九年級數(shù)學上學期期中真題分類匯編（人教版）：專題05 二次函數(shù)的實際應用（解析版）（人教版）

專題05二次函數(shù)的實際應用圖形問題1．某校九年級數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的專題探究；一定長度的鋁合金材料，將它設計成外觀為長方形的框，在實際使用中，如果豎檔越多，窗框承重就越大，如果窗框面積越大，采光效果就越好．小組討論后，同學們做了以下試驗：

請根據(jù)以上圖案回答下列問題：(1)在圖案①中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為，當為，窗框的面積是______；(2)在圖案②中，如果鋁合金材料總長度為，試探究長為多少時，窗框的面積最大，最大為多少？(3)經過不斷的試驗，他們發(fā)現(xiàn)：總長度一定時，豎檔越多，窗框的最大面積越小，試驗證：當總長還是時，對于圖案③的最大面積，圖案④不能達到這個面積．【答案】(1)(2)長為時，窗框的面積最大，最大為(3)見解析【分析】（1）當時，得出，再由長方形面積公式計算即可；（2）設長為時，窗框的面積為，則，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解方法求解即可；（3）圖案③：設長為時，窗框的面積為，則，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解方法得當時，y有最大值，即當時，即可得出窗框的面積為；圖案④：當時，根據(jù)，則此方程無解，則圖案④不能達到這個面積．【詳解】（1）解：當時，則，∴窗框的面積．故答案為：；（2）解：設長為時，窗框的面積為，則，∵，∴當時，y有最大值1，即當長為時，窗框的面積最大，最大為．（3）解：設長為時，窗框的面積為，則，∵，∴當時，y有最大值，令，整理得：，∵，∴此方程無解，∴圖案③的最大面積，圖案④不能達到這個面積．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，熟練掌握矩形的面積和二次函數(shù)對最值，根的判別式是解題的關鍵．2．工匠師傅準備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當?shù)拈L度為多少時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

【答案】當?shù)拈L度為米時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米【分析】連接，分別交于點，交于點，先判斷出四邊形是矩形，從而可得，再判斷出四邊形和四邊形都是矩形，從而可得米，，然后設矩形的面積為平方米，米，則米，米，利用矩形的面積公式可得關于的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，分別交于點，交于點，

，，米，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，四邊形和四邊形都是矩形，米，，和都是等腰直角三角形，，，設矩形的面積為平方米，米，則米，米，米，米，，又，與之間的距離為2米，米，，由二次函數(shù)的性質可知，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，則當時，取得最大值，最大值為，答：當?shù)拈L度為米時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應用、矩形的判定與性質等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．3．某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分是等腰三角形，，，點、、分別是邊、、的中點；下半部分四邊形是矩形，，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設米，米．

(1)求與之間的函數(shù)關系式，并求出自變量的取值范圍；(2)當為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．【答案】(1)(2)當時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為．【分析】（1）由可表示出的長，由，可表示出，，，，，的長，進而可求出與之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中相關數(shù)據(jù)列出函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質解答．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴．∵，是邊的中點，∴，，∵，∴，∴．∵點、、分別是邊、的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）設面積為S，則，∴當時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的應用，正確列出函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．圖形運動問題4．如圖（單位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直線l向正方形移動，直到與重合，當運動時間為xs時，與正方形重疊部分的面積為ycm2，下列圖象中能反映y與x的函數(shù)關系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分別求出時與時的函數(shù)解析式，然后根據(jù)相應的函數(shù)圖象找出符合條件的選項即可【詳解】解：如圖，當時，

重疊部分為三角形，面積，如圖，當時，

重疊部分為梯形，面積，∴圖象為兩段二次函數(shù)圖象，第一段開口向上，第二段開口向下，函數(shù)的最大值為50，縱觀各選項，只有C選項符合．故選：C．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，判斷出重疊部分的形狀并求出相應的函數(shù)關系式是解題的關鍵．5．如圖，一個邊長為的菱形，，過點作直線，將直線沿線段向右平移，直至經過點時停止，在平移的過程中，若菱形在直線左邊的部分面積為，則與直線平移的距離之間的函數(shù)圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用面積公式，分別計算出三個距離段的面積對應的解析式，根據(jù)相應圖象即可解答．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，①當時，如圖，

，，圖象開口向上的拋物線的一部分；②當時，如圖，

，圖象是線段；③當時，如圖，

，圖象開口向下的拋物線的一部分；故選：．【點睛】此題考查了動點圖象問題，涉及到解直角三角形等知識，解題的關鍵是：弄清楚不同取值范圍內，圖象和圖形的對應關系，進而求解．6．如圖，正方形的邊長為，點O為正方形的中心，點P從點A出發(fā)沿運動，同時點Q從點B出發(fā)沿運動，連接，在移動的過程中始終保持，已知點P的運動速度為，設點P的運動時間為，的面積為，下列圖象能正確反映出S與t的函數(shù)關系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分情況求出當點P在上時、當點P在上時的函數(shù)關系式，再依題判斷即可．【詳解】解：如圖，當點P在上時，延長交與點E，

∴，由題得，，，∴，∵，∴，∴；當點P在上時，

由題得，，∴．故選D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象的應用，求出分段函數(shù)的解析式是解題的關鍵．銷售利潤問題7．某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場調查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內，銷售量y（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系如圖所示，設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為w（元）．解答下列問題：

(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時內獲得2000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？(3)求銷售單價為多少時銷售利潤最大？最大為多少元？【答案】(1)(2)70元(3)銷售單價為85元時銷售利潤最大，最大為2450元【分析】（1）設y與x的函數(shù)關系式為，代入，，即可求解；（2）先得出，當時，，解方程即可求解；（3）根據(jù)，即可作答．【詳解】（1）解：設y與x的函數(shù)關系式為：，把，代入解析式得：，解得，∴y與x的函數(shù)關系式為；（2）根據(jù)題意，得；當時，，解得：，，∵這種商品的銷售價不得高于90元/千克，∴，∴應將銷售價定為70元/千克；（3），∵，∴當銷售單價時，銷售利潤w的值最大，最大值為2450元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，屬于常考題型，正確理解題意、得出二次函數(shù)的關系式是解題的關鍵．8．某公司生產的某種時令商品每件成本為22元，經過市場調研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）（天）的關系如表：時間x（天）1361036……日銷售量m（件）9490847624……未來40天內，前20天每天的價格（元/件）與時間x（天）的函數(shù)關系式為（且x為整數(shù)），后20天每天的價格（元/件）與時間x（天）的函數(shù)關系式為（且x為整數(shù)）．(1)認真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與x（天），直接寫出日銷售量m（件）與時間x（天）的函數(shù)關系式；(2)請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？(3)在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（且a為整數(shù)）給貧困戶，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天），求出a的值，即可求前20天中公司共捐贈給貧困戶多少錢？【答案】(1)(2)第18天的日銷售利潤最大為450元(3)，1500元【分析】（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關系式，故可利用待定系數(shù)法可求解；（2）日利潤＝日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質求最大值后比較得結論；（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質求a的取值范圍，進而求解即可．【詳解】（1）解：（1）由題意可知，m（件）與x（天）滿足一次函數(shù)關系．設一次函數(shù)關系式為，將、分別代入一次函數(shù)關系式中，得解得，∴，經檢驗，其他m與x的對應值均適合以上關系式．（2）解：設前20天日銷售利潤為元，后20天日銷售利潤為元，則，∵，，∴當時，有最大值，最大值為450；，∵，此函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線，∴當時，有最大值，最大值為．∵，∴第18天的日銷售利潤最大為450元；（3）解：由題意得：，配方得：，要使日銷售利潤隨時間x增大而增大，則要求對稱軸，解得；又∵，故，∵a為整數(shù)，∴，∴前20天中公司共捐贈給貧困戶的錢數(shù)為（元）．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決實際問題，屬于中考?？碱}型．9．陜西大櫻桃發(fā)展十分迅速，后來居上，成為我國三大櫻桃產地之一，其中，銅川大櫻桃最為出名，先后榮獲“國家地理標志保護產品”“中國優(yōu)質甜櫻桃之都”等殊榮，每到櫻桃成熟的季節(jié)，就會有大批的水果商收購櫻桃．今年某村在銷售前對本地市場進行調查發(fā)現(xiàn)：當批發(fā)價為萬元/噸時，每天可售出噸，每噸每漲萬元，每天的銷量將減少1噸，據(jù)測算，每噸平均投入成本1萬元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產業(yè)合作社決定，批發(fā)價不低于萬元/噸，不高于萬元/噸．設櫻桃的批發(fā)價為x(萬元/噸)，每天獲得的利潤為y(萬元)，請解答下列問題：(1)用含x的代數(shù)式表示每天櫻桃的銷售量為_______(噸)，并求出每天獲得的利潤y(萬元)與批發(fā)價x(萬元/噸)之間的函數(shù)關系式；(2)若該村每天批發(fā)櫻桃要盈利15萬元，求櫻桃的批發(fā)價應定為多少萬元/噸？(3)當櫻桃的批發(fā)價定為多少萬元時，每天所獲的利潤最大，并求出最大利潤．【答案】(1)，(2)若該村每天批發(fā)櫻桃要盈利15萬元，櫻桃的批發(fā)價應定為4萬元/噸(3)當批發(fā)價定為3萬元/噸時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是20萬元【分析】（1）根據(jù)“批發(fā)價為萬元/噸時，每天可售出噸，每噸每漲萬元，每天的銷量將減少1噸”用含x的代數(shù)式表示每天櫻桃的銷售量即可，再根據(jù)銷售量乘以每噸的利潤列出每天獲得的利潤y(萬元)與批發(fā)價x(萬元/噸)之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關系式可得，解方程后根據(jù)即可得到答案；（3）由題意得到，根據(jù)和二次函數(shù)的性質即可得到答案．【詳解】（1）解:每天櫻桃的銷售量為（噸），故答案為：根據(jù)題意得，∴每天獲得的利潤y(萬元)與批發(fā)價x(萬元/噸)之間的函數(shù)關系式為．（2）根據(jù)題意可得，解得．∵，∴，答：若該村每天批發(fā)櫻桃要盈利15萬元，櫻桃的批發(fā)價應定為4萬元/噸；（3），∵，拋物線開口向下，∴當時，y有最大值，最大值為，∴當批發(fā)價定為3萬元/噸時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是20萬元．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用等知識，讀懂題意，準確列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．投球問題10．一個物體從地面豎直向上拋，有這樣的關系式：（不計空氣阻力），其中是物體距離地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是拋出后所經歷的時間．圓圓用發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計）將一個小球以的初速度從地面豎直向上拋．(1)當小球的高度為米時，求時間的值；(2)小球的高度能達到米嗎？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)小球的高度為米時，所用時間為或；(2)小球的高度不能達到米．理由見解析【分析】（1）把，代入所給關系式求出二次函數(shù)解析式，再代入解析式求t的值即可；（2）把代入函數(shù)解析式得到關于t的一元二次方程，由判別式判定方程是否有解即可．【詳解】（1）解：把代入得：，當時，，即，解得：．答：小球的高度為米時，所用時間為或；（2）解：小球的高度不能達到米，理由如下：把代入得：，∴，∵，∴無實數(shù)解，∴小球的高度不能達到米．【點睛】本題考查一元二次方程的應用和二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意找出等量關系是解決問題的關鍵．11．明明同學喜歡課外時間做數(shù)學探究活動．他使用內置傳感器的“智能小球”進行擲小球活動，“智能小球”的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，“智能小球”從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離可以用二次函數(shù)刻畫，將“智能小球”從斜坡點處拋出，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．某次訓練時，“智能小球”回傳的水平距離與豎直高度的幾組對應數(shù)據(jù)如下：

水平距離豎直高度(1)根據(jù)題意，填空：________，________；“智能小球”達到的最高點的坐標為________；(2)“智能小球”在斜坡上的落點是，求點的坐標；(3)若在自變量的值滿足的情況下，與其對應的函數(shù)值的最大值為5，直接寫出的值．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）將代入求出b，再求出頂點坐標即可；(2)解直線與拋物線解析式組成的方程組即可；(3)根據(jù)函數(shù)的頂點以及函數(shù)性質分類討論即可．【詳解】（1）方法一：將代入中，得：，所以．即二次函數(shù)關系式為．將代入中，得：；方法二：因為二次函數(shù)最高點的坐標為，所以，．所以，．即二次函數(shù)關系式為．當時，，所以，，；“智能小球”達到的最高點的坐標為，故答案為，，；（2）由題意得：，解得：或（舍去），即點的坐標為；（3）或．由得，二次函數(shù)的對稱軸為直線，①當時，即時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)值的最大值為5．．解得或（不合題意，舍去），②當時，隨的增大而增大，當時，函數(shù)值的最大值為5．．解得：或（不合題意，舍去）；所以，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際問題，關鍵是求出函數(shù)的解析式．12．排球場的長度為，球網在場地中央且高度為，排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，排球運動過程中的豎直高度單位：與水平距離單位：近似滿足函數(shù)關系．(1)某運動員第一次發(fā)球時，測得水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離豎直高度①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求拋物線解析式；②判斷該運動員第一次發(fā)球能否過網______填“能”或“不能”．(2)該運動員第二次發(fā)球時，排球運動過程中的豎直高度單位：與水平距離單位：近似滿足函數(shù)關系，請問該運動員此次發(fā)球是否出界，并說明理由．【答案】(1)①；②不能(2)該運動員此次發(fā)球沒有出界，見解析【分析】（1）①由表格中數(shù)據(jù)得出頂點坐標，設函數(shù)解析式為頂點式，再把代入解析式求出a即可；②當時求出y的值與2.24比較即可；（2）令中的，解方程求出x的值與18比較即可．【詳解】（1）解：（1）①由表中數(shù)據(jù)可得頂點，設，把代入得，解得：，所求函數(shù)關系為；②不能．當時，，該運動員第一次發(fā)球能過網，故答案為：不能；（2）判斷：沒有出界．第二次發(fā)球：，令，則，，解得舍，，，該運動員此次發(fā)球沒有出界．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題關鍵是正確求出函數(shù)解析式．增長率問題13．據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度總值為千億元人民幣，平均每個季度增長的百分率為，則關于的函數(shù)表達式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均每個季度增長的百分率為，第二季度季度總值約為元，第三季度總值為元，則函數(shù)解析式即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意得：關于的函數(shù)表達式是：，故選：C．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，正確理解增長率問題是解題關鍵．14．某廠家2022年2月份生產口罩產量為180萬只，4月份生產口罩的產量為461萬只，設從2月份到4月份該廠家口罩產量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用4月份該廠家口罩產量月份該廠家口罩產量從2月份到4月份該廠家口罩產量的平均月增長率，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15．進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價．若設平均每次降價的百分率是，降價后的價格為元，原價為元，則y與之間的函數(shù)關系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設平均每次降價的百分率是x，，第一次降價后的價格為，第二次降價的價格為，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式即可求解．【詳解】解：設平均每次降價的百分率是x，，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x之間的函數(shù)關系式為，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．16．目前，隨著新冠病毒毒力減弱，國家對新冠疫情防控的政策更加科學化，人們對新冠病毒的認識更加理性．佩戴口罩可以阻斷傳播途徑，在一定程度上能夠有效防止感染新型冠狀病毒肺炎．某藥品銷售店將購進一批A、B兩種類型口罩進行銷售，A型口罩進價m元每盒，B型口罩進價30元每盒，若各購進m盒，成本為1375元．(1)求A型口罩的進價為多少元？(2)設兩種口罩的售價均為x元，當A型口罩售價為30元時，可銷售60盒，售價每提高1元，少銷售5盒；B型口罩的銷量y（盒）與售價x之間的關系為；若B型口罩的銷售量不低于A型口罩的銷售量的10倍，該藥品銷售店如何定價？才能使兩種口罩的利潤總和最高．【答案】(1)25元(2)定價為40元時，兩種口罩的利潤總和最高【分析】（1）根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設兩種口罩的利潤總和為，由銷售利潤=（售價-進價）銷售量得到關于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質以及自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）由題意可知：，即解得：，（舍去）∴A型口罩的進價為25元．（2）設兩種口罩的利潤總和為，當A型口罩售價為元時，銷售量為盒，由題意得：，解得，則，∴對稱軸為，∵，∴當時，隨的增大而減小，∴當時，兩種口罩的利潤總和最高，即定價為40元時，利潤最高．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用中的銷售利潤問題，根據(jù)題意找到關于的二次函數(shù)是解題的關鍵．17．重慶潼南某一蔬菜種植基地種植的一種蔬菜，它的成本是每千克元，售價是每千克元，年銷量為萬千克多吃綠色蔬菜有利于身體健康，因而綠色蔬菜倍受歡迎，十分暢銷．為了獲得更好的銷量，保證人民的身體健康，基地準備拿出一定的資金作綠色開發(fā)，根據(jù)經驗，若每年投入綠色開發(fā)的資金萬元，該種蔬菜的年銷量將是原年銷量的倍，它們的關系如下表：萬元(1)試估計并驗證與之間的函數(shù)類型并求該函數(shù)的表達式；(2)若把利潤看著是銷售總額減去成本費和綠色開發(fā)的投入資金，試求年利潤萬元與綠色開發(fā)投入的資金萬元的函數(shù)關系式；并求投入的資金不低于萬元，又不超過萬元時，取多少時，年利潤最大，求出最大利潤．(3)基地經調查：若增加種植人員的獎金，從而提高種植積極性，又可使銷量增加，且增加的銷量萬千克與增加種植人員的獎金萬元之間滿足，若基地將投入萬元用于綠色開發(fā)和提高種植人員的獎金，應怎樣分配這筆資金才能使年利潤達到萬元且綠色開發(fā)投入大于獎金？【答案】(1)(2)時，最大為萬元(3)用于綠色開發(fā)的資金為萬元，獎金為萬元【分析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)解析式的形式，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，可求出與的二次函數(shù)關系式．根據(jù)題意可知，利用頂點坐標公式解題即可；將代入中的，故；再將代入，故，由于單位利潤為，所以由增加獎金而增加的利潤就是，進而求出總利潤，即可得出答案．【詳解】（1）根據(jù)不是一次函數(shù)(不是線性的)，也不是反比例函數(shù)的值不是常數(shù))，所以選擇二次函數(shù)，設與的函數(shù)關系式為，由題意得：，解得：，與的函數(shù)關系式為：；（2）利潤銷售總額減去成本費和綠色開發(fā)的投入資金，；當時，最大，由于投入的資金不低于萬元，又不超過萬元，所以，而，拋物線開口向下，且取值范圍在頂點右側，隨的增大而減小，故最大值在處，當時，最大為：萬元；（3）設用于綠色開發(fā)的資金為萬元，則用于提高獎金的資金為萬元，將代入中的，故；將代入，故，由于單位利潤為，所以由增加獎金而增加的利潤就是；所以總利潤，因為要使年利潤達到萬，所以，整理得，解得：或，而綠色開發(fā)投入要大于獎金，所以所以用于綠色開發(fā)的資金為萬元，獎金為萬元．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一元二次方程的解法等知識，根據(jù)已知得出由增加獎金而增加的利潤是解題關鍵．