大學物理課件-質點力學

質點力學

§1.1質點與參考系

§1.2質點運動的描述

§1.3自然坐標中的平面曲線運動與角量描述

§1.4相對運動

§1.5牛頓運動定律

§1.6動量與動量守恒定律

§1.7功和能

經典力學通?？煞譃檫\動學和動力學。運動學是從幾何的觀點來描述物體的運動，即研究物體的空間位置隨時間的變化關系，不涉及引發(fā)物體運動和改變運動狀態(tài)的原因。動力學研究物體的運動與物體間相互作用的關系。

一、質點

根據問題的性質和物體運動情況，將物體看做沒有大小和形狀、具有物體全部質量的點，稱其為質點。質點模型：

物體自身線度與所研究的物體運動的空間范圍相比可以忽略；或者物體作平動。

§1.1質點與參考系二、參考系

為描述物體的運動，被選作基準的物體或物體系稱為參考系。運動學中參考系可任選▲

太陽參考系（太陽─恒星參考系）常用的參考系：日心系▲

地心參考系（地球─恒星參考系）地心系▲

地面參考系或實驗室參考系地面系▲

質心參考系xyz0(x,y,z)0x

Pr

xyzP0s<0s>0AB三、坐標系

為定量地描述物體的運動,須在參照系上選用一個坐標系。坐標系是參照系的數學抽象一.位置矢量由原點引向考察點的矢量。

0表示為§1.2質點運動的描述直角坐標系中xyz0(x,y,z)

運動方程和軌跡方程

質點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數式稱為運動方程。表示為：

直角坐標系中或運動方程是時間t的顯函數。運動方程和軌跡方程

質點在空間所經過的路徑稱為軌道（軌跡）從運動方程中消去t，即可得到軌道方程軌道方程不是時間t顯函數例1-1：已知某質點的運動方程為z＝0從x，y兩式中消去t后，得軌道方程x2＋y2＝9，z＝0

這表明質點是在z＝0的平面內，作以原點為圓心，半徑為3m的圓周運動．二、位移由起始位置指向終位置的一個矢量ＯＡＢ位置矢量的增量矢量增量的模矢量模的增量Ｃ在直角坐標系中，位移的表示式為位移的模為

路程△S

△t時間內質點在空間內實際運行的路徑距離ＯＡＢs與的區(qū)別注意s為標量,為矢量r與的區(qū)別Ｃ為標量，為矢量三、速度描述質點位置變化和方向變化快慢的物理量

1.平均速度與平均速率ＯAB2.瞬時速度與瞬時速率OABC在直角坐標系中四、加速度描述質點速度變化快慢和方向的物理量

稱為機械運動狀態(tài)的變化率

OAB平均加速度瞬時加速度簡稱加速度在直角坐標系中加速度大小加速度方向當Δt→0時，平均加速度或速度增量的極限方向例1-2：已知一質點的運動方程為r＝3t－4t2

式中r以m計，t以s計，求質點運動的軌道、速度和加速度.解將運動方程寫成分量式

x＝3t，y＝－4t2消去參變量t得軌道方程：

4x2＋9y＝0，這是一條頂點在原點的拋物線.0xy由速度定義得由加速度的定義得五、運動學的基本問題1.已知運動學方程，求速度、加速度例1-3:一人用繩子拉著車前進，小車位于高出繩端h的平臺上，人的速率為

0不變，求小車的速度和加速度大小與與人的位置坐標ξ的關系。（繩子不可伸長）

解：人的速度大小為車前進的速度大小為Ox

hθlξx由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐標的變化率等于拉小車的繩長的變化率由圖可知兩邊對t求導得例題1-4:有一質點沿x軸作直線運動,t時刻的坐標為x=5t2-3t3(SI);試求:(1)在第2秒內的平均速度;(2)第2秒末的瞬時速度.(3)第2秒末的加速度.解:(1)

x=(5

22-3

23)-(5

12-3

13)=-6(m)

t=1s(2)(3)2.已知加速度和初始條件，求速度和運動方程初始條件t=0，

=

0可確定

初始條件t=0，x=x0可確定

例1-5:一質點沿x軸運動，其加速度a=－ku2，式中k為正常數，設t=0時，x=0，u=u0；①

求u，x作為

t

函數的表示式；②求u作為x的函數的表示式。

解①分離變量得②由曲線上各點的切線和法線所組成的一系列坐標系稱自然坐標系。ASO/切向單位矢量指向物體運動方向法向單位矢量指向軌道的凹側0一、自然坐標系§1.3自然坐標系中的平面曲線運動與角量描述二、自然坐標系中的平面曲線運動在曲線運動中，加速度的方向總是指向曲線凹進的一邊如果速率是減小的，則a與v的方向夾角為鈍角

如果速率是增大的，則a與v的方向夾角為銳角

如果速率不變，則a與v的方向夾角為直角

ABC△

DP1P2△

△s切向加速度法向加速度△

ABC△

DP1P2△

△s反映速度大小的變化率反映速度方向的變化率例1-6：以速度v0平拋一小球，不計空氣阻力，求t時刻小球的切向加速度量值a

，法向加速度量值an.解由圖可知

x=

0

yθgana

θ勻速圓周運動

(=常數)

角位置

角位移

方向為右手螺旋法則角速度角加速度0

1

2

p1p2極軸三、圓周運動的角量描述勻速圓周運動(

是恒量)勻角加速圓周運動(

是恒量)同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。

四、角量與線量的關系例1-7:一小球作勻減速圓周運動，初始轉速n＝1500r·min－1，經t＝50s后靜止．(1)求角加速度

和從開始到靜止小球的轉數N；(2)求t＝25s時小球的角速度ω；(3)設圓半徑R＝1m，求t＝25s時小球的速度和加速度．解：(1)由題知

當t＝50s時，ω＝0，則從開始到靜止，小球的角位移為小球的轉數為(2)t＝25s時小球的角速度為(3)t＝25s時小球的速度為相應的切向加速度和法向加速度分別為例1-8:一質點沿半徑為1m的圓周運動，它通過的弧長s按s＝t＋2t2的規(guī)律變化.問它在2s末的速率、切向加速度和法向加速度各是多少？解由速率定義，有將t＝2代入上式，得2s末的速率為

＝1＋4×2＝9(m·s－1)法向加速度＝81m·s－2

切向加速度＝4m·s－2

，為一常數則2s末的切向加速度為4m·s－2.§1.4相對運動一、運動描述的相對性由于選取不同的參考系，對同一物體運動的描述就會不同.“靜止參考系”、“運動參考系”都是相對的

S系S’系絕對運動，牽連運動，相對運動.也是相對的二、參照系之間的變換(非相對論效應)參考系:S系和S’系1.位矢變換關系絕對位矢牽連位矢相對位矢位移關系：2.速度變換關系：絕對速度牽連速度相對速度稱為伽利略速度變換yx,x’SOO’S’y’若說明(1)結論是在物體的運動速度遠小于光速時才成立.(2)只適用于相對運動為平動的情形。3.加速度變換關系：

在S’相對于S平動的條件下,有：三.同一參考系內質點系各質點間的相對運動相對位矢

xyzoAB是B對A的位矢相對速度相對加速度

這種描述相對運動的方法與上述方法是一致的。絕對位矢牽連位矢相對位矢例1-9：如圖所示，河寬為L，河水以恒定速度u流動，岸邊有A，B兩碼頭，A，B連線與岸邊垂直，碼頭A處有船相對于水以恒定速率

0開動.證明：船在A，B兩碼頭間往返一次所需時間為(船換向時間忽略不計)：ABuL解:絕對速度為

，方向A→B，牽連速度為u，相對速度為

0，于是有u

0

A當船由B返回A時，船對岸的速度模亦由上式給出.在AB兩碼頭往返一次的路程為2L，故所需時間為討論：(1)若u＝0，即河水靜止，則(2)若u＝

0，則t→∞，即船由碼頭A(或B)出發(fā)后就永遠不能再回到原出發(fā)點了.(3)若u＞

0，則t為一虛數，這是沒有物理意義的，即船不能在A，B間往返.

綜合上述討論可知，船在A，B間往返的必要條件是:

0

＞u一、牛頓運動三定律1.牛頓第一定律

一孤立質點將永遠保持其原來靜止或勻速直線運動狀態(tài).

牛頓第一定律又稱為慣性定律.意義：(1)定性給出了兩個重要概念,力與慣性力是物體與物體間的相互作用.慣性是物體的固有屬性.(2)定義了慣性參考系慣性定律成立的參照系為慣性系?！?.5牛頓運動定律2.慣性系與非慣性系相對于孤立質點靜止或作勻速直線運動的參考系稱為慣性參考系，簡稱慣性系.牛頓定律只適用于慣性系中宏觀物體的低速（遠小于真空光速）運動。asa/S/系S系光滑S/:牛頓定律不成立

a/0S:牛頓定律成立

a=0

③

相對于已知慣性系靜止或作勻速直線運動的參考系也是慣性系。

非慣性系：相對于已知慣性系作加速運動的參考系②通常，太陽參考系是一個精確度很好的慣性系；地球或靜止在地面上的任一物體也是近似程度很好慣性系。①一個參考系是否是慣性系，取決于實驗的精度要求。地球：自轉加速度公轉加速度2.牛頓第二定律

物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比；加速度的方向與合外力F的方向相同瞬時性：第二定律是力的瞬時作用規(guī)律之間一一對應矢量性：有大小和方向，可合成與分解力的疊加原理比例系數k與單位制有關，在國際單位制中k＝1定量的量度了慣性:質量是物體慣性大小的量度；

m1，m2為引力質量。牛頓等許多人做過實驗，都證明引力質量等于慣性質量。今后在經典力學的討論中不再區(qū)分引力質量和慣性質量萬有引力定律：任何兩個物體之間都存在著引力作用

引力常量3.牛頓第三定律

當物體A以力F1作用在物體B上時，物體B也必定同時以力F2作用在物體A上.F1和F2大小相等，方向相反，且力的作用線在同一直線上.作用力與反作用力：①總是成對出現，一一對應的.②不是一對平衡力.③是屬于同一性質的力.說明：

若相對論效應不能忽略時，牛頓第三定律的這種表達就失效了，這時取而代之的是動量守恒定律.直角坐標系中：自然坐標系中：二、牛頓定律的應用牛頓第二定律——矢量式

在具體運算時，一般先要選定合適的坐標系，然后將牛頓第二定律寫成該坐標系的分量式。解題思路:（1）選取對象（2）分析運動（軌跡、速度、加速度）（3）分析受力（隔離物體、畫受力圖）（4）列出方程（標明坐標的正方向；從運動關系上補方程）（5）討論結果（量綱？特例？等）例1-10：一細繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體(m1<m2)，如圖所示.設滑輪和繩的質量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解：選取對象

m1、m2及滑輪分析運動

m1，以加速度a1向上運動

m2，以加速度a2向下運動分析受力隔離體受力如圖所示.列出方程取a1向上為正方向，則有

T1－m1g＝m1a1①am1m2m1ga1T1m2gT2a2T1/T2/T以a2向下為正方向，則有

m2g－T2＝m2a2.②根據題意有

T1＝T2＝T，a1＝a2＝a.聯(lián)立①和②兩式得由牛頓第三定律知：

T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，有討論:

(1)T/

＜(m1＋m2)g.

(2)m1=m2:a1＝a2＝0;T=2m1g例1-11:升降機內有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為

.當升降機以勻加速度a1豎直上升時，質量為m的物體從斜面頂端沿斜面開始下滑，如圖所示.已知斜面長為l，求物體對斜面的壓力，物體從斜面頂點滑到底部所需的時間.

a1解:(1)選取對象

以物體m為研究對象.(2)分析運動m相對于斜面向下的加速度為a2xyN

mga1m相對于地的加速度為(3)分析受力

m受力如圖x方向:mgsin

＝m(a2－a1sin

)y方向:N－mgcos

＝ma1cos

(4)列出方程對m應用牛頓定律列方程：a2xyN

mga1解方程，得:a2＝(g＋a1)sin

N＝m(g＋a1)cos

物體對斜面的壓力大小

N′=N=m(g＋a1)cos

垂直指向斜面.m沿斜面向下作勻變速直線運動，所以(5)討論結果當

＝0時,

N′=N=m(g＋a1).當

＝0時，無水平滑動，l=0,t=0例1-12:跳傘運動員在張傘前的俯沖階段，由于受到隨速度增加而增大的空氣阻力，其速度不會像自由落體那樣增大.當空氣阻力增大到與重力相等時，跳傘員就達到其下落的最大速度，稱為終極速度.一般在跳離飛機大約10s，下落300～400m時，就會達到此速度(約50m·s－1).設跳傘員以鷹展姿態(tài)下落，受到的空氣阻力為F＝k

2(k為常量)，如圖所示.試求跳傘在任一時刻的下落速度.解：設向下為y軸正向0y跳傘運動員受力如圖Fmg由牛頓第二定律得時,終極速度運動方程寫為因t＝0時，

＝0；并設t時，速度為

.取定積分則有設m＝70kg，

T＝54m·s－1，則k＝0.24N2·m2·s－1.可得到如圖所示的

(t)函數曲線.§1.6動量與動量守恒定律整個物理學大廈的基石,三大守恒定律：

動量守恒定律能量轉換與守恒定律角動量守恒定律

一.質點的動量定理

定義:質點的動量—△狀態(tài)矢量△相對量定義:力的沖量—若一個質點，所受合外力為質點動量定理：微分形式積分形式

作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量這就是質點的動量定理。直角坐標系中:沖量:沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定平均沖力ff0tt+△tt說明:△F應為合外力；△也只對慣性系成立?！鱬是狀態(tài)量；I是過程量。二.質點系的動量定理ij第i個質點受的合外力則i質點的動量定理：對質點系:由牛頓第三定律有:所以有:令則有：

質點系總動量的增量等于作用于該系統(tǒng)上合外力的沖量.三.動量守恒定律

一個孤立的力學系統(tǒng)或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內各質點間動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。即：=常矢量說明:1.守恒條件是而不是2.動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系.3.若某一方向的合外力零，則該方向上動量守恒；但總動量可能并不守恒。4.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本的定律，它在宏觀和微觀領域均適用例1-13:一彈性球，質量m＝0.20kg，速度v＝5m·s，與墻碰撞后以原速率彈回。且碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是

，設球和墻碰撞的時間Δt＝0.05s，

＝60°，求在碰撞時間內，球和墻的平均相互作用力。

Nxm1m2解：以球為研究對象.設墻對球的平均作用力為，球在碰撞前后的速度為v1和v2，由動量定理可得將沖量和動量分別沿圖中N和x兩方向分解得解方程得按牛頓第三定律，球對墻的平均作用力和的方向相反而等值，即垂直于墻面向里.例1-14:一輛裝礦砂的車廂以

＝4m·s－1的速率從漏斗下通過，每秒落入車廂的礦砂為k＝200kg·s－1，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力(忽略車廂與地面的摩擦)？解:設t時刻已落入車廂的礦砂質量為m，經過dt后又有dm＝kdt的礦砂落人車廂.

取m和m＋dm為研究對象，則系統(tǒng)沿x方向的動量定理為Fdt＝(m+dm)

－(m

+dm·0)＝

dm＝

kdt則:F＝k

＝2000×4＝8×103(N)§1.7功和能一.功功率1.功：力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積.

力沿路徑l的線積分直角坐標系中功值的圖示法0absFcosθdW說明：(1)功是標量，有正、負之分。(2)功是過程量，與初末位置及運動路徑有關。2.功率

單位時間內所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

1.重力的功

物體m在重力作用下由a運動到b，取地面為坐標原點.0xyzabz1z2mg

重力的功只由質點始、末位置來決定，而與所通過的路徑無關.二.保守力的功2.萬有引力的功

兩個質點之間在引力作用下相對運動時，以M所在處為原點,M指向m的方向為矢徑的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。Mm3.彈簧彈性力的功0xx保守力

一質點相對于另一質點沿閉合路徑運動一周時，它們之間的保守力做的功必然是零。例1-15:質點所受外力F＝(y2－x2)i＋3xyj，求質點由點(0,0)運動到點(2,4)的過程中力F所做的功：(1)先沿x軸由點(0,0)運動到點(2,0)，再平行y軸由點

(2,0)運動到點(2,4)；(2)沿連接(0,0)，(2,4)兩點的直線；(3)沿拋物線y＝x2由點(0,0)到點(2,4)(SI單位制).解:(1)由點(0,0)沿x軸到(2,0).此時y＝0，dy＝0=-8/3J由點(2,0)平行y軸到點(2,4).此時x＝2，dx＝0＝48JW=W1+W2=(2)因為由原點到點(2,4)的直線方程為y＝2x，則＝40J(3)因為y＝x2，所以三.質點的動能定理令Ek是狀態(tài)量，相對量，與參照系的選擇有關。合力對質點作的功等于質點動能的增量例1-16:一質量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t＝0時物體靜止于原點.(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運動了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動了3m，它的速度增為多大？解(1)由動量定理得=2.7m

s-1(2)由動能定理得=2.3m

s-1四.勢能重力的功萬有引力的功彈性力的功

保守力的功只與初、終態(tài)的相對位置有關，說明系統(tǒng)存在一種只與相對位置有關的能量?？梢胍粋€

由物體相對位置所決定而又具有能量性質的函數，稱之為勢能函數。用Ep表示.或保守力的功等于系統(tǒng)勢能增量的負值。

若選定勢能零點為Ep2=0

重力勢能：

選地球表面為勢能零點萬有引力勢能:

通常選兩質點相距無限遠時的勢能為零.

對彈性勢能:

通常選彈簧自然長度時的勢能為零,則討論：1.勢能是相對量，其值與零勢能參考點的選擇有關.2.勢能函數的形式與保守力的性質密切相關.3.勢能是以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有.4.勢能物理意義可解釋為：一對保守力的功等于相關勢能增量的負值.例1-17:一勁度系數為k的輕質彈簧，下懸一質量為m的物體而處于靜止狀態(tài).今以該平衡為坐標原點，并作為系統(tǒng)的重力勢能和彈簧彈性勢能零點，那么當m偏離平衡位置的位移為x時，整個系統(tǒng)的總勢能為多少？解系統(tǒng):地球、彈簧、重物m建坐標如圖示，則彈性勢能在