經濟數學基礎期末復習

經濟數學基礎期末復習

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經濟數學基礎期末復習

第1章函數

復習知識點：

函數的概念、函數的奇偶性、復合函數、分段函數、基本初等函數和初等函數、經濟分

析中的幾個常見函數、建立函數關系式

復習要求：

(1)理解函數概念，掌握求函數定義域的方法，會求初等函數的定義域和函數值；

(2)了解復合函數概念，會對復合函數進行分解；

(3)了解分段函數概念，掌握求分段函數定義域和函數值的方法；

(4)知道初等函數的概念，理解常數函數、幕函數、指數函數、對數函數和三角函數

(正弦、余弦、正切和余切)的解析表達式、定義域、主要性質及圖形；

(5)了解需求、供給、成本、平均成木、收入和利潤函數的概念；

下面我們來看例題.

例1設f(x)X1,則f(f(x)1)=().

A.xB.x+lC.x+2D.x+3

解由于f(x)x1,得f(f(x)1)(f(x)1)l=f(x)2

將f(x)x1代入，得f(f(x)l)=(x1)2x3

正確答案：D

例2下列函數中，()不是基本初等函數.

2A.y()B.yInxC.y1

exsinxD.yx5cosx

2解因為yInx是由ylnu,ux復合組成的，所以它不是基木初等函數.2

正確答案：B

例3設函數f(x)

A.f(cosx,x0,則(x00,).)=f()B.f(0)f(2)44

C.f(0)f(2)D.f()=

422

解因為20,故f(2)cos(2)1

且f(0)1,所以f(0)f(2)

正確答案：C

例4生產某種產品的固定成本為1萬元，每生產一個該產品所需費用為20元，若該產

品出售的單價為30元，試求：

2

(1)生產x件該種產品的總成本和平均成本；

(2)售出x件該種產品的總收入；

(3)若生產的產品都能夠售出，則生產x件該種產品的利潤是多少？

解(1)生產x件該種產品的總成本為C(x)1000020x；

平均成本為：C(x)1000020.x

(2)售出x件該種產品的總收入為：R(x)30x.

(3)生產x件該種產品的利潤為：

L(x)R(x)C(x)=30x(1000020x)=10x10000

第2章一元函數微分學

復習知識點：

極限的概念、無窮小量與無窮大量、極限的四則運算法則、兩個重要極限、函數的連續(xù)

性和間斷點、導數的定義、導數的幾何意義、導數基本公式和導數的四則運算法則、復合

函數求導法則、高階導數、微分的概念及運算法則

復習要求:

⑴了解極限概念，知道函數在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且

相等；

⑵了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關系，知道無窮小量的性質；⑶

掌握極限的四則運算法則，掌握兩個重要極限，掌握求簡單極限的常用方法；

(4)了解函數在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，知道連續(xù)與極限；會判

斷函數在某點的連續(xù)性；

⑸理解導數定義，會求曲線的切線方程，知道可導與連續(xù)的關系；

(6)熟練掌握導數基本公式、導數的四則運算法則、復合函數求導法則，掌握求簡單的

隱函數導數的方法；

⑺知道微分的概念，會求函數的微分；

(8)知道高階導數概念，會求函數的二階導數.

下面我們舉一些例題復習本章的重點內容.

例5極限limxsinx01.x

1是有界變量.x

11故當X0時，xsin仍然是無窮小量.所以limxsin0.xOxx解因為當x0

時，x是無窮小量，sin

正確答案：0

例6若limf(x)A,則f(x)在點x0處()xx0

A.有定義B.沒有定義C.極限存在D.有定義，且極限存在解函數在一點處有極

限與函數在該點處有無定義無關.正確答案：C

3

例7當k時,f(x)

解因為函數是左連續(xù)的，即x1xk2xOx0在x。處僅僅是左連續(xù).

(x1)1f(0)f(0)limx0

(xk)k1,若f(0)limx02

即當k1時，f(x)在x0不僅是左連續(xù)，而且是連續(xù)的.所以，只有當k1時，

￡6)在*0僅僅是左連續(xù)的.正確答案：1

例8若f(x)cos

4,則limxOf(xx)f(x)().x

A.0B.2C.sinD.sin442

解因為f(x)cos

4是常數函數，常數函數是可導的，而且它的導數是0.

所以由導數定義可得

lim

正確答案：A注意：這里的f(x)cos

3x0f(xx)f(x)f(0)=0x4不是余弦函數.例9曲線yxx在點

(1,0)處的切線是().

A.y2x2

C.y2x2B.y2x2D.y2x2

解由導數的定義和它的幾何意義可知，y(1)(xx)

x13(3x2l)x12

是曲線yxx在點(1,0)處的切線斜率，故切線方程是

正確答案：A

例10已知y3y02(x1),即y2x214x,則y=().4

32A.xB.3xC.6xD.64

解直接利用導數的公式計算：

y(14x)x3,y(x3)3x24

正確答案：B

例11計算下列極限

x25x4sin3x3(1)lim(2)lim2x4xOxxx12

(3)lim(x13xl)2xlx1

(1)解對分子進行有理化，即分子、分母同乘sin3x3,然后利用第一重要極限和

四則運算法則進行計算.即Hmx09sin3x3(9sin3x3)(9sin3x3)=lim

xOxx(sin3x3)

=limllsin3xllim=3xOx062x9sin3x3

(2)解將分子、分母中的二次多項式分解因式，然后消去零因子，再用四則運算法則

和連續(xù)函數定義進行計算.即x25x4(x4)(x1)limlim2

x4xx12x4(x4)(x3)

lim(x1)413x4(x3)437

(3)解先通分，然后消去零因子，再四則運算法則和連續(xù)函數定義進行計算.即

lim(x13xl(3x)(x1))lim=2xlxlx1(x1)(x1)

21x1limx1

例12求下列導數或微分:

⑴設y(x1)(1

x1),求dy.

(2)設yxexsinx,求dy.

xIni,求y,2x1(3)設ycos

(1)解因為y(x1)(1

X1)Xlx

5

且y(x1

x)1

2x1

2x31(1)x2xl

dy1(1)dxx2xl

注意：求導數時，要先觀察函數，看看能否將函數化簡，若能，應將函數化簡后再求導

數，簡化計算過程.

導數運算的重點是復合函數求導數，難點是復合函數求導數和隱函數求導數.

(2)解因為y(xexsinx)1exsinxexcosx

2xesinxx=2xesinx

dxx所以dyydx1ex(cosxsinx)

2xesinx)x

(3)解y(coxln2(x1))

six(x)212[six]2x12x12x

復合函數求導數要注意下面兩步：

①分清函數的復合步驟，明確所有的中間變量；

②依照法則依次對中間變量直至自變量求導，再把相應的導數乘起來.

第3章導數的應用

復習知識點：

函數的單調性、函數的極值和最大(小)值、導數在經濟問題中的應用

復習要求：

⑴掌握函數單調性的判別方法，會求函數的單調區(qū)間；

⑵了解函數極值的概念，知道函數極值存在的必要條件，掌握極值點的判別方法，知

道函數的極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系，會求函數的極值；

⑶了解邊際概念和需求彈性概念，掌握求邊際函數的方法；

⑷熟練掌握求經濟分析中的應用問題(如平均成本最低、收入最大和利潤最大等).

下面通過例題復習本章重點內容

例13函數f(x)xInx的單調增加區(qū)間是.

解因為f(x)(xInx)1

令f(x)11xl0,得x1x

故函數的單調增加區(qū)間是(1,).正確答案：(1,)

6

例14滿足方程f(x)0的點是函數y￡6)的().

A.極大值點B.極小值點C.駐點D.間斷點解由駐點定義可知，正確答案：C

例15下列結論中()不正確.

A.￡'&)在*xO處連續(xù)，則一定在x0處可微.

B.￡6)在*xO處不連續(xù)，則一定在xO處不可導.

C.可導函數的極值點一定發(fā)生在其駐點上.

D.若f(x)在［a,b］內恒有f(x)0,則在［a,b］內函數是單調下降的.

解因為函數在一點處連續(xù)并不能保證在該點處可導，所以，正確答案：A

求經濟分析中的最值問題是本課程的重點之一，要掌握利用函數的導數求經濟問題中的

平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題的方法.

下面舉一個求獲得最大利潤時的產量的應用問題，而其它兩種類型的應用問題請大家自

己練習.

例16生產某種產品q臺時的邊際成本C(q)2.5q1000(元/臺)，固定成本500

，試求無，若已知邊際收入為R(q)2q2000

(1)獲得最大利潤時的產量；

(2)從最大利潤的產量的基礎再生產100臺，利潤有何變化？

解(1)LRC

)=0.5q1000=2q2000(2.5q1000

令L0,求得唯一駐點q2000.因為駐點唯一且利潤存在著最大值，所以當產量

為2000時，可使利潤達到最大.

(2)在利潤最大的基礎上再增加100臺，利潤的改變量為

1L(0.5q1000)dq(q21000q)250020004200021002100

即利潤將減少2500元.

第4章一元函數積分學

復習知識點：

原函數、不定積分和定積分概念、積分的性質、積分基本公式、第一換元積分法、分部

積分法、無窮限積分

復習要求：

⑴理解原函數與不定積分概念，了解定積分概念，知道不定積分與導數(微分)之間

的關系；

⑵熟練掌握積分基本公式和直接積分法；

7

⑶掌握第一換元積分法(湊微分法)、分部積分法；

(4)知道無窮限積分的收斂概念，會求簡單的無窮限積分.

下面通過例題復習本章重點內容

例17如果f(x)dxsin2xc,則f(x).解根據不定積分的性質可知

f(x)=(f(x)dx)(sin2xc)2cos2x

且f(x)=(2cos2x)4sin2x

正確答案：4sin2x

例18設f(x)的一個原函數是e2x,則f(x)().

A.e2xB.2e2xC.4e2xD.解因為f(x)的一個原函數是e2x,故

f(x)(e2x)=2e2x

所以正確答案：B

例19廣義積分02x

edx=.

解因為00

2x1

edxalim2e2xaliml2(1e2a)=1

a2所以正確答案：1

2

x3

例20計算不定積分4x2dx

解用第一換元積分法求之.

x34x2dx=lx2

24x2dx2=1

2(14

4x2)dx2

=x2

22In(4x2)c

例21計算定積分1

Oxcosxdx

解用分部積分法求之.

111

Oxcosxdx=xsinx11

0Osinxdx4e2x8

=11

2cosx=

022

例22.計算定積分2

Osinxx

解因為，當0x時，sinx0,即sinxsinx；

當x2時，sinx0,即sinxsinx；

2

Osinxdx=sinxdx(sinx)dx02

二cosxOcosx=1+1+1+1=4

第5章積分應用

復習知識點：

積分的幾何應用、積分在經濟分析中的應用、常微分方程

復習要求：

(1)熟練掌握用不定積分和定積分求總成本函數、收入函數和利潤函數或其增量的方

法；

(2)了解微分方程的幾個概念，掌握簡單的可分離變量的微分方程的解法，會求一階線

性微分方程的解.

用不定積分或定積分求總成本函數、收入函數和利潤函數或其增量，一般出現在應用題

中，而且常常與導數應用中求最值問題相聯(lián)系，所以一定要綜合應用所學的知識求解應用

問題.有關的例題，我們在第3章中已經講過，這里就不在舉例了.

微分方程中的基本概念是指微分方程、階、解(也就是通解、特解)，線性微分方程

等，這些概念大家要比較清楚的.比如

例23(y)3e2xy0是階微分方程.

解因為微分方程(y)3e2xy0中所含未知函數的導數的最高階數是2次，

所以它是2階微分方程.

正確答案：2

例24微分方程yy的通解是y().

A.0.5xcB.ceC.ce2xx2D.yeex

解用可分離變量法很容易求解，因此，正確答案：B

例25求微分方程ye

解招微分方程ye2xy滿足初始條件y(0)0的特解.y2x2xy變量分離，得

edyedx,等式兩邊積分得9

ey12xec2

將初始條件y(0)0代入，得c2.

所以滿足初始條件的特解為：ey0.5(e2x1)

第6章數據處理

考核知識點：

總體與樣本、重要特征數

復習要求：

了解總體、樣本、均值、加權平均數、方差、標準差、眾數和中位數等概念，掌握它們

的計算方法；

例26設一組數據xl=0,x2=10,x3=20,其權數分別為pl0.I,p20.6,p30.3,則這

組數據的加權平均數是().

A.12B.10C.6D.4

解因為加權平均數是

pxi

i13i0.100.6100.320=12

所以，正確答案：A

第七章隨機事件與概率

復習知識點：

隨機事件與概率、事件的關系與運算、概率的加法公式與乘法公式、事件的獨立性復

習要求：

(1)知道隨機事件的概念，了解事件互不相容和對立事件等概念，；

(2)了解概率的概念及性質，會計算簡單古典概型問題：

⑶了解條件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式；

(4)理解事件獨立概念，掌握有關計算.

下面舉幾個例題來說明這一章的重點.

例27.對任意二事件A,B,等式()成立.

A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)P(A)P(B)

C.P(AB)P(A)(P(B)0)D.P(AB)P(A)P(BA)(P(A)0)解由概率乘法公式可知，正

確答案：D

例28擲兩顆均勻的骰子，事件“點數之和為3”的概率是().

A.1111B.C.D.18121136

1.18解兩顆均勻的骰子的“點數之和”樣本總數有66=36個，而“點數之和為

3”的事件含有：1+2和2+1兩個樣本，因此，該事件的概率為10

正確答案：B

例29.假設事件A,B相互獨立，已知P(A)0.3,P(B)0.6,求事件A與B只有一個

發(fā)生的概率.

解A與B只有一個發(fā)生的事件為：ABAB,且AB與AB是互斥事件，于是

P(ABAB)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)

(10.6)(10.3)0.6=0.54=0.3

例30.已知P(A)0.7,P(B)0.3,P(A)0.5,求P(B).

解因為AABA,且AB與AB是互斥事件，得

P(A)P(AB)P(A)

所以，P(B)P(AB)P(A)P(A)0.70.520.33P(B)P(B)

例31有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別是0.85和0.75,在這兩批種子中各隨機取一

粒，求至少有一粒發(fā)芽的概率.

解設A表示甲粒種子發(fā)芽，B表示乙粒種子發(fā)芽，則A,B獨立，且

P()=0.15,P()=0.25

故至少有一粒發(fā)芽的概率為：

P(A+B)=1-P(AB)=1-P()

=1-P()PO=1-0.150.25=0.9625

例32已知事件A,B,C相互獨立，試證(AB)與C相互獨立.

證因為事件A,B,C相互獨立，即

P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C)

且P[(AB)C]P(AC)P(BC)P(ABC)

=P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

=[P(A)P(B)P(A)P(B)]P(C)=P(AB)P(C)

所以(AB)與C相互獨立.

第8章隨機變量與數字特征11

復習知識點：

兩類隨機變量、常見分布(二項分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布)、期望與方差

復習要求：

⑴了解離散型和連續(xù)型隨機變量的定義及其概率分布的性質；

⑵了解隨機變量期望和方差的概念及性質，掌握其計算方法；

⑶了解二項分布，記住它的期望與方差；

(4)理解正態(tài)分布、標準正態(tài)分布，記住其期望與方差.熟練掌握將正態(tài)分布化為標準

正態(tài)分布的方法.熟練掌握正態(tài)分布的概率計算問題.

將一般正態(tài)分布X~N(,2)化為標準正態(tài)分布Y~N(O,1)的公式：

Y

它們的概率計算公式：X

P(aYb)(b)(a),P(aXb)(

下面舉幾個例子說明本章的重點：

例33設隨機變量X的概率分布為

貝ija=.

解根據離散型隨機變量的概率分布的性質：

正確答案：0.3b)(a)pkk1

例34設X~B(n,p),且E(X)6,D(X)3.6,則n=解根據二項分布的期望和方差的

定義：E(X)np6,

得1-p=0.6,p=0.4,n=15

正確答案：15

例35設隨機變量X的密度函數為D(X)np(lp)3.6

3(x2)2ax3f(x)0其它

求⑴常數a；(2)E(X)

解(1)根據密度函數的性質

1=33f(x)dx3(x2)2dx=(x2)3=1—(a—2)3aa

得a=2

3(x2)22x3所以f(x)0其它

(2)E(X)=

-xf(x)dx=3x(x2)2dx

V.-1012

Pk0.10.2a0.4

23

12

34732=(x4x6x)=442

例36某類鋼絲的抗拉強度服從均值為100(kg/cm2),標準差為5(kg/cm2)的正態(tài)分

布，求抗拉強度在90110之間的概率.((D=0.8413,(2)0.9772)

解設鋼絲的抗拉強度為X,則X~N(100,52),且

P(90<X<110)P(3X100"N(0,1).590100X100110100)555

⑵-(-2)2(2)-10.9544

第9章矩陣

復習知識點:

矩陣概念與矩陣的運算、特殊矩陣、矩陣的初等行變換與矩陣的秩、可逆矩陣與逆矩陣

復習要求：

⑴了解矩陣概念，理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件，了解矩陣秩的

概念；

⑵熟練掌握矩陣的加法、數乘、乘法和轉置等運算，掌握這兒種運算的有關性質；⑶

了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角形矩陣和對稱矩陣的定義和性質.

(4)理解矩陣初等行變換的概念，熟練掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩

陣、行簡化階梯形矩陣，熟練掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣.

矩陣乘法是本章的重點之一，在復習矩陣乘法時，要注意:

矩陣乘法不滿足交換律，即ABBA一般不成立.

矩陣乘法不滿足消去律，即由矩陣ACBC及矩陣C0,不能推出AB.但當C可逆

時，ACBCAB.

矩陣A0,B0,可能有AB0.

下面舉例說明本章的重點:

例37設矩陣A123,I是單位矩陣，貝IJATA1=

123：24636911123=TT解因為

A=2,AA=233

023023T所以AA1=236.正確答案:236

368368

該例題說明，可轉置矩陣不一定是方陣；如果矩陣運算AA成立，A也不一定是方

陣.T13

10例38矩陣0032110110100000的秩是()00

A.1B.2C.3D.4

解化成階梯形矩陣后，有3個非0行，故該矩陣的秩為3.正確答案：C

11123-1例39設矩陣A=02,B,計算

(BA).01220

111235302解因為BA二

4012220

(BAI)二5310111120142014

10111110120245

1-1所以(BA)2

132，求矩陣A11例40設矩陣A30111

1321解因為[AI]30111

132097043

101011100100010001I00112

101100132011310101043110023611

201034900111323734914

所以A1113237349

例41設A,B均為n階對稱矩陣,則AB+BA也是對稱矩陣.

證因為A,B是對稱矩陣，即ATA,BTB

且(ABBA)T(AB)T(BA)TBAAB

BAABABBA

根據對稱矩陣的性質可知，AB+BA是對稱矩陣.

第10章線性方程組

復習知識點：

線性方程組、消無法、線性方程組有解判定定理、線性方程組解的表示

復習要求：

⑴了解線性方程組的有關概念，熟練掌握用消元法求線性方程組的一般解；⑵理解

并熟練掌握線性方程組的有解判定定理.

非齊次線性方程組AX=b的解的情況歸納如下：

AX=b有唯一解的充分必要條件是秩()=秩(A)=n；

AX=b有無窮多解的充分必要條件是秩()=秩(A)<n；

AX=b無解的充分必要條件是秩0秩