專題4.4等比數(shù)列（十一個重難點突破）-2023-2024學年高二數(shù)學上學期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題4.4等比數(shù)列知識點一等比數(shù)列的概念與通項公式1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示（顯然）.注意：（1）等比數(shù)列中不能有0項（2）常數(shù)列都是等差數(shù)列,但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列,它就不是等比數(shù)列;當常數(shù)列各項不為0時,是等比數(shù)列,對于含字母的數(shù)列應注意討論.2.等比中項如果在與中間插入一個數(shù),使成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,此時,.3.等比數(shù)列的通項公式（1）已知等比數(shù)列的首項為,公比為,則數(shù)列的通項公式為.（2）第項與第項的關系為,變形得.（3）由可知,當且時,等比數(shù)列的第項是指數(shù)函數(shù)當時的函數(shù)值,即.知識點二等比數(shù)列的常用性質（1）如果,則有.（2）如果,則有.（3）若成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列.（4）在等比數(shù)列中,每隔項取出一項,按原來的順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.（5）如果均為等比數(shù)列,且公比分別為,那么數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比分別為.（6）等比數(shù)列的項的對稱性:在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積,即（7）等比數(shù)列的單調性①當或時,等比數(shù)列為遞增數(shù)列;②當或時,等比數(shù)列為遞減數(shù)列;③當時,等比數(shù)列為擺動數(shù)列.重難點1利用定義判斷等比數(shù)列1．在數(shù)列中，，則（

）A．12 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根據題意，為等比數(shù)列，根據等比數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.故選：D.2．已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過賦值分析可得數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，根據題意結合等比數(shù)列通項公式運算求解.【詳解】對于，令，則，再令，則，可知，故數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，則，∴.故選：C.3．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項，3為公比的等比數(shù)列【答案】A【分析】由通項公式可知，這是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的定義求出首項和公比即可.【詳解】因為，，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.故選：A4．（多選）設是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】AC【分析】利用等比數(shù)列定義可判斷A、C、，令，可判斷B，取可判斷D.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以設其公比為，即．因為，所以是等比數(shù)列，所以A選項正確；因為，所以是等比數(shù)列，所以C選項正確；當時，，所以此時不是等比數(shù)列，所以B選項錯誤；不妨取等比數(shù)列為，則，此時不是等比數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AC5．已知和為項數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別為和．求證：為等比數(shù)列，其公比為．【答案】證明見解析.【分析】根據等比數(shù)列的通項公式和定義即可證明.【詳解】由題意知，，所以，由等比數(shù)列的定義，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即證.6．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，求證：是等比數(shù)列，并求該數(shù)列的公比．【答案】證明見解析；該數(shù)列公比為【分析】根據等比數(shù)列的定義即可證明結論.【詳解】因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，故，所以為常數(shù)，故是等比數(shù)列，該數(shù)列的公比為.重難點2等比數(shù)列基本量的計算7．在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設等比數(shù)列的公比為，結合題意，得到，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為且，可得，可得.故選：B.8．在等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】先求出，再利用等比數(shù)列的性質可得，從而可得答案.【詳解】設該等比數(shù)列的公比為，因為，所以由，因此．故選：C.9．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據已知條件求出的值，可得出的值，由此可求得數(shù)列的公差.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，故.故選：D.10．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的相關概念計算即可.【詳解】設的公比為，則由題意可知或，顯然時，，無意義舍去；所以.故選：C11．已知正項等比數(shù)列滿足:，若存在兩項使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】先利用等比數(shù)列的通項公式求得基本量，進而求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，，由，得，則，即，則，即，解得或（舍去），又由得，即，所以，又，所以=，當且僅當，即時取等號.故選：C.12．在等比數(shù)列中，若，則.【答案】【分析】由已知條件求出等比數(shù)列基本量，代入求解可得所求.【詳解】設等比數(shù)列公比為，由題意得，解得，則.故答案為：.重難點3等比中項及其應用13．與的等比中項是．【答案】或【分析】由等比中項性質列方程求等比中項即可.【詳解】令與的等比中項是，則，故.故答案為：或14．在等比數(shù)列中，，則與的等比中項為.【答案】【分析】運用等比中項公式直接進行求解即可.【詳解】因為，所以與的等比中項為.故答案為：15．已知等比數(shù)列滿足，，則.【答案】6【分析】運用等比中項即可求解，注意公比平方大于0.【詳解】，所以，由知，故，故答案為：616．在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】根據給定條件，利用等比數(shù)列性質計算即得.【詳解】由，是方程的兩根，得，顯然，則，在等比數(shù)列中，同號，即，又，，所以.故答案為：17．記為等差數(shù)列的前項和．若，且成等比數(shù)列，則的值為．【答案】【分析】先根據條件列關于首項和公差的方程，解出后即可求.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則①，又因為成等比數(shù)列，所以，即②，由①②解得，所以.故答案為：.18．已知數(shù)列，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則的值是.【答案】/【分析】根據等差數(shù)列的性質和等比中項計算即可.【詳解】因為數(shù)列，，，成等差數(shù)列，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.重難點4等比數(shù)列的性質19．在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．48 B．72 C．144 D．192【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質求解【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，而，故．故選：D20．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（

）A．2 B．3 C．-2 D．-3【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質有，結合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A21．數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．【答案】【分析】根據等比數(shù)列的通項性質即可得，，結合已知從而可得的值.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，又，則，所以.故答案為：.22．等比數(shù)列滿足：，則的最小值為．【答案】【分析】先求得，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，等比數(shù)列滿足：，所以，且，所以，當且僅當時等號成立，此時.所以的最小值為.故答案為：23．若等比數(shù)列滿足，，則．【答案】112【分析】由等比數(shù)列的性質計算即可.【詳解】，故，解得，故．故答案為：11224．設等比數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】由已知求出通項公式，再結合對數(shù)化簡式和等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，所以，又，解得，故，，所以.故答案為：25．在數(shù)列中：(1)若為等差數(shù)列，且，求．(2)若為正項等比數(shù)列，且，求的值．【答案】(1)440(2)205【分析】（1）利用等差數(shù)列的求和公式和下標和性質即可得到答案；（2）根據正項等比數(shù)列的性質即可得為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式和等比中項的性質即可得到答案.【詳解】（1）由等差數(shù)列求和公式知．（2）∵為正項等比數(shù)列，∴為等差數(shù)列，從而．重難點5等比數(shù)列的證明26．已知數(shù)列的首項為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【答案】(1)證明見解析(2)，數(shù)列不是等比數(shù)列【分析】（1）化簡變形為，結合定義即可證明；（2）由即可判斷.【詳解】（1）由，，得，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，所以所以數(shù)列不是等比數(shù)列.27．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：是等比數(shù)列.(2)求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）化簡已知條件，得到，從而證得是等比數(shù)列.（2）先求得的表達式，由此求得.【詳解】（1）∵，∴，又，，∴，，∴是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，∴.28．已知數(shù)列滿足，.(1)若數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由遞推公式可得，即，即可得證；（2）由（1）可得，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得；【詳解】（1）解：因為，所以，又，，所以，即，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可得，即，所以所以29．已知數(shù)列{an}滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式.【答案】證明見解析，；【分析】由已知得4an+1=3an+anan+1，化簡變形得，則可得，求出，所以可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出數(shù)的通項公式【詳解】由已知得4an+1=3an+anan+1，∵a1≠0，∴由遞推關系可得an≠0恒成立，∴，∴，即，又∵，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，；30．已知數(shù)列滿足，且點在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式：【答案】證明見解析；.【分析】將點代入函數(shù)解析式后變形可得，進而可構造等比數(shù)列求解.【詳解】由點在函數(shù)的圖象上，可得，所以，即，也即，由，所以，所以是首項和公比均為的等比數(shù)列，則，所以；31．已知數(shù)列滿足，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；【答案】證明見解析，；【分析】將條件變形為，則可構造等比數(shù)列求解.【詳解】證明：∵，，∴，，又，∴，故數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，故.知識點三等比數(shù)列的前n項和公式已知量公式首項與公比首項,末項與公比知識點四等比數(shù)列前項和的性質（1）等比數(shù)列中,若項數(shù)為,則;若項數(shù)為,則.（2）若等比數(shù)列的前項和為,則成等比數(shù)列(其中均不為,公比為.（3）若一個非常數(shù)列的前項和,則數(shù)列為等比數(shù)列,即數(shù)列為等比數(shù)列.重難點6前n項和基本量運算32．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據基本公式，求公比，再根據首項求通項公式.【詳解】由，可知，則，化為，因為，所以，解得，因為，所以.故選：B33．已知為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則S5等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等差中項的性質得到，結合，利用等比數(shù)列的基本量求得和公比，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到.【詳解】因為與的等差中項為，所以，設等比數(shù)列的公比為，又，得：，解得：，則，故選：C.34．已知等比數(shù)列的公比為，前項和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等比數(shù)列前項和列出與，兩式相比即可解出答案；或根據等比數(shù)列前項和的性質得，，成等比數(shù)列，且公比為，即可列式，代入值即可解出答案.【詳解】法一：因為等比數(shù)列的公比為，則，，所以，解得.法二：根據等比數(shù)列前項和的性質得，，成等比數(shù)列，且公比為，所以，即，解得..故選：C35．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為【答案】【分析】利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為是正項等比數(shù)列.所以首項，公比.又因為所以當時，，，故；當時，有，解得.故答案為：36．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，若，則．【答案】33【分析】根據給定條件，求出及即可求出.【詳解】等比數(shù)列中，由，得，解得，則由前n項和為，得，而，因此，解得，即有，所以.故答案為：3337．在公比為的等比數(shù)列中，為其前項和，（），且，則．【答案】/0.5【分析】由等比中項的性質解出，再由求和公式得到結果.【詳解】由，得，又，聯(lián)立可解得，因為，所以，解得．故答案為：38．等比數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據等比數(shù)列的求和公式，列出方程，求得，再結合等比數(shù)列的通項公式，準確計算，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，首項為，且，若，則，與題設矛盾，所以，則，解得，所以.故答案為：.重難點7前n項和的性質39．已知等比數(shù)列有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據等比數(shù)列的性質得到奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項和的公式求出n即可．【詳解】因為等比數(shù)列有項，則奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，設公比為，得到奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B40．已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和1011，偶數(shù)項之和為2022，則這個數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【分析】設該等比數(shù)列為,其項數(shù)為項，公比為,利用等比數(shù)列的求和公式表示出奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和，兩式相除即可求解.【詳解】設該等比數(shù)列為,其項數(shù)為項，公比為,由題意易知，設奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為，易知奇數(shù)項組成的數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項組成的數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，所以,即.所以這個數(shù)列的公比為2.故選:D.41．在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則（

）A．786 B．240 C．486 D．726【答案】D【分析】根據等比數(shù)列前n項和的性質可得，，，…成等比數(shù)列．結合等比中項的應用計算即可求解.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，，，…仍為等比數(shù)列．設，因為，，所以6，，成等比數(shù)列．由，解得或（舍去），所以數(shù)列，，…的公比為3．因為，，，所以，，故，.故選：D42．記等比數(shù)列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設等比數(shù)列的公比為（），根據求得，再由等比數(shù)列的性質得到，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為（），則，解得：，又，所以，故選：C.43．設等比數(shù)列的前項和是.已知,，則.【答案】13【分析】根據等比數(shù)列片段和的性質即可求解.【詳解】因為是等比數(shù)列的前項和且，所以，，也成等比數(shù)列，則.因為,，所以，解得.所以.故答案為：.44．已知是正項等比數(shù)列的前項和，，則的最小值為.【答案】【分析】由等比數(shù)列的性質可得：，，成等比數(shù)列，可得：進而根據二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質可得：，，成等比數(shù)列，則，由于，所以，當且僅當時取最小值，故最小值為故答案為：重難點8與的關系45．已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】D【分析】由條件用參數(shù)表示前三項計算即可.【詳解】，，故，解之得或（舍去），故.故選：D46．已知數(shù)列的前項和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據之間的關系式得到，得到數(shù)列是從第二項開始的等比數(shù)列，從而求出通項公式，求出答案.【詳解】當時，由①，可得：②，兩式相減得：，所以，，當時，，故數(shù)列是從第二項開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以，所以故選：C47．等比數(shù)列的前項和，則的值為.【答案】【分析】根據等比數(shù)列的前項和公式，求，再結合等比數(shù)列的性質，列式求解.【詳解】根據題意，等比數(shù)列的前項和，則，，則有，解可得，故答案為：48．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則．【答案】8【分析】根據，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據等比數(shù)列的通項公式計算可得.【詳解】解：等比數(shù)列的前項和為，且，∴，∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．在中，令，可得，∴，則．故答案為：8．49．已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式：(2)若正整數(shù)m滿足不等式，求m的最大值．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據，作差可得（），即可得到是以為首項、為公比的等比數(shù)列，從而得到其通項公式；（2）由（1）可得，即可得到指數(shù)不等式，再根據指數(shù)函數(shù)的性質求出的取值范圍，最后根據為正整數(shù)，即可得解；【詳解】（1）解：因為①，當時，解得，當時②，①②得，即，即，所以，，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以.（2）解：由（1）可知，因為，所以，即，解得，所以，因為，所以的最大值為.50．已知數(shù)列，的前n項和分別為，，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據與的關系求解即可.（2）首先利用錯位相減法得到，再利用作差法證明即可.【詳解】（1）因為，所以，則，當時，，所以，化簡得，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此（2），，則，所以，兩式相減得，即，故.所以當時，，所以．重難點9等比數(shù)列的實際應用51．某家庭打算為子女儲備“教育基金”，計劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用存款，便這筆款到2027年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息并按復利計算（復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息），則每年應該存入約（

）萬元.（參考數(shù)據：，）A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6【答案】A【分析】首先設每年應該存入萬元，寫出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比數(shù)列求和公式，即可求解.【詳解】設每年應該存入萬元，則2021年初存入的錢到2027年底本利和為，2022年初存入的錢到2027年底本利和為，……，2027年存入的錢到2027年底本利和為則，即，解得：.故選：A52．有一個人進行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半.則此人第4天和第7天共走了里.【答案】27【分析】根據題意知，此人每天走的里數(shù)構成公比為的等比數(shù)列，按照等比數(shù)列前項和公式及通項公式求解即可.【詳解】由題意知，此人每天走的里數(shù)構成公比為的等比數(shù)列，設等比數(shù)列的首項為，則有，所以有.所以此人第4、7天共走了27里.故答案為：27.53．一個小球從54米高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的處，則小球第2次落地時，經過的路程是米；小球第次落地時，經過的路程是米．【答案】90【分析】先求出通項公式，再利用等比數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】設小球第1次落地時經過的路程為，小球從第次落地到第n次落地時經過的路程為米，則，所以小球第2次落地時，經過的路程是米，小球第次落地時，經過的路程是米．54．我國某西部地區(qū)要進行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中是沙漠.從第2年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的改造成綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設綠洲面積為萬平方千米，第年綠洲面積為萬平方千米.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)至少經過幾年，綠洲面積可超過（參考數(shù)據：）？【答案】(1)；(2)6年.【分析】（1）由題意，列出第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關系，再利用構造法求出數(shù)列的通項公式即可.（2）由題意，列出不等關系，然后利用指數(shù)與對數(shù)的運算性質求解即可.【詳解】（1）依題意，當時，，即，整理得，而，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，令，即，于是，因為，即，則，而，則，所以至少經過6年，綠洲面積可超過60%.重難點10等比數(shù)列與數(shù)學文化的結合55．我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題（意為）：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里【答案】C【分析】由題意可得此人每天所走的路程是以為公比的等比數(shù)列，再根據等比數(shù)列前項和公式即可得解.【詳解】設這個人第天行走的路程為，由題意可得，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則有，解得，即此人第1天走的路程是192里.故選：C.56．《塵劫記》是元代一部經典的古典數(shù)學著作，里面記載了一個有趣的數(shù)學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數(shù)量為，每個月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前項和分別為，，可知，，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得的值判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的值判斷選項D.【詳解】依題意，，.因為，，所以.故數(shù)列是以14為首項，7為公比的等比數(shù)列.故，，而，故.故，，選項A：.判斷錯誤；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：C.57．公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗【答案】A【分析】根據等比數(shù)列的通項公式與前項和公式計算．【詳解】由題意記10人每人所得玉米時依次為，則時，，，即是等比數(shù)列，由已知，，（斗）．故選：A．58．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設，得到為等比數(shù)列，求得，結合，進而求得的值．【詳解】由題意，數(shù)列1，1，2，8，64，…為，且為一階等比數(shù)列，設，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，所以，則，所以第8項為．故選：C.59．明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應鐘的波長成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長之積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的第一項和第四項用通項公式可求出公比，進而求出第二項和第五項可得答案.【詳解】設該等比數(shù)列的公比為，則，即，則夾鐘和南呂的波長分別為，，故夾鐘和南呂的波長之積為.故選：B.60．（多選）《塵劫記》是元代一部經典的古典數(shù)學著作，里面記載了一個有趣的數(shù)學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數(shù)量為，每個月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前n項和分別為，可知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據題意得到，從而得到數(shù)列和數(shù)列為等比數(shù)列求解.【詳解】解：由題意可得：，即，且，所以數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，則，可得，當時，，且滿足上式，故，可得，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，可得，綜上可得：，，，.故B、C正確