2024版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題六　第1講　直線與圓59

第1講直線與圓[考情分析]1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．考點一直線的方程核心提煉1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).例1(1)(多選)已知直線l的傾斜角等于30°，且l經(jīng)過點(0,1)，則下列結(jié)論中正確的是()A．直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋1B．l的一個方向向量為n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C．l與直線eq\r(3)x－3y＋2＝0平行D．l與直線eq\r(3)x＋y＋2＝0垂直答案ACD解析由題意知直線l的斜率為tan30°＝eq\f(\r(3),3)，且過點(0,1)，所以直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋1，方向向量為n＝(1，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，A正確，B錯誤；直線eq\r(3)x－3y＋2＝0的斜率為eq\f(\r(3),3)，且不過點(0,1)，故兩直線平行，C正確；直線eq\r(3)x＋y＋2＝0的斜率為－eq\r(3)，則兩直線斜率之積為－1，故兩直線垂直，D正確．(2)當(dāng)點M(2，－3)到直線(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距離取得最大值時，m等于()A．2B.eq\f(4,7)C．－2D．－4答案C解析將直線(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0轉(zhuǎn)化為(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y＋2＝0，,－x＋y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以直線恒過定點N(－1，－2)，當(dāng)直線MN與該直線垂直時，點M到該直線的距離取得最大值，此時eq\f(4m－1,m－1)×eq\f(－3－－2,2－－1)＝－1，解得m＝－2.易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在．跟蹤演練1(1)(多選)下列說法錯誤的是()A．過點A(－2，－3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為x＋y＝－5B．直線2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必過定點(1,3)C．經(jīng)過點P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ(x－1)D．過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析對于A中，當(dāng)在兩坐標軸上的截距相等且等于0時，直線過原點，可設(shè)直線方程為y＝kx，又直線過點A(－2，－3)，則－3＝－2k，即k＝eq\f(3,2)，此時直線方程為y＝eq\f(3,2)x，也滿足題意，所以A錯誤；對于B中，直線2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化為(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,2x－3y＋7＝0，))解得x＝1，y＝3，即直線2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必過定點(1,3)，所以B正確；對于C中，當(dāng)傾斜角θ＝eq\f(π,2)時，此時直線的斜率不存在，tanθ無意義，所以C錯誤；對于D中，由兩點(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時，此時過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，當(dāng)x1＝x2時，此時過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為x＝x1或x＝x2，適合上式，所以過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正確．(2)若兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是2eq\r(5)，則m＋n＝________.答案3解析因為直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0平行，所以eq\f(2,1)＝eq\f(n,－2)≠eq\f(－6,m)，解得n＝－4且m≠－3，所以直線l2為2x－4y－6＝0，直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)化為2x－4y＋2m＝0(m>0)，因為兩平行線間的距離為2eq\r(5)，所以eq\f(|2m－－6|,\r(22＋－42))＝2eq\r(5)，得|2m＋6|＝20，因為m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考點二圓的方程核心提煉1．圓的標準方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．例2(1)已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2關(guān)于直線2x＋y＋5＝0對稱，則圓C2的標準方程為()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由題意可得，圓C1的圓心坐標為(0,0)，半徑為2，設(shè)圓心C1(0,0)關(guān)于直線2x＋y＋5＝0的對稱點為C2(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)×－2＝－1，,2×\f(a,2)＋\f(b,2)＋5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2，))所以圓C2的標準方程為(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模擬)已知圓C：x2＋y2＋mx－2y＝0關(guān)于直線l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)對稱，l與C交于A，B兩點，設(shè)坐標原點為O，則|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圓C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝1＋eq\f(m2,4)，圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，1))，直線l：(a＋1)x－ay－1＝0，因為a≠－1，所以直線l的斜率不為0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即直線l恒過定點D(1,1)，又圓C關(guān)于直線l對稱，所以圓心C在直線l上，所以－eq\f(m,2)＝1，解得m＝－2，所以圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半徑r＝eq\r(2)，顯然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圓C過坐標原點O(0,0)，因為l與C交于A，B兩點，即A，B為直徑的兩個端點，如圖，所以∠AOB＝90°，所以|OA|2＋|OB|2＝|AB|2＝(2eq\r(2))2＝8≥2|OA|·|OB|，即|OA|·|OB|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)|OA|＝|OB|＝2時取等號，所以(|OA|＋|OB|)2＝|OA|2＋|OB|2＋2|OA|·|OB|＝8＋2|OA|·|OB|≤16，即|OA|＋|OB|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)|OA|＝|OB|＝2時取等號，即|OA|＋|OB|的最大值等于4.規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．跟蹤演練2(1)(2023·龍巖質(zhì)檢)寫出一個與圓x2＋y2＝1外切，并與直線y＝eq\f(\r(3),3)x及y軸都相切的圓的方程____________．答案(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1或(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)(寫出其中一個即可)解析設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因為與圓x2＋y2＝1外切，所以eq\r(a2＋b2)＝1＋r，又因為與直線y＝eq\f(\r(3),3)x及y軸都相切，所以r＝|a|＝eq\f(|\r(3)a－3b|,\r(\r(3)2＋－32))＝eq\f(|a－\r(3)b|,2)，所以2|a|＝|a－eq\r(3)b|，即|2a|＝|a－eq\r(3)b|，所以2a＝eq\r(3)b－a或2a＝a－eq\r(3)b，所以b＝eq\r(3)a或a＝－eq\r(3)b，當(dāng)b＝eq\r(3)a時，因為r＝|a|，eq\r(a2＋b2)＝1＋r，聯(lián)立得3a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－\r(3)，))r＝1，所以求得圓的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1，當(dāng)a＝－eq\r(3)b時，因為r＝|a|，eq\r(a2＋b2)＝1＋r，聯(lián)立得eq\f(1,3)a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3＋2\r(3)，,b＝－\r(3)－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3－2\r(3)，,b＝\r(3)＋2，))r＝3＋2eq\r(3)，所以求得圓的方程為(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3).(寫出其中一個即可)(2)(2023·福州模擬)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對稱的圓記為⊙O2，點E，F(xiàn)分別為⊙O1，⊙O2上的動點，EF長度的最小值為4，則a等于()A．－eq\f(3,2)或eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)或eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)或－eq\f(5,6) D.eq\f(5,6)或eq\f(3,2)答案D解析由題易知兩圓不可能相交或相切，如圖，當(dāng)EF所在直線過兩圓圓心且與對稱軸垂直，點E，F(xiàn)又接近于對稱軸時，EF長度最小，此時圓心O1到對稱軸的距離為4，所以eq\f(|2a＋6＋1|,\r(a2＋4))＝4，即(2a＋7)2＝16(a2＋4)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(5,6).考點三直線、圓的位置關(guān)系核心提煉1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點線距離法．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．考向1直線與圓的位置關(guān)系例3(1)(多選)(2023·陽泉模擬)已知直線l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)與圓C：x2＋y2－2y－8＝0.則下列說法正確的是()A．直線l過定點(－2,2)B．直線l與圓C相離C．圓心C到直線l距離的最大值是2eq\r(2)D．直線l被圓C截得的弦長的最小值為4答案AD解析對于A，因為l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)，即y＝k(x＋2)＋2，令x＋2＝0，即x＝－2，得y＝2，所以直線l過定點(－2,2)，故A正確；對于B，因為(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定點(－2,2)在圓C：x2＋y2－2y－8＝0的內(nèi)部，所以直線l與圓C相交，故B錯誤；對于C，如圖，因為圓C：x2＋y2－2y－8＝0，可化為x2＋(y－1)2＝9，圓心C(0,1)，當(dāng)圓心C與定點(－2,2)的連線垂直于直線l時，圓心C到直線l的距離取得最大值，此時其值為eq\r(－22＋2－12)＝eq\r(5)，故C錯誤；對于D，由弦長公式|AB|＝2eq\r(r2－d2)可知，當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時，弦長取得最小值，所以直線l被圓C截得的弦長的最小值為2×eq\r(9－5)＝4，故D正確．(2)(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個值為________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個皆可以))解析設(shè)直線x－my＋1＝0為直線l，點C到直線l的距離為d，由弦長公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，又d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±eq\f(1,2)或m＝±2.考向2圓與圓的位置關(guān)系例4(1)(2023·淄博模擬)“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析圓C1：x2＋y2＝4的圓心C1(0,0)，半徑r1＝2，圓C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圓心C2(a，－a)，半徑r2＝1，若兩圓有公切線，則|C1C2|≥|r1－r2|，即eq\r(a2＋－a2)≥1，解得a≤－eq\f(\r(2),2)或a≥eq\f(\r(2),2)，所以“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切線”的充分不必要條件．(2)(多選)(2023·福建統(tǒng)考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，則下列說法正確的是()A．若r＝2，兩圓的公切線過點(－2,0)B．若r＝2，兩圓的相交弦長為eq\r(3)C．若兩圓的一個交點為M，分別過點M的兩圓的切線相互垂直，則r＝3D．當(dāng)r>3時，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含答案AD解析當(dāng)r＝2時，如圖，兩圓的一條公切線分別與⊙O，⊙O1切于點A，B，交x軸于點Q，eq\f(|OQ|,|O1Q|)＝eq\f(|OA|,|O1B|)＝eq\f(1,2)?|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正確；當(dāng)r＝2時，兩圓公共弦所在的直線方程可由兩圓方程相減得到，公共弦所在的直線方程為x＝eq\f(1,4)，相交弦長為2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),2)，故B錯誤；若MO⊥MO1，則|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，則r＝eq\r(3)，故C錯誤；當(dāng)r>3時，r－1>2＝|OO1|，故兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)含，D正確．規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略當(dāng)直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算．跟蹤演練3(1)(2023·邯鄲模擬)已知直線l：x－y＋5＝0與圓C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B兩點，若M是圓上的一動點，則△MAB面積的最大值是____________．答案2eq\r(2)＋3解析圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9，則圓C的圓心為C(1,2)，半徑r＝3，圓心C到直線l(弦AB)的距離d＝eq\f(|1－2＋5|,\r(2))＝2eq\r(2)，則|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－8)＝2，則M到弦AB的距離的最大值為d＋r＝2eq\r(2)＋3，則△MAB面積的最大值是eq\f(1,2)×|AB|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋3))＝2eq\r(2)＋3.(2)(多選)(2023·遼陽模擬)已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，過點P(5,5)作圓E的切線，切點分別為M，N，則下列命題中真命題是()A．|PM|＝eq\r(21)B．直線MN的方程為3x＋4y－14＝0C．圓x2＋y2＝1與⊙E共有4條公切線D．若過點P的直線與⊙E交于G，H兩點，則當(dāng)△EHG面積最大時，|GH|＝2eq\r(2)答案ABD解析因為圓E的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圓心E的坐標為(2,1)，半徑為2，如圖，所以|EM|＝|EN|＝2，又P(5,5)，所以|PE|＝eq\r(5－22＋5－12)＝5，由已知得PM⊥ME，PN⊥NE，所以|PM|＝eq\r(|PE|2－|EM|2)＝eq\r(21)，A正確；因為PM⊥ME，PN⊥NE，所以點P，M，E，N四點共圓，且圓心為PE的中點，線段PE的中點坐標為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，3))，所以圓F的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4)，即x2－7x＋y2－6y＋15＝0，因為eq\f(5,2)－2<|EF|＝eq\f(5,2)<eq\f(5,2)＋2，所以圓E與圓F相交，又圓E的方程可化為x2－4x＋y2－2y＋1＝0，所以圓E與圓F的公共弦方程為3x＋4y－14＝0，故直線MN的方程為3x＋4y－14＝0，B正確；圓x2＋y2＝1的圓心O的坐標為(0,0)，半徑為1，因為|OE|＝eq\r(5)，2－1<|OE|<1＋2，所以圓x2＋y2＝1與圓E相交，故兩圓只有2條公切線，C錯誤；如圖，設(shè)∠HEG＝θ，則θ∈(0，π)，△EHG的面積S△EHG＝eq\f(1,2)|EH|·|EG|sinθ＝2sinθ，所以當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時，△EHG的面積取得最大值，最大值為2，此時|GH|＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，D正確．專題強化練一、單項選擇題1．(2023·丹東模擬)若直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，則a等于()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案A解析由題意知，直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，∴1×2＝a(a＋1)，解得a＝－2或a＝1.當(dāng)a＝－2時，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.當(dāng)a＝1時，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1與l2重合．綜上所述，a＝－2.2．(2023·蚌埠質(zhì)檢)直線l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定答案A解析已知直線l：x＋my＋1－m＝0過定點(－1,1)，將點(－1,1)代入圓的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知點(－1,1)在圓內(nèi)，所以直線l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云聯(lián)盟模擬)過三點A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圓與直線x－2y－1＝0交于M，N兩點，則|MN|等于()A.eq\f(4\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D．2eq\r(5)答案B解析依題意，設(shè)過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,5＋2D＋E＋F＝0，,13＋2D－3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝2，,F＝5，))則圓的方程為x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圓心為(3，－1)，半徑r＝eq\r(5)，點(3，－1)到直線x－2y－1＝0的距離d＝eq\f(|3－2×－1－1|,\r(12＋－22))＝eq\f(4,\r(5))，所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5))))2)＝eq\f(6\r(5),5).4．(2023·濱州模擬)已知直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相切，則mn的最大值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案B解析由于直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相切，故圓心到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤eq\f(m2＋n2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(\r(2),2)時取等號．5．(2023·洛陽模擬)已知點P為直線y＝x＋1上的一點，M，N分別為圓C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1與圓C2：x2＋(y－4)2＝1上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5B．3C．2D．1答案B解析由圓C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1，可得圓心C1(4,1)，半徑r1＝1，圓C2：x2＋(y－4)2＝1，可得圓心C2(0,4)，半徑r2＝1，可得圓心距|C1C2|＝eq\r(4－02＋1－42)＝5，如圖，|PM|≥|PC1|－r1，|PN|≥|PC2|－r2，所以|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－r1－r2＝|PC1|＋|PC2|－2≥|C1C2|－2＝3，當(dāng)點M，N，C1，C2，P共線時，|PM|＋|PN|取得最小值，故|PM|＋|PN|的最小值為3.6．(2023·信陽模擬)已知圓C：x2＋y2＋2x－3＝0與過原點O的直線l：y＝kx(k≠0)相交于A，B兩點，點P(m，0)為x軸上一點，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1＋k2＝0，則實數(shù)m的值為()A．－3B．－2C．2D．3答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線l的方程為y＝kx，代入圓C的方程，得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(2,k2＋1)，x1x2＝－eq\f(3,k2＋1).所以k1＋k2＝eq\f(y1,x1－m)＋eq\f(y2,x2－m)＝eq\f(kx1,x1－m)＋eq\f(kx2,x2－m)＝eq\f(2kx1x2－kmx1＋x2,x1－mx2－m)＝eq\f(2m－6k,x1－mx2－mk2＋1)＝0.因為k≠0，所以2m－6＝0，解得m＝3.7．(2023·全國乙卷)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7答案C解析方法一令x－y＝k，則x＝k＋y，代入原式化簡得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因為存在實數(shù)y，則Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化簡得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是3eq\r(2)＋1.方法二由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，設(shè)x－y＝k，則圓心到直線x－y＝k的距離d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2).故x－y的最大值為3eq\r(2)＋1.8．已知圓O：x2＋y2＝1，點P在直線l：x－y－2eq\r(2)＝0上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)∠APB最大時，記劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S，則()A．2<S<3 B．1<S≤2C．1<S≤3 D．0<S<1答案D解析如圖所示，圓O：x2＋y2＝1的圓心O的坐標為(0,0)，半徑為1，因為在Rt△OBP中，sin∠OPB＝eq\f(r,|OP|)＝eq\f(1,|OP|)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以當(dāng)|OP|最小時，∠OPB最大，即∠APB最大，此時OP垂直于直線l，且|OP|＝eq\f(2\r(2),\r(12＋－12))＝2，|PA|＝|PB|＝eq\r(3)，從而四邊形OAPB的面積為S四邊形OAPB＝2×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\r(3)，設(shè)∠AOP＝θ，則∠AOB＝2θ，S扇形OAB＝eq\f(1,2)×12×2θ＝θ，從而劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S＝eq\r(3)－θ，又因為sinθ＝eq\f(\r(3),2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,3)，從而0<S＝eq\r(3)－θ＝eq\r(3)－eq\f(π,3)<1.二、多項選擇題9．下列說法正確的是()A．直線y＝ax－2a＋4(a∈R)必過定點(2,4)B．直線y＋1＝3x在y軸上的截距為1C．直線eq\r(3)x＋3y＋5＝0的傾斜角為120°D．過點(－2,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為2x＋y＋1＝0答案AD解析對于A選項，直線方程可化為y＝a(x－2)＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,y＝4，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))所以直線y＝ax－2a＋4(a∈R)必過定點(2,4)，A正確；對于B選項，直線方程可化為y＝3x－1，故直線y＋1＝3x在y軸上的截距為－1，B錯誤；對于C選項，直線eq\r(3)x＋3y＋5＝0的斜率為－eq\f(\r(3),3)，該直線的傾斜角為150°，C錯誤；對于D選項，過點(－2,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程可設(shè)為2x＋y＋c＝0，則2×(－2)＋3＋c＝0，可得c＝1，所以過點(－2,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為2x＋y＋1＝0，D正確．10．(2023·湖南聯(lián)考)已知直線l1：y＝kx＋1，l2：y＝mx＋2，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝6，下列說法正確的是()A．若l1經(jīng)過圓心C，則k＝1B．直線l2與圓C相離C．若l1∥l2，且它們之間的距離為eq\f(\r(5),5)，則k＝±2D．若k＝－1，l1與圓C相交于M，N，則|MN|＝2答案AC解析對于A，因為圓心C(1,2)在直線y＝kx＋1上，所以2＝k＋1，解得k＝1，A正確；對于B，因為直線l2：y＝mx＋2恒過定點(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即點(0,2)在圓C內(nèi)，所以l2與圓C相交，B錯誤；對于C，因為l1∥l2，則m＝k，故kx－y＋1＝0與kx－y＋2＝0之間的距離d＝eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以k＝±2，C正確；對于D，當(dāng)k＝－1時，直線l1：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，因為圓心C(1,2)到直線x＋y－1＝0的距離d2＝eq\f(2,\r(1＋1))＝eq\r(2)，所以|MN|＝2eq\r(6－\r(2)2)＝4，D錯誤．11.如圖所示，該曲線W是由4個圓：(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝1，x2＋(y＋1)2＝1，x2＋(y－1)2＝1的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是()A．曲線W圍成的封閉圖形的面積為4＋2πB．若圓x2＋y2＝r2(r>0)與曲線W有8個交點，則eq\r(2)≤r≤2C.eq\o(BD,\s\up8(︵))與eq\o(DE,\s\up8(︵))的公切線方程為x＋y－1－eq\r(2)＝0D．曲線W上的點到直線x＋y＋5eq\r(2)＋1＝0的距離的最小值為4答案ACD解析曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，所以其面積為2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A正確；當(dāng)r＝eq\r(2)時，交點為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)r＝2時，交點為A，C，E，G；當(dāng)0<r<eq\r(2)或r>2時，沒有交點；當(dāng)eq\r(2)<r<2時，交點個數(shù)為8，故B錯誤；設(shè)eq\o(BD,\s\up8(︵))與eq\o(DE,\s\up8(︵))的公切線方程為y＝kx＋t(k<0，t>0)，由直線和圓相切可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，則其公切線方程為y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y－1－eq\r(2)＝0，故C正確；同理可得eq\o(HB,\s\up8(︵))，eq\o(HG,\s\up8(︵))的公切線方程為x＋y＋1＋eq\r(2)＝0，則兩平行線間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5\r(2)＋1－1－\r(2))),\r(2))＝4，因為曲線W上的點到直線x＋y＋5eq\r(2)＋1＝0的距離最小值為eq\o(HB,\s\up8(︵))，eq\o(HG,\s\up8(︵))上的切點到直線的距離，即為兩平行線間的距離，為4，故D正確．12．已知圓O：x2＋y2＝4和圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分別是圓O，圓C上的動點，則下列說法正確的是()A．圓O與圓C有四條公切線B．|PQ|的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\r(2)－4，3\r(2)＋4))C．x－y＝2是圓O與圓C的一條公切線D．過點Q作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，則存在點Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析對于選項A，由題意可得，圓O的圓心為O(0,0)，半徑r1＝2，圓C的圓心C(3,3)，半徑r2＝2，因為兩圓圓心距|OC|＝3eq\r(2)>2＋2＝r1＋r2，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對于B選項，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝3eq\r(2)＋4，最小值為|OC|－r1－r2＝3eq\r(2)－4，B正確；對于C選項，顯然直線x－y＝2與直線OC平行，因為兩圓的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線OC：y＝x，設(shè)直線為y＝x＋t，則兩平行線