積分變換與場(chǎng)論拉普拉斯

第二章拉普拉斯變換2.1拉普拉斯變換的概念2.2拉普拉斯變換的性質(zhì)2.3拉普拉斯逆變換2.4卷積2.5拉普拉斯變換的應(yīng)用2.3拉普拉斯逆變換1.基本思想由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,實(shí)際上就是f(t)u(t)e-

t的傅氏變換。在f(t)的連續(xù)點(diǎn)就有等式兩邊同乘以ebt,則

右端的積分稱為拉氏反演積分,它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負(fù)無(wú)窮積分到虛部的正無(wú)窮.而積分路線中的實(shí)部b則有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無(wú)窮的積分必須收斂.計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計(jì)算.

根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為基本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。

直接求取相當(dāng)困難！例如：的根稱為的極點(diǎn)，用表示的根稱為的零點(diǎn)，用表示2.零極點(diǎn)若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為

若m≥n（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。

3.部分分式展開(kāi)法例由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，n個(gè)特征根pi稱為F(s)的極點(diǎn)。

（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例解例解特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(shí)(p1,2=–±j)K2=K1*例

求象函數(shù)F(s)的拉氏逆變換。解A(s)=0有6個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）

若A(s)=0在s=p1處有m重根，K11=[(s–p1)mF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)mF(s)]|s=p1

例解5.3拉普拉斯逆變換4.求拉普拉斯逆變換的方法（3）留數(shù)法（1）查表

（2）部分分式展開(kāi)適用于表中存在的基本象函數(shù)適用于具有有理分式形式的象函數(shù)定理

若s1,s2,...,sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(diǎn)(適當(dāng)選取b使這些奇點(diǎn)全在Re(s)<b的范圍內(nèi)),且當(dāng)s

時(shí),F(s)0,則有若F(s)為有理分式，其極點(diǎn)的留數(shù)就是部分分式法中的系數(shù)。2.4卷積1.卷積的概念如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當(dāng)t<0時(shí),f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成卷積滿足交換律、分配率、結(jié)合律例

求t

*sint。解2.卷積定理若f1(t)←→F1(s)，f2(t)←→F2(s)則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)推論f1(t)*f2(t)*...*fn(t)←→

F1(s)F2(s)...Fn(s)

對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究,首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

所謂線性系統(tǒng),在許多場(chǎng)合,它的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性微分方程來(lái)描述,或者說(shuō)是滿足疊加原理的一類系統(tǒng)。這一類系統(tǒng)無(wú)論是在電路理論還是在自動(dòng)控制理論的研究中,都占有很重要的地位。本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來(lái)解線性微分方程和建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的概念。2.5拉普拉斯變換的應(yīng)用象原函數(shù)(方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏逆變換拉氏變換解代數(shù)方程1.微分方程的拉氏變換解法例解方程y〃+2y′-3y=e-t滿足初始條件

設(shè)L[y(t)]=Y(s).對(duì)方程的兩邊取拉氏變換,并考慮到初始條件,則得解例

求解方程組滿足初始條件解對(duì)兩個(gè)方程取拉氏變換整理得解得2.線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)特性激勵(lì)x(t)響應(yīng)y(t)（1）一個(gè)線性系統(tǒng)可以用一個(gè)常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。RCe(t)uC(t)any(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y

=bmx(m)+bm-1x(m-1)+...+b1x'+b0x描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y′(0-),…，y(n-1)(0-)。t域的微分方程由拉普拉斯變換微分特性，且激勵(lì)在t=0時(shí)接入，有s域的代數(shù)方程零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)全響應(yīng)（2）傳遞函數(shù)

在零初始條件下,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其響應(yīng)的拉氏變換與其激勵(lì)的拉氏變換之比。零狀態(tài)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)激勵(lì)x(t)響應(yīng)y(t)X(s)Y(s)它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。當(dāng)我們知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以后,就可以由系統(tǒng)的激勵(lì)求出其響應(yīng)的拉氏變換,再求逆變換可得其零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。（3）脈沖響應(yīng)函數(shù)（沖激響應(yīng)）

G(s)d(t)g(t)或 Y(s)=G(s)X(s)，則由卷積定理可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)g(t)=L-1[G(s)]當(dāng)激勵(lì)是一個(gè)單位脈沖函數(shù),則在零初始條件下,有

L[x(t)]=L[d(t)]=X(s)=1

所以 Y(s)=G(s)即y(t)=g(t)（4）頻率響應(yīng)相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)

可以證明,當(dāng)激勵(lì)是角頻率為w的虛指數(shù)函數(shù)(也稱為復(fù)正弦函數(shù))x(t)=ejwt時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是y(t)=G(jw)ejwt。因此頻率響應(yīng)在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù)。如圖所示RC電路,當(dāng)e(t)看成激勵(lì),則響應(yīng)uC(t)與e(t)滿足的