正比例函數(shù)的概念

正比例函數(shù)的概念

一般地，兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系式可以表示成形如丫=1?<（k為常數(shù)，且k

HO）的函數(shù)，那么v就叫做x的正比例函數(shù)。

正比例函數(shù)屬于一次函數(shù),但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是

一次函數(shù)的特殊形式,即一次函數(shù)y=kx+b中，若b=0,即所謂“y軸上的截距”

為零，則為正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：v=kx（k為比例系數(shù)）

當(dāng)K>0時(shí)（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著且

變量x的增大而增大.

當(dāng)K<0時(shí)（二四象限）,k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增

大時(shí)，y的值則逐漸減小.

［編輯本段］正比例函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：R（實(shí)數(shù)集）

2.值域：R（實(shí)數(shù)集）

3.奇偶性:奇函數(shù)

4.單調(diào)性:當(dāng)k>0時(shí);圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞

增）；當(dāng)k<0時(shí)，圖象位于第二、四象限,y隨x的增大而減小（單調(diào)遞減）。

5.周期性：不是周期函數(shù)。

6.對(duì)稱(chēng)軸：直線，無(wú)對(duì)稱(chēng)軸。

［編輯本段IE比例函數(shù)解析式的求法

設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx（"0）,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶入上式得到k,

即可求出正比例函數(shù)的解析式。

另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，則將兩個(gè)已知的函數(shù)解析式聯(lián)

立成方程組，求出其x,y值即可。

［編輯本段］正比例函數(shù)的圖像

正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）和定點(diǎn)（x,kx）兩點(diǎn)的?條直線，

它的斜率是k,橫、縱截距都為0。

［編輯本段］正比例函數(shù)圖像的作法

1.在x允許的范圍內(nèi)取一個(gè)值，根據(jù)解析式求出y值

2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點(diǎn)

3.做過(guò)第二步描出的點(diǎn)和原點(diǎn)的直線

［編輯本段］正比例函數(shù)的應(yīng)用

正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問(wèn)題中體現(xiàn)的力量也是無(wú)窮的。

比如斜率問(wèn)題就取決于K值，當(dāng)K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大,

反之亦然

還有，y=kx是y=k/x的圖像的對(duì)稱(chēng)軸。

①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種

量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它

們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系.①用字母表示:如果用字母x和y表示兩種相關(guān)

聯(lián)的量，用k表示它們的比值，(一定)正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示:

②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律:對(duì)于比值為正數(shù)的，即y=kx(k>0),

此時(shí)的y與x,同時(shí)擴(kuò)大，同時(shí)縮小，比值不變.例如：汽車(chē)每小時(shí)行駛的速度一

定，所行的路程和所用的時(shí)間是否成正比例？

以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù).所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成

正比例關(guān)系.注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時(shí)應(yīng)注意這兩種相關(guān)

聯(lián)的量，雖然也是種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的

比值不一定，它們就不能成正比例.例如：一個(gè)人的年齡和它的體重，就不能

成正比例關(guān)系，正方形的邊長(zhǎng)和它的面積也不成正比例關(guān)系。

f編輯本段1反比例函數(shù)的定義

一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成丫=1</*(k為常數(shù)，k#0)

的形式，那么稱(chēng)v是x的反比例函數(shù)。

因?yàn)閥=k/x是?個(gè)分式,所以自變量X的取值范圍是X#0。而丫=女僅有時(shí)也被

寫(xiě)成xy=k或y=kx-1o

「編輯本段I反比例函數(shù)表達(dá)式

y=k/x其中X是自變量，丫是X的函數(shù)

y=k/x=k-1/x

xy=k

y=kxA-1

y=k\x(k為常數(shù)(kHO),x不等于0)

［編輯本段］反比例函數(shù)的自變量的取值范圍

①kr0;②一般情況下，自變量x的取值范圍是x#0的一切實(shí)數(shù)；③

函數(shù)y的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù).

「編輯本段1反比例函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線,

曲線越來(lái)越接近X和丫軸但不會(huì)相交(KHO)。

『編輯本段1反比例函數(shù)性質(zhì)

1.當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于第二、

四象限。

2.當(dāng)k>0吐在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，在同一個(gè)象

限，y隨x的增大而增大。

k>0時(shí)，函數(shù)在x〈0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù);k<0時(shí)，函數(shù)在xv

0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。

定義域?yàn)閤M；值域?yàn)閥^Oo

3.因?yàn)樵趛=k/x(krO)中，x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不

可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)P,Q分別作x軸，y軸的

平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2則S1=S2=|K|

5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是中心對(duì)稱(chēng)圖形,它有兩條對(duì)稱(chēng)軸

y=xy=-x(即第一三，二四象限角平分線),對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)(m、n同號(hào)),

那么AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn)，

貝Ub2+4k,mz(不小于)0。

8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線:x軸與y軸。

［編輯本段］反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

【例1】反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P(m,n)其坐標(biāo)是關(guān)于t的?元二次

方程t2-3t+k=0的兩根,且P到原點(diǎn)的距離為根號(hào)13,求該反比例函數(shù)的解析

式.

分析：

要求反比例函數(shù)解析式,就是要求出k,為此我們就需要列出一個(gè)關(guān)于k的方

程.

解：：m,n是關(guān)于t的方程t2-3t+k=0的兩根

m+n=3,mn=k,

又PO=根號(hào)13,

m2+n2=13,

(m+n)2-2mn=13,

9-2k=13.

...k=-2

當(dāng)k=-2時(shí),△=9+8>0,

???k=-2符合條件，

【例2】直線與位于第二象限的雙曲線相交于A、A1兩點(diǎn)，過(guò)其中一點(diǎn)A

向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C,矩形ABOC的面積為6,求：

(1)直線與雙曲線的解析式;

(2)點(diǎn)A、A1的坐標(biāo).

分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點(diǎn)到x軸和y軸的垂線段,

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則AB=|n|,AC=|m|,

根據(jù)矩形的面積公式知lnrnl=6.

【例3】如圖，在的圖象上有A、C兩點(diǎn)，分別向x軸引垂線，垂足分別為B、

D,連結(jié)OC,OA,設(shè)OC與AB交于E,記aAOE的面積為S1,四邊形BDC

E的面積為S2,試比較S1與S2的大小.

r編輯本段1數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

【讀音】yTcihanshii

【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量X和丫,

并且對(duì)于x每一個(gè)確定的值，y都有唯?確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)X是

自變量，y是x的函數(shù)。表示為y=Kx+b(其中b為任意常數(shù),k不等于0),

當(dāng)b=0時(shí)稱(chēng)y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況?？杀?/p>

示為y=kx

［編輯本段］基本定義

變量：變化的量

常量:不變的量

自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：

y=kx+b(k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù))

當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，y有且只有一個(gè)值與x對(duì)應(yīng)。如果有2個(gè)及以上個(gè)值與x對(duì)

應(yīng)時(shí)，就不是一次函數(shù)。

x為自變量，v為因變量,k為常量,y是x的一次函數(shù)。

特別的，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx(k為常量,但KRO)

正比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義;要與實(shí)際相符合。

［編輯本段］相關(guān)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k#0)(k不等于0,且k,b為常數(shù))

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的，坐標(biāo)為(0,b).

3.k為??次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tan。(角0為一-次函數(shù)圖象與x軸正方向夾

角,*90°)

形、取、象、交、減。

4.當(dāng)b=0時(shí)(即y=kx),一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的

一次函數(shù).

5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等,

圖像相交；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時(shí),兩直線垂直；當(dāng)k,b都相同時(shí)，兩條直線重合。

圖像性質(zhì)

1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

(1)列表

(2)描點(diǎn)；［一般取兩個(gè)點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定條直線”的道理］;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖

像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)分別

是-k分之b與0,0與b)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿(mǎn)足等式：y=kx+b(k

#0)o(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)

正比例函數(shù)的圖像都是過(guò)原點(diǎn)。

3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

4.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時(shí)(即b等于0,y與x成正比例)：

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減小。

y=kx+b時(shí)：

當(dāng)k>0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。

當(dāng)k>0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限。

當(dāng)k<0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限。

當(dāng)k<0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限。

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)第一、二象限；

當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過(guò)第三、四象限。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)0(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)第一、三象限，不會(huì)通過(guò)第二、四象限。當(dāng)k

V0時(shí)，直線只通過(guò)第二、四象限，不會(huì)通過(guò)第一、三象限。

4、特殊位置關(guān)系

當(dāng)平面宜角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí),其函數(shù)解析式中K值(即一次項(xiàng)系數(shù))

相等

當(dāng)平面宜角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí),其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)(即兩

個(gè)K值的乘積為-1)

［編輯本段］表達(dá)式

解析式類(lèi)型

①ax+bv+c=O［一般式1

②v=kx+b［斜截式1

(k為直線斜率，b為直線縱截距,正比例函數(shù)b=0)

③y-y1=k(x-x1)［點(diǎn)斜式1

(k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn))

④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)「兩點(diǎn)式1

((x1,y1)與(x2,y2)為直線上的兩點(diǎn))

⑤x/a-v/b=O［截距式1

(a、b分別為直線在x、y軸上的截距)

解析式表達(dá)局限性：

①所需條件較多(3個(gè))；

②、③不能表達(dá)沒(méi)有斜率的直線(平行于x軸的直線)；

④參數(shù)較多，計(jì)算過(guò)于煩瑣；

⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)圓點(diǎn)的直線。

傾斜角:X軸到直線的角(直線與X軸正方向所成的角)稱(chēng)為直線的傾斜角。

設(shè)一直線的傾斜角為a,則該直線的斜率k=tq(a)

［編輯本段］常用公式

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點(diǎn):|x1-x2|/2

3.求與v軸平行線段的中點(diǎn):|y1-y2|/2

4.求任意線段的長(zhǎng)：^/(x1-x2)A2+(y1-y2)A2(注：根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)

的平方和)

5.求兩個(gè)一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式

兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2將解得

的x=xO值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2兩式任一式得到y(tǒng)=yO則(xO,yO)即為

y1=k1x+b1與y2=k2x+b2交點(diǎn)坐標(biāo)

6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：［(x1+x2)/2,(y1+y2)⑵

7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其

中分母為0,則分子為0)

xy

++在第一象限

+-在第四象限

-+在第二象限

…在第三象限

8.若兩條直線y1=k1x+b1IIy2=k2x+b2,那么k1=k2,b18b2

9.如兩條直線y1=k1x+b1_Ly2=k2x+b2,那么k1xk2=-1

10.

y=k(x-n)+b就是向右平移n個(gè)單位

y=k(x+n)+b就是向左平移n個(gè)單位

口訣：右減左加(對(duì)于y=kx+b來(lái)說(shuō)，只改變k)

y=kx+b+n就是向上平移n個(gè)單位

y=kx+b-n就是向下平移n個(gè)單位

口訣：上加下減(對(duì)于y=kx+b來(lái)說(shuō)，只改變b)

［編輯本段］相關(guān)應(yīng)用

生活中的應(yīng)用

1.當(dāng)時(shí)間t-定，距離S是速度V的一次函數(shù)。S=vto

2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中

原有水量S。g=S-fto

3.當(dāng)彈簧原長(zhǎng)度b(未掛重物時(shí)的長(zhǎng)度)一定時(shí)，彈簧掛重物后的長(zhǎng)度y是重

物重量X的次函數(shù)，即丫=立+12(k為任意正數(shù))

數(shù)學(xué)問(wèn)題

?、確定字母系數(shù)的取值范圍

例1已知正比例函數(shù)，則當(dāng)kvo時(shí)，y隨X的增大而減小。

解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得且m<0,即且，所以。

二、比較x值或y值的大小

例2.已知點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的

兩個(gè)點(diǎn)，且y1>y2,則x1與x2的大小關(guān)系是()

A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無(wú)法確定

解：根據(jù)題意，知k=3>0,且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí),y隨x

的增大而增大”，得x1>x2。故選A。

三、判斷函數(shù)圖象的位置

例3.一次函數(shù)丫=1?<+13滿(mǎn)足kb>0,且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象

不經(jīng)過(guò)()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由kb>0,知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k<0o所以b<0。

故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限。故選A.

典型例題

例1一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長(zhǎng)12cm,掛上物體后會(huì)仰長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛

物佳的質(zhì)量成正比例,如果掛上3kg物體后，彈簧總長(zhǎng)是13.5cm,求彈簧總長(zhǎng)是

y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長(zhǎng)為23cm,求自

變量x的取值范圍.

分析：此題由物理的定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問(wèn)題，同時(shí)也是實(shí)際問(wèn)題，其

核心是彈簧的總長(zhǎng)是空載長(zhǎng)度與負(fù)載后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度之和，而自變量的取值范圍則

可由最大總長(zhǎng)一最大伸長(zhǎng)一最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來(lái)處理.

解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12

則13.5=3k+12,得k=0.5

???所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

???自變量x的取值范圍是04X422

例2某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤(pán)，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校

自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問(wèn)這些光盤(pán)是到電腦公司

刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較?。?/p>

此題要考慮X的范圍

解:設(shè)總費(fèi)用為丫元，刻錄X張

電腦公司：Y1=8X

學(xué)校：Y2=4X+120

當(dāng)X=30時(shí),Y1=Y2

當(dāng)X>30時(shí)，Y1>Y2

當(dāng)X〈30時(shí),YKY2

【考點(diǎn)指要】

?次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說(shuō)明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，特別是根據(jù)問(wèn)題

中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說(shuō)明中是D級(jí)知識(shí)

點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇

題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類(lèi)問(wèn)題

常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

例3如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-24x46,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是

-1.求此函數(shù)的的解析式。

解：

(1)若k>0,則可以列方程組-2k+b=-11

6k+b=9

解得k=2.5b=-6，則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6

(2)若kVO,則可以列方程組-2k+b=9

6k+b=-11

解得k=-2.5b=4,則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4

【考點(diǎn)指要】

此題主要考察了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解,若k>0,則y隨x的增大而增大；

若k<0,則y隨x的增大而減小。

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量Y之間存在如下關(guān)系:

一般式:1：y=axA2;+bx+c(a^0,a、b>c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次

函

數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-bA2)/4a)

2：頂點(diǎn)式:y=a(x-h)"2+k或y=a(x+m『2+k(兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣，

但初中課本上都是第一個(gè)式子)

3：交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：(a,b,c為常數(shù)，aHO,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)

口方向向上，a<0時(shí);開(kāi)口方向向下。lai還可以決定開(kāi)口大小Jal越大開(kāi)口就越

小,lal越小開(kāi)口就越大。)

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=［-b±a#T（bA2-4ac）］/2a（即元二次方程求根公式）

求根的方法還有十字相乘法和配方法

［編輯本段］二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)v=2x的平方的圖像,

可以看出，二次函數(shù)的圖像是--條永無(wú)止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫(huà)圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。

2畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸，并注明X=什么

3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與丫軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。

［編輯本段］拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-b/2ao

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P（-b/2a,（4ac-bA2）/4a）

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)△=bA2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.3次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

間越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.?次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱(chēng)軸在左邊則對(duì)

稱(chēng)軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在右邊則對(duì)稱(chēng)軸

要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異

號(hào)

可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)

（即abv0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函

數(shù)解析式（一次函數(shù)）的

斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

△=bA2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

△=bA2-4ac=0拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

△=bA2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±VbA2

-4ac的值的相反數(shù)，乘上

虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x〈-b/2a}

上是減函數(shù),在

{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{y|y“ac-bA2/4a}

相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=

axA2+c(a#0)

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c

②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c

③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c

④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

8.定義域：R

值域：(對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行

推斷)@[(4ac-bA2)/4a,

正無(wú)窮)；②[t,正無(wú)窮)

奇偶性:偶函數(shù)

周期性：無(wú)

解析式：

①y=axA2+bx+c[―?般式]

(l)a#O

(2)a>0,則拋物線開(kāi)口朝上；a<0,則拋物線開(kāi)口朝下；

⑶極值點(diǎn):(-b/2a,(4ac-bA2)/4a)；

(4)A=bA2-4ac,

△>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

(卜b-S]/2a,0)和q-b+必/2a,0)；

△=0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：

(-b/2a,0)；

△V0,圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；

②y=a(x-h『2+kU貞點(diǎn)式1

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-bA2)/4a；

③V=a(x-x1)(x-x2)「交點(diǎn)式(雙根式)](a#0)

對(duì)稱(chēng)軸X=(X1+X2)/2當(dāng)a>0且X2(X1+X2)/2時(shí)，丫隨X的增大而增大，當(dāng)a>

0且X4(X1+X2)。時(shí)丫隨X

的增大而減小

止匕時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、丫代入即可求出解析式(一

般與一元二次方程連

用)。

「編輯本段1二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=axA2+bx+c,

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程),

即axA2+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)丫=2*八2;,y=a(x-h)A2;,y=a(x-h)A2+k,y=ax"2+bx+c(各式中，a

#0)的圖箜形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表:

解析式

y=axA2;

y=axA2+K

y=a(x-h)A2;

y=a(x-h)A2+k

y=axA2+bx+c

頂點(diǎn)坐標(biāo)

(0,0)

(0,K)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a,4ac-bA2/4a)

對(duì)稱(chēng)軸

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)A2;的圖象可由拋物線y=ax"2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,

當(dāng)h〈0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=axA2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單

位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；

當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線丫=2*人2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單

位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2-k的圖象；

當(dāng)h〈0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得

至Uy=a(x+h)2+k的圖象；

當(dāng)h〈0,kv0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|川個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得

到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時(shí)，可以簡(jiǎn)記為“上

加下減，左加右減”。

因此，研究拋物線y=axA2+bx+c(aR0)的圖象，通過(guò)配方，將般式化為y=a

(x-h)A2;+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這

給畫(huà)圖象提供了方便.

2.拋物線y=axA2+bx+c(ar0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口

向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-bA2;]/4a).

3.拋物線y=axA2+bx+c(aH0),若a>0,當(dāng)x4-b/2a時(shí),y隨x的增大而減

?。划?dāng)xz-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x4-b/2a時(shí)，y隨x

的增大而增大；當(dāng)x2-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=axA2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；

(2)^A=bA2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x00)和B(x2,0),其中的x1,x

2是一元二次方程axA2+bx+c=0

(aRO)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|X2-X」=<△/IaI(a絕對(duì)值分之根號(hào)下△)

另外，拋物線上任何一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2x(-b/2a)-A|(A為其中一點(diǎn)

的橫坐標(biāo))

當(dāng)△=().圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△<().圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)

數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.

5.拋物線y=axA2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)

<=(4ac-bA2)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)

解析式為一般形式：

y=axA2+bx+c(a^0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸或極大(小)值時(shí)，可設(shè)解析

式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)A2+k(a#0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式:v

=a(x-X!)(x-x2)(a#0).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。

因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出

現(xiàn).

評(píng)論(27)2035

luxinzhitianca?I'll：隊(duì)油化分廠七級(jí)采納率47%

擅長(zhǎng)：仙劍奇?zhèn)b傳化學(xué)數(shù)學(xué)軒轅劍魔獸爭(zhēng)霸

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舉報(bào)|2011-05-1722:28螳螂小強(qiáng)31級(jí)

正比例函數(shù)的概念

一般地，兩個(gè)變量X,y之間的關(guān)系式可以表示成形如丫=1?<（k為常數(shù)，且k

W0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)。

正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是

?次函數(shù)的特殊形式，即一次函數(shù)y=kx+b中，若b=0,即所謂“y軸上的截距”

為零，則為正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：y=kx（k為比例系數(shù)）

當(dāng)K>0時(shí)（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自

變量x的增大而增大.

當(dāng)K<0時(shí)（二四象限），k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增

大時(shí)，y的值則逐漸減小.

［編輯本段］正比例函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：R（實(shí)數(shù)集）

2.值域：R（實(shí)數(shù)集）

3.奇偶性：奇函數(shù)

4.單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞

增）；當(dāng)k<0時(shí)，圖象位于第二、四象限，y隨x的增大而減?。▎握{(diào)遞減）。

5.周期性：不是周期函數(shù)。

6.對(duì)稱(chēng)軸：直線，無(wú)對(duì)稱(chēng)軸。

［編輯本段］正比例函數(shù)解析式的求法

設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx（kr0）,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶入上式得到k,

即可求出正比例函數(shù)的解析式。

另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，則將兩個(gè)已知的函數(shù)解析式聯(lián)

立成方程組，求出其X,y值即可。

［編輯本段］正比例函數(shù)的圖像

正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）和定點(diǎn)（x,kx）兩點(diǎn)的一條直線，

它的斜率是k,橫、縱截距都為0。

［編輯本段］正比例函數(shù)圖像的作法

1.在x允許的范圍內(nèi)取一個(gè)值，根據(jù)解析式求出y值

2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點(diǎn)

3.做過(guò)第二步描出的點(diǎn)和原點(diǎn)的直線

［編輯本段］正比例函數(shù)的應(yīng)用

正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問(wèn)題中體現(xiàn)的力量也是無(wú)窮的。

比如斜率問(wèn)題就取決于K值，當(dāng)K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大，

反之亦然

還有，y=kx是y=k/x的圖像的對(duì)稱(chēng)軸。

①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種

量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它

們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系.①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)

聯(lián)的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示：

②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對(duì)于比值為正數(shù)的抑y=kx（k>0）,

此時(shí)的y與x,同時(shí)擴(kuò)大，同時(shí)縮小，比值不變.例如：汽車(chē)每小時(shí)行駛的速度一

定，所行的路程和所用的時(shí)間是否成正比例？

以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù).所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成

正比例關(guān)系.注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時(shí)應(yīng)注意這兩種相關(guān)

聯(lián)的量，雖然也是一種量，隨著另一一種的變化而變化，但它們相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的

比值不一定，它們就不能成正比例.例如：一個(gè)人的年齡和它的體重，就不能

成正比例關(guān)系，正方形的邊長(zhǎng)和它的面積也不成正比例關(guān)系。

［編輯本段］反比例函數(shù)的定義

一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成丫=1</*（k為常數(shù)，kRO）

的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例函數(shù)。

因?yàn)閥=k/x是一個(gè)分式，所以自變量X的取值范圍是X#0。而丫=以*有時(shí)也被

寫(xiě)成xy=k或y=kx-1o

［編輯本段］反比例函數(shù)表達(dá)式

y=k/x其中X是自變量，丫是X的函數(shù)

y=k/x=k-1/x

xy=k

y=kxA-1

y=k\x（k為常數(shù)（kHO）,x不等于0）

［編輯本段］反比例函數(shù)的自變量的取值范圍

①kR0;②一般情況下，自變量x的取值范圍是x#0的一切實(shí)數(shù)；③

函數(shù)y的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù).

［編輯本段］反比例函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線，

曲線越來(lái)越接近X和Y軸但不會(huì)相交（K#0）。

［編輯本段］反比例函數(shù)性質(zhì)

1.當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于第二、

四象限。

2.當(dāng)k>0時(shí).在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在同一個(gè)象

限，y隨x的增大而增大。

k>0時(shí)，函數(shù)在x〈0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在xv

0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。

定義域?yàn)閤#0；值域?yàn)閺d0。

3.因?yàn)樵趛=k/x（kHO）中，x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不

可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)P,Q分別作x軸，y軸的

平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2則S1=S2引K|

5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸

y=xy=-x（即第-三，二四象限角平分線），對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），

那么AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn),

貝Ub2+4k,m2（不小于）0。

8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。

［編輯本段］反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

【例1】反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P（m,n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次

方程t2-3t+k=0的兩根，且P到原點(diǎn)的距離為根號(hào)13,求該反比例函數(shù)的解析

式.

分析：

要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k,為此我們就需要列出一個(gè)關(guān)于k的方

程.

解：：m,n是關(guān)于t的方程t2-3t+k=0的兩根

m+n=3,mn=k,

又PO=根號(hào)13,

m2+n2=13,

，（m+n）2-2mn=13,

...9-2k=13.

，k=-2

當(dāng)k=-2時(shí)，△=9+8>0,

k=-2符合條件，

【例2】直線與位于第二象限的雙曲線相交于A、A1兩點(diǎn)，過(guò)其中一點(diǎn)A

向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C,矩形ABOC的面積為6,求：

（1）直線與雙曲線的解析式；

（2）點(diǎn)A、A1的坐標(biāo).

分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點(diǎn)到x軸和y軸的垂線段，

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n）,則AB=|n|,AC=|m|,

根據(jù)矩形的面積公式知|m-n|=6.

【例3】如圖，在的圖象上有A、C兩點(diǎn)，分別向x軸引垂線，垂足分別為B、

D,連結(jié)OC,0A,設(shè)0C與AB交于E,記aAOE的面積為S1,四邊形BDC

E的面積為S2,試比較S1與S2的大小.

［編輯本段］數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

【讀音】yTcihanshii

【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量X和丫,

并且對(duì)于x每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)X是

自變量，y是x的函數(shù)。表示為y=Kx+b（其中b為任意常數(shù),k不等于0）,

當(dāng)b=0時(shí)稱(chēng)y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。可表

示為y=kx

［編輯本段］基本定義

變量：變化的量

常量：不變的量

自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：

y=kx+b（k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù)）

當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，y有且只有一個(gè)值與x對(duì)應(yīng)。如果有2個(gè)及以上個(gè)值與x對(duì)

應(yīng)時(shí)，就不是一次函數(shù)。

x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù)。

特別的，當(dāng)b=0口寸，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為常量，但KH0）

正比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義;要與實(shí)際相符合。

［編輯本段］相關(guān)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k#0）（k不等于0,且k,b為常數(shù)）

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的，坐標(biāo)為（0,b）.

3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tan。(角0為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾

角,*90°)

形、取、象、交、減。

4.當(dāng)b=0時(shí)(即y=kx),一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的

一次函數(shù).

5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，

圖像相交；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩直線垂直；當(dāng)k,b都相同時(shí)，兩條直線重合。

圖像性質(zhì)

1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

(1)列表

(2)描點(diǎn)；［一般取兩個(gè)點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理］;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖

像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)分別

是-k分之b與0,。與b)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿(mǎn)足等式：y=kx+b(k

H0)。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)

正比例函數(shù)的圖像都是過(guò)原點(diǎn)。

3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

4.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時(shí)(即b等于0,y與x成正比例)：

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b時(shí)：

當(dāng)k>0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。

當(dāng)k>0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限。

當(dāng)k<0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限。

當(dāng)k<0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限。

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)第一、二象限；

當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過(guò)第三、四象限。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)。(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)第一、三象限，不會(huì)通過(guò)第二、四象限。當(dāng)k

V0時(shí)，直線只通過(guò)第二、四象限，不會(huì)通過(guò)第一、三象限。

4、特殊位置關(guān)系

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值(即一次項(xiàng)系數(shù))

相等

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)(即兩

個(gè)K值的乘積為-1)

［編輯本段］表達(dá)式

解析式類(lèi)型

①ax+by+c=O1?般式］

②y=kx+b［斜截式］

(k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0)

(3)y-y1=k(x-x1)［點(diǎn)斜式］

(k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn))

④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)［兩點(diǎn)式］

((x1,y1)與(x2,y2)為直線上的兩點(diǎn))

⑤x/a-y/b=O［截距式］

(a、b分別為直線在x、y軸上的截距)

解析式表達(dá)局限性：

①所需條件較多(3個(gè))；

②、③不能表達(dá)沒(méi)有斜率的直線(平行于x軸的直線)；

④參數(shù)較多，計(jì)算過(guò)于煩瑣；

⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)圓點(diǎn)的直線。

傾斜角：x軸到直線的角(直線與x軸正方向所成的角)稱(chēng)為直線的傾斜角。

設(shè)一直線的傾斜角為a,則該直線的斜率k=tg(a)

［編輯本段］常用公式

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長(zhǎng)：A/(x1-x2)A2+(y1-y2)A2(注：根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)

的平方和)

5.求兩個(gè)一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式

兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2將解得

的x=xO值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2兩式任一式得到y(tǒng)=yO則(xO,yO)即為

y1=k1x+b1與y2=k2x+b2交點(diǎn)坐標(biāo)

6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：［(x1+x2)/2,(y1+y2)⑵

7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：(X-x1)Z(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(S

中分母為0,則分子為0)

xy

++在第一象限

+-在第四象限

-+在第二象限

--在第三象限

8.若兩條直線y1=k1x+b1IIy2=k2x+b2,那么k仁條,b1#b2

9.如兩條直線y1=k1x+b1_Ly2=k2x+b2,那么kUk2=-1

10.

y=k（x-n）+b就是向右平移n個(gè)單位

y=k（x+n）+b就是向左平移n個(gè)單位

口訣：右減左加（對(duì)于y=kx+b來(lái)說(shuō)，只改變k）

y=kx+b+n就是向上平移n個(gè)單位

y=kx+b-n就是向下平移n個(gè)單位

口訣：上加下減（對(duì)于y=kx+b來(lái)說(shuō)，只改變b）

［編輯本段］相關(guān)應(yīng)用

生活中的應(yīng)用

1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離S是速度V的一次函數(shù)。S=Vto

2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中

原有水量S。g=S-fto

3.當(dāng)彈簧原長(zhǎng)度b（未掛重物時(shí)的長(zhǎng)度）一定時(shí)，彈簧掛重物后的長(zhǎng)度y是重

物重量x的一次函數(shù)，即丫=1?<+1）（k為任意正數(shù)）

數(shù)學(xué)問(wèn)題

一、確定字母系數(shù)的取值范圍

例1已知正比例函數(shù)，貝U當(dāng)k〈0時(shí)，y隨x的增大而減小。

解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得且m<0,即且，所以。

二、比較x值或y值的大小

例2.已知點(diǎn)P1（x1,y1）、P2（x2,y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的

兩個(gè)點(diǎn)，且y1>y2,則x1與x2的大小關(guān)系是（）

A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無(wú)法確定

解：根據(jù)題意，知k=3>0,且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x

的增大而增大”，得x1>x2。故選A。

三、判斷函數(shù)圖象的位置

例3.一次函數(shù)y=kx+b滿(mǎn)足kb>0,且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象

不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由kb>0,知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k<0o所以b<0o

故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限。故選A.

典型例題

例1.一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長(zhǎng)12cm，掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛

物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長(zhǎng)是13.5cm,求彈簧總長(zhǎng)是

y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式,如果彈簧最大總長(zhǎng)為23cm，求自

變量x的取值范圍.

分析：此題由物理的定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問(wèn)題，同時(shí)也是實(shí)際問(wèn)題，其

核心是彈簧的總長(zhǎng)是空載長(zhǎng)度與負(fù)載后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度之和，而自變量的取值范圍則

可由最大總長(zhǎng)一最大伸長(zhǎng)一最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來(lái)處理.

解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12

則13.5=3k+12,得k=0.5

所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

???自變量x的取值范圍是0<x<22

例2某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤(pán)，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校

自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問(wèn)這些光盤(pán)是到電腦公司

刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較??？

此題要考慮X的范圍

解:設(shè)總費(fèi)用為丫元，刻錄X張

電腦公司：Y1=8X

學(xué)校：Y2=4X+120

當(dāng)X=30時(shí),Y1=Y2

當(dāng)X>30時(shí),Y1>Y2

當(dāng)X〈30時(shí),YKY2

【考點(diǎn)指要】

一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說(shuō)明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，特別是根據(jù)問(wèn)題

中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說(shuō)明中是D級(jí)知識(shí)

點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇

題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類(lèi)問(wèn)題

常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

例3如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-24x46,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是

-114y49.求此函數(shù)的的解析式。

解：

(1)若k>0,則可以列方程組-2k+b=-11

6k+b=9

解得k=2.5b=-6，則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6

(2)若k<0,則可以列方程組-2k+b=9

6k+b=-11

解得k=-2.5b=4,則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4

【考點(diǎn)指要】

此題主要考察了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，若k>0,則y隨x的增大而增大；

若kvO,則y隨x的增大而減小。

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式：1：y=axA2;+bx+c(a^0,a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次

函

數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-bA2)/4a)

2：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)A2+k或y=a(x+m)"2+k(兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣，

但初中課本上都是第一個(gè)式子)

3：交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：(a,b,c為常數(shù)，aHO,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)

口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。lai還可以決定開(kāi)口大小Jal越大開(kāi)口就越

小,lai越小開(kāi)口就越大。)

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=［-b士根號(hào)下(btSac)］/2a(即?元二次方程求根公式)

求根的方法還有十字相乘法和配方法

［編輯本段］二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫(huà)圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。

2畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸，并注明X=什么

3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。

［編輯本段］拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P?

特別地，當(dāng)b=0時(shí);拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-bA2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)△=bA2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱(chēng)軸在左邊則對(duì)

稱(chēng)軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在右邊則對(duì)稱(chēng)軸

要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異

號(hào)

可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)

（即abv0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的兒何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函

數(shù)解析式（一次函數(shù)）的

斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

△=bA2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

△=bA2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

△=bA2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±VbA2

-4ac的值的相反數(shù)，乘上

虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a）

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f（-b/2a）=4ac-b2/4a；在{x|x〈-b/2a}

上是減函數(shù)，在

{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)