2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題含解析

2023年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1.本試卷卷面分值150分，共8頁，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號、考生號填寫在答題卡的對應(yīng)位置上，并仔細閱讀答題卡上的“注意事項”．3.答題時，請將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無效．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將該選項的序號按要求在答題卡上的指定位置涂黑．每小題3分，共42分）1.化簡結(jié)果是（）A. B.20 C. D.2.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對稱圖形的是（）A B. C. D.3.年5月19日是第個“中國旅游日”．文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示，今年“五一”假期國內(nèi)游出游合計人次，同比增長．將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為()A. B. C. D.4.如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是()A.點P B.點Q C.點R D.點S5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.6.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，成為我國航天事業(yè)的里程碑，某校對全校名學(xué)生進行了“航空航天知識”了解情況的調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為A，B，C，D四個等級（A：非常了解；B：比較了解；C：了解；D：不了解）．隨機抽取了部分學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖信息，下列結(jié)論不正確的是（）A.樣本容量是 B.樣本中C等級所占百分比是C.D等級所在扇形的圓心角為 D.估計全校學(xué)生A等級大約有人7.已知，則的值是（）A.6 B. C. D.48.如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是()A.16，6 B.18，18 C.16.12 D.12，169.化簡的結(jié)果是（）A.1 B. C. D.10.如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（）A. B. C. D.11.某校在勞動課上，設(shè)置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（）A. B. C. D.12.用配方法解方程時，配方后正確的是（）A. B. C. D.13.某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）vA. B. C. D.14.如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（）A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①②③④二、填空題（請把答案填寫在答題卡的相應(yīng)橫線上．每小題3分，共12分）15.分解因式：=____.16.方程的解為___________．17.為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對地和地之間的一處垃圾填埋場進行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是___________千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．18.如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點在拋物線上，點E在直線上，若，則點E的坐標是____________．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效；解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）19.（1）計算：（2）解不等式組：20.已知：如圖，點M在的邊上．求作：射線，使．且點N在的平分線上．作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線，于點C，D．②分別以點C，D為圓心．大于長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P．③畫射線．④以點M圓心，長為半徑畫弧，交射線于點N．⑤畫射線．射線即為所求．（1）用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；（2）根據(jù)以上作圖過程，完成下面的證明．證明：∵平分．∴①，∵，∴②，(③)．(括號內(nèi)填寫推理依據(jù))∴．∴．(④)．(填寫推理依據(jù))21.某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了“經(jīng)典閱讀”競賽，從甲班和乙班各隨機抽取10名學(xué)生．統(tǒng)計這部分學(xué)生的競賽成績，并對數(shù)據(jù)（成績）進行了收集、整理，分析．下面給出了部分信息．【收集數(shù)據(jù)】甲班10名學(xué)生競賽成績：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89乙班10名學(xué)生競賽成績：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81【整理數(shù)據(jù)】班級甲班631乙班451【分析數(shù)據(jù)】班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲班80ab51.4乙班808080，85c【解決問題】根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：_________，_________，_________；（2）請你根據(jù)【分析數(shù)據(jù)】中的信息，判斷哪個班成績比較好，簡要說明理由：（3）甲班共有學(xué)生45人，乙班其有學(xué)生40人．按競賽規(guī)定，80分及80分以上的學(xué)生可以獲獎，估計這兩個班可以獲獎的總?cè)藬?shù)是多少？22.某集團有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬件，準備銷往東南亞國家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同：3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷售多元．（1）求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷售單價各多少元？（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于萬元，則至少銷售甲種電子產(chǎn)品多少件？23.定義：在平面直角坐標系中，當點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是___________；（2）點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是___________，直線的解析式是___________．當時，x的取值范圍是___________．（3）如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．24.如圖，是的直徑，是上一點過點作于點，交于點，點是延長線上一點，連接，，．（1）求證：切線；（2）若，，求的長．25.乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/（1）在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；（2）①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；（3）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．26.數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．

2023年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1.本試卷卷面分值150分，共8頁，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號、考生號填寫在答題卡的對應(yīng)位置上，并仔細閱讀答題卡上的“注意事項”．3.答題時，請將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無效．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將該選項的序號按要求在答題卡上的指定位置涂黑．每小題3分，共42分）1.化簡的結(jié)果是（）A. B.20 C. D.【答案】B【解析】【分析】表示的相反數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：，故選：B【點睛】此題考查了相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后得到的圖形能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形，據(jù)此即可解答．【詳解】A．不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．不是中心對稱圖形，故不符合題意；C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合題意；D．不是中心對稱圖形，故不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對稱圖形的概念．3.年5月19日是第個“中國旅游日”．文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示，今年“五一”假期國內(nèi)游出游合計人次，同比增長．將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法表現(xiàn)形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：，故選B．【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義和表示法．4.如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是()A.點P B.點Q C.點R D.點S【答案】B【解析】【分析】根據(jù)先估算的大小，看它介于哪兩個整數(shù)之間，從而得解．【詳解】解：∵∴，即，∴數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是Q，故選：B．【點睛】本題考查無理數(shù)的大小估算，推出介于哪兩個整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪的運算法則，乘法公式處理．【詳解】A.，正確，符合題意；B.，原計算錯誤，本選項不合題意；C.，原計算錯誤，本選項不合題意；D.，原計算錯誤，本選項不合題意；【點睛】本題考查冪的運算法則，整式的運算，完全平方公式，掌握相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵．6.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，成為我國航天事業(yè)的里程碑，某校對全校名學(xué)生進行了“航空航天知識”了解情況的調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為A，B，C，D四個等級（A：非常了解；B：比較了解；C：了解；D：不了解）．隨機抽取了部分學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖信息，下列結(jié)論不正確的是（）A.樣本容量是 B.樣本中C等級所占百分比是C.D等級所在扇形的圓心角為 D.估計全校學(xué)生A等級大約有人【答案】C【解析】【分析】用B等人數(shù)除以B等的百分比即可得到樣本容量，用C等級人數(shù)除以總?cè)藬?shù)計算樣本中C等級所占百分比，用乘以D等級的百分比即可計算D等級所在扇形的圓心角，用全校學(xué)生數(shù)乘以A等級的百分比即可得到全校學(xué)生A等級人數(shù)，即可分別判斷各選項．【詳解】解：A．∵，即樣本容量為200，故選項正確，不符合題意；B．樣本中C等級所占百分比是，故選項正確，不符合題意；C．樣本中C等級所占百分比是，D等級所在扇形的圓心角為，故選項錯誤，符合題意；D．估計全校學(xué)生A等級大約有（人），故選項正確，不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，讀懂題意，準確計算是解題的關(guān)鍵．7.已知，則的值是（）A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．【詳解】解：由得：，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運算法則，將變形為．8.如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是()A.16，6 B.18，18 C.16.12 D.12，16【答案】C【解析】【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點F是中點∴∵，點F是中點∴，，∴點D是的中點，∴∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．9.化簡的結(jié)果是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式的加減混合運算法則即可求出答案.【詳解】解：.故選D.【點睛】本題考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握分式加減混合運算法則.10.如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，∴∴∵∴，∵∴,故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11.某校在勞動課上，設(shè)置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】解：設(shè)分別表示植樹、種花、除草三個勞動項目，列表如下，共有9種等可能結(jié)果，符合題意得出有1種，∴這兩個班級恰好都抽到種花的概率是，故選：D．【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．12.用配方法解方程時，配方后正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上，即可求解．【詳解】解：移項得，兩邊同時加上，即∴，故選：C．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．13.某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）vA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長求得半徑為，根據(jù)母線長求得展開后的扇形的圓心角為，進而即可求解．【詳解】解：∵這個圓錐的底面圓周長為，∴解得：∵解得：∴側(cè)面展開圖的圓心角為如圖所示，即為所求，過點作，∵，，則∵，則∴，，故選：B．【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開圖的圓心角為解題的關(guān)鍵．14.如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（）A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯誤．【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴．∴．∴．故正確；∵，，∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴與不相似．∴．∴與不平行．故錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（請把答案填寫在答題卡的相應(yīng)橫線上．每小題3分，共12分）15.分解因式：=____.【答案】【解析】【分析】先提取公因式后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可．【詳解】．故答案為：16.方程的解為___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．【詳解】解：，方程兩邊同時乘以得，，，，，或．經(jīng)檢驗時，，故舍去．原方程的解為：．故答案為：．【點睛】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗根的情況．17.為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對地和地之間的一處垃圾填埋場進行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是___________千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點作于點，分別解，求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴（千米）改造后公路的長是千米，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．18.如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點在拋物線上，點E在直線上，若，則點E的坐標是____________．【答案】和【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，先求出點坐標，當點在線段上時:是△DCE的外角，，而，所以此時，有，可求出所在直線的解析式，設(shè)點坐標，再根據(jù)兩點距離公式，，得到關(guān)于的方程，求解的值，即可求出點坐標；當點在線段的延長線上時，根據(jù)題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長至，取，此時，，從而證明是要找的點，應(yīng)為，為等腰直角三角形，點和關(guān)于點對稱，可以根據(jù)點坐標求出點坐標．【詳解】解：根據(jù)點坐標，有所以點坐標設(shè)所在直線解析式為，其過點、有，解得所在直線的解析式為：當點在線段上時，設(shè)而∴∴因為：，，有解得：，所以點的坐標為:當在的延長線上時，在中，，,∴∴如圖延長至，取，則有為等腰三角形，，∴又∵∴則為符合題意的點，∵∴的橫坐標：，縱坐標為；綜上E點的坐標為：或【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況找到點的位置，是求解此題的關(guān)鍵．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效；解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）19.（1）計算：（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡，進行計算即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，解一元一次不等式組，正確掌握零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡，一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵．20.已知：如圖，點M在的邊上．求作：射線，使．且點N在的平分線上．作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線，于點C，D．②分別以點C，D為圓心．大于長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P．③畫射線．④以點M為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點N．⑤畫射線．射線即為所求．（1）用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；（2）根據(jù)以上作圖過程，完成下面的證明．證明：∵平分．∴①，∵，∴②，(③)．(括號內(nèi)填寫推理依據(jù))∴．∴．(④)．(填寫推理依據(jù))【答案】（1）見解析（2）①，②，③等邊對等角；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行【解析】【分析】（1）根據(jù)題意用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形即可；（2）由平分推導(dǎo)，由推導(dǎo)，從而推出，繼而利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”判定．【小問1詳解】根據(jù)意義作圖如下：射線即為所求作的射線．【小問2詳解】證明：∵平分．∴，∵，∴，(等邊對等角)．(括號內(nèi)填寫推理依據(jù))∴．∴．(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．(填寫推理依據(jù))故答案為：①，②，③等邊對等角；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查作尺規(guī)作圖—作角平分線和相等線段，等邊對等角，平行線的判定等知識，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．21.某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了“經(jīng)典閱讀”競賽，從甲班和乙班各隨機抽取10名學(xué)生．統(tǒng)計這部分學(xué)生的競賽成績，并對數(shù)據(jù)（成績）進行了收集、整理，分析．下面給出了部分信息．【收集數(shù)據(jù)】甲班10名學(xué)生競賽成績：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89乙班10名學(xué)生競賽成績：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81【整理數(shù)據(jù)】班級甲班631乙班451【分析數(shù)據(jù)】班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲班80ab51.4乙班808080，85c【解決問題】根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：_________，_________，_________；（2）請你根據(jù)【分析數(shù)據(jù)】中的信息，判斷哪個班成績比較好，簡要說明理由：（3）甲班共有學(xué)生45人，乙班其有學(xué)生40人．按競賽規(guī)定，80分及80分以上的學(xué)生可以獲獎，估計這兩個班可以獲獎的總?cè)藬?shù)是多少？【答案】（1）79，79，27；（2）乙，見解析；（3）42人．【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，方差的定義求解；（2）結(jié)合平均數(shù)，方差代表的數(shù)據(jù)信息說明；（3）樣本估計總體，用樣本中符合條件的數(shù)據(jù)占比估計總體，計算符合條件的數(shù)據(jù)個數(shù)．【小問1詳解】解：甲班成績從低到高排列：70，71，72，78，79，79，85，86，89，91，故中位數(shù)，眾數(shù)；乙班數(shù)據(jù)方差【小問2詳解】乙班成績與甲班平均數(shù)相同，中位數(shù)、眾數(shù)高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成績的集中度比甲好，總體乙班成績比較好．【小問3詳解】獲獎人數(shù)：（人）．答：兩個班獲獎人數(shù)為42人．【點睛】本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，樣本估計總體，掌握數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析中位數(shù)，眾數(shù)，方差的定義是解題的關(guān)鍵．22.某集團有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬件，準備銷往東南亞國家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品銷售額相同：3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷售多元．（1）求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷售單價各多少元？（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于萬元，則至少銷售甲種電子產(chǎn)品多少件？【答案】（1）甲種電子產(chǎn)品的銷售單價是元，乙種電子產(chǎn)品的單價為元．（2）至少銷售甲種電子產(chǎn)品萬件．【解析】【分析】（1）設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷售單價元，乙種電子產(chǎn)品的銷售單價元，根據(jù)等量關(guān)系：件甲種電子產(chǎn)品與件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同，件甲種電子產(chǎn)品比件乙種電子產(chǎn)品的銷售多元，列出方程組求解即可；（2）可設(shè)銷售甲種電子產(chǎn)品萬件，根據(jù)甲、乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于萬元，列出不等式求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷售單價是元，乙種電子產(chǎn)品的單價為元．根據(jù)題意得：，解得：；答：甲種電子產(chǎn)品銷售單價是元，乙種電子產(chǎn)品的單價為元．【小問2詳解】解：設(shè)銷售甲種電子產(chǎn)品萬件，則銷售乙種電子產(chǎn)品萬件．根據(jù)題意得：．解得：．答：至少銷售甲種電子產(chǎn)品萬件．【點睛】本題考查一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系及等量關(guān)系．23.定義：在平面直角坐標系中，當點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是___________；（2）點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是___________，直線的解析式是___________．當時，x的取值范圍是___________．（3）如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1），（2），，或（3）是直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點即為，最后根據(jù)函數(shù)圖像判斷當時，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A，B的坐標，再求出頂點C的坐標，最后求出，，，即可判斷的形狀．【小問1詳解】∵矩形的頂點坐標分別是，，，，∴矩形“夢之點”滿足，，∴點，是矩形“夢之點”，點不是矩形“夢之點”，故答案為：，；【小問2詳解】∵點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，∴把代入得，∴，∵“夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，∴“夢之點”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖像如圖：由圖可得，當時，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；【小問3詳解】是直角三角形，理由如下：∵點A，B是拋物線上的“夢之點”，∴聯(lián)立聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．24.如圖，是的直徑，是上一點過點作于點，交于點，點是延長線上一點，連接，，．（1）求證：是切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．（2）根據(jù)互余的兩個角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長度，即可求的長．【小問1詳解】解：連接，，如圖所示，，為的直徑，，，，，，，，，，，是切線．【小問2詳解】解：連接，如圖所示，解：由（1）得，，，，．，．設(shè)則，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達線段長度．25.乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/（1）在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；（2）①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________