高考數(shù)學(xué)模擬壓軸題集錦

高考數(shù)學(xué)模擬壓軸題集錦

1.(學(xué)海大聯(lián)考三)已知函數(shù)於)=X?，-l(a>0,XGR).

⑴當(dāng)Q>1時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間和值域，并證明方程式X)=0有唯

一根；

⑵當(dāng)0<aWl時(shí)，討論方程*xl)=O的實(shí)根的個(gè)數(shù)情況，并說(shuō)明理

由。

2.(杭州已知等比數(shù)列｛明｝的前n項(xiàng)之和

5“=2"+〃,(〃€/?),數(shù)歹帥“｝滿足a=地2怎.求(1)求p的值；

(2)寫出通項(xiàng)恁的表達(dá)式；

(3)記"lim她+%%+…+”也，求t的值;

〃T8(〃+1)?T

(4)求和7“=*+叢_”+…+(7嚴(yán)說(shuō)

3.(2008湖南師大附中)已知數(shù)列｛氏｝滿足：%=2,%=2(1+4%.

n

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=(A〃2+B〃+C).2",試推斷是否存在常數(shù)A,B,C,使

對(duì)一切〃wN*都

有an=bll+l-bn成立？說(shuō)明你的理由；

(3)ARTIE:%+%+…+”“22,,+~—6

4.(黃岡中學(xué))設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x),滿足當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)>l,且

對(duì)任意x,yeR,有/(x+y)=f(x)-f(y)J(l)=2.

(1)求f(0)；

(2)求證：對(duì)任意xwR,都有/'(x)〉0;

(3)解不等式〃3x-X2)〉4；

(4)解方程"(x)f+“(x+3)=/(2)+L

22

5.(學(xué)海大聯(lián)考二)若F1、F2分別為雙曲線力一方=1下、上焦點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線的下支上，點(diǎn)M在上準(zhǔn)線上，且滿

「_________~ppFC)

足：F,0=MP,(>>0)。

'\F,P\\FtO\

(1)求此雙曲線的離心率；

(2)若此雙曲線過N(小，2),求此雙曲線的方程

(3)若過N(小，2)的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別Bi，B2(B2在尤軸正半

軸上)，點(diǎn)A、B在雙曲線上，且職=〃“，求的_L還時(shí)，直線

AB的方程。

6.(唐山市)已知數(shù)歹！J區(qū)}的前n項(xiàng)和Sn滿足SnH=kSn+2,又ai=2,a2=lo

(1)求k的值；

(2)求Sn；-S-n---m<s-1

Sn+i-m2

(3)是否存在正整數(shù)m,n,使成立?若存在求出這

樣的正整數(shù)；若不存在說(shuō)明理由.

7.(蘇、錫、常、鎮(zhèn)二)已知數(shù)集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,

19},…,其中第〃個(gè)集合有〃個(gè)元素，每一個(gè)集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成,

并且每一個(gè)集合中的最大數(shù)與后一個(gè)集合中的最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù).

(I)求數(shù)集序列第〃個(gè)集合中最大數(shù)4的表達(dá)式；

(II)設(shè)數(shù)集序列第〃個(gè)集合中各數(shù)之和為7；.

(i)求的表達(dá)式；

(ii)令=+(neN),求證：2s/(〃)<3.

8.)對(duì)于函數(shù)/(x),若存在x°wR,使/(x0)=x。成立,

則稱點(diǎn)(4,%)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。(1)已知函數(shù)/(x)=ax2+/zx-b("0)有

不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)求a與人的值(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，

函數(shù)/(x)=ax2+bx-b｛a中0)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個(gè)不動(dòng)點(diǎn),

求證：〃必為奇數(shù)。

9.)設(shè)點(diǎn)集L=｛(x,y)ly=32,其中向量

”(2,D,，=(x,l)｝,點(diǎn)匕&也)在L中,4為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，數(shù)列｛2｝的

前n項(xiàng)和s.=〃2.

(1)求數(shù)列｛%｝、■,｝的通項(xiàng)公式。

(2)若c:=?22),計(jì)算lim?+q-----卜％)。

nIPyPnI"is

(3)設(shè)函數(shù)/(〃)=%+(-是否存在ZeN*,使f(k+10)

=3f(k),若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由

10.已知兩個(gè)函數(shù)/(X)=7X2-28X,

g(x)=2x3+4x2-40無(wú)+c.

(I)%x)圖像與/(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解不等式F(x)N/(x)-|x+3|;

(II)若對(duì)任意xe[—3,3],都有"x)〈g(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取

值范圍.

11.(北京豐臺(tái))四邊形ABCD是梯形，\s\up7(-(一)建?\s\up7(-(-)At)

=0,\s\up7(一(一)油與\s\up7(T(一)Ct)共線，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)

分別為(-1,0),(1,0),C、D是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|CD|=|BC|。

(I)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(II)設(shè)直線BC與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的另一交點(diǎn)為P,過點(diǎn)B且垂直

于BC的直線交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E于M,N兩點(diǎn)，求四邊形CMPN面

積的最小值。

12.(北京石景山)已知函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意。。與(人Z),都有

式子/(a-tan。)=cotC-l成立(其中a為常數(shù)).

(I)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(II)利用函數(shù))=/*)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：

對(duì)于給定的定義域中的為，令/=/區(qū))，七=/5)，…，

在上述構(gòu)造過程中，如果七(i=l,2,3,-)在定義域中，那

么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果王不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的

過程就停止.

(i)如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；

(ii)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得取定義域中的任一值作為引，

都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列區(qū)｝?若存在，求出

。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(iii)當(dāng)a=l時(shí),若為=-1,求數(shù)列｛五｝的通項(xiàng)公式.

13.(北京市朝陽(yáng))在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝中，前n項(xiàng)和Sn滿足

2S“+1=%(2%+1),〃￡N*。

(D證明｛凡｝是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和

的公式；

2

(II)在XOY平面上，設(shè)點(diǎn)列Mn(xn,yn)滿足=nxn,S?=nyn,

且點(diǎn)列Mn在直線C上，Mn中最高點(diǎn)為Mk，若稱直線C與x軸、直

線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間［a,b］上的面積，

試求直線C在區(qū)間M，xj上的面積；

(III)是否存在圓心在直線C上的圓，使得點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)

點(diǎn)都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

14.(北京東城一)已知函數(shù)f(x)=l-L(x>0).

X

(I)當(dāng)Ovacb,且f(a)=f(b)時(shí)，求證：ab>l；

(II)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都

是［a,b］,若存在，則求出a,b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］

時(shí)一，值域?yàn)椋踡a,mbj

(mWO),求m的取值范圍.

15.(北京東城二)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(x),存在實(shí)數(shù)X。，

使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)總有/(尤+/工2)=J(X())+/(X,)+/區(qū))恒成立.

(1)求的值.

⑵若且對(duì)任意正整數(shù)〃，有"卷力一擊+1,

記

比較gs.與

s“=ala2+a2a3+-+anan+i,Tn=瓦%+%瓦+…+”也用,

*的

大小關(guān)系，并給出證明;

2

(3)右不等式an+I+an+2H---1-a2n>—[log,(x+1)-log,(9x-1)+1]對(duì)任

52

意不小

于2的正整數(shù)〃都成立，求x的取值范圍.

16.(北京西城)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)/(x)構(gòu)成的集合：“①

方程“X)-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)滿足

⑴判斷函數(shù)"x)=>等是否是集合M中的元素,并說(shuō)明理由；

(II)集合M中的元素/(x)具有下面的性質(zhì)：若/(x)的定義域?yàn)?/p>

D,則對(duì)于任意

[m,nJcD,都存在無(wú)。e[m,n],使得等式

f{n}-f(m)=(〃一機(jī))/'(X。)成立”,

試用這一性質(zhì)證明：方程/(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(III)設(shè)苞是方程“x)-x=0的實(shí)數(shù)根,求證：對(duì)于/(x)定義域中

任意的巧，》3,當(dāng)?-a1<1，且?--X]1<1時(shí),"(33)-/(“2)1<2?

17.(豫南五市)設(shè)曲線y=理+京2+以在點(diǎn)X處的切線斜率為k(x),

且k(-1)=0.對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式xWk(x)W；(/+1)恒成立(aN0).

(1)求Ml)的值；

(2)求函數(shù)k(x)的表達(dá)式;

于Q.

(1)試用f表示切線PQ的方程；

(2)試用/表示AQAP的面積g⑺在(〃?,〃)上單調(diào)遞減，試求出機(jī)

的最小值.

(3)若SAQM號(hào),64,試求出點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍

19.(陜西)已知點(diǎn)Ai,A2,…，An，…依次在x軸上，A1(1,0),

A?(5,。)，A“A“+]=；(n=2,3,…)；點(diǎn)B]，B2,…，Bn…

依次在射線y=x(x20)上,且Bi(3,3),|西|+2及(n=2,3,--■).

(1)用n表示An與區(qū)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線AnBn的斜率為kn,求lim片的值；

(3)若四邊形AnA'Bn+iBn的面積為S,求證：9<SW12.

20.(上海)在等差數(shù)列｛%｝中，a454=-14,S5-a5=-14,其中S“是

數(shù)列｛環(huán)｝的前〃項(xiàng)之和,曲線C”的方程是上+亡1,直線/的方程

kl4

是y=x+3。

(1)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)直線/與曲線J相交于不同的兩點(diǎn)A,,,Bn時(shí),令

%=MJ+4)|A聞,求心的最小值;

(3)對(duì)于直線/和直線外的一點(diǎn)P,用“/上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小

值”定義點(diǎn)P到直線/的距離與原有的點(diǎn)到直線距離的概念是等價(jià)的,

若曲線C,與直線/不相交，試以類似的方式給出一條曲線。“與直線/

間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個(gè)橢圓,

求出該橢圓與直線/的“距離”。

21.(石家莊市)設(shè)H是AABC的外心，4(1,0),8(-1,0),0為

坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G滿足：3k=蘇+而，且/1

-61DX

GH^AAB,AER

(1)求頂點(diǎn)。的軌跡后的方程；

(2)如圖，從點(diǎn)0(，,0)發(fā)射出一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m沿拋物線G：

y=-ax2+h向上飛行到點(diǎn)尸時(shí)，立即得到變軌指令，

即開始沿著曲線E運(yùn)動(dòng)，兩曲線G和E在公共點(diǎn)P處的

切線相同，求拋物線G的方程.

22.(保定市)已知函數(shù)f(x)=「?1,其中向量

a=(lnx\」),b=(」一,ln(x+1)A+l),

x+1x+1

設(shè)g(x)=r(x)(x+'+2),(其中八x)是f(X)的導(dǎo)數(shù))

X

⑴試比較乎g(10)與g⑵的大小

⑵設(shè)數(shù)列。滿足*=g(〃)；是否存在最大的實(shí)數(shù)t,使函數(shù)

/*)=/一4x-3g(〃)，當(dāng)xWt時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)〃，都有〃X)NO.(其

中e=2.71828……)

23.(江蘇南京)過曲線。牝=爐上的點(diǎn)4(孫月)作曲線c的切線與

曲線C交于尸2(g內(nèi))，過點(diǎn)P2作曲線C的切線勻與曲線C交于點(diǎn)

尸3<>3,%），依此類推，可得到點(diǎn)列：乙區(qū),弘）

2（》2，必），6（%3，%），”—“，焉），一,，已知玉=1

（1）求點(diǎn)P2、P3的坐標(biāo).

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

（3）記點(diǎn)P,到直線J（即直線二—2）的距離為慮，

求證：_L+J_+...+_L>上

4*4,9

24.（宜昌市）已知拋物線尸=4x內(nèi)一點(diǎn)p的坐標(biāo)為尸01）

（1）過點(diǎn)P作直線/與拋物線交于4、8兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸剛好為弦4B

的中點(diǎn)，求直線/的方程；

（2）若過線段4B上任一點(diǎn)片（不含端點(diǎn)A,8）作傾斜角為n-arctan2

的直線與拋物線交于4向兩點(diǎn),求證：1烏41g|81=1尸

（3）過尸作斜率分別為劭也（的萬(wàn)2）的直線總小4交拋物線于

A2,紇，〃交拋物線于4,a,若IP&IIP%ITP4川尸%I，求自+的的

值.

參考答案

1.解：(理(x)=a'+x?a"lna=(1+xlna)a*(a>l)...............

①

由f，(x)>0得1+xlna>0,解得x>—J—；由f'(x)〈。得1+

Ina

只11水°，解得水一在

.."(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一在,+8),單調(diào)減區(qū)間為(一8,一

1

2分

Ina

當(dāng)戶一七時(shí)，人人戶人一心)=一a?a±_1=_?

又limf(x)=-1,limf(x)=+8,_f(x)的值域?yàn)椤?,

XT-00XT+00elna

+°0)...................4分

又,.,/'(0)=-1〈0,lim廣(才)=+8,又/'(才)在［0,+8)上遞增,

Xf+00

方程F(x)=0在［0,+8)上有唯一實(shí)

根......................................6分

而lim尸(才)=—1<0,.,.方程f(x)=0在(-8,0)上無(wú)實(shí)根

Xf-oo

二?方程/"(才)=0有唯一實(shí)根，尸/'(X)在(一8,0)上函數(shù)值y均

小于0.......................7分

(2)\?函數(shù)F(|x|)為偶函數(shù)，故只需討論x20時(shí)，方程/<|x|)=0

亦可求F(x)=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

I.當(dāng)a=1時(shí)，方程f(x)=0有唯一實(shí)根x=

1;...........................................................8分

II.當(dāng)0〈水1時(shí)，由①式，同理可知xNO時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間

為(0,—,單調(diào)減區(qū)間為(-4，+°°)o當(dāng)x=-4時(shí)，

InaInaIna

r(x)max=-—T--L..........................................9分

elna

又?."(())=一l<0,limf(x)=-L故有

1_1

當(dāng)一一^一1<0即0C水二時(shí)一，方程f(x)=0無(wú)實(shí)根；

elna

1_i、

當(dāng)一一j——1=0即&=一時(shí)，方程/'(才)=0有唯一實(shí)根；

elna

1_i

當(dāng)一一^一1>0即e7<a<l0寸，方程f(x)=O有兩個(gè)實(shí)

elna

根；...................12分

綜上可知：

當(dāng)0〈a〈心時(shí),方程f(|x|)=0無(wú)實(shí)根;

當(dāng)&=二或1時(shí)，方程/"(|引)=0有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)<a<l時(shí)，方程f(|x|)=0有四個(gè)實(shí)

根。...............................14分

2.(1)n22時(shí)an=Sn—Si=2'i,

,.?|4|成G、P,且公比q=2=2,&i=2+p也應(yīng)滿足a=2'1,

%

.**p=—1(2分)(文科4分)

(2)通項(xiàng)4=2nf,(n￡N*).(4分)(文科8分)

(3)Vbn=n—1,且Qn=ab+a2b2+…+&nbn,

則Qn=O?1+1?2+2?22+3?23+―+(n-l)?2"-1

23n-1n

2Qn=l?2+2?2+-+(n-2)?2+(n-l)?2,

相減可得Qk(n—2)?2"+2.于是一帚"2)2+2_](9分)

8(〃+1)?2”

(4)n=2k時(shí)(kGN*),=舊-及)+(b；—b：)+...+

=~(bi+b2+???+b2k)=—[1+2+…+(2k—l)]

=-2k2+k

n=2k-l時(shí)(k￡N*),T“=(b：-及)+...+(以_「玩皿y

=-[l+2+-+(2k-3)]=-2k2-3k+l,

-T=\~2k~+k5=2k),伏**)(14分)(文科14分)

”[2k2-3k+l,(n=2k-l),

3.⑴由已知J.....................

n(〃+D~n

(2分)

數(shù)列｛*｝是公比為2的等比數(shù)列，又2=2

n1

.?.2=2".a=2n-n2.......................................

n~n

.....(4分)

2n

(2)bn+x-bn=[An+(4A+B)n+2A+2B+C]-2

(6分)

若%=2+i―久恒成立，則〃2=A/+(4A+8)〃+2A+28+C恒成立.

A=1例=1

.?」4A+B=0=B=-4,故存在常數(shù)A、B、C滿足條件.......

2A+2B+C=0匕=6

(9分)

(3)ay+a2-\-----F%=(%―4)+(4-%)H-----1-(6,1+1~bn)-bil+i(11

分)

=[(“+1)2-4(n+1)+6]-2n+l-6=(n2-2/z+3)-2,,+1-6

=[(n-l)2+2]-2n+l-6>2,,+1-6

4.(1)f(x)=/(x+0)=f(x)./(0),.-.x>(M,/(x)>I,；./(O)=1

(2)/U)=/(j+j)=[/(1)]2>0.

假設(shè)存在某個(gè)/eR,使/(/)=0,

則對(duì)任何x>0,有/(x)=+=/〉一%0>/(%)=。與已知矛

盾，

??.xeR均為滿足f(x)>0

(3)任取xt,x2e/?且X1<x2，則￡-X]>O,f(x2-X1)>1

；?/(》2)-/(再)=一匹)+%/一/(為)=/(》2一七)一/(為)

=/(演)"(々-X)-1]>0

.?.xeR時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

???/⑴=2,則/(2)=/⑴?/⑴=4

/Ox--)>4=/(2),;.3%-工2>21<x<2

:.不等式的解集為{x11<x<2}

(4)/⑶=/(1+2)=/⑴"⑵=8

方程"(刈2+3/(》+3)=/(2)+1可化為"(刈2+。/(3)./口)=5,

即"(刈2+4。(幻-5=0,解畫(外=1或〃*)=-5舍)，由⑴得尸0.

故原方程的解為產(chǎn)0.

5.：(1)項(xiàng)=講=西=旃，.\PFQM為平行四邊形，

又麗="/幺+獸~)知M在NPFQ的角平分線上，

\FiP\\F.0\

四邊形PF.0M為菱形，且邊長(zhǎng)為I兩匕電=

c.........................2分

IPE>I2a+c2

**?IPF21_2a+lPFtI—2a+c?由弟一定乂?〃加一e即——=e,~+1

=e且e>l

??

6^2..............................................................................................................................................

.....4分

(2)由疔2,2a即展34，雙曲線方程為J一力=1

a3a

又NG/li2)在雙曲線上，4六3=1,.?.4=3.二雙曲線的方程

va3a

Jy「八

為勺―互=1…7分

(3)由%=國(guó)知AB過點(diǎn)Bz,若ABJ_x軸，即AB的方程為尸3,

V2X2

此時(shí)ABi與BBi不垂直；設(shè)AB的方程為3)代入w3=1

得

(3A2-1)/-18^+27A2-

9=0...................................9分

由題知3A2—IWO且△＞（）即心］且左曷,

b3

設(shè)交點(diǎn)A(x”yi),B(X2,%),而=(石+3,7]),即=(涇+3,

%),

.B,ALBXB,而瓦7=0即X}X2+3(E+XD+9+》為=

011分

,,418A2

此時(shí)為+場(chǎng)=37_],x?蒞=9,

5442

必必=尸（荀一3）（步-3）=爐［為上2—3（為+蒞）+9］=左［18—荻口］

18A2

3/一1

18A218/

.,.9+3-3A-2-l+9-3^-l=0,.*.5*=1,：.k=

AB的方程為片土當(dāng)（x

3).14分

6.(I)VS2=kS,+2

??ai+42二ka1+2

又ai=2,a2=l,2+l=2k+2

2

2

2分

（n）由（i）知

Sn+Il=-2Sn+2

當(dāng)n22時(shí),

①-②，得

2)..

又a?=gap易見a°,0(neN*)

a1

.?.a=—(nwN*)

a?2

于是｛aj是等比數(shù)列，公比為，所以

6分

不等式Sb01<]_即

(Ill)

4(1--)-m.

____2^<1

12

4(1——)-m/

'2n+lr

整理得2V2n(4-m)<

68分

假設(shè)存在正整數(shù)m,n使得上面的不等式成立，由于2n為偶數(shù)，4-m

為整數(shù)，則只能是

2n(4-m)=4

2n=2,-3=4

,WnVJ.......................................................

4-m=2;[4-m=1

......10分

S-m1

---n-------<s-

sn+,-m2

因此，存在正整數(shù)m=2,n=l；或

7.(I)???第〃個(gè)集合有〃個(gè)奇數(shù)，.?.在前〃個(gè)集合中共有奇數(shù)的個(gè)

數(shù)為

1+2+34-----b(〃-l)+〃=~n(n+1)?..............................................

........2分

則第n個(gè)集合中最大的奇數(shù)

12

an-2x—n(/?+l)-l=n+〃-l?4分

(II)(i)由(I)得+〃-1,

(〃eN*).…7分

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，/⑴=2,顯然2W

/⑴<3.................................8分

(2)當(dāng)“22時(shí)，

1+-|=C?(i)°+C；,(-))+C;(-)2+.?.+C：：(-)H......9分

nJnnnn

>c：d)o+c：(與=2,...........................

nn

..........10分

〃(〃一1)(〃一2)???(〃一%+1)11

c：(-)4

n

w

1___1__

12分

(k-Dk

1+-|=c：(-)0+C；(與+C；(%+…+c：；(-)n

VnJnnnn

〈1+1+(1一;)+(;一;)+…+(^~...

13分

14分

即

/(?)<3.

15分

綜上所述，2W

/(//)<3...............................................16分

8o(1)由不動(dòng)點(diǎn)的定義：/(%)-%=0,

ax1+(b—\')x-b-0,代入x=l知a=l,又由x=-3及a=l知

/?=3o

?/?—3o

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)b,f(x)^ax2+hx-b(aW0)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),

即是對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，方程/(x)-x=0總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。

ax'+(b-l)x-Z?=0中△=(6-1)?+4ah>0,

即/+(44—2)。+1>0,恒成立。故劣=(4a—2沖一4<0,/.0<a<1o

故當(dāng)0<。<1時(shí)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，方程/(無(wú))總有兩個(gè)相異的不動(dòng)

點(diǎn)。

(3)g(x)是R上的奇函數(shù),則g(0)=0,(0,0)是函數(shù)g(x)的

不動(dòng)點(diǎn)。若g(x)有異于(0,0)的不動(dòng)點(diǎn)(%,%),則g(Xo)=X°。

又g(-Xo)=-g(x())=-%0,(-x0,-x0)是函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)。

???g(x)有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對(duì)出現(xiàn)的，有兼?zhèn)€(女eZ),

加上原點(diǎn)，共有”=2女+1個(gè)。

9.(1)L中y=1,2=2x+l,點(diǎn)月也)在L中，bn=2an+l,

9

a}—O,Z?j=1....3

又仇}的前n項(xiàng)和Sn=〃2,利用b“=s“>2),得a=2/z-l

.,.a-———--n-\....5'

"2

(2)

13T=《)2+依_32=J(〃_I)2+(2〃_2)2=⑹〃-11=圓—1)(〃>2)

%==0(_L」)(〃>2)……8'

nIP}PnIn(?-1)n-1n

，C2+C3+???+C〃=V2[(-_3+(L3+…(」---)i=V2(i--).......文科io，

1223n-1nn

二?lim(c2+C3+…+%)=V2............理科1O'

/I—>00

(3)設(shè)存在使f(k+10)=3f(k),

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f(k)=ak-bk=-k,f(k+lQ)=-k-lQ

由-kT0=-3k得k=5

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f(k)=ak+bk=31—2,/伏+10)=3(k+10)—2=33+28

由3k+28=3(3k-2)得卜="e”

3

故存在k=5,使f(k+10)=3f(k)……14'

10.(I)設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象上任一點(diǎn)0(%,%)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

P(x,y),

則Po=-X,

)o=—y.

?點(diǎn)。(刖打)在函數(shù)y=/(x)的圖象上.

-y-lx2+28x,即y=-lx2-28x,故

F(X)=-7X2-28X.(3分)

由尸(x)2/(x)—|x+3|,可得14x2<|x+3|.

當(dāng)xW-3時(shí)，14/+X+3W0,此時(shí)不等式無(wú)解.

3I

當(dāng)了2—3日寸，14廠—x—30,---WxW—?

72

因此，原不等式的解集為心六}.(7分)

(II)依題意2/_3/一I2x+c20在[-3,3旭成立.

令反(|x)=2x3-3x2-12x+c,h'(x)=6x2-6x-12，

令微弱分0x=2-1,(9

當(dāng)立，x<-1h'(x)>0;

當(dāng)期,<x<2h'(x)<0,

：./z(x)在愚蠕窗數(shù),在是減函期應(yīng)是增函數(shù).)(2,+oo)

當(dāng)相當(dāng)時(shí),,g)極大值扇4+c;x=2h(x)=-20+c

又人(3)=-9+c,力(-3)=-45+c,

.,.函數(shù)最小值為分)5+c.(12

依題意給5+cNO:,c245.(14

11.四邊形ABCD是直角梯形，且CD_LDA,X|CD|=|BC|,

所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，對(duì)稱軸為x軸

的拋物線。設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程y2=2px(p>0),則P=|AB|=2

所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程是

y?=4x(x#0,xH1).........3分

(另解：設(shè)C(x,y),則D(—1,y)依題意|x+l|=J(x—+y?=>y2=4x

(xHO,XH1))

(II)設(shè)直線BC斜率為k,由題意知，k存在且kxO,直線BC的方

程y=k(x—1)

y=k(x—1),,_,

=>k'x_—(2k_+4)x+k"=0,

依題意y=4x

設(shè)P(X1,y)C(X2，y2)

2k2+4,

^川JX[+X『x「X2=l

22

|PC|=-J(l+k)[(x(+x2)—4X]X2]=2k'

直線MN垂直于直線BC,以一,替代上式中的k,得

k

|MN|=4(k2+1)....7分

所以

S?MPN=||PC|-|BN|+1|PC|-|BM|

=||PC|(|BN|+|BM|)

=||PC|-|MN|

乙K

k4+2k2+l1

=o----------------=o(k2+—+2)

k~k

11

k29+—>28(k29+—+2)>32

k2k2

四邊形CMPN面積的最小值等于

32........12分

12.(I)=a-tan0(6。—),貝Utan6=Q—x,而cot。=--—=—-—

2tana-x

故/(x)=」一一1,

a-x

(xHa)............................3分

(II)(i)根據(jù)題意，只需當(dāng)xwa時(shí)，方程/(x)=x有

解，...........4分

亦即方程/+(l-a)x+l-a=0有不等于a的解.

將x=a代入方程左邊，左邊為1,與右邊不相等.故方程不

可能有解x=a.

.............5分

由A=(l-a)2-4(l-a)>0,得3或aNl,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-oo,-3]U[l,+oo)?......................7分

(ii)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得取定義域中的任一值作為x?

都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列｛4｝,那么根據(jù)題

意可知，正上上=4在R中無(wú)解，

a-x

......................8分

亦即當(dāng)xwa時(shí)，方程(l+a)x=q2無(wú)實(shí)數(shù)解.

由于》=4不是方程(1+4)工=42+。一1的解，

所以對(duì)于任意xWR,方程(l+a)x=a2+a—1無(wú)實(shí)數(shù)解,

因此解得

???a=-1即為所求。的

值............................11分

(iii)當(dāng)《=1時(shí)，/(x)=',所以，xn+[=——.

l-x1-xZJ

兩邊取倒數(shù)，得_L=±4=J_—i,即」=—i.

招+1當(dāng)X"x“+]x?

所以數(shù)列｛J_｝是首項(xiàng)為1=-1,公差4=—1的等差數(shù)列.

X“X|

故'=-1+(〃-1)?1)=一〃，所以，xn——，

乙?

即數(shù)列｛%?)的通項(xiàng)公式為

X,,=--............................14分

n

13,:(1)由已知得2s“=2。；+%-1①

故2s“+|=2a3+an+x—1②

②—①得2%+]=2%+|-2a：+an+i-an

結(jié)合%>0,得明+|-%=^

??.{*}是等差數(shù)列……2分

又〃=1時(shí),2a?=2a：+%-1,解得%=1或%=-g

?/an>0,a}=1........3分

又d=La=1+—(n-1)=—?+—........4分

2"222

._1M(n-1)123r/V

??S=〃H—?---------二一n~4—H******5刀

〃2244

2

(II)?/an=nxn,S?=nyn

a“11S?13

/.xn=——=—+—，yn=——=一+—

n22nn244n

即得點(diǎn)吃d+LL2)

"2In44〃

T^ix=—+—,y=—+—9消去n,得3x-2y-l=0

22〃44〃

即直線C的方程為3x-2y-l=0……7分

又2是n的減函數(shù)

44〃

??.M］為例中的最高點(diǎn),且此(1,1)

又M3的坐標(biāo)為（2,-）

32

???C與x軸、直線x=2、犬=1圍成的圖形為直角梯形

3

從而直線C在［：,1］上的面積為s=gx（；+l）x（l—$=；

10分

（III）由于直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為

113

M,(1,1),也(3,M3(-,-),十一—+一),??????

48322n44n

ffi］lim（—+—）=—,lim（—+—）=—

〃f822n2〃T844n4

因此，點(diǎn)列M0沿直線C無(wú)限接近于極限點(diǎn)M（工，1）……

24

12分

又“川=如一W+”；）2=理

MM的中點(diǎn)為（3,-）

48

???滿足條件的圓存在_

事實(shí)上，圓心為（之，?「2匹的圓，就能使得近中任何

488

一個(gè)點(diǎn)都在該圓的內(nèi)部,其中半徑最小的圓為（》十+（y令十

14分

14.：(I)Vx>0,.,.f(x)=<

—1,0<x<1.

，f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+8)上是增函數(shù).

由0〈a〈b,且f(a)=f(b),

可得0<a<l〈b和』-1=1」.

即“=2.

...2ab=a+b>27ab.

故>1,即ab>l.

(II)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b.

若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)y=f(x)=l-工的定義

X

域、值域都是

[a,b]，則a>0.

1—，x>1,

f(x)=,

0<x<1.

①當(dāng)a,be(O,l)時(shí)，f(x)」-l在(0,1)上為減函數(shù).

—1=b,

故f(a)=b,

f(b)=a.

解得a=b.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a

b.6分

②當(dāng)a,be[l,+oo)時(shí)，f(x)=l」在(1,+8)上是增函數(shù).

x

故[f(a)=a,a，

"b.」=b.

Ib

此時(shí)a,b是方程x2—x+l=O的根，此方程無(wú)實(shí)根.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,

b...............................8分

③當(dāng)a€(0,1),befl,+00)時(shí),

由于l€[a,b],而f⑴=0e[a,b],

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.

綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,

b...............................10分

(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]

時(shí)，值域?yàn)閇ma,mb].

則a>0,m>0.

①當(dāng)a,be(0,1)時(shí)，由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，故

fl,

——1=mbu,

.此時(shí)刻得a,b異號(hào)，不符合題意，所以a,b不

——1=ma.

lb

存在.

②當(dāng)ae(0,1)或be[1,+8)時(shí)-，由(II)知。在值域內(nèi)，值域不可能

是[ma,mb],所以a,b不存在.

故只有a,be[1,+8).

Vf(x)=1-工在[1,+00)上是增函數(shù),

X

1—=ma,

f(a)=ma,

即a

f(b)=mb.

1--=mb.

Ib

a,b是方程mx?-x+1=0的兩個(gè)根.

即關(guān)于X的方程mx2-x+1=0有兩個(gè)大于1的實(shí)

根................12分

設(shè)這兩個(gè)根為、，x2.

1

則X]+X?=—,X,?X=

m2m

A>0,