古典概型知識體系梳理與總結(jié)二項(xiàng)式定理展開式的誤用要注意二項(xiàng)式定理展開式的使用條件，以及通項(xiàng)公式的正確應(yīng)用。古典概型中樣本空間的確定在古典概型中，要正確確定樣本空間，避免遺漏或重復(fù)計(jì)算樣本點(diǎn)。排列與組合