數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)課件

數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)

第一章數(shù)碼和碼制內(nèi)容提要

本章首先介紹有關(guān)數(shù)制和碼制的一些基本概念和術(shù)語，然後給出數(shù)字電路中常用的數(shù)制和編碼。此外，還將具體講述不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)化方法和二進位數(shù)算術(shù)運算的原理和方法。本章內(nèi)容1.1概述1.2幾種常用的數(shù)制1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.4二進位算數(shù)運算1.5幾種常用的編碼數(shù)字技術(shù)是一門應(yīng)用學(xué)科，它的發(fā)展可分為5個階段①產(chǎn)生：20世紀30年代在通訊技術(shù)（電報、電話）首先引入二進位的資訊存儲技術(shù)。而在1847年由英國科學(xué)家喬治.布爾(GeorgeBoole)創(chuàng)立布爾代數(shù)，並在電子電路中的得到應(yīng)用，形成開關(guān)代數(shù)，並有一套完整的數(shù)字邏輯電路的分析和設(shè)計方法1.數(shù)字技術(shù)的發(fā)展過程1.1概述②初級階段：20世紀40年代電子電腦中的應(yīng)用，此時以電子管（真空管）作為基本器件。另外在電話交換和數(shù)字通訊方面也有應(yīng)用電子管（真空管）③第二階段：20世紀60年代電晶體的出現(xiàn)，使得數(shù)字技術(shù)有一個飛躍發(fā)展，除了電腦、通訊領(lǐng)域應(yīng)用外，在其他如測量領(lǐng)域得到應(yīng)用電晶體圖片⑤第四階段：20世紀70年代中期到80年代中期，微電子技術(shù)的發(fā)展，使得數(shù)字技術(shù)得到迅猛的發(fā)展，產(chǎn)生了大規(guī)模和超大規(guī)模的集成數(shù)字晶片，應(yīng)用在各行各業(yè)和我們的日常生活④第三階段：20世紀70年代中期積體電路的出現(xiàn)，使得數(shù)字技術(shù)有了更廣泛的應(yīng)用，在各行各業(yè)醫(yī)療、雷達、衛(wèi)星等領(lǐng)域都得到應(yīng)用⑥20世紀80年代中期以後，產(chǎn)生一些專用和通用的集成晶片，以及一些可編程的數(shù)字晶片，並且製作技術(shù)日益成熟，使得數(shù)字電路的設(shè)計模組化和可編程的特點，提高了設(shè)備的性能、適用性，並降低成本，這是數(shù)字電路今後發(fā)展的趨勢。2.脈衝信號與數(shù)字信號信號可分為模擬信號和數(shù)字信號。

模擬信號是表示模擬量的信號，模擬量是在時間和數(shù)值上都是連續(xù)的的物理量。模擬信號包括正弦波信號和脈衝信號，脈衝信號如方波、矩形波、尖脈衝鋸齒波、梯形波等。圖1-1所示的為各種模擬信號數(shù)字信號是表示數(shù)字量的信號，數(shù)字量實在時間和數(shù)值上都是離散的。實現(xiàn)數(shù)字信號的產(chǎn)生、傳輸和處理的電路稱為數(shù)字電路。數(shù)字信號包括脈衝型（歸0型）和電平型（不歸0型）。如圖0-2-2所示

數(shù)字信號是用數(shù)碼表示的，其數(shù)碼中只有“1”和“0”兩個數(shù)字，而“1”和“0”沒有數(shù)量的意義，表示事物的兩個對立面。

數(shù)碼可以表示數(shù)字信號的大小和狀態(tài)，如1001可表示數(shù)量“10”，也可以表示某個事物的代號，如運動員的編號，這時將這些數(shù)碼稱為代碼。

數(shù)碼的編寫形式是多樣的，其遵循的原則稱為碼制。碼制的編寫不受限制，但有一些通用的碼制，如十進位、二進位、八進制和十六進制等等。下麵就介紹這幾種常用的碼制。1.2幾種常用的數(shù)制數(shù)制：就是數(shù)的表示方法，把多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及按從低位到高位的進位規(guī)則進行計數(shù)稱為進位計數(shù)制，簡稱數(shù)制

最常用的是十進位，除此之外在數(shù)字電路和電腦中常用的是二進位、八進制和十六進制一、十進位

進位規(guī)則是“逢十進一”。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的十進位可表示為其中：ki－稱為數(shù)制的係數(shù)，表示第i位的係數(shù)，十進位ki的取值為0~9十個數(shù)，i取值從（n－1）～0的所有正整數(shù)到－1～－m的所有負整數(shù)10i－表示第i位的權(quán)值，10為基數(shù)，即採用數(shù)碼的個數(shù)n、m－為正整數(shù)，n為整數(shù)部分的位數(shù)，m為小數(shù)部分的位數(shù)例如：(249.56)10＝2×102＋4×101＋9×100

+5×10–1＋2×10－2其中n＝3，m＝2若用N表示任意進制（稱為N進制）的基數(shù)，則展成十進位數(shù)的通式為如N＝10為十進位，N＝2為二進位，N＝8為八進制，N＝16為十六進制。其中N為基數(shù)，ki為第i位的係數(shù)，Ni表示第i位的權(quán)值二、二進位：其中ki－取值只有兩個數(shù)碼：0和12i－為二進位的權(quán)，基數(shù)為2n、m－為正整數(shù)如（11011.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20

+1×2－1+0×2-2+1×2－3

=（27.625)10

進位規(guī)則是“逢二進一”，任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進位可表示為

一個數(shù)碼的進製錶示，可用下標(biāo)，如（N）2表示二進位；（N）10表示十進位；（N）8表示八進制，（N）16表示十六進制

有時也用字母做下標(biāo)，如（N）B表示二進位，B－Binary；（N）D表示十進位，D－Decimal；（N）O表示八進制，O－Octal；（N）H表示十六進制，H－Hexadecimal；三、八進制

進位規(guī)則是“逢八進一”，其基數(shù)為8。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的八進制可表示為ki－取值有8個數(shù)碼：0～78i－為八進制的權(quán)，基數(shù)為8n、m－為正整數(shù)如（13.74)8=1×81+3×80+7×8－1+4×8-2=（11.9375)10其中四、十六進制

進位規(guī)則是“逢十六進一”，其基數(shù)為16。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的十六進制可表示為ki－取值有16個數(shù)碼：0～9、A（10）、B

（11）、C（12）、D（13）、E（14）、

F（15）16i－為十六進制的權(quán)，基數(shù)為16n、m－為正整數(shù)如（F9.1A)16=15×161+9×160+1×16－1+10×16-2=（249.1015625)10其中目前在電腦上常用的是8位、16位和32位二進位數(shù)表示和計算，由於8位、16位和32位二進位數(shù)都可以用2位、4位和8位十六進制數(shù)表示，故在編程時用十六進制書寫非常方便DBOHDBOH000000008100010810001011910011192001002210101012A3001103311101113B4010004412110014C5010105513110115D6011006614111016E7011107715111117F表1.2.1表1.2.1為0～15個數(shù)碼的不同進製錶示。1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換一、二進位數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進位數(shù)數(shù)制轉(zhuǎn)換：不同進制的數(shù)碼之間的轉(zhuǎn)換叫做數(shù)制轉(zhuǎn)換例如：

即將二進位數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進位數(shù)，方法是將二進位數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)按下列公式進行展開即可a.十進位的整數(shù)轉(zhuǎn)換：二、十進位數(shù)轉(zhuǎn)換成二進位數(shù)：

將十進位的整數(shù)部分用基數(shù)2去除，保留餘數(shù)，再用商除2，依次下去，直到商為0為止，其餘數(shù)即為對應(yīng)的二進位數(shù)的整數(shù)部分

即將十進位數(shù)轉(zhuǎn)換成二進位數(shù)，原則是“整數(shù)除2，小數(shù)乘2”b.十進位的小數(shù)轉(zhuǎn)換

將小數(shù)用基數(shù)2去乘，保留積的整數(shù)，再用積的小數(shù)繼續(xù)乘2，依次下去，直到乘積是0為或達到要求的精度，其積的整數(shù)部分即為對應(yīng)的二進位數(shù)的小數(shù)部分例1.3.1將（173.39)D轉(zhuǎn)化成二進位數(shù),要求精度為1%。a.整數(shù)部分解：其過程如下即(173)D=(10101101)Bb.小數(shù)部分由於精度要求為1％，故應(yīng)該令取對數(shù)，可得取m＝7滿足精度要求，過程如下即(0.39)D=(0.0110001)B故（173.39)D

=(10101101.0110001)B三、二進位轉(zhuǎn)換成八進制和十六進制方法：由於3位二進位數(shù)可以有8個狀態(tài)，000~111，正好是8進制，而4位二進位數(shù)可以有16個狀態(tài)，0000～1111，正好是16進制，故可以把二進位數(shù)進行分組。八進制三位分為一組，不夠補零，十六進制四位分為一組。依此類推，對於十進位轉(zhuǎn)換成其他進制，只要把基數(shù)2換成其他進制的基數(shù)即可。注：若將八進制或十六進制轉(zhuǎn)換成二進位，即按三位或四位轉(zhuǎn)成二進位數(shù)展開即可。解：（1011110.1011001)B＝（001011110.101100100)2

＝(136.544)O（1011110.1011001)B＝(01011110.10110010)2

＝(5E.B2)H例1.3.2將（1011110.1011001)2轉(zhuǎn)換成八進制和十六進制。解：例1.3.3將（703.65)O和（9F12.04A)H轉(zhuǎn)換成二進位數(shù)（703.65)O＝（111000011.110101)B（9F12.04A)H=(1001111100010010.00000100101)B例1.3.4將(87)D轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)和十六進制數(shù)解：先將87轉(zhuǎn)化成二進位，過程如圖,則(87)D＝（1010111)B=（001010111)B

＝(01010111)B=(127)O

=(57)H

提醒：若要將十進位轉(zhuǎn)換成八進制或16進制，可先轉(zhuǎn)換成二進位，再分組，轉(zhuǎn)換成八進制或十六進制。1.4二進位的算術(shù)運算1.4.1.二進位算術(shù)運算的特點

當(dāng)兩個二進位數(shù)碼表示兩個數(shù)量的大小，並且這兩個數(shù)進行數(shù)值運算，這種運算稱為算術(shù)運算。其規(guī)則是“逢二進一”、“借一當(dāng)二”。算術(shù)運算包括“加減乘除”，但減、乘、除最終都可以化為帶符號的加法運算。如兩個數(shù)1001和0101的算術(shù)運算如下1.4.2反碼、補數(shù)和補數(shù)運算

在用二進位數(shù)碼表示一個數(shù)值時，其正負是怎麼區(qū)別的呢？二進位數(shù)的正負數(shù)值的表述是在二進位數(shù)碼前加一位符號位，用“0”表示正數(shù)，用“1”表示負數(shù)，這種帶符號位的二進位數(shù)碼稱為原碼。一、原碼：例如：＋17的原碼為010001，－17的原碼為110001二、反碼反碼是為了在求補數(shù)時不做減法運算。二進位的反碼求法是：正數(shù)的反碼與原碼相同，負數(shù)的原碼除了符號位外的數(shù)值部分按位取反，即“1”改為“0”，“0”改為“0”，例如＋7和－7的原碼和補數(shù)為：＋7的原碼為0111，反碼為0111－7的原碼為1111，反碼為1000注：0的反碼有兩種表示，＋0的反碼為0000，－0的反碼為1111三、補數(shù)：1.模（模數(shù)）的概念：

把一個事物的迴圈週期的長度，叫做這個事件的模或模數(shù)。

當(dāng)做二進位減法時，可利用補數(shù)將減法運算轉(zhuǎn)換成加法運算。在將補數(shù)之前先介紹模（或模數(shù)）的概念如一年365天，其模數(shù)為365；鐘錶是以12為一迴圈計數(shù)的，故模數(shù)為12。十進位計數(shù)就是10個數(shù)碼0～9，的迴圈，故模為10。以表為例來介紹補數(shù)運算的原理：對於圖1.4.1所示的鐘錶

當(dāng)在5點時發(fā)現(xiàn)表停在10點，若想撥回有兩種方法：a.逆時針撥5個格，即10－5＝5，這是做減法。b.順時針撥七個格，即10＋7＝17，由於模是12，故1相當(dāng)於進位12，1溢出，故為7格，也是17－12＝5，這是做加法。

由此可見10＋7和10－5的效果是一樣的，而5＋7＝12，將故7稱為－5的補數(shù)，即補數(shù)，也可以說減法可以由補數(shù)的加法來代替2.補數(shù)的表示正數(shù)的補數(shù)和原碼相同，負數(shù)的補數(shù)是符號位為“1”，數(shù)值位按位取反加“1”，即“反碼加1”例如：[+7][-7]原碼01111111反碼01111000補數(shù)01111001注意：1.採用補數(shù)後，可以方便地將減法運算轉(zhuǎn)換成加法運算，而乘法和除法通過移位和相加也可實現(xiàn)，這樣可以使運算電路結(jié)構(gòu)得到簡化；2.正數(shù)的補數(shù)既是它所表示的數(shù)的真值，負數(shù)的補數(shù)部分不是它所示的數(shù)的真值。3.與原碼和反碼不同，“0”的補數(shù)只有一個，即（00000000）B4.已知原碼，求補數(shù)和反碼：正數(shù)的原碼和補數(shù)、反碼相同；負數(shù)的反碼是符號位不變，數(shù)值位取反，而補數(shù)是符號位不變，數(shù)值位取反加“1”。如：原碼為10110100，其反碼為11001011，補數(shù)為1100100。5.已知補數(shù)，求原碼：正數(shù)的補數(shù)和原碼相同；負數(shù)的補數(shù)應(yīng)該是數(shù)值位減“1”再取反，但對於二進位數(shù)來說，先減“1”取反和先取反再加“1”的結(jié)果是一樣的。故由負數(shù)的補數(shù)求原碼就是數(shù)值位取反加“1”。如已知某數(shù)的補數(shù)為（11101110）B，其原碼為（10010010）B6.如果二進位的位數(shù)為n，則可表示的有符號位數(shù)的範(fàn)圍為（－2n～2n－1－1），如n＝8，則可表示(－128～127)，故在做加法時，注意兩個數(shù)的絕對值不要超出它所表示數(shù)的範(fàn)圍。例1.4.1用二進位補數(shù)計算：75＋28、75－28、－75＋28、－75－28

（＋75）D＝（01001011）B

（＋28）D＝（00011100）B

（－75）D＝（11001011）B

（－28）D＝（10011100）B

原碼7528＋1030100101100011100＋01100111（－75）D＝（10110101）B;

（－28）D＝（11100100）B;解：先求兩個數(shù)的二進位原碼和補數(shù)（用8位代碼）補數(shù)7528－470100101111100100＋100101111－7528－－1031011010111100100＋110011001溢出－7528＋－471011010100011100＋11010001溢出補數(shù)補數(shù)表4－1為4位帶符號位二進位代碼的原碼、反碼和補數(shù)對照表十進位數(shù)原碼反碼補數(shù)十進位數(shù)原碼反碼補數(shù)＋7011101110111－1100111101111＋6011001100110－2101011011110＋5010101010101－3101111001101＋4010001000100－4110010111100＋3001100110011－5110110101011＋2001000100010－6111010011010＋1000100010001－71111100010010000000000000－81000111110001.5二進位編碼1.5.1三個術(shù)語數(shù)碼：代表一個確切的數(shù)字，如二進位數(shù)，八進制數(shù)等。代碼：特定的二進位數(shù)碼組，是不同信號的代號，不一定有數(shù)的意義編碼：n位二進位數(shù)可以組合成2n個不同的資訊，給每個資訊規(guī)定一個具體碼組，這種過程叫編碼。數(shù)字系統(tǒng)中常用的編碼有兩類，一類是二進位編碼，另一類是二-十進位編碼。另外無論二進位編碼還是二－十進位編碼，都可分成有權(quán)碼（每位數(shù)碼代表的權(quán)值固定）和無權(quán)碼1.5.2十進位代碼

用4位二進位代碼表示十進位的0～9個數(shù)碼，即二－十進位的編碼。4位二進位代碼可以有0000～1111十六個狀態(tài)，則表示0～9十個狀態(tài)可以有多種編碼形式，其中常用的有8421碼、餘3碼、2421碼、5211碼、餘3迴圈碼等，其中8421碼、2421碼、5211碼為有權(quán)碼，即每一位的1都代表固定的值。表1.5.1為幾種編碼形式表1.5.1返回A返回B說明：1.8421碼:又稱BCD碼，是最常用的十進位編碼。其每位的權(quán)為8、4、2、1，按公式展開，即可得對應(yīng)的十進位數(shù)，如（0101）2＝1×24＋1×20＝52.餘3碼不是有權(quán)碼，由於它按二進位展開後十進位數(shù)比所表示的對應(yīng)的十進位數(shù)大3。如0101表示的是2，其展開十進位數(shù)為5，故稱為餘3碼。採用餘3碼的好處是：利用餘3碼做加法時，如果所得之和為10，恰好對應(yīng)二進位16，可以自動產(chǎn)生進位信號。如0110（3）＋1010（7）＝1111（10）；另外0和9、1和8、2和7…是互為反碼，這對於求補很方便。鏈接A3.2421碼是有權(quán)碼，其每位的權(quán)為2、4、2、1，如(1100)2=1×2＋1×4＝6，與餘3碼相同0和9、1和8、2和7…是互為反碼。另外當(dāng)任何兩個這樣的編碼值相加等於9時，結(jié)果的4個二進位碼一定都是1111。4.5211碼也是有權(quán)碼，其每位的權(quán)為5、2、1、1，如(0111)2=1×2＋1×1＋1×1＝4，主要用在分頻器上5.餘3迴圈碼是無權(quán)碼，它的特點是相鄰的兩個代碼之間只有一位狀態(tài)不同。這在解碼時不會出錯（競爭－冒險）鏈接B1.5.3二進位編碼：表1.1兩種4位二進位編碼

十進位數(shù)自然二

進制碼迴圈二

進制碼十進位數(shù)自然二

進制碼迴圈二

進制碼000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000它包括自然碼和迴圈碼，如表1.5.2所示返回本章的內(nèi)容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.1概述

在數(shù)字電路中，1位二進位數(shù)碼“0”和“1”不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)係，稱為二值邏輯。

當(dāng)二進位數(shù)碼“0”和“1”表示二值邏輯，並按某種因果關(guān)係進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術(shù)運算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算

數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變數(shù)（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)係是一種邏輯上的因果關(guān)係。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學(xué)工具來描述。2.1.2數(shù)字電路的特點及描述工具

邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)用，它首先是由英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。後來用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。注意：1.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)的運算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變數(shù)，叫邏輯變數(shù)。2.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學(xué)代數(shù)中的變數(shù)取值可以是正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)，是進行十進位（0～9）數(shù)值運算。而邏輯代數(shù)中變數(shù)的取值只有兩個：“0”和“1”。並且“0”和“1”沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算

在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。2.2.1與運算

與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當(dāng)所有的條件都滿足時，事件才會發(fā)生，即“缺一不可。

如圖2.2.1所示電路，兩個串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關(guān)A、B同時閉合時燈才會亮。

設(shè)開關(guān)閉合用“1”表示，斷開用“0”表示；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關(guān)係，稱為真值表

從表中可知，其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”這種與邏輯可以寫成下麵的運算式：稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現(xiàn)與邏輯運算的門電路稱為與門。2.2.2或運算

或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當(dāng)其中一個條件滿足時，事件就會發(fā)生，即“有一即可若有n個邏輯變數(shù)做與運算，其邏輯式可表示為

如圖2.2.3所示電路，兩個並聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關(guān)A、B有一個閉合時燈就會亮。

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”

其邏輯式為上式說明：當(dāng)邏輯變數(shù)A、B有一個為1時，邏輯函數(shù)輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。

其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現(xiàn)或邏輯運算的門電路稱為或門。若有n個邏輯變數(shù)做或運算，其邏輯式可表示為3.非邏輯運算

條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生，這種因果關(guān)係叫做邏輯非，也稱邏輯求反如圖2.2.5所示電路，一個開關(guān)控制一盞燈就是非邏輯事例，當(dāng)開關(guān)A閉合時燈就會不亮。

非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變數(shù)是輸入變數(shù)的相反狀態(tài)。其邏輯式為

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可寫成其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現(xiàn)非邏輯運算的門電路稱為非門

以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下麵的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算4.與非（NAND）邏輯運算與非運算是先與運算後非運算的組合。以二變數(shù)為例，布爾代數(shù)運算式為：其真值表如表2.2.4所示其邏輯規(guī)律服從“有0出1，全1才出0”

實現(xiàn)與非運算用與非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.7所示5.或非（NOR）運算

或非運算是先或運算後非運算的組合。以二變數(shù)A、B為例，布爾代數(shù)運算式為：或非邏輯規(guī)律服從有“1”出“0”全“0”出“1”或非運算用或非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示

與或非運算是“先與後或再非”三種運算的組合。以四變數(shù)為例，邏輯運算式為：上式說明：當(dāng)輸入變數(shù)A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等於0。與或非運算是先或運算後非運算的組合。在工程應(yīng)用中，與或非運算由與或非門電路來實現(xiàn)，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示6.與或非運算其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示其布爾運算式（邏輯函數(shù)式）為7.異或運算符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變數(shù)取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現(xiàn)其真值表如表2.2.6所示

異或運算的性質(zhì)

1.交換律：2.結(jié)合律：3.分配律：推論：當(dāng)n個變數(shù)做異或運算時，若有偶數(shù)個變數(shù)取“1”時，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個變數(shù)取1時，則函數(shù)為1.4.8.同或運算：其布爾運算式為符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變數(shù)值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。同或運算用同或門電路來實現(xiàn)，它等價於異或門輸出加非門，其真值表如表2.2.7所示其門電路的邏輯符號如圖2.2.11所示2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式返回A返回BA·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結(jié)合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結(jié)合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關(guān)於變數(shù)與常數(shù)關(guān)係的定理說明：由表中可以看出鏈接Aa.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數(shù)獨有的基本定理鏈接B2.3.2若干常用公式表2.3.2為常用的一些公式表2.3.2常用公式說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多餘的，可以刪掉；2.A＋A

B＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因數(shù)，則此取反因數(shù)多餘的，可從該項中刪除；3.AB＋AB

＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因數(shù)相同，而另一個因數(shù)取反，則兩項合併，保留相同因數(shù)；4.A（A＋B）＝A：在當(dāng)一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉5.AB＋A

C＋BC＝AB＋A

C：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因數(shù)互為反，那麼剩餘的因數(shù)組成的另一項則是多餘的，可以刪掉；公式AB＋A

C＋BCD＝AB＋A

C的原理和上述相同6.A（AB）

＝AB

：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A

（AB）

＝A

：當(dāng)某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以後邏輯函數(shù)的化簡打好基礎(chǔ)2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理內(nèi)容：任何一個含有變數(shù)A

的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變數(shù)常用公式推廣成多變量的公式證明：方程的左邊有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右邊有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，現(xiàn)將所有出現(xiàn)A的地方都代入函數(shù)G＝A十D，則證明等式仍成立

證明：設(shè)G＝BC代入公式左右的B中同理設(shè)G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況可得故：可得內(nèi)容：若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變數(shù)（不帶非號）變成反變數(shù)，所有反變數(shù)換成原變數(shù)，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)）Y

。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數(shù)的反函數(shù)。2.反演定理注意：1.

變換中必須保持先與後或的順序；2.對跨越兩個或兩個以上變數(shù)的“非號”要保留不變；解：由摩根定理或直接求反例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋CD

，求Y

解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（A

B）

＋C＋D]

+C，求反函數(shù)或直接求反得3.對偶規(guī)則對偶式：設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變數(shù)保持不變，則所得的新的邏輯式Y(jié)D稱為Y的對偶式。如：對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等，Viceversa。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試利用對偶規(guī)則證明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設(shè)Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由於故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

證明：設(shè)則它們的對偶式為由於故Y＝G，即例1.1.6試利用對偶規(guī)則證明吸收律A＋AB＝A＋B

式子成立2.5邏輯函數(shù)的定義：其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變數(shù)，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變數(shù)，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變數(shù)的邏輯函數(shù)

在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變數(shù)，輸出也是二值變數(shù)，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)係，即如Y＝A＋BC，表示輸出等於變數(shù)B取反和變數(shù)C的與，再和變數(shù)A相或。2.5.1邏輯函數(shù)一、邏輯真值表2.5.2邏輯函數(shù)的幾種表示方法

邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下：

邏輯真值表就是採用一種表格來表示邏輯函數(shù)的運算關(guān)係，其中輸入部分列出輸入邏輯變數(shù)的所有可能取值得組合，輸出部分根據(jù)邏輯函數(shù)得到相應(yīng)的輸出邏輯變數(shù)值。

如表2.5.1表示的異或邏輯關(guān)係的函數(shù)，即YBA011101110000輸出輸入表2.5.1Y＝AB

＋AB

二、邏輯函數(shù)式

按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形式，也是邏輯代數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入輸出變數(shù)都是二值的邏輯變數(shù)。如異或關(guān)係的邏輯函數(shù)可寫成Y＝AB

＋AB

三、邏輯圖法

採用規(guī)定的圖形符號，來構(gòu)成邏輯函數(shù)運算關(guān)係的網(wǎng)路圖形圖2.5.1表示的是異或關(guān)係的邏輯圖四波形圖法:

一種表示輸入輸出變數(shù)動態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律，也稱時序圖。如圖2.5.2表示異或邏輯關(guān)係的波形。

除上面介紹的四種邏輯函數(shù)表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬體描述語言等。在後面的課程中將重點介紹卡諾圖法。五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

在設(shè)計數(shù)字電路時，有時需要進行各種表示邏輯函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。1.真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換

通過下麵的例子得出由真值表寫出邏輯函數(shù)的方法例2.5.1某邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數(shù)式輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1（1）由真值表寫邏輯函數(shù)式解：邏輯式為輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1總結(jié)：①找出真值表中使邏輯函數(shù)為“1”的輸入變數(shù)的組合；②對應(yīng)每個輸出為“1”變數(shù)組合關(guān)係為與的關(guān)係，即乘積項，其中如圖輸入變數(shù)取值為“1”的寫成原變數(shù)，輸入變數(shù)取值為“0”的寫成反變數(shù)，如AB

C輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式例2.5.2已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)輸入輸出ABCY0

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0表2.5.3解：其輸出的邏輯函數(shù)為（2）由邏輯函數(shù)式寫出真值表

將輸入變數(shù)所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得出輸出的值，並以表的形式表示出來。例2.5.3寫出邏輯函數(shù)Y＝AB

＋C的真值表解：其真值表如表2.5.4所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.42.邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換（1）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖

用邏輯符號代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)係，即可得到所求的邏輯圖例2.5.4畫出邏輯函數(shù)Y＝[（AB+C

）＋（AC

）＋B]的邏輯電路解：其實現(xiàn)電路如圖2.5.3所示（2）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式

已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)係，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關(guān)係，得出輸出的邏輯函數(shù)式例2.5.5已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式，並寫出真值表解：輸出的邏輯式為由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.5例2.5.6設(shè)計一個邏輯電路，當(dāng)三個輸入A、B、C至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯運算式，畫出實現(xiàn)的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6由真值表寫出邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6其實現(xiàn)的邏輯圖如圖2.5.5所示3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換（1）由波形圖得到真值表

根據(jù)所給的波形，列出各輸入變數(shù)組合所對應(yīng)的輸出值例2.5.7已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示由真值表可知，當(dāng)輸入變數(shù)A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關(guān)係。其邏輯函數(shù)式為YBA111001010100輸出輸入表2.5.7例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，並判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表可知，當(dāng)輸出有奇數(shù)個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.92.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準型

一種輸入輸出的邏輯關(guān)係可以有多種等效的運算式表示，但可以化為標(biāo)準形式。其標(biāo)準型有兩種：標(biāo)準與或式和標(biāo)準或與式1.最小項a.定義:

在n變數(shù)的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變數(shù)A1~An，而m是由所有這n個變數(shù)組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變數(shù)都以Ai或A

i

的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m是n變數(shù)的最小項。注：n個變數(shù)構(gòu)成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變數(shù)按A1~An排列，以原變數(shù)出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“1”，以反變數(shù)出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“0”，按二進位排列時，其十進位數(shù)即為i。一、最小項和最大項表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變數(shù)、三變數(shù)和四變數(shù)的最小項b.最小項的性質(zhì)①對於任一個最小項，僅有一組變數(shù)取值使它的值為“1”，而其他取值均使它為“0”?；蛘哒f在輸入變數(shù)的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。②n變數(shù)組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即2.最大項a.定義：在n變數(shù)的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變數(shù)A1~An，而M是由所有這n個變數(shù)組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變數(shù)都以Ai或A

i的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則M是n變數(shù)的最大項。注：

n個變數(shù)構(gòu)成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變數(shù)按A1~An排列，以原變數(shù)出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“0”，以反變數(shù)出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“1”，按二進位排列時，其十進位數(shù)即為i。表2.5.13、表2.5.14分別為二變數(shù)、三變數(shù)的最大項，四變數(shù)最大項課下自己寫出b.最大項的性質(zhì)

①對於任一個最大項，僅有一組變數(shù)取值使它的值為“0”，而其他取值均使它為“1”?；蛘哒f在輸入變數(shù)的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。②n變數(shù)組成的全體最大項之邏輯積為“0”。即二、邏輯函數(shù)的標(biāo)準與或式型－最小項之和標(biāo)準型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；

2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項標(biāo)準與或式的寫法：

在n變數(shù)的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項由於缺少一個變數(shù)不是最小項，則在這項中添加此變數(shù)與這個變數(shù)的反變數(shù)之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A

＝1例2.5.10將邏輯函數(shù)Y＝A＋BC寫成標(biāo)準與或式解：注意：變數(shù)的排列順序。三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準或與式型－最大項之積標(biāo)準型如與或型特點：1.式子為和積的形式；

2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項標(biāo)準或與式的寫法：

在n變數(shù)的邏輯函數(shù)中，若某一和項由於缺少一個變數(shù)不是最大項，則在這項中加上此變數(shù)與這個變數(shù)的反變數(shù)之積這一項，即利用公式AA

＝0，然後利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數(shù)Y＝AC＋BC寫成或與式解：四、最小項與最大項的關(guān)係設(shè)有三變數(shù)A、B、C的最小項，如m5

＝ABC，對其求反得由此可知對於n變數(shù)中任意一對最小項mi和最大項Mi

，都是互補的，即五、標(biāo)準與或式和或與式之間的關(guān)係若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為如表2.5.15中上式或?qū)懗衫梅囱荻ɡ砜傻昧?、邏輯函?shù)的兩種標(biāo)準形式：

有時需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標(biāo)準形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現(xiàn)，這裏介紹利用添項和真值表將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準型。1.利用真值表

首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標(biāo)準與或式寫法

：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項作為函數(shù)的最小項(乘積項）。若輸入變數(shù)取“1”，則寫成原變數(shù)；若輸入變數(shù)取值為“0”，則寫成反變數(shù)。不同的輸出“1”為和的關(guān)係。標(biāo)準或與式寫法：由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項作為函數(shù)的最大項（和項）。若輸入變數(shù)取“1”，則寫成反變數(shù)；若輸入變數(shù)取值為“0”，則寫成原變數(shù)。不同的輸出“0”為積的關(guān)係。例2.5.12試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準形式

解：其真值表如表2.5.16所示邏輯函數(shù)的標(biāo)準或與型為則邏輯函數(shù)的標(biāo)準與或型為標(biāo)準或與式的寫法：在邏輯函數(shù)中，先將邏輯函數(shù)化為和積式。若某一和項由於缺少一個變數(shù)不是最大項，則在這項中添加此變數(shù)與這個變數(shù)的反變數(shù)之積這一項，再利用A＝A＋BB

＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A

＝1及A·A

＝0將邏輯函數(shù)變換為與或式和或與式標(biāo)準與或式寫法

：在邏輯函數(shù)中，先將函數(shù)化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A

＝1添加所缺的邏輯變數(shù)，寫成最小項的形式例2.5.13試利用添加項的方法將下麵邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成與或標(biāo)準式解：標(biāo)準與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下麵邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成或與標(biāo)準式解:a.在將一個n變數(shù)的邏輯函數(shù)寫成與或式（最小項之和）後，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數(shù)為2n；b.由i個最小項構(gòu)成的與或式（最小項之和）邏輯函數(shù)，其反函數(shù)可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同。總結(jié)：例1.2.5將下麵邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準式，並求其反函數(shù)

解：標(biāo)準與或式為標(biāo)準或與式為（注：反函數(shù)的最大項編碼與原函數(shù)最小項編碼相同）反函數(shù)為2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換

除了上述標(biāo)準與或式和標(biāo)準或與式的外，還需要將邏輯函數(shù)變換成其他形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現(xiàn)，就需要將其變成與非－與非式。

一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理

例2.5.10將下式Y(jié)=AC+BC

用與非門實現(xiàn)，並畫出邏輯圖。

解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。

如果本身有反變數(shù)輸入，則用二級與非門就可實現(xiàn)該函數(shù)，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變數(shù)輸入，另外要用與非門實現(xiàn)反相C

，其邏輯電路如圖2.5.11所示二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC

用與或非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。

解：先用反演定理求函數(shù)Y的反函數(shù)Y

，並整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現(xiàn)。其電路如圖2.5.12所示多餘項三、將與或式化為或非－或非式

解：先將函數(shù)Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，並用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。

例2.5.11將下式Y(jié)=AC+BC

用或非門實現(xiàn)。其實現(xiàn)電路如圖2.5.13所示或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式2.6邏輯函數(shù)的化簡方法

一個邏輯函數(shù)有多種不同形式的邏輯運算式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現(xiàn)的複雜性和成本是不同的。邏輯運算式越簡單，實現(xiàn)的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設(shè)計電路時必須將邏輯函數(shù)進行簡化。注：隨著積體電路的發(fā)展，集成晶片的種類越來越多。邏輯函數(shù)是否“最簡”已無太大意義。但作為設(shè)計思路，特別對於中小規(guī)模積體電路，邏輯函數(shù)的簡化是不能忽視的邏輯函數(shù)的簡化方法很多，主要有邏輯代數(shù)簡化法（公式法）和卡諾圖法2.6.1公式化簡法

公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，將邏輯函數(shù)進行簡化。實現(xiàn)電路的器件不同，最終要得到的邏函數(shù)的形式不同，其最簡的定義也不同。

對於要小規(guī)模集成門電路實現(xiàn)的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節(jié)可知，其最終都可以由與或式、或與式轉(zhuǎn)換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因數(shù)也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與後或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變數(shù)最少，則這個與或式是最簡的。下麵討論公式法常用的化簡方法。上式Y(jié)1和Y2實現(xiàn)同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變數(shù)多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現(xiàn)，而Y2的變數(shù)有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現(xiàn)即可，這樣即節(jié)省元件，也減少佈線和功耗。2.6.1公式化簡法(2)與或式的簡化方法a.合併項法：利用AB＋AB＝B消去一個變數(shù)；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多餘變數(shù)；c.配項法：利用A＋A

＝1

增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊徒?jīng)驗，需多練習(xí)。另外最後的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法解法二：用吸收法和消去法二種方法結(jié)果一致，但過程繁簡不同。儘量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法例2.6.2試將下麵的邏輯函數(shù)簡化為最簡與或式解：注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數(shù)法簡化邏輯函數(shù)，不僅要熟悉邏輯代數(shù)公式，而且要靈活運用，而且不能保證最後結(jié)果最簡。2.6.1公式化簡法例2.6.3試將下麵邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式解：多餘項反演定理2.6.1公式化簡法練習(xí)：試將下麵邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法2.或與式的簡化a.利用公式A（A＋B）＝A及A（A

+B)=A化簡解：例2.6.4試將下麵的邏輯函數(shù)簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數(shù)：其對偶式為2.6.1公式化簡法2.6.2卡諾圖化簡法

公式法簡化邏輯函數(shù)不直觀，且要熟練掌握邏輯代數(shù)的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結(jié)果。一.卡諾圖a.定義：將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，把真值表中的變數(shù)分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構(gòu)成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（Karnaugh）和範(fàn)奇（Veich）提出的。b.卡諾圖的構(gòu)成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構(gòu)成卡諾圖實質(zhì)是將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變數(shù)只有一個是不同的。下麵表2.6.1是二變數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法表2.6.2為三變數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法表2.6.3為4變數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法從上面卡諾圖可以看出

任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，並且圖中最左列的最小項與左右列相應(yīng)最小項也是相鄰的（如m0和m2，m9和m10)。位於最上面和最下麵的相應(yīng)最小項也是相鄰的（m0和m9,m2和m10)，所以四變數(shù)的最小項有四個相鄰最小項?？梢宰C明n變數(shù)的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法n變數(shù)的卡諾圖可有n－1變數(shù)的卡諾圖採用折疊法構(gòu)成,如五變數(shù)的卡諾圖可由四變數(shù)的卡諾圖折疊得到，如表2.6.42.6.2卡諾圖化簡法二.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

如果畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖，首先將邏輯函數(shù)化成標(biāo)準與或型（最小項和），在相應(yīng)的最小項位置填“1”，其方法如下a.利用真值表：將邏輯函數(shù)的真值表做出，將表中對應(yīng)“1”項的最小項填到卡諾圖中2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.5畫出下麵函數(shù)的卡諾圖解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

10

0

1

1

0

0

0

1表2.6.52.6.2卡諾圖化簡法b.化為標(biāo)準與或型例2.6.6畫出下麵邏輯函數(shù)的卡諾圖解：2.6.2卡諾圖化簡法卡諾圖如表2.6.62.6.2卡諾圖化簡法(3)觀察法

採用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項，而是採用觀察邏輯函數(shù)，將應(yīng)為“1”的項填到卡諾圖中例2.6.7用卡諾圖表示下麵的邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.7所示2.6.2卡諾圖化簡法AA

11111111例2.6.8畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示2.6.2卡諾圖化簡法1111111111例2.6.9畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.9所示2.6.2卡諾圖化簡法111111111練習(xí)：畫出下列函數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法三、利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)①卡諾圖的性質(zhì)a.卡諾圖上任何2（21)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去1個取值不同的變數(shù)例如表2.6.10中，有消去變數(shù)D2.6.2卡諾圖化簡法b.卡諾圖上任何4（22)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去2個取值不同的變數(shù)例如表2.6.11中，有消去變數(shù)AC2.6.2卡諾圖化簡法2.6.2卡諾圖化簡法c.卡諾圖上任何8（23)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去3個取值不同的變數(shù)例如表2.6.12中，有消去變數(shù)ABC2.6.2卡諾圖化簡法或者下麵的圈“1”法2.6.2卡諾圖化簡法②卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為與或式的步驟a.將邏輯函數(shù)化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；c.找出可以合併的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規(guī)則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內(nèi)的“1”必須是2n個；*“1”可以重複圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數(shù)盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；圈“1”的規(guī)則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數(shù)盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”後寫出每個圈的乘積項，然後相加，即為簡化後的邏輯函數(shù)。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結(jié)果不同，但實現(xiàn)的邏輯功能相同的。解：其卡諾圖如表2.6.13所示圈法如圖，則例2.6.10用卡諾圖簡化下麵邏輯函數(shù)2.6.2卡諾圖化簡法111111或者圈法如表2.6.14所示，則故卡諾圖簡化不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法與第一種圈法相比例2.6.11用卡諾圖簡化下麵邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.15所示則簡化後的邏輯函數(shù)為12.6.2卡諾圖化簡法11111111111注：以上是通過合併卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數(shù)的，有時也通過合併“0”項先求F的反函數(shù)，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得1111111111112.6.2卡諾圖化簡法例2.6.12用卡諾圖簡化下麵邏輯函數(shù)解:卡諾圖如表2.6.16可得2.6.2卡諾圖化簡法11111111111練習(xí)：③利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為或與式

在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規(guī)則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變數(shù)，保留取值相同的變數(shù)。寫相同變數(shù)時，取值為“0”寫成原變數(shù)，取值為“1”寫成反變數(shù)，每個圈寫這些相同變數(shù)的和，不同的圈為乘積的關(guān)係。2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.13用卡諾圖將下麵邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式解：其卡諾圖如表2.6.17所示對於與或式，圈“1”，則注：Y的最簡與或式不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法11111111000000001對於與或式，圈“0”，則由表2.6.17的卡諾圖可得故2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.14試將下麵邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式。解：卡諾圖如表2.6.18所示圈“1”化成最簡與或式，則可得2.6.2卡諾圖化簡法0111111000000000圈“0”化成最簡或與式為2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.15試將下麵邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式解：由於最大項對應(yīng)輸入函數(shù)取值為“0”，如M6＝A＋B

＋C

＋D，當(dāng)ABCD＝0110時，M6=0，故在相應(yīng)最大項的位置上填“0”即可得邏輯函數(shù)的卡諾圖。則Y的卡諾圖如表2.6.19所示則最簡與或式為2.6.2卡諾圖化簡法0000000111111111圈“0”可得最簡的或與式為2.6.2卡諾圖化簡法練習(xí)：將下列函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式2.6.2卡諾圖化簡法*2.6.3奎恩－麥克拉斯基化簡法（Q－M法）（自學(xué)）2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項1.定義：a.約束項：在邏輯函數(shù)中，輸入變數(shù)的取值不是任意的，受到限制。對輸入變數(shù)取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變數(shù)A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A＝1表示電動機正轉(zhuǎn)，B＝1表示電動機反轉(zhuǎn)，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其他的狀態(tài)如000、011、101、110、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變數(shù)，恒為0?？蓪懗蛇@些恒等於“0”的最小項稱為約束項b.任意項：輸入變數(shù)的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項

。例如8421BCD碼取值為0000~1001十個狀態(tài)，而1010~1111這六個狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對應(yīng)的函數(shù)取“0”或取“1”對函數(shù)沒有影響，這些項就是任意項項。c.無關(guān)項：將約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數(shù)無影響2.含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的表示方法最小項的運算式為其中∑d為無關(guān)項也可以寫成2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項③化簡時，根據(jù)需要無關(guān)項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數(shù)最多）為原則。3.無關(guān)項在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用利用無關(guān)項可以使得函數(shù)進一步簡化步驟：①將給定的邏輯函數(shù)的卡諾圖畫出來;②將無關(guān)項中的最小項在卡諾圖相應(yīng)位置用“×”表示出來；2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項例2.6.1用卡諾圖簡化下列邏輯函數(shù)，並寫成最簡與或式和或與式解：Y的卡諾圖如表2.6.1所示則最簡與或式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項111111××××××××還有另一種圈法，如圖2.6.2所示簡化後的邏輯函數(shù)為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項此種圈法圈數(shù)少，變數(shù)少，比上一種簡單寫成或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項例1.4.13試簡化下列邏輯函數(shù)，寫最簡成與或式和或與式解：約束條件為則Y的卡諾圖如表2.6.4所示最簡與或式為（即AB取值不能相同）2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項11111××××××××圈“0”則最簡或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項練習(xí)：將下列函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項*2.7卡諾圖的其他應(yīng)用卡諾圖除了簡化邏輯函數(shù)，還可以有下麵的一些應(yīng)用2.7.1.判明函數(shù)關(guān)係和進行函數(shù)的運算1判明函數(shù)關(guān)係

利用卡諾圖可以判明函數(shù)是否相等、互補。若兩個函數(shù)的卡諾圖相同，則這兩個函數(shù)一定相等。即若函數(shù)Y和G的卡諾圖相同，則Y＝G。若兩個函數(shù)的卡諾圖中“0”和“1”對調(diào)，則這兩個函數(shù)為互補。例如它們的卡諾圖如表2.7.1所示，則Y＝G2.7.1.判明函數(shù)關(guān)係和進行函數(shù)的運算再例如它們的卡諾圖如表2.7.2和2.7.3所示則2.7.1.判明函數(shù)關(guān)係和進行函數(shù)的運算2.函數(shù)運算若已知函數(shù)Y1和Y2，則可利用卡諾圖做邏輯運算。例2.7.1若Y1＝AB＋AC

，Y2＝A＋BC試利用卡諾圖求Y1＋Y2、Y1＋Y2及Y1⊙Y2解：Y1和Y2的卡諾圖如表2.7.4及2.7.5所示2.7.1.判明函數(shù)關(guān)係和進行函數(shù)的運算則兩個函數(shù)的與為=2.7.1.判明函數(shù)關(guān)係和進行函