3.4.3第4課時用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.4.3第4課時新授課用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系經(jīng)歷點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程，會用公式解決空間內(nèi)的距離問題.回顧：如何求平面內(nèi)直線l外一點(diǎn)P到直線l距離？請寫出大致思路.1.綜合幾何法：如圖(1)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)D1，一般轉(zhuǎn)化為求三角形的高，即PD1的長度.2.解析幾何法：如圖(2)，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得點(diǎn)P到直線l的距離PD2的長度.3.平面法向量法：如圖(3)，先求出直線l的單位法向量n0，再求向量

在法向量n0方向上的投影向量的長度

即可.知識點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離問題1：如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一定點(diǎn)，l0是直線l的單位方向向量，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)P'，則垂線段PP'的長度就是點(diǎn)P到直線l的距離.如何求這個距離呢事實上，在平面向量中就是這樣做的.按照前面的思路，若能求出垂線段PP'的方向向量，則可在直線l上任取一點(diǎn)A，求

在向量

方向上的投影向量的長度即可.然而在空間中，求垂線段的方向向量較為困難.然后在Rt△PP'A中運(yùn)用勾股定理求得|PP'|即可.但直線l的方向向量已知，所以可先求出

在l0方向上的投影數(shù)量，在Rt△PP'A中，于是，點(diǎn)P到直線l的距離為思考：除了這種方法，你還能怎樣推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式呢？問題2：如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一定點(diǎn)，l0是直線l的單位方向向量，點(diǎn)A是直線l上任意給定的一點(diǎn)，如何在直線l上找到一點(diǎn)Q，使得|PQ|最小因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.對于直線l上任意一點(diǎn)Q，總存在實數(shù)λ，使得∴是關(guān)于λ的二次函數(shù).問題2：如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一定點(diǎn)，l0是直線l的單位方向向量，點(diǎn)A是直線l上任意給定的一點(diǎn)，如何在直線l上找到一點(diǎn)Q，使得|PQ|最小當(dāng)

時，

最小，最小值為∴點(diǎn)P到直線l的距離為利用向量投影求解距離主要是運(yùn)用距離的幾何屬性，而上述利用距離的最小性求解則主要是運(yùn)用代數(shù)方法.歸納總結(jié)若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，l0是直線l的單位方向向量，點(diǎn)A是直線l上任意給定的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離為注意：相互平行的兩條直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.例1:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA'=3.用向量的方法求點(diǎn)B到直線A'C的距離.解：依題意有A'(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0).∴點(diǎn)B到直線A'C的距離為在

方向上的投影數(shù)量為用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟1.求直線的方向向量.2.計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.歸納總結(jié)練一練解析：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為()A.B.1