高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)過(guò)關(guān)訓(xùn)練h

高考數(shù)學(xué)

迄落題與嫉變強(qiáng)

專

項(xiàng)

過(guò)

關(guān)

訓(xùn)

練

目錄

1.直覺(jué)思維在解數(shù)學(xué)選擇題中的應(yīng)用

2.高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：選擇題的解法

3.高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：選擇題的解法參考答案

4.選擇題快速解答方法

5.254個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)典選擇題點(diǎn)評(píng)解析

6.高考數(shù)學(xué)選擇題簡(jiǎn)捷解法專題講解訓(xùn)練(1)

7.高考數(shù)學(xué)選擇題簡(jiǎn)捷解法專題講解訓(xùn)練(2)

1.直覺(jué)思維在解數(shù)學(xué)選擇題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)選擇題在廣東高考試卷中，所占的分值40分，它具有概括性強(qiáng)，知識(shí)覆蓋面

廣，小巧靈活，且有一定的綜合性和深度等特點(diǎn)，考生能否迅速、準(zhǔn)確、全面、簡(jiǎn)捷地

解好選擇題，對(duì)于能否進(jìn)入最佳狀態(tài)，以至于整個(gè)考試的成敗起著舉足輕重的作用.解答

選擇題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速。

數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺(jué)思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守?cái)?shù)學(xué)概念和邏輯演

繹的規(guī)則，而直覺(jué)思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，它直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，是一種跳躍式

的預(yù)見(jiàn)，因此大大縮短思考時(shí)間。在解數(shù)學(xué)選擇題時(shí)，巧妙運(yùn)用直覺(jué)思維，能有效提高

解題速度、準(zhǔn)確度。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維，可以從特殊結(jié)構(gòu)（包括代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、圖形的結(jié)構(gòu)、問(wèn)題的結(jié)

構(gòu)）、特殊數(shù)值、特殊位置、變化趨勢(shì)、變化極限、范圍估計(jì)、運(yùn)算結(jié)果、特殊聯(lián)系等

方面來(lái)進(jìn)行。

一、從特殊結(jié)構(gòu)入手

【例題1】一個(gè)正四面體，各棱長(zhǎng)均為正，則對(duì)棱的距離為（）

]/?

Ax1Bx-CxV2Dx—

22

此題情境設(shè)置簡(jiǎn)潔，解決方法也多，通?？梢钥紤]作出對(duì)棱的公垂線段再轉(zhuǎn)化為直

角三角形求解。不過(guò)若能意識(shí)到把這個(gè)正四面體置于一個(gè)正方體結(jié)構(gòu)中（如圖1）,則瞬

間得到結(jié)果，就是該正方體的棱長(zhǎng)，為1,選A。

圖1

二'從特殊數(shù)值入手

【例題2]、已知sinx+cosx=',乃<%<2萬(wàn)，則tanx的值為()

由題目中出現(xiàn)的數(shù)字3、4、5是勾股數(shù)以及龍的范圍，直接意識(shí)至Usinx=-|,cosx=(,

從而得到tanx=-±,選C。

4

【例題3】、^ABC中，cosAcosBcosC的最大值是()

A、-V3B.-C、1D.-

882

本題選自某一著名的數(shù)學(xué)期刊，作者提供了下列“標(biāo)準(zhǔn)”解法，特抄錄如下供讀

者比較：

設(shè)y二cosAcosBcosC,則2y=[cos(A+B)+cos(A-B)]cosC,

Acos2C-cos(A-B)cosC+2y=0,構(gòu)造一元二次方程x?-cos(A-B)x+2y=0,則cosC

是一元二次方程的根，由cosC是實(shí)數(shù)知：△=cos2(A-B)-8y20,

即8yWcos2(A-B)W1,：.y<-,故應(yīng)選B。

8

這就是“經(jīng)典”的小題大作！事實(shí)上，由于三個(gè)角A、B、C的地位完全平等，直覺(jué)

告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A(yù)=B=C=60。即得答案B,這就是

直覺(jué)法的威力，這也正是命題人的真實(shí)意圖所在。

三、從特殊位置入手

【例題4】、如圖2,已知一個(gè)正三角形內(nèi)接于一個(gè)邊長(zhǎng)

為。的正三角形中，問(wèn)x取什么值時(shí)，內(nèi)接正三角形的面

積最小()圖2

.aca八a、{3me

A、一B、一C、一D、—ci圖2

2342

顯然小三角形的端點(diǎn)位于大三角形邊的中點(diǎn)時(shí)面積最小，選Ao

【練習(xí)5】、雙曲線V—y2=i的左焦點(diǎn)為F,

點(diǎn)P為左支下半支異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線PF的

斜率的變化范圍是()

A、(-oo,0)B、(-oo,-l)(l,+oo)

C、(-oo,0)(l,+oo)D、(1,4-00)圖3

進(jìn)行極限位置分析，當(dāng)PfA時(shí)，PF的斜率左—0；當(dāng)"Lr時(shí)，斜率不存在，即

%f+8或％—>-00;當(dāng)P在無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，PF的斜率左—1。選C。

四'從變化趨勢(shì)入手

【例題6】、(06年全國(guó)卷I,11)用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6(單位：cm)的5根細(xì)

木棍圍成一個(gè)三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為多

少？()

A、8石cm2B、6而cm2C、3底cm2D、20cm2

此三角形的周長(zhǎng)是定值20,當(dāng)其高或底趨向于零時(shí)其形狀趨向于一條直線，其面積

趨向于零，可知，只有當(dāng)三角形的形狀趨向于最“飽滿”時(shí)也就是形狀接近于正三角形

時(shí)面積最大，故三邊長(zhǎng)應(yīng)該為7、7、6,因此易知最大面積為選B。

【例題7】、(07海南、寧夏理11文12)甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中個(gè)射

箭20次，三人測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

甲的成績(jī)

環(huán)數(shù)78910

頻數(shù)5555

E，S2,S3分別表示三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）

A、S3>>S2B、S2>St>S3C、>S2>S3D>S2>53>S1

我們固然可以用直接法算出答案來(lái)，標(biāo)準(zhǔn)答案也正是這樣做的，但是顯然時(shí)間會(huì)花

得多。憑直覺(jué)你可以估計(jì)到：它們的期望值相同，離開(kāi)期望值比較近的數(shù)據(jù)越多，則方

差一一等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)越??！所以選B。

五、從變化極限入手

【例題8】、在AABC中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若c-a等于AC邊上的高,

那么sinC二4+cosC±4的值是（）

22

A,1B>-C、1D、-1

23

進(jìn)行極限分析，Af（）時(shí)，點(diǎn)C->A,此時(shí)高0,cfa,那么C-180,A-0，

所以「CA-A

+COS------->sin904-cosO=1,選A。

2

【例題9】、（06遼寧文11）與方程y=2/+心20）的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的

曲線方程為()

A、y=ln(l+Vx)B>y=ln(l-Vx)

C^y=-ln(l+\/x)D、y=-ln(l-Vx)

用趨勢(shì)判斷法：顯然已知曲線方程可以化為y=C-1）2（X20）,是個(gè)增函數(shù)。再令

x—+8,那么yf+oq那么根據(jù)反函數(shù)的定義，在正確選項(xiàng)中當(dāng)yf+oo時(shí)應(yīng)該有

尤->+8,只有A符合.

六、從范圍估計(jì)入手

【例題10］、（07浙江文8）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即以

先贏2局者為勝，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽中甲獲

勝的概率為（）

A、0.216B、0.36C、0.432D、0.648

先看“標(biāo)準(zhǔn)”解法一一甲獲勝分兩種情況：①甲：乙=2：0,其概率為0.6X0.6=0.36,

②甲：乙=2：1,其概率為［C；0.6x0.4］x0.6=0.288,所以甲獲勝的概率為

0.36+0.288=0.648,選D。

現(xiàn)在再用直覺(jué)法來(lái)解：因?yàn)檫@種比賽沒(méi)有平局，2人獲勝的概率之和為1,而甲獲

勝的概率比乙大，應(yīng)該超過(guò)0.5,只有選D。

【例題11］（07湖北理9）連續(xù)投擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)為根,〃，記向量b=（m,n）與向量

（1,-D的夾角為。，則公0e的概率是（）

575_

A、B、C、D、

2n6

憑直覺(jué)可用估值法，畫(huà)個(gè)草圖（圖4）,立刻

發(fā)現(xiàn)在44。8范圍內(nèi)（含在OB上）的向量b的個(gè)圖4

數(shù)超過(guò)一半些許，選3完全沒(méi)有必要計(jì)算。

七、從運(yùn)算結(jié)果入手

【例題12］、（97全國(guó)理科）函數(shù)y=sin（（-2x）+cos2x的最小正周期是（)

71

A、B、TCC、2〃D>4〃

2

因?yàn)镼sin0x+/?cos〃zr=4sin（〃zr+0）,所以函數(shù)y的周期只與口有關(guān)，這里G=2,

所以選B,根本不必計(jì)算。

【例題13］、若（l-2x）7=%+qx+/f++%9，則⑷+|q|+|&l++1%|=（）

A、-1B、1C、0D、37

直覺(jué)告訴我們，從結(jié)果看，展開(kāi)式系數(shù)取絕對(duì)值以后，其和會(huì)相當(dāng)大，選D?或者

退化判斷法：將7次改為1次；還有一個(gè)更加絕妙的主意：干脆把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為己知

（l+2x）7=%+。/+W尤2++ci-jX11求。0+4+/++%,12與原I可題元全等價(jià)！所以

結(jié)果為37,選D。

八、從特殊聯(lián)系入手

x>0

【例題14］、（97年高考）不等式組3-x2-x的解集是（）

---->----

3+x2+x

A、,0<x<2}B、,0<x<2.5}

C、{可0<x<V6}D、1A|0<x<3}

直接求解肯定不是最佳策略；四個(gè)選項(xiàng)左端都是0,只有右端的值不同，在這四個(gè)

值中會(huì)是哪一個(gè)呢？直覺(jué)：它必定是方程土三=|3|的根！，代入驗(yàn)證：2不是，3不

3+x3+x

是，2.5也不是，所以選C。

【例題15］、四個(gè)平面，最多可以把空間分成幾部分？（）

A.8B.14C.15D.16

這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于：一個(gè)西瓜切4刀，假設(shè)在此過(guò)程中西瓜不散落，則最多可以切成

幾塊？

前3刀沿橫、縱、豎三個(gè)方向切成8塊應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題，第4刀怎么切呢？要得到最

多的塊數(shù)，應(yīng)該盡可能切到前8塊，所以切法應(yīng)該區(qū)別于前3刀的方向，即斜切，但總

有1塊切不到，所以答案為8X2-1=15,選C。

也可以這樣考慮：假設(shè)已經(jīng)切好了，則中間必定有1塊是沒(méi)有皮的四面體，與每一

個(gè)面相鄰的有1塊，共4塊；與每條棱相接的有1塊，共6塊；與每頂點(diǎn)相對(duì)的有1塊，

共4塊；所以總數(shù)是1+4+6+4=15,選C。

2.高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：選擇題的解法

1.直接法：

有三個(gè)命題：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；②過(guò)平面a的一條斜線/有且

僅有一個(gè)平面與a垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂

直。其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）o

A.0B.1C.2D.3

2.特例法：

（1）特殊值：

若OWaW2;r,sina>百cosa,則a的取值范圍是：（）。

(A)

（2）特殊函數(shù):

定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，設(shè)a+bWO,給出下列不等式：①f(a)?f(-

a)W0；②f(b),f(—b)NO；③f(a)+f(b)(—a)+f(—b)；④f(a)+f(b)2f(—a)+f(一

b）o其中正確的不等式序號(hào)是（）o

A.①②④B.①④C.②④D.①③

（3）特殊數(shù)列：

已知等差數(shù)列｛《J滿足4+4+…+4。|=°,則有（）o

A、+?101>0B、a2+ai02<0c、q+/9=0D、%=51

（4）特殊位置:

直三棱柱ABC—ABC的體積為V,P、Q分別為側(cè)棱AA；CC上的點(diǎn)，且AP=CQ,則

四棱錐B—APQC的體積是（）o

11I

B\\

V7-Vz)-V

3-45

(5)特殊點(diǎn)：

函數(shù)y=1+石(0<x<4)的反函數(shù)是()。

(A)y=(x—Ip(l<x<3)(B)y=(x—Ip(0<x<4)

(C)y=x1-\(l<x<3)(D)y=x2-1(0<x<4)

(6)特殊方程：

cc

雙曲線b^—aVna2b2(a>b>0)的漸近線夾角為a,離心率為e,則cos萬(wàn)等于()。

\_\_

A.eB.e2C.eD.金

3.圖像法：

若關(guān)于珀勺方程6—3=H+2有唯一實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)4為()

(A)k=±A/3(B)k<-2或左>2

(C)-2<A:<2(0左<一2或左>2或大=±0

4.驗(yàn)證法(代入法)：

滿足《7x-3+，x-l=2的值是()。

(A)x=3(8)x=1(C)x=2(D)x=l

5.篩選法(也叫排除法、淘汰法)：

若x為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx的值域是()。

V3j_V2J_V|

A.(1,^21B.(0,21c.[2,2]D.(2,21

6.分析法：

設(shè)a,b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，則()o

A.|a+b|>|a—b|B.|a+b|<|a—b|

C.Ia—bI<IaI—lbID.Ia-bI<IaI+1bI

7.估算法：

如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB,

EF=3/2,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為()。

A)9/2B)5C)6D)15/2

3.高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：選擇題的解法參考答案

1.直接法

解析：利用立幾中有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)定理對(duì)上述三個(gè)命題作出判斷，易得都是正確

的，故選D。

2、特例法：

(1)特殊值

解析：取。=工，排除A,a=m排除B,a=—,排除。，故選C.

23

(2)特殊函數(shù)

解析：取f(x)=-x,逐項(xiàng)檢查可知①④正確。故選B。

(3)特殊數(shù)列

解析：取滿足題意的特殊數(shù)列4=°,則生+,=°,故選C。

(4)特殊位置

解析：令P、Q分別為側(cè)棱AA,CC'的中點(diǎn)，則可得

V=萬(wàn)SXACCh,Vl)_APQC=—SAPQCh=—/?—SA.ACC,--V,故選B

(5)特殊點(diǎn)

解析：由函數(shù)y=l+?,x=4時(shí),y=3,且1+75=3,則它的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)(3,4),故

選A

（6）特殊方程

解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個(gè)關(guān)系式，故可用特殊方程來(lái)考察。

%221且42

取雙曲線方程為4-1=1,易得離心率e=2）cos2=V5,故選c。

3.圖像法：

解析：如圖，令x=VT二巨,乂=履+2,則它們分別表示半圓和過(guò)點(diǎn)（0,2）的直線

系，由圖可知，直線和半圓相切，以及交點(diǎn)橫坐標(biāo)在（一1,1）內(nèi)

時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，故選D.

4.驗(yàn)證法（代入法）：

解析：將四個(gè)選擇支逐一代入，可知選Q.

5.篩選法（也叫排除法、淘汰法）：

x6（0,--]

解析：因》為三角形中的最小內(nèi)角，故3，由此可得y=sinx+cosx>l,排除B,C,D,

故應(yīng)選A。

6.分析法：

解析：YA,B是一對(duì)矛盾命題，故必有一真，從而排除錯(cuò)誤支C,Do又由ab<0,可令

a=l,b=-1,代入知B為真，故選B。

7、估算法:

解析：連接BE、CE則四棱錐E—ABCD的體積

VE..?O=3X3X3X2=6,又整個(gè)幾何體大于部分的體積,

所求幾何體的體積VQVE3,選(D)

4.選擇題快速解答方法

(-)數(shù)學(xué)選擇題的解題方法

1、直接法：就是從題設(shè)條件出發(fā)，通過(guò)正確的運(yùn)算、推理或判斷，直接得出結(jié)論再與選擇支對(duì)照,

從而作出選擇的一種方法.運(yùn)用此種方法解題需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

22

例1、若sinx>cos?x,則x的取值范圍是()

3〃71n5〃

714

(A){x|2k-4<x<2k+,k^Z}(B){x|2k%+4<x<2k乃+4,k《z}

7171713〃

(C){x|k〃-4VxVk乃+4,kez)(D){x|k"+4<x<k〃+4,k^Z}

2222

解析：(直接法)由sinx>cosx得cosx—sinx<0,

n3%

即cos2x<0,所以：2+knV2x<2+kn,選D.

另解:數(shù)形結(jié)合法：由己知得|sinx|>|cosx|,畫(huà)出y=|sinx|和y=|cosx|的圖象,從圖象中可知選D.

例2、設(shè)f(x)是(一8,8)是的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x),當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于()

(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5

解析：由f(x+2)=-f(x)得f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由f(x)是奇函數(shù),得

f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以選B.

也可由f(x+2)=—f(x),得到周期T=4,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

例3、七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是()

(A)1440(B)3600(C)4320(D)4800

解析：法一：(用排除法)七人并排站成一行，總的排法有4種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2

464746

X&種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：g一2X4=3600,對(duì)照后應(yīng)選B；

法二：(用插空法)用義6=3600.

例4、某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過(guò)3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為()

125125125125

解析：某人每次射中的概率為0.6,3次射擊至少射中兩次屬獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn).

C；X(?)2x?+C；X(?)3

故選A.

例5、有三個(gè)命題：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；②過(guò)平面Q的一條斜線1有且僅有一個(gè)平

面與a垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直.其中正確命題的個(gè)數(shù)為

()

A.0B.1C.2D.3

解析：利用立幾中有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)定理對(duì)上述三個(gè)命題作出判斷，易得都是正確的，故選D.

22

?y

例6、已知Fl、F2是橢圓16+9=］的兩焦點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)F2的的直線交橢圓于點(diǎn)A、B,若|AB|=5,

則|AF1|+|BF1|等于()A.11B.10C.9

D.16

解析：由橢圓的定義可得|AFl|+|AF2|=2a=8,|BFl|+|BF2|=2a=8,兩式相加后將|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入，

得|AF1|+|BF1|=11,故選A.

例7、已知y=l°g“Q—6)在［0,1］上是X的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+~)

解析：,>(),.刁1=2皿是減函數(shù)，；y=bg"(2一詞在［0,1］上是減函數(shù).

/.a>l,且2-a>0,/.l<a<2,故選B.

例8、圓x2+2x+y2+4y—3=0上到直線x+y+l=0的距離為近的點(diǎn)共有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：：本題的關(guān)鍵是確定已知直線與圓的相對(duì)位置,這就需對(duì)圓心到直線的距離作定量分析.將圓的

方程化為(x+l)2+(y+2)2=(2班)2,，r=2&.圓心(-1,一2)到直線x+y+1=0的距離d

|_］-2+1|

=V2=71,恰為半徑的一半.故選c.

例9、設(shè)Fl、F2為雙曲線4一y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足/FlPF2=90o,則△F1PF2

的面積是()

A.lB.石/2C.2D.石

解析：,?|PF11-|PF2|=±2a=±4,:.|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|=16,

\_

"：ZFlPF2=90o,，S”的=5|PF“?|PF2|=7(|PF1|2+|PF2|2—16).

XV|PFl|2+|PF2|2=（2c）2=20.A=1,選A.

旦

例10、橢圓mx2+ny2=l與直線x+y=l交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)AB中點(diǎn)M與原點(diǎn)的直線斜率為2,

m

則7的值為（）

旦遞.

A.2B.3C.1D.V

x2y2x2yo

解析：命題：“若斜率為k（k^O）的直線與橢圓/+/=1（或雙曲線/一/=］）相交于A、B

￡￡

的中點(diǎn)，則k?kOM=一#（或k?kOM=（證明留給讀者）在處理有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)

題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用這一結(jié)論，不難得到：

n

b~1mmV25/2

2

kAB?kOM=—a-=—m=—nn=—kAB,kOM=1,2=2,故選A.

直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解.直接法適用的范圍很廣，只

要運(yùn)算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確地把握中檔題目的“個(gè)性”，用

簡(jiǎn)便方法巧解選擇題，是建在扎實(shí)掌握“三基”的基礎(chǔ)上，否則一味求快則會(huì)快中出錯(cuò).

2、特例法：就是運(yùn)用滿足題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關(guān)系、特殊圖形、特殊數(shù)列、

特殊函數(shù)等對(duì)各選擇支進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，利用問(wèn)題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不

真的原理，由此判明選項(xiàng)真?zhèn)蔚姆椒?用特例法解選擇題時(shí).，特例取得愈簡(jiǎn)單、愈特殊愈好.

（1）特殊值

例11、若sina>tana>cota(42),貝ijaC()

7171717171

A.(2,4)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,2)

717in

-----vav——

解析：因42,取a=-6代入sina>tanQ>cota,滿足條件式，則排除A、C、D,故選

B.

例12、一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,則它的前3n項(xiàng)和為()

A.-24B.84C.72D.36

解析：結(jié)論中不含n,故本題結(jié)論的正確性與n取值無(wú)關(guān)，可對(duì)n取特殊值，如n=l,此時(shí)al=48,a2=S2

-Sl=12,a3=al+2d=-24,所以前3n項(xiàng)和為36,故選D.

(2)特殊函數(shù)

例13、如果奇函數(shù)f(x)是［3,7］上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間［-7,—3］上是()

A.增函數(shù)且最小值為一5B.減函數(shù)且最小值是一5

C.增函數(shù)且最大值為一5D.減函數(shù)且最大值是一5

5

解析：構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=§x,雖然滿足題設(shè)條件，并易知f(x)在區(qū)間［-7,—3］上是增函數(shù)，且最

大值為f(-3)=-5,故選C.

例14、定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，設(shè)a+bWO,給出下列不等式：①f(a)?f(—a)W0；②f(b)?f(-

b)20；③f(a)+f(b)Wf(—a)+f(—b)；④f(a)+f(b)》f(一a)+f(-b).其中正確的不等式序號(hào)是()

A.①②④B.①④C.②④D.①@

解析：取f(x)=-X,逐項(xiàng)檢查可知①④正確.故選B.

(3)特殊數(shù)列

例15、已知等差數(shù)列滿足4+4+…+4。|=°,則有()

a+a<0

Aq+q()|>0B2io2c%+/9=0D%=51

解析：取滿足題意的特殊數(shù)列%=°,則/+%9=°,故選C.

(4)特殊位置

例16、過(guò)s>°)的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線與尸、Q兩點(diǎn)，若夕尸與尸。的長(zhǎng)分別是p、q,

11_14

—+—=.....-

則Pq()A、2aB、2ac、4aD、a

111cc,

IPF|=|FQ|=——+—=2a+2a=4a

解析：考慮特殊位置PQ，OP時(shí)，2a,所以Pq，故選C.

例17、向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量丫與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，

那么水瓶的形狀是()

L

解析：取2,由圖象可知，此時(shí)注水量丫大于容器容積的2,故選B.

(5)特殊點(diǎn)

例18、設(shè)函數(shù)/(X)=2+6(XN0),則其反函數(shù)/「'(x)的圖像是()

解析：由函數(shù)/(x)=2+?(xZ°),可令x=0,得y=2；令x=4,得y=4,則特殊點(diǎn)(2,0)及(4,4)都

應(yīng)在反函數(shù)f—l(x)的圖像上，觀察得A、C.又因反函數(shù)f—l(x)的定義域?yàn)閧x|xN2},故選c

(6)特殊方程

a

例19、雙曲線b2x2—a2y2=a2b2(a>b>0)的漸近線夾角為a，離心率為e,則cos2等于()

1

2

A.eB.e2C.D.

解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個(gè)關(guān)系式，故可用特殊方程來(lái)考察.取雙曲線方程

x2y2y[5a2

為4—1=1,易得離心率e=2,cos2=J5,故選c.

(7)特殊模型

2

例20、如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x—2)2+y2=3,那么》的最大值是()

二旦旦

A.2B.3C.2D.當(dāng)

yy-0乃一

解析：題中X可寫(xiě)成％-0.聯(lián)想數(shù)學(xué)模型：過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式k="2—玉，可將問(wèn)題看成圓

(x—2)2+y2=3上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率的最大值，即得D.

3、圖解法：就是利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問(wèn)題(如解方程、解不等式、求最值，

求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來(lái)，利用直觀幾性，再輔以簡(jiǎn)單計(jì)算，確定正確答案的方法.這種解

法貫穿數(shù)形結(jié)合思想，每年高考均有很多選擇題(也有填空題、解答題)都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決,

既簡(jiǎn)捷乂迅速.

例21、已知a、B都是第二象限角，且cosa>cosB,則()

A.a<PB.sina>sinPC.tana>tanSD.cota<cotP

解析：在第二象限角內(nèi)通過(guò)余弦函數(shù)線85。80§6找出。、B的終邊位置關(guān)系，再作出判斷，得

B.

例22、已知a、匕均為單位向量，它們的夾角為60°,那么Ia+3〃|=()

A.5B.汨C.屈D.4

解析：如圖，"+36=03,在AOAB中，1。4|=1,148|=3,/。48=12°,.?.由余弦定理得|

。+3力|=IOB|=屈，故選C.

例23、已知｛an｝是等差數(shù)列，al=-9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的門是()

A.4B.5C.6D.7

dd

解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=萬(wàn)n2+(al-2)n可表示為過(guò)原點(diǎn)的拋物線，又本題中al=-9<0,S3=S7,

3+7_5

可表示如圖，由圖可知，n=2-，是拋物線的對(duì)稱軸，所以n=5是拋物線的對(duì)稱軸，所以n=5時(shí)

Sn最小，故選B.

4、驗(yàn)證法：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗(yàn)證是否滿足題設(shè)條件，然后

選擇符合題設(shè)條件的選擇支的一種方法.在運(yùn)用驗(yàn)證法解題時(shí)，若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大

提高解題速度.

例24、計(jì)算機(jī)常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0—9和字母A—F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，

這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進(jìn)制0123456789ABCDEF

十進(jìn)制0123456789101112131415

例如：用十六進(jìn)制表示E+D=1B,貝ijAXB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

解析：采用代入檢驗(yàn)法，AXB用十進(jìn)制數(shù)表示為1X11=110,而

6E用十進(jìn)制數(shù)表示為6X16+14-110；72用十進(jìn)制數(shù)表示為7X16+2=114

5F用十進(jìn)制數(shù)表示為5X16+15=105；B0用十進(jìn)制數(shù)表示為11X16+0=176,故選A.

例25、方程”+尼％=3的解與e()

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,+°°)

解析：若xe(0,l),則lgx<0,則x+lgx<l；若xe(l,2),則0<lgx<l,則l<x+lgx<3；

若xe(2,3),貝貝?2<x+lgx<4；若x>3』gx>0,則x+lgx>3,故選c.

5、篩選法(也叫排除法、淘汰法)：就是充分運(yùn)用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個(gè)正確選

擇支這一信息，從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，通過(guò)分析、推理、計(jì)算、判斷，

對(duì)選擇支進(jìn)行篩選，將其中與題設(shè)相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法.使用篩選法

的前提是“答案唯一”，即四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)答案正確.

例26、若x為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx的值域是()

石_i_]6

A.(1,行]B.(0,2]C.[2,2]D.(2,2]

xG(0,-1

解析：因X為三角形中的最小內(nèi)角，故3,由此可得丫=代穌+8$*>1,排除B,C,D,故應(yīng)選

A.

例27、已知y=log"(2—ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)［2,+8)

解析：：2—ax是在［0,1］上是減函數(shù)，所以a>l,排除答案A、C；若a=2,由2—ax>0得x<l,

這與xG［0,1］不符合，排除答案D.所以選B.

2

例28、過(guò)拋物線y=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P和Q,那么線段PQ中點(diǎn)的軌跡

方程是()

(A)y=2x—1(B)y2=2x—2

22

(C)y=-2x+l(D)y=-2x+2

解析：(篩選法)由已知可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為(1,0),開(kāi)口向右，由此排除答案A、C、D,所以選

B；

y=kx-\

<

另解：(直接法)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線y=k(x-l),則b=4x,消丫得：

2

%,+x2k+2

2222y=k1-Tz1)=T2

kx-2(k■+2)x+k=0,中點(diǎn)坐標(biāo)有1k%,消k得y?=2x—2,選B.例29、

原市話資費(fèi)為每3分鐘0.18元，現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費(fèi)為0.22元，超過(guò)3分鐘的，每分鐘按0.11

元計(jì)算，與調(diào)整前相比，一次通話提價(jià)的百分率()

A.不會(huì)提高70%B.會(huì)高于70%,但不會(huì)高于90%

C.不會(huì)低于10%D.高于30%,但低于100%

解析：取x=4,y=03屋36.0%?-8.3%,排除C、D；取x=30,y=箝；：,-100%?77.2%,

10

排除A,故選B.

2，77

X'y.y~.X-,.

x2+y2—+—=1%'2+—=1—+y-=l

例30、給定四條曲線：①-2,②94，③4,?4-，其中與直線

x+y-石=°僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是(

)

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

解析：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線

/J-

-------1--------1

從而篩選，而在四條曲線中②是一個(gè)面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線94是

相交的，因?yàn)橹本€上的點(diǎn)（石⑨在橢圓內(nèi)，對(duì)照選項(xiàng)故選D.

篩選法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選擇

支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣

逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高

考選擇題中約占40%

6、分析法：就是對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行全面、正確、深刻的理解或?qū)τ嘘P(guān)信息提取、分析和加工后而作出

判斷和選擇的方法.

（1）特征分析法——根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等，進(jìn)行快速推理，

迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法.

例31、如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)的數(shù)字表示該

段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳送信息，信息可以分開(kāi)沿不同的

路線同時(shí)傳送，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

A.26B.24C.20D.19

解析：題設(shè)中數(shù)字所標(biāo)最大通信量是限制條件，每一支要以最小值來(lái)計(jì)算，否則無(wú)法同時(shí)傳送，則

總數(shù)為3+4+6+6=19,故選D.

兀R

例32、設(shè)球的半徑為R,P、Q是球面上北緯600圈上的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧的長(zhǎng)是2,

血兀R兀RTTR

則這兩點(diǎn)的球面距離是（）A、KAB、2c、3D、2

解析：因緯線弧長(zhǎng)〉球面距離》直線距離，排除A、B、D,故選C.

.八m-3c4-2根/九八、0

sin0=------,cos0=---------（―<0<TV）tan—

例33、已知機(jī)+5m+52，則2等于（）

m-3?/7i-3?1

A、9-mB、9-MC、1D、5

解析：由于受條件sin20+cos2。=1的制約，故m為一確定的值，于是sin0,cos0的值應(yīng)與m的值

071710710

無(wú)關(guān)，進(jìn)而推知tan2的值與m無(wú)關(guān)，又2<0<兀，4<2<2tan2>],故選□

（2）邏輯分析法一一通過(guò)對(duì)四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析，達(dá)到否定謬誤支，選出正確支的方

法，稱為邏輯分析法.

例34、設(shè)a,b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么（）

A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|

解析：TA,B是一對(duì)矛盾命題，故必有一真，從而排除錯(cuò)誤支C,D.又由ab<0,可令a=l,b=—1,

代入知B為真，故選B.

例35、MBC的三邊滿足等式acosA+力cosB=ccosC,則此三角形必是()

A、以。為斜邊的直角三角形B、以b為斜邊的直角三角形

C、等邊三角形D、其它三角形

解析：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于4A與反8的對(duì)稱式，因此選項(xiàng)在A、B為等價(jià)命題都被淘汰,

111,1

—+———1——

若選項(xiàng)C正確，則有222,即2,從而c被淘汰，故選D.

7、估算法：就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，求出答案的近似值，或把有關(guān)數(shù)值擴(kuò)大或縮小，

從而對(duì)運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)，進(jìn)而作出判斷的方法.

例36、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為

_3

3的正方形，EF〃AB,EF2,EF與面AC的距離為2,則該多面

體的體積為()

9”

(A)2(B)5(C)6(D)2

解析：由已知條件可知，EF〃平面ABCD,則F到平面ABCD的距離為2,

]_

；.VF-ABCD=3?32?2=6,而該多面體的體積必大于6,故選(D).

例37、已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2,則

球面面積是()

16864

(A)9兀(B)3兀(C)4兀(D)9兀

2」

解析：?.?球的半徑R不小于AABC的外接圓半徑r=3,

16

則S球=47tR2247tr2=3無(wú)＞5兀，故選(D).

估算，省去了很多推導(dǎo)過(guò)程和比較復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，從而顯得