2023年高考數(shù)學真題題源解密（新高考全國卷）專題17 概率（原卷版）

專題17概率目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一概率考向二離散型隨機變量及其分布列真題考查解讀近年真題對比考向一概率考向二離散型隨機變量及其分布列考向三正太分布命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯易混速記/二級結(jié)論速記考向一概率1．（多選）（2023?新高考Ⅱ?第12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．當0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率考向二離散型隨機變量及其分布列2．（2023?新高考Ⅰ?第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（i=1nXi）=i=1nqi．記前n【命題意圖】概率、隨機變量的分布列與數(shù)學期望．【考查要點】概率多為小題。隨機變量的分布列與數(shù)學期望是高考熱點之一。?？疾槎椃植肌⒄龖B(tài)分布、超幾何分布等常見的分布，多為解答題．【得分要點】1．古典概率的計算公式如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m2．相互獨立事件的概率乘法公式將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率P（A?B）＝P（A）?P（B）．3．條件概率（1）條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=n(A∩B)4．離散型隨機變量分布列、數(shù)學期望、方差（1）離散型隨機變量X的概率分布列Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…（2）數(shù)學期望：稱EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為X的數(shù)學期望，簡稱期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（3）方差、標準差：D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(D(X))為隨機變量X的標準差．（4）期望方差的性質(zhì)：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b為常數(shù))．5．常見隨機變量的分布列（1）兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為X01P1－pp（2）超幾何分布:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))（3）二項分布如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到隨機變量X的概率分布如下：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)P0qnCeq\o\al(1,n)P1qn－1…Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)Pnq0由于Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k恰好是二項展開式(P＋q)n＝Ceq\o\al(0,n)P0qn＋Ceq\o\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)Pnq0中的第k＋1項(k＝0，1，2，…，n)中的值，故稱隨機變量X為二項分布，記作X～B(n，P)．6．常見隨機變量的均值與方差（1）若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．（2）若X服從兩點分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．考向一概率3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．4．（2021?新高考Ⅰ）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立考向二離散型隨機變量及其分布列5．（2021?新高考Ⅰ）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．6．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1時，p＝1，當E（X）＞1時，p＜1；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．考向三正太分布7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（）A．σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝．?？疾楣诺涓判驼植嫉?。二項分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見的分布多為解答題．一．互斥事件與對立事件（共2小題）1．（2023?宛城區(qū)校級三模）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點數(shù)相同”，則（）A．A與B互斥 B．B與C相互獨立 C． D．A與C互斥2．（2023?五華區(qū)校級模擬）有5張獎券，其中3張可以中獎，現(xiàn)有5個人從中不放回地依次各隨機抽取一張，設(shè)每張獎券被抽到的可能性相同，記事件Ai＝“第i個人抽中中獎券”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件A1與A2互斥 B． C． D．二．概率及其性質(zhì)（共1小題）3．（2023?咸陽一模）某家族有X，Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員X，Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）A． B． C． D．三．互斥事件的概率加法公式（共2小題）4．（2023?徐匯區(qū)校級一模）某產(chǎn)品長度合格的概率為，重量合格的概率為，長度、重量合格的概率為，任取一件產(chǎn)品，已知其重量合格，則它的長度也合格的概率為．5．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球．假設(shè)事件A＝“從乙箱中取出的兩球都是白球”，B＝“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，C＝“從乙箱中取出的兩球一個是白球一個是黑球”，其對應的概率分別為P（A），P（B），P（C），則（）A．P（A）＝P（B） B．P（A）＝P（C） C．P（B）＜P（C） D．P（C）＜P（A）四．等可能事件和等可能事件的概率（共2小題）6．（2023?昌江縣二模）擺地攤的某攤（賭）主拿了8個白的，8個黑的圍棋子放在一個口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，中彩情況如下：摸棋子5個白4個白3個白其它彩金20元2元紀念品（價值5角）同樂一次（無任何獎品）（1）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求獲得彩金20元的概率；（2）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求無任何獎品的概率；（3）按每天摸彩1000次統(tǒng)計，賭主可望凈賺約多少錢？7．（2023?揚中市校級模擬）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）．五．古典概型及其概率計算公式（共11小題）8．（2023?江蘇模擬）某學習小組八名學生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96，這八人成績的第60百分位數(shù)是n．若在該小組隨機選取兩名學生，則得分都比n低的概率為（）A． B． C． D．9．（2023?廣東模擬）一堆蘋果中大果與小果的比例為9：1，現(xiàn)用一臺水果分選機進行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（）A． B． C． D．10．（2023?揚州三模）某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A． B． C． D．11．（2023?重慶模擬）現(xiàn)從2個男生2個女生共4人中任意選出2人參加巴蜀中學高三年級的百日誓師大會，已知選出的2人中有一個是男生，則另一個是女生的概率為（）A． B． C． D．12．（2023?青島一模）某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為（）A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.4313．（2023?臺州二模）袋子中有大小相同的5個白球和5個紅球，從中任取3個球，已知3個球中有白球，則恰好拿到2個紅球的概率為（）A． B． C． D．14．（2023?保定二模）三位同學參加某項體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（）A． B． C． D．15．（2023?湖北模擬）在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是（）A． B． C． D．16．（2023?杭州一模）四位爸爸A、B、C、D相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則A的小孩與D交談的概率是（）A． B． C． D．17．（2023?寧波模擬）已知甲盒中有2個白球，2個紅球，1個黑球，乙盒中有4個白球，3個紅球，2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，記事件A＝“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則P（A）＝（）A． B． C． D．18．（2023?安徽模擬）老師排練節(jié)目需要4個男生和2個女生，將這六名學生隨機排成一排，2個女生不相鄰的概率為（）A． B． C． D．六．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共3小題）19．（2023?貴陽模擬）從，這五個數(shù)中任選兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的和大于的概率為（）A． B． C． D．20．（2023?廣東模擬）某公司在某地區(qū)進行商品A的調(diào)查，隨機調(diào)查了100位購買商品A的顧客的性別，其中男性顧客18位，已知該地區(qū)商品A的購買率為10%，該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人是男性，求此人購買商品A的概率．21．（2023?廣州模擬）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行2.5至5小時的中等強度運動．已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，B社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5：6：9．（1）從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；（2）假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X～N（5.5，σ2）．現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率．七．幾何概型（共3小題）22．（2023?涼山州模擬）在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)a，b，則2a+b＞2的概率為（）A． B． C． D．23．（2023?興慶區(qū)校級四模）已知A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）是平面直角坐標系中的四個點，在四邊形ABCD內(nèi)隨機取一點，則該點橫坐標與縱坐標之和小于5的概率為（）A． B． C． D．24．（2023?河西區(qū)二模）設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，則隨機變量X的數(shù)學期望為2；設(shè)M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，則事件M發(fā)生的概率為．八．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共2小題）25．（2023?湖北模擬）某同學喜愛球類和游泳運動．在暑假期間，該同學上午去打球的概率為．若該同學上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（）A． B． C． D．26．（2023?浙江模擬）班級舉行知識競猜闖關(guān)活動，設(shè)置了A，B，C三個問題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對問題A，80%的可能答對問題B，50%的可能答對問題C．記答題者連續(xù)答對兩題的概率為p，要使得p最大，他應該先回答（）A．問題A B．問題B C．問題A，B和C都可以 D．問題C九．n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率（共2小題）27．（2023?郴州模擬）籃球隊的5名隊員進行傳球訓練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（）A． B． C． D．28．（多選）（2023?天河區(qū)三模）甲乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N*）局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為．若某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P（n），則（）A． B． C． D．P（n）的最小值為一十．條件概率與獨立事件（共2小題）29．（2023?南崗區(qū)校級二模）已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，，則＝（）A． B． C． D．30．（2023?瓊海校級模擬）東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到同沙生態(tài)公園旅游，分別準備從映翠湖、十里河塘、計生雕塑園和鷺鳥天堂4個旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率P（B|A）＝（）A． B． C． D．一十一．全概率公式（共2小題）31．（2023?龍泉驛區(qū)模擬）據(jù)美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（）A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%32．（2023?河源模擬）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設(shè)事件Ai為第一次取出的球為i號，事件Bi為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（）A． B． C． D．一十二．離散型隨機變量及其分布列（共4小題）33．（2023?貴州模擬）據(jù)世界田聯(lián)官方網(wǎng)站消息，原定于2023年5月13、14日在中國廣州舉辦的世界田聯(lián)接力賽延期至2025年4月至5月舉行．據(jù)了解，甲、乙、丙三支隊伍將會參加2025年4月至5月在廣州舉行的4×400米接力的角逐．接力賽分為預賽、半決賽和決賽，只有預賽、半決賽都獲勝才能進入決賽．已知甲隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．（1）甲、乙、丙三隊中，誰進入決賽的可能性最大；（2）設(shè)甲、乙、丙三隊中進入決賽的隊伍數(shù)為ξ，求ξ的分布列．34．（2023?晉江市校級模擬）某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．（1）在一場比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；（2）求甲在參加三場比賽后，積分之和為5分的概率．35．（2023?常德二模）某大學一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學生研究了多款學習軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級一二三四人數(shù)3234（1）從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；（2）從這12名學生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習時間每人選擇一款軟件，其中選A、B兩個軟件學習的概率都是，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨立的．設(shè)這三名學生中下午自習時間選軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．36．（2023?南通二模）設(shè)（X，Y）是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），稱pij（i，j∈N*）是二維離散型隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習慣于把二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：Y/Xb1b2b3…a1p1，1p1，2p1，3…a2p2，1p2，2p2，3…a3p3，1p3，2p3，3………………現(xiàn)有n（n∈N*）個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數(shù)為X，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為Y．（1）當n＝2時，求（X，Y）的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)pk＝（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，計算．一十三．離散型隨機變量的期望與方差（共12小題）37．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機器人模型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術(shù)．在測試ChatGPT時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當出現(xiàn)語法錯誤時，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．（1）在某次測試中輸入了8個問題，ChatGPT的回答有5個被采納．現(xiàn)從這8個問題中抽取3個，以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率．38．（2023?靜安區(qū)二模）概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學實驗中應用廣泛．請解決下列兩個問題．（1）隨著中小學“雙減”政策的深入人心，體育教學和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天．某初中學校學生籃球隊從開學第二周開始每周進行訓練，第一次訓練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓練結(jié)束后放回原處．設(shè)第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布和期望．（2）由于手機用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機是否會增加得腦瘤的概率？研究者針對這個問題，對腦瘤病人進行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習慣在固定的一側(cè)接聽電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話．其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習慣固定在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習慣固定在左側(cè)接聽電話的有19人，習慣固定在右側(cè)接聽電話的有27人．根據(jù)上述信息寫出下面這張2×2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習慣在該側(cè)接聽手機電話相關(guān)進行獨立性檢驗．（顯著性水平α＝0.05）習慣固定在左側(cè)接聽電話習慣固定在右側(cè)接聽電話總計腦瘤部位在左側(cè)的病人ab42腦瘤部位在右側(cè)的病人cd46總計a+cb+d88參考公式及數(shù)據(jù)：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．39．（2023?湖北模擬）高性能計算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項指標，且智能檢測三項指標達標的概率分別為，，，人工檢測僅對智能檢測達標（即三項指標均達標）的產(chǎn)品進行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標．人工檢測綜合指標不達標的概率為p（0＜p＜1）．（1）求每個AI芯片智能檢測不達標的概率；（2）人工檢測抽檢50個AI芯片，記恰有1個不達標的概率為f（p），當p＝p0時，f（p）取得最大值，求p0；（3）若AI芯片的合格率不超過93%，則需對生產(chǎn)工序進行改良．以（2）中確定的p0作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進行改良．40．（2023?湖北模擬）某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從學校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200（1）根據(jù)α＝0.010的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？（2）在人工智能中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．現(xiàn)從該校學生中任選一人，A表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，B表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計L（B|A）的值．（3）現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機抽取3人參加數(shù)學競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學期望．附：．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82841．（2023?深圳二模）飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流．某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表：性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.10.010.001xα2.7066.63510.828．42．（2023?海淀區(qū)校級三模）人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個研究性小組，分別設(shè)計和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂的類別：“古典音樂”、“流行音樂”、“民族音樂”．為測試AI軟件的識別能力，計劃采取兩種測試方案．方案一：將100首音樂隨機分配給A，B兩個小組識別，每首音樂只被一個AI軟件識別一次，并記錄結(jié)果；方案二：對同一首音樂，A，B兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測試通過．（Ⅰ）若方案一的測試結(jié)果顯示：正確識別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識別的音樂數(shù)中，A組占；在錯誤識別的音樂數(shù)中，B組占．（?。┯妙l率估計概率，兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為多少？（ⅱ）利用（ⅰ）中的結(jié)論，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；（Ⅱ）若方案一的測試結(jié)果如下：音樂類別A小組B小組測試音樂數(shù)量正確識別比例測試音樂數(shù)量正確識別比例古典音樂1040%2450%流行音樂1040%2050%民族音樂2080%1687.5%在A小組、B小組識別的歌曲中各任選一首，記X1，X2分別為A小組、B小組正確識別的數(shù)量，試比較E（X1）和E（X2）的大小．（直接寫出結(jié)果即可）43．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）一個不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個小球，其中兩個紅球兩個白球的概率為，三個紅球一個白球的概率為．（1）從箱子中隨機抽取一個小球，求抽到紅球的概率；（2）現(xiàn)從箱子中隨機一次性抽取兩個或三個小球，已知抽到兩個小球的概率為，抽到三個小球的概率為，所抽到的小球中，每個紅球記2分，每個白球記﹣1分，用X表示抽到的小球分數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望．44．（2023?福鼎市校級一模）“斯諾克（Snooker）”是臺球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺球有時也被稱為障礙臺球，是四大“紳士運動”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運動之一．現(xiàn)甲、乙兩人進行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開球（例如：若第一局甲開球，則第二局乙開球，第三局甲開球……），沒有平局．已知在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán)．（1）求甲以3：1贏得比賽的概率；（2）設(shè)比賽的總局數(shù)為ξ，求E（ξ）．45．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）現(xiàn)有4個除顏色外完全一樣的小球和3個分別標有甲、乙、丙的盒子，將4個球全部隨機放入三個盒子中（允許有空盒）．（1）記盒子乙中的小球個數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學期望；（2）對于兩個不互相獨立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，稱為事件M，N的相關(guān)系數(shù)．①若ρ（M，N）＞0，求證：P（M|N）＞P（M）；②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有兩個盒子不空，求ρ（M，N）．46．（2023?浙江模擬）某籃球隊為提高隊員訓練的積極性，進行小組投籃游戲；每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組．游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲組兩名隊員投進籃球的概率分別為p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；（2）若p1+p2＝，則在游戲中，甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，理論上他們小組至少要進行多少輪游戲才行？并求此時p1，p2的值．47．（2023?湖南模擬）國產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來視覺震撼的同時，也引領(lǐng)觀眾對天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開了無限遐想，某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識的興趣，舉行了一次知識競賽（競賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識題量占比分別為40%，40%，20%）．某同學回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問題中每個題的正確率分別為，，．（1）若該同學在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；（2）若該同學從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯誤不得分，設(shè)該同學回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學期望．48．（2023?東方校級模擬）為了解某班學生喜愛打羽毛球是否與性別有關(guān)，故對本班60名學生進行問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛不喜愛合計男6女16合計60已知在全班60人中隨機抽取1人，抽到喜愛打羽毛球的學生的概率為．（1）請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整，并推斷是否有99.9%的把握認為學生喜愛打羽毛球與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法在喜愛打羽毛球的學生中抽取5人，再選出2人參加學校組織的羽毛球比賽，記選出的2人中女生數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828一十四．二項分布與n次獨立重復試驗的模型（共3小題）49．（2023?雨花區(qū)校級一模）若，則當k＝0，1，2，…，100時（）A．P（X＝k）≤P（X＝50） B．P（X＝k）≤P（X＝32） C．P（X＝k）≤P（X＝33） D．P（X＝k）≤P（X＝49）50．（2023?濟南三模）已知隨機變量X，Y，其中X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），P（|Y|＜2）＝0.3，則P（Y＞6）＝．51．（2023?湖北模擬）已知隨機變量X服從B（9，0.6），則當k＝時，概率P（X＝k）最大．一十五．正態(tài)分布曲線的特點