《數(shù)值分析》5.5方程組的性態(tài)與誤差估計

5.5.2方程組的誤差估計5.5.1矩陣的條件數(shù)5.5方程組的性態(tài)和誤差估計5.5.1矩陣的條件數(shù)定義5.5.1如果方程組Ax=b中，矩陣A和右端常數(shù)項b的微小變化，引起解向量x的很大變化，則稱A為病態(tài)矩陣(相對于方程組而言)

，稱相應(yīng)的方程組為病態(tài)方程組。否則，稱A為良態(tài)矩陣，稱相應(yīng)的方程組為良態(tài)方程組。若A及b作微小的變化，擾動后的方程組其準(zhǔn)確解為（-2，10）T

先看一個例子，說明方程組Ax=b的解對A(或b)的擾動的敏感性問題.在上例中，A和b的微小變化引起x很大的變化，x對A和b的擾動是敏感的。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)完全是由方程組的性態(tài)決定的。例5.7方程組的準(zhǔn)確解是(1,1)T.1.先考察常數(shù)項b的微小誤差對解的影響。設(shè)A是精確的，且為非奇異矩陣，b有誤差（或擾動）δb。x為Ax=b的精確解。方程組 的解與x的差記為：從而||δx||≤||||*||δb||⑴即 ⑵又Ax=b≠0則||b||≤||A||*||x||即：A(x+δx)=b+δb，即：A(δx)=δb.（假設(shè)Ax=b≠0)我們需要一種能刻畫矩陣和方程組病態(tài)程度的標(biāo)準(zhǔn)。⑶式說明：當(dāng)b有一定相對誤差時，引起解Ax=b解的變化的相對誤差上界由⑶給出。解的相對誤差是常數(shù)項相對誤差的倍。由⑴⑵得下面結(jié)論:定理

(b擾動對解的影響)設(shè)：1）設(shè)Ax=b≠0，x為精確解，detA≠0；2）且設(shè)A(x+δx)=b+δb則有:⑶如果矩陣范數(shù)取2范數(shù)，則記

定義5.5.2設(shè)A∈Rn×n為可逆矩陣，按算子范數(shù)，稱cond（A）=同樣可以定義cond∞（A）和cond1（A）。。按（5.5.1），為矩陣A的條件數(shù)。(5.5.1)（1）cond（A）≧1，cond（A）=cond（A-1），cond（A）=cond(A),其中∈R，≠0若A對稱，則cond2（A）=設(shè)A-1存在，條件數(shù)有如下一些性質(zhì)：cond（A）≧（3）設(shè)與為A按絕對值最大和最小的特征值，則（2）若U為正交矩陣，即UTU=I,則cond2（U）=1，cond2（A）=cond2（AU）=cond2（UA）。例5.10下列Hilbert矩陣是一族著名的病態(tài)矩陣：它是一個n×n的對稱矩陣，可以證明是正定的。計算條件數(shù)有cond2（H4）=1.5514×104，cond2（H6）=1.4951×107，cond2（H8）=1.525×1010。由此可見，隨著n的增加，Hn的病態(tài)可能越嚴(yán)重。Hn常常在數(shù)據(jù)擬合和函數(shù)逼近中出現(xiàn)。練習(xí)：已知Hilbert矩陣：計算H3的條件數(shù)。解：下面計算H3的條件數(shù)同樣可計算 ，一般Hn矩陣當(dāng)n越大時，病態(tài)越嚴(yán)重。則：對于實際問題，條件數(shù)一般是很難計算的。下列現(xiàn)象可能表示方程組Ax=b是病態(tài)的。

（1）如果矩陣A的按絕對值最大特征值和最小特征值之比很大，則A是病態(tài)的。（2）如果系數(shù)矩陣A的元素間數(shù)量級很大，并且無一定規(guī)則，則A可能病態(tài)。（3）如果系數(shù)矩陣A的某些行或列是近似相關(guān)的，或系數(shù)矩陣的行列式值相對說很小，則A可能病態(tài)。（4）如果在A的三角化過程中出現(xiàn)小主元或采用選主元技術(shù)，主元素數(shù)量級相差懸殊時，則A可能病態(tài)。對于病態(tài)方程組，數(shù)值求解必須小心進(jìn)行，否則達(dá)不到所要求的準(zhǔn)確度。有時可以用高精度（如雙精度或擴(kuò)充精度）的運(yùn)算，以改善或減輕方程組的病態(tài)程度，有時也可以對原方程組作預(yù)處理，以降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)，即選擇非奇異矩陣P和Q，一般選P和Q為對角陣或三角矩陣，使cond（PAQ）<cond(A)然后，求解等價方程組PAQy=Pb，y=Q-1x。例如，對矩陣有cond∞≈105。若進(jìn)行預(yù)處理則cond∞（B）=4，條件數(shù)有改善。5.5.2方程組的誤差估計定理5.9設(shè)Ax=b，A為非奇異矩陣，b為非零向量，A和b分別有擾動，A和b,。若<1,則有誤差估計式由于舍入誤差，我們解方程組往往得到的是近似解。下面利用條件數(shù)給出近似解的事前誤差估計，即計算之前和計算之后的誤差估計。將上式兩端取范數(shù)，則有證.將Ax=b代入擾動方程組，整理后有(5.5.2)

經(jīng)整理后得由于，即得所證。再利用，則有若時，則由（5.5.2）有例：P139

該定理說明，當(dāng)cond(A)很大時，即使方程組余量r的相對誤差已經(jīng)很小，但近似解的相對誤差仍然可能很大。=A（x-）證由Ax=b有r=Ax-A又由x=A-1b，有定理得證。其中r=b-A為剩余向量。定理5.10設(shè)Ax=b，b≠0，則對方程組的近似解有誤差估計式如果用直接解法得到的近似解誤差很大，我們可以用迭代改善的辦法對近似解進(jìn)行修正。設(shè)r=b-A，△x為修正量，為新的近似解。這樣，我們可以通過求解A△x=r得到，顯然，在準(zhǔn)確運(yùn)算下有（5.5.3）然而，再實際計算時，方程組（5.5.3）不大可能求解，所以解（5.5.3）只能提供有限的修正。因此，需要反復(fù)求解為（5.5.3）的方程組，不斷對所得的近似解進(jìn)行改進(jìn)。這種近似值逐進(jìn)接近真解的過程稱為迭代解法。為了節(jié)省計算量，可事先對矩陣A進(jìn)行LU分解，把反復(fù)解形為（5.5.3）的方程組改為反復(fù)解形為Ly=r，U△x=y的方程組。為了保證計算精度，計算剩余向量r可采用高精度計算。

方程組直接解法的穩(wěn)定性是應(yīng)當(dāng)注重的問題。如果通過直接計算每一步設(shè)入誤差對解的影響來獲得近似解的誤差界，那將是非常困難的。J.H.Wilkinson等人提出了“向后誤差分析法”，其基本思想是把計算過程中設(shè)入誤差對解的影響歸結(jié)為原始數(shù)據(jù)對解的影響。下面給出一個定理來說明這方面的結(jié)果。定理5.11設(shè)A∈Rn×n，A為非奇異矩陣，用列主元法或全主元法解方程組Ax=b，其計算解滿足。記計算機(jī)尾數(shù)字長是消去過程中A(