八年級數學上冊專題11.1 與三角形有關的線段（教師版）

專題11.1與三角形有關的線段目標導航目標導航1、認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形.2、掌握并運用三角形三邊的關系.3、了解三角形按邊分類的原則和結論.4、掌握三角形的高，中線及角平分線的概念、畫法及相關計算。5、通過觀察、感悟三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性．知識精講知識精講知識點01三角形及其分類三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．三角形按邊分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形?！局R拓展1】三角形的相關概念例1．（2021·襄陽陽光學校初二月考）三角形是指()A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形【答案】C【分析】根據三角形的定義解答即可．【解析】因為三角形的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的定義．解題的關鍵是熟記三角形的定義．【即學即練】1．（2022.廣東八年級期中）如圖,在△BCE中,邊BE所對的角是,∠CBE所對的邊是;在△AEC中,邊AE所對的角是，∠A為內角的三角形是?！敬鸢浮俊螧CE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE【解析】在△BCE中,邊BE所對的角是∠BCE,∠CBE所對的邊是CE;在△AEC中,邊AE所對的角是∠ACE,∠AEC所對的邊是AC,∠A為內角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE.【知識拓展2】三角形的分類例2．（2022·湖北黃石·八年級期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（

）A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形【答案】B【分析】根據三角形按照邊的分類方法解答．【詳解】解：根據三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形，故選擇B．【點睛】本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關鍵．【即學即練】1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示（

）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形【答案】D【分析】根據三角形的分類：等邊三角形屬于等腰三角形即可得到答案．【詳解】解：∵等邊三角形是特殊的等腰三角形，∴A表示的是等邊三角形，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形的分類，解題的關鍵在于能夠熟練掌握三角形的分類方法．知識點02三角形的三邊關系三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊．【微點撥】在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．【知識拓展1】已知兩邊求第三邊的范圍例1．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校七年級期中）已知三角形的兩邊a和b的長分別為3和8，則第三邊c的范圍為_________．【答案】【分析】根據三角形的三邊關系即可求出結論．【詳解】解：由題意可得∴故答案為：．【點睛】此題考查根據三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍，掌握三角形的三邊關系是解決此題的關鍵．【即學即練1】1．（2021·廣西河池市·八年級期末）已知的三邊長為2，7，，請寫出一個符合條件的的整數值，這個值可以是______．【答案】6或7或8【分析】根據三角形三邊關系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，故答案為：6或7或8．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【知識拓展2】三角形三邊關系的應用例2．（2022·江蘇南京·七年級期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】已知4條木棍的四邊長為3、4、6、8；選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為8；選4+6、8、3作為三角形，則三邊長為10、8、3，，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為10；選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；，不能構成三角形，此種情況不成立；選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為11、4、6；，不能構成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；故選：B．【點睛】本題實際考查的是三角形的三邊關系定理，能夠正確的判斷出調整角度后三角形木框的組合方法是解答的關鍵．【即學即練2】1．（2022河北七年級月考）若a，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的結果是()A．a＋b＋cB．－a＋3b－cC．a＋b－cD．2b－2c【答案】B分析：根據三角形三邊間的關系判斷出原式中每個絕對值符號里面的式子的值的正負，再結合絕對值的代數意義進行化簡即可.【解析】∵a，b，c是△ABC的三邊的長，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0，∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故選B.點睛：解答本題有以下兩個要點：（1）熟知三角形三邊間的關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊；（2）熟知絕對值的代數意義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.知識點03三角形的高線、中線和角平分線1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．3）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．【知識拓展1】三角形的高線、中線、角平分線相關概念例1．（2021·河北唐山·八年級期中）下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．正確的是（

）A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根據三角形的三條中線都在三角形內部；

三角形的三條角平分線都在三角形內部；三角形三條高可以在內部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上．【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯誤；④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點，高線指的是線段，故錯誤．所以正確的有

①．

故選A．【點睛】本題考查了對三角形的中線、角平分線、高的正確理解，解題的關鍵是熟練掌握這些性質.【即學即練1】1.（2022·廣東八年級月考）下列說法正確的是（）A．三角形三條角平分線的交點是三角形的重心B．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分C．三角形的中線、角平分線、高都是線段D．三角形的三條高都在三角形內部【答案】C【分析】根據三角形重要的線段的相關知識進行判斷即可得解.【詳解】A.三角形三條角平分線的交點是三角形的內心，故A錯誤；B.三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故B錯誤；C.三角形的中線、角平分線、高都是線段，故C正確；D.三角形的三條高不一定都在三角形內部，因為鈍角三角形有兩個高在三角形的外部，故D錯誤；故選：C.【點睛】本題主要考查三角形相關線段的知識點判斷，熟練掌握三角形線段的相關內容是解決本題的關鍵.2．（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】D【分析】根據折疊的性質可得，作出選擇即可．【詳解】解：如圖，∵由折疊的性質可知，∴AD是的角平分線，故選：D．【點睛】本題考查折疊的性質和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關鍵．【知識拓展2】三角形的高線、中線、角平分線的畫法例1．（2022·江蘇·蘇州市相城實驗中學七年級期中）網格中每個小正方形的邊長都是一個單位長度，將△ABC經過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標出了點B的對應點B′．根據下列條件，利用網格點和三角尺畫圖：(1)補全△A′B′C′；(2)畫出AC邊上的中線BD和AC邊上的高線BE；(3)求△ABD的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）根據平移的性質即可補全△；（2）根據網格即可在邊上找一點，使得線段平分的面積，進而可以在圖上作出線段；利用格點在圖中畫出邊上的高線即可；（3）根據網格即可求的面積．(1)解：如圖所示，△為所求作三角形；(2)解：如圖所示，為邊上的中線；如圖所示，為邊上的高線；(3)解：的面積為：．或者面積．故答案為：4．【點睛】本題考查了作圖平移變換，解決本題的關鍵是掌握平移的性質．【即學即練2】1．（2022·福建·連江縣鳳城中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，完成下列畫圖．（不必尺規(guī)作圖）（1）∠BAC的平分線AD；（2）AC邊上的中線BE；（3）AC邊上的高BF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）按角平分線的定義畫圖即可；（2）按中線的定義畫圖即可；（3）按照高的定義畫圖即可．【詳解】解：（1）如圖所示：AD即為所求；（2）如圖所示：BE即為所求；（3）如圖所示：BF即為所求．【點睛】本題考查了三角形的中線、角平分線和高的畫法，解題關鍵是熟練掌握它們的畫法，準確畫圖．【知識拓展3】三角形的高線、中線、角平分線的相關計算例1．（2022·綿陽市初二課時練習）在直角三角形ABC中，，，則的三條高之和為（）A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.【答案】B【分析】過點B作AC邊上的高BD，根據直角三角形的面積公式即可求出BD，從而求出結論．【解析】解：如圖，過點B作AC邊上的高BD．，，即，解得．的三條高之和為，故選B．【點睛】此題考查的是三角形的高和三角形的面積公式，掌握三角形高的定義和三角形的面積公式是解決此題的關鍵．例2．（2021·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據三角形中線的性質得，則兩個三角形的周長之差就是AB和AC長度的差．【詳解】解：∵AD是中線，∴，∵，，∴．故選：B．【點睛】本題考查中線的性質，解題的關鍵是掌握三角形中線的性質．【即學即練3】1．（2022·四川省成都市石室聯合中學八年級階段練習）如圖所示，的兩條角平分線相交于點，過點作EFBC，交于點，交于點，若的周長為，則______cm．【答案】30【分析】利用平行線的性質和角平分線的定義得到，證出，同理，則的周長即為，可得出答案．【詳解】解：，，平分，，同理：，即故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，證出，是解題關鍵．2．（2022·江蘇姜堰初一期中）如圖，在△ABC中，AE為邊BC上的高，點D為邊BC上的一點，連接AD．（1）當AD為邊BC上的中線時．若AE=4，△ABC的面積為24，求CD的長；（2）當AD為∠BAC的角平分線時．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度數；②若∠C－∠B=20°，則∠DAE=°．【答案】（1）6；（2）①15°；②10．【分析】（1）利用三角形的面積公式求出BC即可解決問題；（2）①根據三角形內角和求出∠BAC和∠CAE的度數，然后根據角平分線的定義求得∠CAD的度數，從而求解；②設∠C=x°，則∠B=（x+20）°，然后根據三角形內角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度數，然后根據角平分線的定義求得∠CAD的度數，從而求解．【解析】解：（1）由題意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面積為24，∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BC=6，（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=80°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°∵AD為∠BAC的角平分線∴∠CAD=∴∠DAE的度數為∠CAD-∠CAE=15°②設∠C=x°，則∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=（160-2x）°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°∵AD為∠BAC的角平分線∴∠CAD=∴∠DAE的度數為∠CAE-∠CAD=10°故答案為：10．【點睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線與高等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．知識點04三角形的穩(wěn)定性當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中．【知識拓展1】勾股數例1．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學七年級期中）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，多邊形具有穩(wěn)定性需要將其分割成三角形來逐項判定即可得出結論．【詳解】解：A．是一個四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項不符合題意；B．五邊形被分成一個三角形和一個四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項不符合題意；C．六邊形被分成兩個三角形和兩個四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項不符合題意；D．五邊形被分成三個三角形，三角形具有穩(wěn)定性，該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據選項中的圖形，看其是否全部由三角形構成，結合三角形的穩(wěn)定性逐項驗證是解決問題的關鍵．【即學即練1】1．（2022·江蘇·蘇州市振華中學校七年級期中）如圖，工具房有一個方形框架，小華發(fā)現它很容易變形，以下加固方案最好的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形的穩(wěn)定性即可解答．【詳解】解：根據三角形的穩(wěn)定性可得D是最好的加固方案．故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關鍵是當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．能力拓展能力拓展考法01利用三角形三邊關系證明不等式【典例1】（2021·綿陽市八年級月考）如圖，P是△ABC內一點，連接BP，PC，延長BP交AC于D．（1）圖中有幾個三角形；（2）求證：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5個；（2）證明見解析．【分析】（1）直接找出圖中的三角形即可，注意要不重不漏；（2）利用三角形的三邊關系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把兩個式子相加進行變形即可．【詳解】（1）圖中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5個．（2）證明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【點睛】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握兩邊之和大于第三邊．變式1.（2021?雁塔區(qū)期中）觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結論．（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）將（1）中點P移到△ABC內，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．（3）將（2）中點P變?yōu)閮蓚€點P1、P2得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．【分析】（1）根據三角形中兩邊之和大于第三邊，即可得出結果，（2）可延長BP交AC與M，根據兩邊之和大于第三邊，即可得出結果，（3）分別延長BP1、CP2交于M，再根據（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出結果．【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，（2）△BPC的周長＜△ABC的周長．理由：如圖，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長＜△ABC的周長，（3）四邊形BP1P2C的周長＜△ABC的周長，理由：如圖，分別延長BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得結論．【點評】本題考查比較線段的長短常常利用三角形的三邊關系以及不等式的性質，通過作輔助線進行解答．考法02三角形面積的等積變換【典例2】（2022·貴州·遵義市新蒲新區(qū)天立學校八年級期中）如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點，且△ABC的面積是8cm2，則陰影部分面積等于（

）A．2cm2 B．1.5cm2 C．1cm2 D．0.5cm2【答案】A【分析】先由D為BC中點，求出△ABD和△ACD面積，再由點E為AD中點求出△BCE面積，再根據F是CE中點，知陰影部分面積等于△BCE面積的一半，即可求解．【詳解】解：∵D是BC中點，△ABC的面積是8cm2，∴cm2，∵E是AD中點，∴cm2，cm2，∴cm2，∵F為CE中點，∴cm2，故選：A．【點睛】本題考查三角形面積的等積變換，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題關鍵．變式1．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，在中，E是上的一點，，D是的中點，且，則________．【答案】1【分析】根據高相同時，三角形面積比等于底邊之比，分別求出，再根據、，用兩式相減即得所求的值．【詳解】∵，D是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的面積，靈活運用高相同時面積與邊的關系，巧用兩個三角形面積中公共部分來轉換成所求面積差是解題的關鍵．變式2．（2021·廣西·南寧二中七年級期末）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖①，△MBC中，M是BC上一點，則有，如圖②，△ABC中，M是BC上一點，且BM＝BC，N是AC的中點，若△ABC的面積是1，則△ADN的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CD，有中線的性質得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，設S△ADN＝S△CDN＝a，則S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面積關系求出a的值，即可解決問題．【詳解】解：連接CD，如圖：∵N是AC的中點，∴＝＝1，∴S△ADN＝S△CDN，同理：S△ABN＝S△CBN，設S△ADN＝S△CDN＝a，∵△ABC的面積是1，∴S△ABN＝S△CBN＝，∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，∵BM＝BC，∴＝，∴＝＝，＝＝，∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，∵S△ACM＝S四邊形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，即：＝﹣a+a+a，解得：a＝，∴S△ADN＝，故選：B．【點睛】本題考查了中線的性質，三角形的面積，熟練掌握三角形中線的性質是解題的關鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．（2021·廣東汕頭市·八年級模擬）下列尺規(guī)作圖，能判斷是的邊上的高是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】過點A作BC的垂線，垂足為D，能滿足此條件的AD即為所求，依次判斷即可．【詳解】解：A.所作圖BC的垂線未過點A，故此項錯誤；B.所作圖過點A作BC的垂線，垂足為D，故此項正確；C.所作過點A作的線AD不垂直BC，故此項錯誤；D.所作圖僅為過點A的AB邊上的垂線，不符合題意，故此項錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的高的作法，解題的關鍵是掌握幾何圖形的性質和基本作圖方法．2．（2021·浙江八年級期末）在三角形中，一定能將其面積分成相等兩部分的是（）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．某一邊的垂直平分線【答案】A【分析】根據三角形的中線、角平分線、高的性質和垂直平分線的性質即可判斷．【詳解】解：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，故選：A．【點睛】本題考查三角形的中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本概念．3．（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）如圖，AD，BE，CF依次是ABC的高、中線和角平分線，下列表達式中錯誤的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF【答案】C【分析】根據三角形的高、中線和角平分線的定義（1）三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫做三角形的角平分線；（2）三角形的中線定義：在三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的連線段叫做三角形的中線；（3）三角形的高定義：從三角形一個頂點向它的對邊（或對邊所在的直線）作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱為高．求解即可．【詳解】解：A、BE是△ABC的中線，所以AE＝CE，故本表達式正確；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表達式正確；C、由三角形的高、中線和角平分線的定義無法得出∠CAD＝∠CBE，故本表達式錯誤；D、CF是△ABC的角平分線，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表達式正確．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的高、中線和角平分線的定義，是基礎題，熟記定義是解題的關鍵．4.（2021·河北廊坊市·八年級期末）在中，若，，則第三邊的取值可能是（）A．3． B．5 C．9 D．10【答案】B【分析】根據三角形的三邊不等關系：任意兩邊之差＜第三邊＜任意兩邊之和，解答即可．【詳解】解：根據三角形的三邊關系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合條件的條件是BC=5，故選：B．【點睛】此題考查了求三角形第三邊的范圍，實際上就是根據三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式即可．5.（2021·山西呂梁市·八年級期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中，正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據三角形的分類、三角形的三邊關系進行判斷【詳解】（1）等邊三角形是一特殊的等腰三角形，正確

（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯誤

（3）三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確

綜上所述，正確的結論2個故選B【點睛】本題考查了三角形．注意：等邊三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等邊三角形6.（2022·江蘇七年級月考）△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，則∠BAC=___________．【答案】70°或30°【分析】根據AD的不同位置，分兩種情況進行討論：AD在△ABC的內部，AD在△ABC的外部，分別求得∠BAC的度數．【解析】①如圖，當AD在△ABC的內部時，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．②如圖，當AD在△ABC的外部時，∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-20°=30°．故答案為：70°或30°．【點睛】本題主要考查了三角形高的位置情況，充分考慮三角形的高在三角形的內部或外部進行分類討論是解題的關鍵．7.（2022·廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學校八年級期中）如圖，在中，、分別是邊上的中線與高，，的面積為25，則的長為________．【答案】【分析】由三角形的面積為：求解再利用三角形的中線的概念求解即可得到答案．【詳解】解：、分別是邊上的中線與高，故答案為：【點睛】本題考查的是三角形的中線，高的含義，三角形的面積，掌握以上知識是解題的關鍵．8．（2021·河南安陽市·八年級期末）如圖，工程建筑中的屋頂鋼架經常采用三角形的結構，其中的數學道理是三角形具有______性．【答案】穩(wěn)定【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：工程建筑中經常采用三角形的結構，其中的數學道理是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定．【點睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，熟知相關性質是解題的關鍵．9．（2022·湖南·長沙市南雅中學七年級期中）請補全證明過程及推理依據．已知：如圖，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求證：BD∥EF．證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行【分析】根據角平分線的定義得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根據平行線的性質定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根據平行線的判定定理推出即可．【詳解】證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分線的定義）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質定理和判定定理等知識點，能熟記平行線的性質定理和判定定理是解此題的關鍵．0．（2021·江蘇·徐州市西苑中學七年級階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．(1)畫出向右平移6個單位后得到的(2)圖中與的關系是：________．(3)畫出的中線AE和的角平分線BF．(4)的面積為________．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)見解析(4)4【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C向右平移6個單位后的對應點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據平移的性質解答即可；（3）找出BC的中點E，連接AE即可，過點B豎直方向的格線正好平分∠ABC，此格線與AC的交點為F，連接BF即可；（4）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個三角形的面積，列式計算即可得解．(1)如下圖所示：即為所求作的三角形；(2)根據平移的性質得出，AC與A1C1的關系是：平行且相等；故答案為：平行且相等；(3)如下圖所示：AE、BF即為所求作的線段；(4)．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，（1）中得出各對應點位置是解題關鍵；（2）掌握平移的性質是解題關鍵；（3）理解中線和角平分線的定義是解題關鍵；（3）掌握割補法是解題關鍵．題組B能力提升練1．（2021·福建廈門市·八年級期中）如圖，在中，已知，點是的中點，且的面積為9cm2，則的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2【答案】C【分析】根據線段中點的概念、三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點E是AB的中點，∴△AED的面積=△ABD的面積，∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面積=△ABC的面積×∴△AED的面積=3cm2，故選：C．【點睛】本題考查三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．2．（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學一模）如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上，則△ABC的重心是（

）A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】A【分析】據重心的定義：三角形中各邊中線的交點為三角形的重心，結合圖形，可知D點為△ABC的重心．【詳解】如圖所示，根據圖形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN為△ABC的中線，∵AM，CN交于點D，∴D點為△ABC的重心．故選：A．【點睛】本題主要考查的是三角形重心的定義，屬于基礎題型．3．（2022·南通市八一中學初一月考）若一個三角形的三邊長之比為3：5：7．則這個三角形三邊上的高之比為（）A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4【答案】C【分析】首先根據三角形的面積計算出各邊上的高的比．【解析】因為邊長之比滿足3：5：7，設三邊分別為3x、5x、7x，設三邊上的高為a，b，c，由題意得：故這個三角形三邊上的高之比為：．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，關鍵是根據三角形的面積的公式計算．4．（2022·廣東潮州·八年級期末）如圖，已知△ABC的面積為1，分別倍長（延長一倍）邊AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分別倍長邊A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此規(guī)律，倍長2021次后得到的△A2021B2021C2021的面積為_________．【答案】【分析】根據等底等高的三角形的面積相等可得三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，然后求出第一次倍長后△A1B1C1的面積是△ABC的面積的7倍，依此規(guī)律可得結論．【詳解】解：連接AB1、BC1、CA1，根據等底等高的三角形面積相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面積都相等，所以，,同理，依此類推，△A2021B2021C2021的面積為=72021S△ABC，∵△ABC的面積為1，∴△A2021B2021C2021的面積=72021．故答案為：72021．【點睛】本題考查了三角形的面積，根據等底等高的三角形的面積相等求出一次倍長后所得的三角形的面積等于原三角形的面積的7倍是解題的關鍵．5．（2022·重慶市七年級期中）已知a，b，c是的三邊長，則______．【答案】【分析】根據三角形三邊關系定理，確定絕對值中式子的符號后化簡即可．【詳解】∵a，b，c是的三邊長，∴a+c＞b，b+c＞a，∴==，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形三邊關系定理，絕對值的化簡，熟練掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．6.（2021·湖北孝感·八年級期中）如圖，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）畫出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據三角形高的定義畫圖；（2）利用面積法進行計算，即可得到答案；【詳解】解：（1）如圖：

（2）∵S△ABC=AD?BC=CE?AB，∴CE=；【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了三角形的面積．7．（2021秋?威縣期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整數，求AC的長；（2）已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長為17，求△BCD的周長．【分析】（1）根據三角形的三邊關系解答即可；（2）根據三角形的中線的定義得到AD＝CD，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數，∴AC＝8；（2）∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長為17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，∴△BCD的周長＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．8.（2021?平昌縣期末）如圖，O是△ABC內的一點，連結OB，OC，求證：AB+AC＞OB+OC．【分析】根據三角形的三邊關系證得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，從而得到AB+AD+CD＞OB+OC，進而得到AB+AC＞OB+OC．【解答】證明：如圖，延長BO交AC于點D，∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．【點評】本題考出了三角形的三邊關系，解題的關鍵是作輔助線構造三角形．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021·西安初一期末）如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點D，點F為BC的中點，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，則有下列結論：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正確的個數有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據角平分線的定義可判定①；根據角平分線的定義及垂直的定義求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE-∠CAD即可判定②；根據三角形中線的性質即可判定④；③根據已知條件判定不出，由此即可解答.【解析】∵AE是△ABC的角平分線，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正確；∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE-∠CAD=2°；②正確；∵F為BC的中點，∴S△ABF＝S△ABC.④正確.根據已知條件不能夠判定③正確.綜上，正確的結論為①②④，共3個，故選C.【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線及高線的性質，熟知三角形的角平分線、中線及高線的性質是解決問題的關鍵.2．（2020·西安市鐵一中學初三一模）如圖，點為的重心，則的值是（）．A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】如圖,分別延長、、，交、、于點、、，根據三角形重心定理得到、、是的中線，繼而根據三中線把三角形分成面積相等的兩個三角形即可求得答案.【解析】如圖,分別延長、、，交、、于點、、，因為G是三角形重心，所以、、是的中線，所以，即，同理，所以，即=1:1:1，故選C.3．（2021·重慶市第九十五初級中學校七年級階段練習）如圖，△ABC中，點F在邊AB上，點D為BC的中點，連接AD、CF相交于點E，若，，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】連接，根據為的中點，可得，，根據，，可得，設，則，，，求得，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：∵為的中點∴，，∵，，∴，設，則，，∴，，則，解得，故選：D【點睛】此題考查與中點有關的三角形面積的計算，解題的關鍵是掌握同高三角形面積的比等于底邊的比．4．（2022·福建省廈門第六中學二模）數軸上－6，－3與6表示的點分別為M、A、N，點B為線段AN上一點，分別以A、B為中心旋轉MA、NB，若旋轉后M、N兩點可以重合成一點C（即構成△ABC），則點B代表的數可能為（）A．－1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】設B代表的數為x，則AC=3，AB和BC可以用x表示出來，然后根據三角形的三邊關系求出x的取值范圍即可得到解答．【詳解】解：設B代表的數為x，則由題意可得：AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，BC=BN=6-x，∴由三角形的三邊關系可得：解之可得：0<x<3，故選C．【點睛】本題考查數軸的動點問題，熟練掌握數軸上兩點距離的表示、構成三角形的條件、一元一次不等式組的求法是解題關