初中高中數(shù)學(xué)銜接

數(shù)學(xué)

目錄

閱讀材料：1）高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系

2）如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

3）熟知高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵

4）高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點(diǎn)

5）怎樣培養(yǎng)好對(duì)學(xué)習(xí)的良好的習(xí)慣？

第一課：絕對(duì)值

第二課：乘法公式

第三課：二次根式（1）

第四課：二次根式（2）

第五課：分式

第六課：分解因式（1）

第七課：分解因式（2）

第八課:根的判別式

第九課:根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（1）

第十課:根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（2）

第十一課:二次函數(shù)y=/+反+c的圖像和性質(zhì)

第十二課:二次函數(shù)的三種表示方式

第十三課:二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

第十四課：分段函數(shù)

第十五課：二元二次方程組解法

第十六課：一元二次不等式解法（1）

第十七課：一元二次不等式解法（2）

第十八課:國際數(shù)學(xué)大師陳省身

第十九課：中華民族是一個(gè)具有燦爛文化和悠久歷史的民族

第二十課：方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用

第二-一課：平行線分線段成比例定理

第二十二課：相似形

第二十三課：三角形的四心

第二十四課：幾種特殊的三角形

第二十五課：圓

第二十六課：點(diǎn)的軌跡

1.高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系

同學(xué)們，首先祝賀你們進(jìn)入高中數(shù)學(xué)殿堂繼續(xù)學(xué)習(xí)。在經(jīng)歷了三年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，大家對(duì)數(shù)學(xué)有了一定的了解，

對(duì)數(shù)學(xué)思維有了一定的雛形，在對(duì)問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓(xùn)練。這也是我們繼續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

良好的開端是成功的一半，高中數(shù)學(xué)課即將開始與初中知識(shí)有聯(lián)系，但比初中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)。高一數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想

方法：如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等，它也是高考的重點(diǎn)，近年來，高考?jí)狠S題都

以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個(gè)試題的60%以上。

1、有良好的學(xué)習(xí)興趣

兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！币馑颊f，干件事，知道它，了解它不如愛好它，

愛好它不如樂在其中?！昂谩焙汀皹贰本褪窃敢鈱W(xué)，喜歡學(xué)，這就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好

它就要去實(shí)踐它，達(dá)到樂在其中，有興趣才會(huì)形成學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣

出發(fā)上升為自覺的理性的''認(rèn)識(shí)”過程，這自然會(huì)變?yōu)榱⒅緦W(xué)好數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者。那么如何才能建立好的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)興趣呢？

(1)課前預(yù)習(xí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。

(2)聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點(diǎn)解決預(yù)習(xí)中疑問，把老師課堂的提問、停頓、教具

和模型的演示都視為欣賞音樂，及時(shí)回答老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對(duì)你的提問的評(píng)價(jià)，變

為鞭策學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

(3)思考問題注意歸納，挖掘你學(xué)習(xí)的潛力。

(4)聽課中注意老師講解時(shí)的數(shù)學(xué)思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的？

(5)把概念回歸自然。所有學(xué)科都是從實(shí)際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學(xué)概念也回歸于現(xiàn)實(shí)生活，如角的概念、直角

坐標(biāo)系的產(chǎn)生都是從實(shí)際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實(shí)才能使對(duì)概念的理解切實(shí)可靠，在應(yīng)用概念判斷、推理時(shí)會(huì)準(zhǔn)確。

2、建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣。

習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固卜.來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會(huì)使自己學(xué)習(xí)感到有

序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動(dòng)手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師

所傳授的知識(shí)翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時(shí)間，以便加寬知識(shí)

面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。

3、有意識(shí)培養(yǎng)自己的各方面能力

數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計(jì)算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能力。這些能力

是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，如數(shù)學(xué)

第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動(dòng)。平時(shí)注意觀察，比如，空間想象能力是通過實(shí)例凈化思維，把空間中的實(shí)體高度抽

象在大腦中，并在大腦中進(jìn)行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培

養(yǎng)這些能力，會(huì)精心設(shè)計(jì)“智力課”和“智力問題”比如對(duì)習(xí)題的解答時(shí)的?題多解、舉?反三的訓(xùn)練歸類，應(yīng)用模型、電

腦等多媒體教學(xué)等，都是為數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)開設(shè)的好課型，在這些課型中，學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最

終達(dá)到自己各方面能力的全面發(fā)展。

2.如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

有許多初中階段數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生，升入高中后，感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，他們?cè)谧隽?xí)題或課外練習(xí)時(shí)，常常感到茫然，

不知從何下手，因而，個(gè)階段后，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)了嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是什么呢？根據(jù)我多年的教

學(xué)實(shí)踐，主要是以下幾個(gè)方面的原因：

教材的原因：初中數(shù)學(xué)教材，多數(shù)知識(shí)點(diǎn)與學(xué)生日常生活實(shí)際貼近，且初中教材遵循從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的規(guī)

律，敘述方法比較簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強(qiáng)，結(jié)論容易記憶，應(yīng)試效果也比較理想。因而，學(xué)生一般容易

接受、理解和掌握。相對(duì)而言，高中數(shù)學(xué)概念抽象，邏輯性強(qiáng)，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，知識(shí)難度加大，抽象思維和空間

想象能力明顯提高，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點(diǎn)高、難度大、容量多”的特點(diǎn)。這一

變化，不可避免地造成了部分學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響成績的提高。

教法的原因：初中數(shù)學(xué)內(nèi)容少，知識(shí)難度不大，教學(xué)要求較低，因而教學(xué)進(jìn)度較慢，對(duì)于某些重點(diǎn)、難點(diǎn)，教師可以有

充裕的時(shí)間反復(fù)講解、多次演練，來彌補(bǔ)不足。但是進(jìn)入高中后，數(shù)學(xué)教材內(nèi)涵豐富，教學(xué)要求不斷提高，教學(xué)進(jìn)度相應(yīng)加

快，知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)也不可能象初中那樣通過反復(fù)強(qiáng)調(diào)來排難釋疑，且高中教學(xué)往往通過設(shè)導(dǎo)、設(shè)問、設(shè)陷、設(shè)變，啟發(fā)

引導(dǎo)，開拓思路，然后由學(xué)生自己思考、去解答，比較注意知識(shí)的發(fā)生過程，傾重對(duì)學(xué)生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

這使得剛?cè)敫咧械牟糠謱W(xué)生不適應(yīng)教學(xué)方法，聽課時(shí)存在思維障礙，跟不上教師的思維，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，影響數(shù)學(xué)的學(xué)

習(xí)。

學(xué)法的原因：在初中，部分學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，獨(dú)立思考和對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)的能力較差，滿足于知識(shí)的接受，

缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。而到了高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思維方法，做到舉一反三，觸

類旁通。但是，剛?cè)雽W(xué)的高一新生，往往沿用初中時(shí)的學(xué)法，致使學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難，甚至完成當(dāng)天作業(yè)都有困難，更談不上復(fù)

習(xí)、總結(jié)等自我消化、自我調(diào)整了。

其它原因：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、興趣、性格、意志品質(zhì)的優(yōu)劣、學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)態(tài)度如何，在某種意義上也能影響

高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

針對(duì)以上影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原因，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)怎樣彌補(bǔ)這些不足呢？下面從高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾個(gè)常規(guī)步驟方面談一

談：

透徹領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí)：高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強(qiáng)，這就需要學(xué)生在知識(shí)的理解上下大功夫，不僅要弄清數(shù)學(xué)概念的

實(shí)質(zhì)，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯(lián)系。例如初三學(xué)生都會(huì)解一元:次方程，我曾在高一新生中做過這種調(diào)查：

為什么一元二次方程在△》()時(shí)有根？答對(duì)率不到15%,說明了什么？學(xué)生對(duì)一元二次方程這個(gè)概念理解不透徹，相關(guān)知識(shí)

缺乏聯(lián)系。

科學(xué)地對(duì)待預(yù)習(xí)：對(duì)于一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不太理想的同學(xué)，我主張課前預(yù)習(xí)。正確的方法是先不打開書，設(shè)想這節(jié)課的

內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，然后打開書；看到要對(duì)某個(gè)概念進(jìn)行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看到一個(gè)定理的第一句敘述，再

蓋上書自己猜想他的結(jié)論；看到一個(gè)公式時(shí)，也是這樣?？吹嚼}時(shí)，先不要看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上

的解法進(jìn)行比較、思考……這樣的預(yù)習(xí)，無論對(duì)知識(shí)的掌握，還是對(duì)思維的訓(xùn)練，都是有益的。

對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維反應(yīng)敏銳的同學(xué)，我不主張課前預(yù)習(xí)。因?yàn)橥ㄟ^預(yù)習(xí)已經(jīng)知道了課上耍講的內(nèi)容、結(jié)論、推

導(dǎo)過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運(yùn)動(dòng)中訓(xùn)練思維呢？”這白白浪費(fèi)了課

堂上發(fā)展自己智力素質(zhì)的機(jī)會(huì)。

提高聽課效率：高中學(xué)習(xí)期間，學(xué)生在課堂的時(shí)間占了一大部分。因此聽課效率如何，決定著學(xué)習(xí)的效果。我認(rèn)為，

提高聽課效率應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準(zhǔn)備和精神準(zhǔn)備，上課時(shí)不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)做過于激烈的

體育運(yùn)動(dòng)，以免上課后還氣喘噓噓，不能平靜下來。

其次就是聽課。聽課，重要的不是“聽”，而是“想”。聽是前提，隨之是積極地思維。要全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，做

到耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽同學(xué)們的答問，看是否對(duì)自己有所

啟發(fā)。

眼到：就是在聽講的同時(shí)看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實(shí)驗(yàn)的動(dòng)作，生動(dòng)而深刻的接受老師所要表

達(dá)的思想。

心到：就是用心思考，跟上老師的教學(xué)思路，分析老師是如何抓住重點(diǎn)，解決疑難的。

口到：就是在老師的指導(dǎo)下，主動(dòng)回答問題或參加討論。

手到：就是在聽、看、想、說的基礎(chǔ)上劃出教材的重點(diǎn)，記下講課的要點(diǎn)以及自己的感受或有創(chuàng)新思維的見解。將聽

課中的要點(diǎn)、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復(fù)習(xí)，消化，思考。

總之，“自己動(dòng)手”的課堂聽講，是最科學(xué)的。

重視復(fù)習(xí)和總結(jié)：

1、及時(shí)做好復(fù)習(xí).聽完課的當(dāng)天，必須做好當(dāng)天的復(fù)習(xí)。

復(fù)習(xí)的有效方法不是?遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復(fù)習(xí)：先把書、筆記合起來，回憶上課時(shí)老師講的內(nèi)容，

分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫），盡量想得完整些。然后打開筆記與書本，對(duì)照一下還有哪些沒

記清的，把它補(bǔ)起來，就能使當(dāng)天上課內(nèi)容鞏固下來，同時(shí)也檢查了當(dāng)天課堂聽課的效果如何，也為改進(jìn)聽課方法及提高聽

課效果提出必要的改進(jìn)措施。

2、做好單元復(fù)習(xí)。學(xué)習(xí)?個(gè)單元后應(yīng)進(jìn)行階段復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)方法同及時(shí)復(fù)習(xí)祥，采取回憶式復(fù)習(xí)，而后與書、筆

記相對(duì)照，使其內(nèi)容完善，而后應(yīng)做好單元小節(jié)。

3、做好單元小結(jié)。單元小結(jié)內(nèi)容應(yīng)包括以下部分：

（1）本單元（章）的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

（2）本章的基本思想與方法（應(yīng)以典型例題形式將其表達(dá)出來）；

（3）自我體會(huì)：對(duì)本章內(nèi)，自己做錯(cuò)的典型問題應(yīng)有記載，分析其原因及正確答案，應(yīng)記錄下來本章你覺得最有價(jià)值

的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補(bǔ)上。

做適量的練習(xí)題：有不少同學(xué)把提高數(shù)學(xué)成績的希望寄托在大量做題上，這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｊ聦?shí)I'.,要提高數(shù)學(xué)成績，

重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學(xué)的知識(shí)，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準(zhǔn)，

甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而加深了你的缺欠，因此，在準(zhǔn)確地把握住基本知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，做一定量的練習(xí)

是必要的。而對(duì)于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后有多大收獲，這就需要在做題后進(jìn)行一定的“反思”，思考一

下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解

其它問題時(shí)，是否也用到過，把它們聯(lián)系起來，你就會(huì)得到更多的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，這將大

大有利于你今后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）的練習(xí)是不能形成技能的。

另外，無論是作業(yè)還是測驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這也是

學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方面。

課外要自學(xué)、研究：課外自學(xué)與研究的目的是擴(kuò)大知識(shí)面，開闊眼界，進(jìn)一步提高應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。課

外自學(xué)的范圍不宜過大，應(yīng)該圍繞所學(xué)的教材進(jìn)度看一些課外參考書及數(shù)學(xué)雜志，作一些較新鮮或難度較大的習(xí)題。課外自

學(xué)應(yīng)該是有計(jì)劃地有節(jié)制地進(jìn)行，不要因小失大，更不要影響其它學(xué)科的學(xué)習(xí)。在課外自學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)一些新穎而有價(jià)

值的習(xí)題、一些好的思維方法與解題方法，應(yīng)該記下來，以便進(jìn)一步學(xué)習(xí)掌握。基礎(chǔ)較好，分析能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以選

-、：個(gè)專題，深入進(jìn)行探討和研究，把研究結(jié)果寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力?；A(chǔ)不太好、分析能力一般

的學(xué)生，應(yīng)該經(jīng)常和基礎(chǔ)好、分析能力強(qiáng)的同學(xué)在一起研究、探討一些數(shù)學(xué)問題，從中學(xué)習(xí)他們好的數(shù)學(xué)思維方法。

方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。另外，還要記住兩句話；“對(duì)一切來說，只有熱愛才是最好的老師”、“書山有路勤為徑，

學(xué)海無涯苦做舟”。有了興趣，有了方法，再有勤奮的精神，我相信，每一個(gè)有志同學(xué)一定能學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

3.熟知高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵

一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化。

I、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。

不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄”。確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的

區(qū):別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運(yùn)算語言以及

以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。

2、思維方法向理性層次躍遷。

高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個(gè)原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各

種題建立了統(tǒng)的思維模式，如解分式方程分兒步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思維非常靈活的平面兒何問題，

也對(duì)線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的，便于操作的定勢方式，而高

中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數(shù)學(xué)語言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是

漸進(jìn)的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)

驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證形思維。

3、知識(shí)內(nèi)容劇增

初中數(shù)學(xué)知識(shí)少、淺、難度容易、知識(shí)面窄。高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，將對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)推廣和引伸，也是對(duì)初中數(shù)學(xué)

知識(shí)的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“0—180°”范圍內(nèi)的，但實(shí)際當(dāng)中也有720°和“一360。等角，為此，高中

將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負(fù)在內(nèi)的所有大小角。乂如：高中要學(xué)習(xí)《立體兒何》，將在三維空間中求?

些幾何實(shí)體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識(shí)，以便解決排隊(duì)方法種數(shù)等問題。如：①三個(gè)人排成一行，有幾種

排隊(duì)方法，（答：=6種）；②四人進(jìn)行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)這些排列的數(shù)學(xué)方

法。初中中對(duì)一個(gè)負(fù)數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i=-l,就使-1的平方根為土i.即可把數(shù)的概念進(jìn)行推廣，使數(shù)的概念獷

大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識(shí)同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中將逐漸學(xué)習(xí)到。

二、不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

1、學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。

初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師將各種題型都一一羅列，學(xué)生依賴

于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套

用的“模子”沒有了，家長輔導(dǎo)的能力也跟不上了，由‘'參與學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)入“督促學(xué)習(xí)”。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還象初中那

樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不定計(jì)劃，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對(duì)老師

要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，不會(huì)鞏固所學(xué)的知識(shí)。

2、學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識(shí)的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而一部分同

學(xué)上課沒能專心聽課，對(duì)要點(diǎn)沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時(shí)鞏固、總結(jié)、尋找知識(shí)

間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對(duì)概念、法則、公式、定理?知半解，機(jī)械模仿，死記硬背，還有些同學(xué)晚上加班加

點(diǎn)，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。

3、進(jìn)步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌

握基礎(chǔ)知識(shí)與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法，實(shí)

根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運(yùn)用，空間概念的形成，排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問題等。有的內(nèi)容還是

初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，就必然會(huì)跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。

三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幾種方法

1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對(duì)概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識(shí)。

2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找借、析錯(cuò)'改錯(cuò)、防錯(cuò)。

達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥；解答問題完整、推理嚴(yán)密。

3、記憶數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論。

4、與同學(xué)建立好關(guān)系，爭做“小老師”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“互助組”。

5、爭做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度。

6、反復(fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。

7、學(xué)會(huì)總結(jié)歸類?？桑?/p>

①從數(shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識(shí)應(yīng)用上分類

4.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點(diǎn)

回憶初中階段所學(xué)的全部平面幾何的內(nèi)容及代數(shù)中的有理數(shù)、多項(xiàng)式、二次根式、方程、不等式和函數(shù)等，不僅在知

識(shí)上而且在數(shù)學(xué)能力上已經(jīng)作好了高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備。只要認(rèn)清高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，并促使自己適應(yīng)這些特點(diǎn)，那么學(xué)好高

中數(shù)學(xué)是完全可能的。高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)概括地說，有以下三點(diǎn)。

I、知識(shí)的抽象性大

在初中學(xué)習(xí)的“函數(shù)”的基礎(chǔ)上，高一又要學(xué)習(xí)“集合”、“對(duì)應(yīng)”、“映射”等更為抽象的知識(shí)。高一的立體幾何也削弱了直觀性

而突出了抽象性和空間的想象能力。這就是說思維要從直觀，經(jīng)驗(yàn)型向抽象，理論型過渡。

2,知識(shí)的密度增大

由于年齡的增長，接受能力、理解能力也在提高。同時(shí)高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容多而雜，這就決定了高中數(shù)學(xué)每節(jié)課的內(nèi)容較初中時(shí)

要多，即密度加大了。教師在教法上也隨之有所變化。初中時(shí)教師常常把知識(shí)掰開揉碎地細(xì)講，同時(shí)還選相當(dāng)數(shù)最的習(xí)題去鞏固這一知

識(shí)；而在高中卻常常是在新知識(shí)的開始階段，例題即有?定的坡度。尤其強(qiáng)調(diào)知識(shí)的“以舊帶新”和“橫向，縱向的溝通、聯(lián)系'

節(jié)課下來，似乎是聽怖了，但一遇到作業(yè)常常感到知識(shí)的運(yùn)用不熟練，思路不通暢。似乎總感到新知識(shí)沒有完全掌握，更新的知識(shí)又接

踵而來。

3、知識(shí)的獨(dú)立性大

初中知識(shí)的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，平面兒何尤其如此，這個(gè)系統(tǒng)給我們學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因?yàn)樗阌谟洃?，乂適

合于知識(shí)的提取和使用。因此，平面幾何的知識(shí)使人長久不忘，記得清，用得上。但高中的數(shù)學(xué)卻不同了，除了立體幾何、

解析幾何有個(gè)相對(duì)明確的系統(tǒng)（與平面幾何相比也不成體統(tǒng)），代數(shù)、三角的內(nèi)容具有相對(duì)的獨(dú)立性。因此，注意它們內(nèi)部

的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時(shí)必須花力氣的著力點(diǎn)，否則，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力必然會(huì)欠缺。

高一數(shù)學(xué)成績下降的原因分析及對(duì)策

初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，相當(dāng)多的高一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極

分化，少數(shù)學(xué)生甚至對(duì)學(xué)習(xí)失去了信心。前幾年，不少學(xué)校受高考指揮棒的影響，只注重升學(xué)率而忽視了合格率。現(xiàn)在高中

搞會(huì)考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對(duì)高一數(shù)學(xué)成績大面積下降談?wù)勗斐傻脑蚣皯?yīng)采取的對(duì)策。

一、高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的原因

1.初、高中教材間梯度過大。

初中教材偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算，缺少對(duì)概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，如函數(shù)的定義，三角函數(shù)的定義就是

如此；對(duì)不少數(shù)學(xué)定理沒有嚴(yán)格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度

較緩，直觀性強(qiáng)，對(duì)每一個(gè)概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代數(shù)知識(shí)，緊接著就

是塞函數(shù)的分類問題（在零函數(shù)中，由于指數(shù)不同，具有不同的性質(zhì)和圖象）。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個(gè)難點(diǎn)，立體幾何

對(duì)空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也

多，每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)。這些都是高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的客觀原因。

2.高一新生普遍不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法。

高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)課能聽懂但作業(yè)不會(huì)做。不少學(xué)生說，平時(shí)自認(rèn)為學(xué)得不錯(cuò)，考試成績就是上不去，追究其原

因是初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑板表演的機(jī)會(huì)相當(dāng)多。為了提

高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，重點(diǎn)題目反復(fù)做過多次。而高中教師在授課時(shí)

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，

他們往往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的難度來對(duì)待高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過渡過程,

至使高中新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。

3.高一學(xué)生的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課注意聽講，盡力完成老師布置的作業(yè)。但課堂上

滿足于聽，沒有做筆記的習(xí)慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動(dòng)腦子思考，而是希望老師講解整個(gè)解題過程；不會(huì)科學(xué)地安

排時(shí)間，缺乏自學(xué)、看書的能力，還有些學(xué)生考上了高中后，認(rèn)為可以松口氣了，放松了對(duì)自己的要求。上述的學(xué)習(xí)方法，

不適應(yīng)高中階段的正常學(xué)習(xí)。

二、搞好高一數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)策及方法

針對(duì)上述問題，筆者認(rèn)為要想大面積提高高一數(shù)學(xué)成績，應(yīng)采取如卜.措施。

1.高一教師要鉆研初中大綱和教材。

高中教師應(yīng)聽初中數(shù)學(xué)課，了解初中教師的授課特點(diǎn)。開學(xué)初，要通過摸底測驗(yàn)和開學(xué)生座談會(huì)，了解學(xué)生掌握知識(shí)

的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清三個(gè)底（初中知識(shí)體系，初中教師授課特點(diǎn)，學(xué)生狀況）的前提下，根據(jù)高?教材和大綱，

制訂出相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)計(jì)劃，確定應(yīng)采取的教學(xué)方法，做到有的放矢。

2.新高一要放慢進(jìn)度，降低難度，注意教學(xué)內(nèi)容和方法的銜接。

根據(jù)實(shí)踐，新高一第一章課時(shí)數(shù)要增加。要加強(qiáng)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)。教學(xué)時(shí)注意形象、直觀。如講映射時(shí)可

舉“某班50名學(xué)生安排到50張單人桌上的分配方法”等直觀例子，為引人映射概念創(chuàng)造階梯。由于新高…學(xué)生缺乏嚴(yán)格

的論證能力，所以證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)可進(jìn)行系列訓(xùn)練，開始時(shí)可搞模仿性的證明。要增加學(xué)生到黑板上演練的次數(shù)，從而及

時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法，降低教材難度，提高學(xué)生的可接受性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，

讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。

3.嚴(yán)格要求，打好基礎(chǔ)。

開學(xué)第一節(jié)課，教師就應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的規(guī)范化，獨(dú)立完成，訂正錯(cuò)題等等。對(duì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的弊病，應(yīng)限期改正。嚴(yán)格要求貴在持之以恒，貫穿在學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，成為學(xué)生的習(xí)慣?？荚嚨拿芏?/p>

要增加，如第一章可分為三塊進(jìn)行教學(xué)，每講完一塊都要復(fù)習(xí)、測驗(yàn)及格率不到70%應(yīng)重新復(fù)習(xí)、測驗(yàn)，課前5分鐘小題

測驗(yàn)，應(yīng)經(jīng)常化，用以督促、檢查、鞏固所學(xué)知識(shí)。實(shí)踐表明，教好課與嚴(yán)要求，是提高教學(xué)質(zhì)量的主要環(huán)節(jié)。

4.指導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，不但是高中階段學(xué)習(xí)上的需要，還會(huì)使學(xué)生受益終生。但好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，一方面需教

師的指導(dǎo)，另一方面也靠老師的強(qiáng)求。教師應(yīng)向?qū)W生介紹高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)，進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的專題講座，幫助學(xué)生制訂學(xué)習(xí)計(jì)劃。

這里，重點(diǎn)是會(huì)聽課和合理安排時(shí)間。聽課時(shí)要?jiǎng)幽X、動(dòng)筆、動(dòng)口，參與知識(shí)的形成過程，而不是只記結(jié)論。教師應(yīng)有針對(duì)

性地向?qū)W生推薦課外輔導(dǎo)書，以擴(kuò)大知識(shí)面。提倡學(xué)生進(jìn)行章節(jié)總結(jié)，把知識(shí)串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、

期末都要召開學(xué)習(xí)方法交流會(huì)，讓好的學(xué)習(xí)方法成為全體學(xué)生的共同財(cái)富。

5.怎樣培養(yǎng)好對(duì)學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣？

不要再被動(dòng)的因?yàn)橐獙W(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，而是要主動(dòng)的需求學(xué)習(xí)的方法，怎么培養(yǎng)對(duì)學(xué)習(xí)的興趣？以下幾點(diǎn)可供參考：

（-）培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

現(xiàn)代教育倡導(dǎo)自主性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，堅(jiān)信能力是練出來的，因此我們?cè)谡n程安排和教學(xué)常規(guī)中，設(shè)置有課前三分

鐘準(zhǔn)備、晚修分段學(xué)習(xí)、教學(xué)三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設(shè)置的目的，就是為了培養(yǎng)同學(xué)們良好的修習(xí)養(yǎng)

身習(xí)慣。我希望同學(xué)們領(lǐng)會(huì)意圖，配合學(xué)校的安排。在課前三分鐘，提前回到自己的座位，把課本和學(xué)習(xí)用品準(zhǔn)備好，把自

己的思想從課間活動(dòng)拉回來，在科任老師和科代表的指導(dǎo)下，或朗讀課文、定理、定律，或背誦名句、單詞、公式，或做小

測練……課堂上，聚精會(huì)神聽老師講課，深入思考和積極回答問題，善于做筆記，做到眼睛看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、

手頭記，充分調(diào)動(dòng)和發(fā)揮各器官功能……晚修分時(shí)段學(xué)習(xí)，合理安排各科學(xué)習(xí)時(shí)間，做到復(fù)習(xí)、作業(yè)、預(yù)習(xí)三不誤，照顧到

當(dāng)天學(xué)習(xí)及第二天學(xué)習(xí)的全部學(xué)科，做到均衡發(fā)展，要主動(dòng)到走廊上一請(qǐng)教下班輔導(dǎo)的老師，維護(hù)課室里面安靜的晚修秩序，

提高晚修的效率。

（-）抓好預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)

預(yù)習(xí)，即課前的自學(xué)。指在教師講課之前，自己先獨(dú)立地閱讀新課內(nèi)容。初步理解內(nèi)容，是上課做好接受新知識(shí)的準(zhǔn)

備過程。有些學(xué)生由于沒有預(yù)習(xí)習(xí)慣，對(duì)老師一堂課要講的內(nèi)容一無所知，坐等教師講課，老師講什么就聽什么，老師叫干

什么就干什么，學(xué)習(xí)就很辛苦。有些學(xué)生雖能預(yù)習(xí)，但看起書來似走馬觀花，不動(dòng)腦、不分析，這種預(yù)習(xí)一點(diǎn)也達(dá)不到效果。

老師建議：預(yù)習(xí)時(shí)要讀、思、問、記同步進(jìn)行，對(duì)課本內(nèi)容能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順

手用筆作出不同符號(hào)的標(biāo)記，把沒有讀懂的問題記下來，作為聽課的重點(diǎn)。但對(duì)牽涉到已學(xué)過的知識(shí)以及估計(jì)老師講不到的

小問題，自己一定要搞懂，以消滅“攔路虎”。預(yù)習(xí)應(yīng)在當(dāng)天作、也做完之后再進(jìn)行。時(shí)間多，就多預(yù)習(xí)幾門，鉆得深一點(diǎn)；

反之，就少預(yù)習(xí)幾門，鉆得淺一點(diǎn)。切不可以每天學(xué)習(xí)任務(wù)還未完成就忙著預(yù)習(xí)，打亂了正常的學(xué)習(xí)秩序。若你以前沒有預(yù)

習(xí)的習(xí)慣，現(xiàn)在可以先選一兩門自己學(xué)起來感到吃力的學(xué)科進(jìn)行預(yù)習(xí)嘗試，等嘗到甜頭，取得經(jīng)驗(yàn)后，再逐漸增加學(xué)科，直

到全面鋪開。

（三）注重聽課環(huán)節(jié)

學(xué)生的大部分時(shí)間是在課堂中度過的。因此，聽課是學(xué)生接受教師指導(dǎo)，掌握知識(shí)，發(fā)展智力的中心環(huán)節(jié)，是獲取知

識(shí)的重要途徑，是保證高效率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。聽課時(shí)，有的學(xué)生全神貫注，專心聽講；有的分心走神，萎靡不振，打瞌睡；有

的像錄音機(jī)，全聽全錄；有的邊聽邊記，基本上能把教師講的內(nèi)容都記下來；有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來;

有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時(shí)，有的思考當(dāng)堂內(nèi)容，有的思考與本課相關(guān)的知識(shí)體系，有的思考

教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思路比較。那么，怎樣才能達(dá)到聽好課的目的呢？總的要求是：要抓住各學(xué)科的不

同特點(diǎn)，帶著問題聽，聽清內(nèi)容，記住要點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，著重聽老師的講課方法與思路，釋疑的過程與結(jié)論。

（四）緊抓復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)

復(fù)習(xí)是對(duì)前面已學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)再加工，并根據(jù)學(xué)習(xí)情況對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，為下一階段的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。因

此，每上完節(jié)課，每學(xué)完一篇課文，一個(gè)單元，?冊(cè)書都要及時(shí)復(fù)習(xí)。若復(fù)習(xí)適時(shí)恰當(dāng)，知識(shí)遺忘就少。早在1885年，

德國的心理學(xué)家艾濱浩斯，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)剛記住的材料，?小時(shí)后只能保持44%；?天后能記住33%；兩天后留下的只有

28%；六天后為25%。所有的人，學(xué)習(xí)的知識(shí)都會(huì)發(fā)生先快后慢的遺忘過程。一些記性好的學(xué)生是因?yàn)槟芙?jīng)常從不同的角度、

不同的層次上進(jìn)行復(fù)習(xí)，做到“每天有復(fù)習(xí)，每周有小結(jié)，每章有總結(jié)”，從而形成了驚人的記憶力。很多學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)

記不住，并不是腦子笨，而是不善于復(fù)習(xí)，或復(fù)習(xí)功夫不深。最好的做法是：（1）當(dāng)天學(xué)的知識(shí)，要當(dāng)天復(fù)習(xí)清，。否則，

內(nèi)容生疏了，知識(shí)結(jié)構(gòu)散了，重新學(xué)習(xí)花費(fèi)的時(shí)間就會(huì)更多。（2）要緊緊圍繞概念、公式、法則、定理、定律復(fù)習(xí)。通過追

根溯源，思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的？能應(yīng)用到哪些方面？（3）要反復(fù)復(fù)習(xí)。學(xué)完一課復(fù)習(xí)一次，學(xué)完一章或一個(gè)

單元，乂復(fù)習(xí)?次，學(xué)習(xí)??階段再系統(tǒng)總結(jié)?遍，期末還要專門復(fù)習(xí)。通過這種步步為營的復(fù)習(xí)，形成的知識(shí)聯(lián)系就不會(huì)消

退。學(xué)校為此采取了教學(xué)“三清”措施，希望老師和同學(xué)們認(rèn)真做好教學(xué)三清工作。

（五）獨(dú)立完成作業(yè)環(huán)節(jié)

獨(dú)立完成作業(yè)是深化知識(shí)，鞏固知識(shí)，檢查學(xué)習(xí)效果的重要手段，也是復(fù)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的主要形式。然而，有些學(xué)生沒有真正

利用好這個(gè)環(huán)節(jié)。他們一卜.課就搶著做作業(yè)，作業(yè)一完，萬事大吉。更有些學(xué)生課上根本沒聽懂，下課后也不問，作業(yè)抄襲后向老師交

差完事。其實(shí)，做好作業(yè)有以下意義：1.可以檢查自己的學(xué)習(xí)效果。2、做作業(yè)可以發(fā)現(xiàn)問題，增強(qiáng)解決問題的能力。3、做作業(yè)可以加

深對(duì)知識(shí)的理解，把易混淆的概念搞清楚，把公式的變換搞熟練，有利于把書本上的知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的知識(shí)。希望同學(xué)們能按時(shí)、獨(dú)立

完成作業(yè)。

（六）認(rèn)真記好課堂筆記

記筆記是為了學(xué)，為了懂，為了用。記筆記的原則是以聽為主，以記為輔。簡練明白，提綱挈領(lǐng)，詳略得當(dāng)，書上有

的不必多記。難點(diǎn)不放過，疑點(diǎn)有標(biāo)記。不亂，不混，條理明。對(duì)聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)的問題，要及時(shí)記。筆記要留有空白處，便于

復(fù)習(xí)時(shí)補(bǔ)缺。

（一）絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)

值仍是零.即

a>0,

|a|=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)匕之間的距離.

例1、解不等式：1/21

例2、解不等式：|x-l|<2

你自己能總結(jié)出一般性的結(jié)論嗎？

例3、解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可變?yōu)椤ā芬?）一（％-3）>4,

即—2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

：.x<0；

②若l<x<2,不等式可變?yōu)椋▁-l）—（x—3）>4,

即1>4,

，不存在滿足條件的X;

③若XN3,不等式可變?yōu)椋ㄓ?1）+*-3）>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又於3,

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,|尤-1|表示光軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離

\PA\,即蹈|=|x—l卜〃一3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|,即|PB|=|x—

3|._

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的幾何意義即為kl31

PCABD

IIIII;

x0I4x

'~V------'

|x-l|

圖1.1-1

|P4|+|PB|>4.

由|AB|=2,可知

點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).

x<0,或光>4.

練習(xí)

1.填空題：

(1)若忖=5,則尸；若兇=卜4|,則尸.

⑵如果同+回=5,且。=一1,則6=；若|l-c|=2,則,=

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則a=b(B)若同>網(wǎng),則?>(

(C)若a<b,則同<同(D)若同=同,則a=±b

3.化簡：|x-5|--|2x-13|(x>5).

4.解下列不等式：

(1)|x+3|+|2x-3|3

(2)|x+l|—|x—3|>—4

(二)乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+。)伍一。)=/一/；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2+lab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+Zr'；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)-a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c~+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3-a3+3a2i>+3ab2+投；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-投.

對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(A：2+JC+1).

解法一：原式=(一+1)2-九2]

=(x2-l)(x4+x2+1)

=x6-l.

角星法二：原式=(X+1)(Y-X+1)(X-1)(X24-X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知Q+/?+C=4,a》+bc+ac=4,求。2+/+c?的值.

角翠：a2+b2+c2=(a+》+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

練習(xí)：

1.填空題：

(1)—a2——b1—(—b+—a]()；

9423

(2)(4〃?+y=16〃/+4〃z+()；

(3)(a+2b—c)2=/+4b~+c?+().

2.選擇題：

,1

(1)若Y+一〃a+%是一個(gè)完全平方式，則％等于)

2

12

(A)m2(B)—/ri2(C)—m2(D)—m"

4316

(2)不論a,人為何實(shí)數(shù)，/+/一2。-4/?+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

(三)二次根式(1)

?般地，形如五僅20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方

_________6

的式子稱為無理式.例如3a+yja2+b+2b,+6等是無理式,而岳?+注》+],

2

x2+>/2xy+y2,V?等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需

要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，

例如應(yīng)與0,3&與&,△+瓜與密-瓜,2G-3&與2G+30,等等.一

般地，aG與G,a4x+by[ya4x-by[y,與互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；

而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)

用公式五〃=疝(a20/20)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通

過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括

號(hào)與合并同類二次根式.

2.二次根式C的意義

4^=|a|=|a,?>0,

-a,Q<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式:

(1)712^5(2)y[a^b{a>0)；(3)瓜匹&<。)?

角呆：(1)也各=2回;

(2)\lcrb-1?|4b-a>fb(a>0)；

(3)=2|x315/y=-2x3>Jy(x<0).

例2計(jì)算:6+(3-百).

角至法——：JJ+(3-J§)=——~i=

3—yjj

V3-(3+V3)

-(3-V3)(3+V3)

_3也+3

9-3

_3(V3+l)

6

_V3+l

2

解法二：G+(3—G)=y^

_出

G(百-1)

i

G-1

V3+1

(V3-1)(V3+1)

也+1

2

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)V12-VH^VH-V10；(2)J和2桓一底.

V6+4

712-VH_(Vn-VH)(Vi2+VTT)_1

解：⑴VV12-VH=-

1Vi2+VnV12+V1T)

ViT-Vio_(Vn-Vio)(Vn+Vio)_1

VTT-Vio=

-

1Vn+VioVn+Vio"

VI2-VH<VTi-Vio.

2V2-V6_(272-76)(272+V6)_2

(2)*.*2>f2—y[6=

12V2+V62V2+V6,

又4>2啦，

.*.A/6+4>*^6+2"\/2,

.*.-3—<272-76.

V6+4

練習(xí)：

1.將下列式子化為最簡二次根式:

(1)Visp-(2)427a2b4

2.計(jì)算：——7=

2-<2

3.比較下大?。菏图右?/p>

（四）二次根式（2）

例4化簡：(G+及y。04.(6-逝嚴(yán)5.

解：

=(百+V2)2004-(73-V2)2004-(V3-V2)

—^(V3+V2)-(V3—V2)J-(Vs-5/2)

=l2004-(V3-^)

—V3-V2.

(2)Jd+!-2(o<x<i).

例5化簡:(1)79-475；

解：（1）原式=出+4石+4

=7(V5)2+2x2xV5+22

=7(2-V5)2

=12-A/SJ=5/5—2.

1

(2)原式=X——

X

V0<x<l,

*<?—>1>X,

X

所以，原式=--X.

例6已知x=^~~W，y=?,求3%2一5孫+3y2的值.

V3+V2-V3-V2-'

+

解:Vx+)；=^-/i+^/l=(V3-V2)2+(V3+V2)2=10,

'J3+J2V3-V2

Vs—V2V3+V2

到二耳二/T耳二五，

，3-—5町+3尸=3(x+))2-11孫=3x102-11=289.

練習(xí)

1.填空題：

(1)-----7=-________.；

1+V3

(2)若J(5—X)(X_3)2=(%—3)VT^,則x的取值范圍是

(3)4724-6754+3796-2V150=；

，小嬖亞?-1Jx+1+Jx-1

(4)若工=—，則/——-==+—==_■===__________

25/x+l+Jx—1>/x+l——1

(5)等式工成立的條件是__________________o

Vx-24X-2

(6)比較大?。?-5小一幣(填“>”，或

...,-l+—d~?,,,

2.若b=----------------------，求a+6的值.

a+1

(五)分式

1.分式的意義

AAA

形如4的式子，若B中含有字母，且3/0,則稱々為分式.當(dāng)A#0時(shí)，分式三具有下列性質(zhì):

BBB

A_AxM

~B~BxM；

\_A^M

~B~B^-M-

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像_2_,這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1.若①±±=4+0_,求常數(shù)A8的值.

x(x+2)xx+2

氣力.?ABA(x4-2)4-Bx(A+8)x+2A5x+4

解：?—+----=-------------=--------------=--------，

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

fA+B=5,

??《

2A=4,

解得A=2,B=3.

例2.(1)試證：——=--——(其中〃是正整數(shù))；

〃(幾+1)n〃+1

111

（2）計(jì)算:----------1------------F,??H--------------

1x22x39x10

十1111

（3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)〃,有----+----+…--------<一

2x33x4〃(〃+1)2

..11_(?+1)-/?1

(1)證明:——，

n八+1n(n+1)n(n+1)

111

（其中〃是正整數(shù)）成立

n{n+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

-----1-----F???H

1x22x3------9x10

=(1-》+(9)+…+(?

1010

證明：,.?—+—+???+—1—

(3)

2x33x4?(/?+1)

1