5.4.2　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)必修第一冊

人教A版5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+

T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周

期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)

就叫做f(x)的最小正周期.注意:(1)如果T是函數(shù)f(x)的一個周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(2)并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如f(x)=C(C為常數(shù),x∈R),所有的非零實

數(shù)T都是它的周期,不存在最小正周期.(3)今后本書中涉及的周期,如果不加特殊說明,一般都是指函數(shù)的最小正周期.1|周期函數(shù)2

|正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosx圖象

定義域R值域[-1,1]周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx圖象的對稱軸直線x=kπ+

,k∈Z直線x=kπ,k∈Z圖象的對稱中心(kπ,0),k∈Z

,k∈Z單調(diào)性在

,k∈Z上單調(diào)遞增,在

,k∈Z上單調(diào)遞減在[2kπ-π,2kπ],k∈Z上單調(diào)遞增,在[2kπ,(2k+1)π],k∈Z上單調(diào)遞

減最值x=

+2kπ,k∈Z時,ymax=1;x=-

+2kπ,k∈Z時,ymin=-1x=2kπ,k∈Z時,ymax=1;x=π+2kπ,k∈Z時,ymin=-11.函數(shù)f(x)的周期可能只有一個嗎?不可能.并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù),但若函數(shù)具有周期性,則其周期一定不

唯一.2.已知sin

=sin

,那么

是函數(shù)y=sinx的一個周期嗎?不是.因為對任意實數(shù)x,sin

與sinx并不一定相等.3.由sin

=sin

,可得函數(shù)y=sin

的一個周期為4π,這種說法對嗎?不對.因為sin

=sin

=sin

,所以函數(shù)y=sin

的一個周期為12π.知識辨析能.由正弦曲線和余弦曲線知,y=sinx和y=cosx在區(qū)間(0,2π)上均單調(diào)遞減時,m的

最小值為

,n的最大值為π.5.x為何值時,函數(shù)y=sinx

取得最小值?由正弦曲線知,當(dāng)x=

時,y=sinx取得最小值

.4.y=sinx和y=cosx在區(qū)間(m,n)(其中0<m<n<2π)上都是減函數(shù),你能確定m的最小

值和n的最大值嗎?

1三角函數(shù)的周期性

求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法:緊扣周期函數(shù)的定義,尋求對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x都滿足f(x+T)=f(x)

的非零常數(shù)T.該方法主要適用于抽象函數(shù).(2)公式法:對形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù),且A≠0,ω≠0)

的函數(shù),可利用T=

來求周期.特別注意:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=

.(3)圖象法:可畫出函數(shù)的圖象,借助圖象判斷函數(shù)的周期.求含絕對值的函數(shù)的周

期時一般采用此法.典例求下列函數(shù)的周期.(1)y=3cos

;(2)y=|cosx|.解析

(1)函數(shù)y=3cos

的周期T=

=π.(2)作出函數(shù)y=|cosx|的圖象,如圖.

由y=|cosx|的圖象,可知y=|cosx|的周期為π.

2與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性、對稱性

判斷與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性時,先判斷其定義域是否關(guān)于原點

對稱,有時需要運用誘導(dǎo)公式將函數(shù)式化簡,然后驗證f(-x)是否等于-f(x)或f(x).函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的對稱軸過其最高點或

最低點,對稱中心為圖象與x軸的交點,可按照求正、余弦曲線的對稱軸和對稱中

心的方法,把ωx+φ作為一個整體進(jìn)行求解.典例

(1)判斷函數(shù)f(x)=sin

的奇偶性;(2)求函數(shù)f(x)=2sin

的圖象的對稱中心;(3)若f(x)=sin(2x+φ)的圖象的對稱軸為直線x=

,且φ∈

,求φ的值.解析

(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,因為f(x)=sin

=-cos

,所以f(-x)=-cos

=-cos

=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin

是偶函數(shù).(2)令

+

=kπ(k∈Z),解得x=-

+2kπ(k∈Z),故函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為

(k∈Z).(3)由題意得f

=sin

=±1,∴

+φ=kπ+

(k∈Z),∴φ=kπ-

(k∈Z).∵φ∈

,∴φ=-

.

3與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性

研究與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性的策略及注意點(1)結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.(2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)采用“換元法”

整體代換,將“ωx+φ”看作一個整體“z”,即通過求y=Asinz或y=Acosz的增(減)

區(qū)間得到原函數(shù)的增(減)區(qū)間.注意:當(dāng)x的系數(shù)ω<0時,一般用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后求解;若A<0,

則單調(diào)性與A>0時相反.典例求函數(shù)y=1+sin

,x∈[-4π,4π]的單調(diào)遞減區(qū)間.思路點撥先用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正值,此時對應(yīng)A<0,所求的單調(diào)遞減區(qū)

間即為y=sin

的單調(diào)遞增區(qū)間,通過整體代換求解.解析

y=1+sin

=1-sin

.令2kπ-

≤

x-

≤2kπ+

(k∈Z),解得4kπ-

≤x≤4kπ+

(k∈Z).又∵x∈[-4π,4π],∴函數(shù)y=1+sin

的單調(diào)遞減區(qū)間為

,

,

.

利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小的步驟(1)依據(jù)誘導(dǎo)公式把三角函數(shù)化為同名函數(shù);(2)依據(jù)誘導(dǎo)公式把角化到同一個單調(diào)遞增(減)區(qū)間內(nèi),對于正弦函數(shù)來說,一般將

兩個角轉(zhuǎn)化到

或

內(nèi),對于余弦函數(shù)來說,一般將兩個角轉(zhuǎn)化到[-π,0]或[0,π]內(nèi);(3)依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

4

利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小典例利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小.(1)sin196°與cos156°;(2)cos

與cos

.解析

(1)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°,cos156°=cos(90°+66°)=-sin66°,∵0°<16°<66°<90°,且函數(shù)y=sinx在

上單調(diào)遞增,∴sin16°<sin66°,從而-sin16°>-sin66°,即sin196°>cos156°.(2)cos

=cos

=cos

=-cos

,cos

=-cos

,∵函數(shù)y=cosx在

上單調(diào)遞減,且0<

<

<

,∴cos

>cos

,∴-cos

<-cos

,∴cos

<cos

.

5與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域或最值

常見的求與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(最值)的類型及解法(1)形如y=asinx(或y=acosx)的函數(shù),可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性求解,要

注意對a的正負(fù)的討論.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函數(shù),可先由定義域求得ωx+φ的

范圍,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范圍,最后求得值域(最值).(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的函數(shù),可利用換元思想,設(shè)t=sinx,轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)y=at2+bt+c求值域(最值).注意t的范圍需要根據(jù)定義域來確定.(4)形如y=

(ac≠0)的函數(shù)的值域(最值),可以用分離常量法求解,也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y.典例求下列函數(shù)的值域:(1)f(x)=

cos

,x∈

;(2)y=cos2x+2sinx-2,x∈R.思路點撥

(1)將2x+

看成一個整體,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)先把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含sinx的式子,再把sinx看成一個整體,將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值

域.解析

(1)∵-

≤x≤0,∴-

≤2x+

≤

,∴-

≤cos

≤1,∴-1≤

cos

≤

,即f(x)的值域是[-1,

].(2)y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.令sinx=t,則y=-(t-1)2,t∈[-1,1],∴y∈[-4,0],∴函數(shù)y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域為[-4,0].必備知識清單破知識點正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=tanx圖象

定義域

周期性最小正周期是π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在每一個區(qū)間

(k∈Z)上都單調(diào)遞增值域R圖象的對稱性正切曲線是中心對稱圖形,對稱中心的坐標(biāo)為

(k∈Z),沒有對稱軸知識辨析1.正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),這種說法是否正確?不正確.正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)不具備單調(diào)性.2.正切函數(shù)的圖象與x軸有無數(shù)個交點,交點的坐標(biāo)為(kπ,0)(k∈Z),所以正切函數(shù)

的圖象的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z),這種說法正確嗎?不正確.正切函數(shù)的圖象不僅關(guān)于點(kπ,0)(k∈Z)對稱,還關(guān)于點

(k∈Z)對稱,因此正切函數(shù)y=tanx的圖象的對稱中心為

(k∈Z).3.觀察正切曲線,滿足tanx<0的x的取值集合是什么?tanx>0呢?

x

kπ<x<kπ+

,k∈Z

.關(guān)鍵能力定點破定點1與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、對稱性、奇偶性、周期性

1.定義域、對稱性研究函數(shù)的性質(zhì)時,首先要確定函數(shù)的定義域,求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的

定義域時,除了滿足函數(shù)定義域的一般要求外,還要注意y=tanx有意義時,x≠

+kπ,k∈Z.對于正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域、對稱性問題,解題時一

般將“ωx+φ”視為一個整體.令ωx+φ≠kπ+

,k∈Z,求解x即可得其定義域;令ωx+φ=

,k∈Z,求解x即可得其圖象的對稱中心.2.奇偶性

y=tanx是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱.若y=tan(ωx+φ)是奇函數(shù),則φ=

(k∈Z).3.周期性函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期為T=

,常常利用此公式來求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期.解與正切函數(shù)有關(guān)的三角不等式時,先確定在一個周

期

內(nèi)使不等式成立的ωx+φ的范圍,再根據(jù)正切函數(shù)的周期性,得出ωx+φ滿足的不等式并求解.典例設(shè)函數(shù)f(x)=tan

.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期以及圖象的對稱中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤

的解集.解析

(1)由

-

≠

+kπ(k∈Z),得x≠

+2kπ(k∈Z).所以f(x)的定義域是

.因為ω=

,所以最小正周期T=

=

=2π.令

-

=

(k∈Z),得x=kπ+

(k∈Z),故f(x)圖象的對稱中心是

,k∈Z.(2)由-1≤tan

≤

,得-

+kπ≤

-

≤

+kπ(k∈Z),解得

+2kπ≤x≤

+2kπ(k∈Z).所以不等式-1≤f(x)≤

的解集是

.定點2正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用

1.正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的求法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思

想,令kπ-

<ωx+φ<kπ+

,k∈Z,解得x的取值范圍,即得原函數(shù)的增區(qū)間.(2)若ω<0,可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-

φ),即把x的系數(shù)化為正值,再利用“整體代換”的