浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若△ABC與△DEF的相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：12．（3分）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．無法確定 B．相切 C．相交 D．相離3．（3分）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過點（2，﹣1），則a的值是（）A． B． C． D．24．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．25．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA＝（）A． B． C． D．6．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列敘述正確的是（）A．當(dāng)x＝2時，y有最大值﹣3 B．當(dāng)x＝﹣2時，y有最大值﹣3 C．當(dāng)x＝2時，y有最小值﹣3 D．當(dāng)x＝﹣2時，y有最小值﹣37．（3分）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠AOC＝140°，則∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現(xiàn)以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線AF交BC于點P，取AC的中點Q，連結(jié)PQ．若AC＝4，BC＝6，則△CPQ的面積為（）A． B． C．7.5 D．79．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，且n＞b，則m的取值范圍為（）A．m＜﹣1 B．m＞5 C．m＜﹣1或m＞5 D．﹣1＜m＜510．（3分）如圖，正△ABC紙片，E為AC邊上的一點，連結(jié)BE．將△BAE沿BE翻折得到△BFE，過點C作AB的平行線交EF的延長線于點M，若∠EMC＝90°則的比為（）A． B． C． D．二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）11．（4分）sin60°＝．12．（4分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積S＝．13．（4分）已知在直角坐標(biāo)系中一點P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一個值，則點P（a，b）恰好落在反比例函數(shù)的圖象上的概率為．14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，則函數(shù)S的取值范圍是．15．（4分）如圖，三個正六邊形如圖擺放，則sin∠ACB＝．16．（4分）數(shù)學(xué)家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點，這類圖形稱為“諾模圖”．如圖是關(guān)于x，y，z三者關(guān)系的諾模圖，它是由點O出發(fā)的三條射線a，b，c組成，每條射線上都有相同的刻度，且射線端點刻度為0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射線a和b上分別取點A和B，對應(yīng)的刻度值是x和y．用直尺連結(jié)AB交射線c于點C，點C的刻度值就是z的值．（1）若x＝20，y＝12，則z的值是；（2）若x＝2y，則＝．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．（1）；（2）．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．點D在BC上，點E在AC上，連結(jié)AD，DE，且∠B＝∠ADE．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的長．19．（6分）某高速收費站有三個ETC通道（ETC通道是指電子不停車收費的專用車道）A，B，C和一個人工收費通道D．（1）求一輛辦理過ETC卡的汽車經(jīng)過此收費站時，選擇A通道通過的概率；（2）現(xiàn)有都辦理過ETC卡的甲，乙兩輛汽車都選擇了ETC通道通行，求甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率．20．（8分）如圖，市交通部門要在寬為22米（即AB＝22m）的城北街兩邊安裝路燈（路燈主桿BC垂直于地面），路燈的燈臂CD長2米，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中心軸線DO與燈臂CD垂直．（1）探索燈臂CD與燈柱BC的夾角∠BCD和燈罩中心軸線DO與地面AB所成的夾角∠DOB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)燈罩的軸線DO剛好通過街道的中心線（即O為AB的中點）時照明效果最佳，若∠BCD＝125°，試說明當(dāng)燈柱BC＝12m時，照明效果是否達到最佳？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）21．（8分）浙教版九上數(shù)學(xué)課本第24頁例1：如圖1窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形．如果制作一個窗戶邊框的材料總長度為6m，那么如何設(shè)計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大？這道例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大約為1.05m2．我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為一個等邊三角形（如圖2），材料總長度仍為6m，利用圖2，解答下列問題：（1）當(dāng)AB＝1時，求此時窗戶的透光面積；（2）與課本中例1比較，改變窗戶形狀后，窗戶的透光面積的最大值是否變大？通過計算說明．取1.7）22．（10分）如圖．正方形ABCD頂點A，B在⊙O上．BC與⊙O交于點E，CD經(jīng)過⊙O上一點P，且EP平分∠AEC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的長．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），圖象經(jīng)過點（﹣1，m），（1，n），（3，p）．（1）當(dāng)m＝﹣2時．①求二次函數(shù)的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而增大；（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求證：．24．（12分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點D是弧AB的中點，過點D作AB的平行線交CA的延長線于點E，連結(jié)BD，BE．（1）求證：∠EDC＝∠DBC；（2）當(dāng)CD＝2時，求S△BCE的值；（3）設(shè)BC＝nAC．①求的值；（用含n的代數(shù)式表示）②若3CE＝8AC，DE＝6，求AB的長．2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若△ABC與△DEF的相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求出答案．【解答】解：∵相似△ABC與△DEF的相似比為1：3，∴△ABC與△DEF的周長比為1：3，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（3分）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．無法確定 B．相切 C．相交 D．相離【分析】圓心到直線的距離大于圓心距，直線與圓相離；小于圓心距，直線與圓相交；等于圓心距，直線與圓相切．【解答】解：∵圓心到直線的距離2＜圓的半徑3，∴直線與圓的位置關(guān)系為相交．故選：C．【點評】此題考查的是圓與直線的位置關(guān)系．判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d＝r，③直線l和⊙O相離?d＞r．3．（3分）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過點（2，﹣1），則a的值是（）A． B． C． D．2【分析】將（2，﹣1）代入解析式求解．【解答】解：將（2，﹣1）代入y＝ax2（a≠0）得﹣1＝4a，∴a＝﹣，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，圖象上點的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．2【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA＝（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)已知表示出三角形各邊進而得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，cosB＝，∴設(shè)BC＝3x，則AB＝5x，故AC＝4x，則tanA＝＝．故選：C．【點評】此題主要考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，正確表示出各邊長是解題關(guān)鍵．6．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列敘述正確的是（）A．當(dāng)x＝2時，y有最大值﹣3 B．當(dāng)x＝﹣2時，y有最大值﹣3 C．當(dāng)x＝2時，y有最小值﹣3 D．當(dāng)x＝﹣2時，y有最小值﹣3【分析】y＝（x﹣2）2﹣3中a＝1＞0，拋物線開口向上，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣3）．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3，a＝1＞0，∴拋物線開口向上，二次函數(shù)有最小值，∴當(dāng)x＝2時，二次函數(shù)有最小值為﹣3．故選：C．【點評】此題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)表達式的三種形式是解決此題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠AOC＝140°，則∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠B，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠B＝∠AOC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝110°，故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現(xiàn)以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線AF交BC于點P，取AC的中點Q，連結(jié)PQ．若AC＝4，BC＝6，則△CPQ的面積為（）A． B． C．7.5 D．7【分析】求出△APC的面積，再利用三角形中線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵AB＝AC，AP平分∠BAC，∴AP⊥BC，CP＝PB＝BC＝3，∴AP＝＝＝，∴S△ACP＝?AP?CP＝××3＝，∵AQ＝CQ，∴S△APQ＝S△APC＝．故選：A．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．9．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，且n＞b，則m的取值范圍為（）A．m＜﹣1 B．m＞5 C．m＜﹣1或m＞5 D．﹣1＜m＜5【分析】由拋物線的解析式可知開口方向和對稱軸為直線x＝2，根據(jù)函數(shù)的對稱性和增減性即可求解；【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a＞0）．∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝2，∵P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，當(dāng)n＝b時，根據(jù)函數(shù)的對稱性，則m＝﹣1，∴n＞b時，m的取值范圍為m＜﹣1或m＞5；故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和增減性是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，正△ABC紙片，E為AC邊上的一點，連結(jié)BE．將△BAE沿BE翻折得到△BFE，過點C作AB的平行線交EF的延長線于點M，若∠EMC＝90°則的比為（）A． B． C． D．【分析】延長ME交AB于點G，設(shè)BF交AC于點H，由△ABC是正三角形得∠A＝60°，由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，F(xiàn)E＝AE，因為CM∥AB，所以∠AGE＝∠EMC＝90°，可證明△FEH≌△AEG，得∠FHE＝∠AGE＝90°，則BF⊥AC，∠HEF＝30°，則AH＝CH，F(xiàn)E＝AE＝2FH，所以EH＝＝FH，可求得EC＝（2+2）FH，即可求得＝，于是得到問題的答案．【解答】解：延長ME交AB于點G，設(shè)BF交AC于點H，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝60°，由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，F(xiàn)E＝AE，∵CM∥AB，∠EMC＝90°，∴∠AGE＝∠EMC＝90°，在△FEH和△AEG中，，∴△FEH≌△AEG（ASA），∴∠FHE＝∠AGE＝90°，∴BF⊥AC，∠HEF＝90°﹣∠HFE＝30°，∴AH＝CH，F(xiàn)E＝AE＝2FH，∴EH＝＝＝FH，∴AH＝CH＝AE+EH＝2FH+FH，∴EC＝CH+EH＝2FH+FH+FH＝（2+2）FH，∴＝＝，故選：D．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形中30°解所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）11．（4分）sin60°＝．【分析】根據(jù)我們記憶的特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【解答】解：sin60°＝．故答案為：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，注意一些特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練記憶的內(nèi)容．12．（4分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積S＝．【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案為．【點評】本題考查了扇形的面積公式：S＝．13．（4分）已知在直角坐標(biāo)系中一點P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一個值，則點P（a，b）恰好落在反比例函數(shù)的圖象上的概率為．【分析】列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出ab＝﹣2，即點P（a，b）恰好落在反比例函數(shù)的圖象上的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【解答】解：所有可能的情況數(shù)有4種，其中點P（a，b）恰好落在反比例函數(shù)y＝的圖象上的情況有（﹣2，1）、（1，﹣2）2種，∴點P（a，b）恰好落在反比例函數(shù)的圖象上的概率為．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，則函數(shù)S的取值范圍是﹣≤S≤0．【分析】根據(jù)題意，可以寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)x的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)S的取值范圍．【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy，∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣，∴該函數(shù)開口向上，當(dāng)x＝取得最小值﹣，∵，∴當(dāng)x＝取得最小值﹣，當(dāng)x＝取得最大值0，∴S的取值范圍為﹣≤S≤0，故答案為：﹣≤S≤0．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．15．（4分）如圖，三個正六邊形如圖擺放，則sin∠ACB＝．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形ACD，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)用正六邊形的邊長a，表示AD、CD，由勾股定理求出AC，再由銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．【解答】解：如圖，由正六邊形的性質(zhì)可知，AD⊥CD，OB＝OC＝BD，設(shè)正六邊形的邊長為a，則AG＝a×＝a，∴AD＝4×a＝2a，在Rt△ADC中，AD＝2a，CD＝3OB＝3a，∴AC＝＝a，∴sin∠ACB＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查正多邊形和圓，銳角三角函數(shù)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．16．（4分）數(shù)學(xué)家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點，這類圖形稱為“諾模圖”．如圖是關(guān)于x，y，z三者關(guān)系的諾模圖，它是由點O出發(fā)的三條射線a，b，c組成，每條射線上都有相同的刻度，且射線端點刻度為0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射線a和b上分別取點A和B，對應(yīng)的刻度值是x和y．用直尺連結(jié)AB交射線c于點C，點C的刻度值就是z的值．（1）若x＝20，y＝12，則z的值是7.5；（2）若x＝2y，則＝．【分析】方法一（利用相似三角形）：過點C作CD∥OB交OA于點D，先證△OCD為等邊三角形得CD＝OD＝OC＝z，進而得AD＝x﹣z，再證△ACD和△ABO相似得AD：OA＝CD：OB，由此得（x﹣z）：x＝z：y，然后整理得xz+yz＝xy．（1）將x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；（2）將x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．解法二（面積法）：過點C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，過B作BH⊥AO交AO的延長線于H，利用三角函數(shù)分別求出CE＝，CF＝，BH＝，進而可得S△AOC＝，S△BOC＝，S△AOB＝，然后根據(jù)S△AOC+S△BOC＝S△AOB，得xz+yz＝xy．（1）將x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；（2）將x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．【解答】解法一（利用相似三角形）：過點C作CD∥OB交OA于點D，如圖1所示：依題意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y(tǒng)，OC＝z，∵CD∥OB，∴∠OCD＝∠BOC＝60°，∴∠OCD＝∠AOC＝60°，∴△OCD為等邊三角形，∴CD＝OD＝OC＝z，∴AD＝OA﹣OD＝x﹣z，∵CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AD：OA＝CD：OB，∴（x﹣z）：x＝z：y，整理得：xz+yz＝xy，（1）當(dāng)x＝20，y＝12時，20z+12z＝20×12，解得：z＝7.5；故答案為：7.5．（2）當(dāng)x＝2y時，2yz+yz＝2y2，即3yz＝2y2，∵y≠0，∴3z＝2y，∴＝．故答案為：．解法二（面積法）：過點C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，過B作BH⊥AO交AO的延長線于H，如圖2所示：依題意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y(tǒng)，OC＝z，在Rt△OCE中，sin∠AOC＝，∴CE＝OC?sin∠AOC＝z?sin60°＝，在Rt△OCF中，sin∠BOC＝，∴CF＝OC?sin∠BOC＝z?sin60°＝，∵∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠BOH＝180°﹣∠AOB＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴BH＝OB?sin∠BOH＝y(tǒng)?sin60°＝，∴S△AOC＝OA?CE＝，，S△BOC＝OB?CF＝，S△AOB＝OA?BH＝，∵S△AOC+S△BOC＝S△AOB，∴+＝，∴xz+yz＝xy，（1）當(dāng)x＝20，y＝12時，20z+12z＝20×12，z＝7.5；故答案為：7.5．（2）當(dāng)x＝2y時，2yz+yz＝2y2，即3yz＝2y2，∵y≠0，∴3z＝2y，∴＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，解法一的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求出z，y，z之間的關(guān)系；解法二的關(guān)鍵是通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)及三角形的面積求出z，y，z之間的關(guān)系．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)進行計算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，以及設(shè)k法進行計算，即可解答．【解答】解：（1）∵3a＝2b，∴＝；（2）∵＝；∴設(shè)a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．點D在BC上，點E在AC上，連結(jié)AD，DE，且∠B＝∠ADE．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的長．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠CDE＝∠BAD，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到△ABD∽△DCE；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝2，則CD＝AB．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，而∠B＝∠ADE，∴∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴＝，∵BD＝2CE，∴＝2，∴CD＝AB＝×6＝3．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．19．（6分）某高速收費站有三個ETC通道（ETC通道是指電子不停車收費的專用車道）A，B，C和一個人工收費通道D．（1）求一輛辦理過ETC卡的汽車經(jīng)過此收費站時，選擇A通道通過的概率；（2）現(xiàn)有都辦理過ETC卡的甲，乙兩輛汽車都選擇了ETC通道通行，求甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽出兩支筆剛好是一紅一黑的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，選擇A通道通過的概率為．（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的結(jié)果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，∴甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，市交通部門要在寬為22米（即AB＝22m）的城北街兩邊安裝路燈（路燈主桿BC垂直于地面），路燈的燈臂CD長2米，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中心軸線DO與燈臂CD垂直．（1）探索燈臂CD與燈柱BC的夾角∠BCD和燈罩中心軸線DO與地面AB所成的夾角∠DOB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)燈罩的軸線DO剛好通過街道的中心線（即O為AB的中點）時照明效果最佳，若∠BCD＝125°，試說明當(dāng)燈柱BC＝12m時，照明效果是否達到最佳？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°計算；（2）過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E，根據(jù)正弦的定義求出CE，根據(jù)余弦的定義求出DE，再根據(jù)正切的定義求出DH，進而求出BC，比較大小得出結(jié)論．【解答】解：（1）在四邊形BCDO中，∠B＝∠ODC＝90°，∴∠BCD+∠DOB＝360°﹣90°﹣90°＝180°；（2）過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E，∴BC∥DH，∴∠CDH＝180°﹣125°＝55°，在Rt△CED中，CD＝2m，∠CDH＝55°，∴CE＝CD?sin∠CDE≈2×0.8192≈1.64（m），DE＝CD?cos∠CDE≈2×0.5736≈1.15（m），∴OH＝OB﹣BH＝11﹣1.64＝9.36（m），∵∠BCD＝125°，∴∠DOB＝180°﹣125°＝55°，在Rt△DOH中，DH＝OH?tan∠DOH≈9.36×1.428≈13.37（m），∴BC＝EH＝DH﹣DE＝13.37﹣1.15≈12.2（m），∵12.2＞12，∴BC＝12m時，照明效果不能達到最佳．【點評】本題考查的是解直角三角形應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（8分）浙教版九上數(shù)學(xué)課本第24頁例1：如圖1窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形．如果制作一個窗戶邊框的材料總長度為6m，那么如何設(shè)計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大？這道例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大約為1.05m2．我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為一個等邊三角形（如圖2），材料總長度仍為6m，利用圖2，解答下列問題：（1）當(dāng)AB＝1時，求此時窗戶的透光面積；（2）與課本中例1比較，改變窗戶形狀后，窗戶的透光面積的最大值是否變大？通過計算說明．取1.7）【分析】（1）根據(jù)AB的長度以及制作窗框的材料總長為6m，可以求出AD的長度，結(jié)合長方形的面積計算公式可求出透光面積；（2）設(shè)AB的長度為x，可用含x的式子表示出AD的長度，進而可根據(jù)面積公式列出關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)最值的計算方法求出此時的最大值，此時的最大值與例題中的最大值相比，得出答案即可．【解答】解：（1）由已知可得：CD＝＝1m，則S＝+1×1＝（+1）m2；（2）在窗戶透光面積的最大值變大了，理由如下：設(shè)BC＝xm，則CD＝（6﹣4x）＝（3﹣2x）m，∵3﹣2x＞0，∴0＜x＜，設(shè)窗戶面積為S，由已知得：S＝S△ABC+S矩形BCDE＝+x（3﹣2x）＝x2﹣2x2+3x＝[（﹣2）x2+3x]m2，當(dāng)x＝﹣≈0.95時，且x＝0.95在0＜x＜的范圍內(nèi)，此時S最大值＝≈1.43（m2），∵1.43m2＞1.05m2，∴與所給的例題相比，現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大了．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用以及面積的計算，求出AD的長度是解答本題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖．正方形ABCD頂點A，B在⊙O上．BC與⊙O交于點E，CD經(jīng)過⊙O上一點P，且EP平分∠AEC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的長．【分析】（1）連結(jié)OP，則∠OPE＝∠AEP，而∠CEP＝∠AEP，則∠OPE＝∠CEP，所以O(shè)P∥BC，則∠OPD＝∠C＝90°，即可證明CD是⊙O的切線；（2）連接AP，由∠B＝90°，證明AC是⊙O的直徑，則∠APE＝90°，由BC∥OP∥AD，得＝＝1，因為S正方形ABCD＝CD2＝16，所以AD＝CD＝4，則PC＝PD＝2，再證明∠CPE＝∠DAP，則＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝，即可求得CE＝PC＝1．【解答】（1）證明：連結(jié)OP，則OP＝OE，∴∠OPE＝∠AEP，∵EP平分∠AEC，∴∠CEP＝∠AEP，∴∠OPE＝∠CEP，∴OP∥BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OPD＝∠C＝90°，∵OP是⊙O的半徑，且CD⊥OP，∴CD是⊙O的切線．（2）解：連接AP，∵∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴∠APE＝90°，OE＝OA，∵BC∥AD，OP∥BC，∴BC∥OP∥AD，∴＝＝1，∵S正方形ABCD＝CD2＝16，且CD＞O，∴AD＝CD＝4，∴PC＝PD＝CD＝2，∴∠C＝∠D＝90°，∠CPE＝∠DAP＝90°﹣∠APD，∴＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝＝，∴CE＝PC＝1，∴CE的長為1．【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），圖象經(jīng)過點（﹣1，m），（1，n），（3，p）．（1）當(dāng)m＝﹣2時．①求二次函數(shù)的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而增大；（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一