北師大版初中數(shù)學(xué)八年級下冊教案全集 (二)

課題名稱相似多邊形的性質(zhì)（一）NO：1課型新）受

經(jīng)歷探索相似多邊形的過程，并在探究過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、

教德育點(diǎn)

態(tài)度、價值觀，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。

理解并掌握相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)南平分線的比、以及對應(yīng)中

材創(chuàng)新點(diǎn)

線的比都等于相似比。

分能力點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和數(shù)形結(jié)合的能力

課題：課時安排:

生、口占理解并初步掌握相似多邊形周長的比等于相似比、面積的比的等于相

析大口“、"'似比的平方，并能用來解決簡單的問題。

學(xué)本節(jié)課共分2課時，第1課時主要探索相似三角形中對應(yīng)高

情的比、對應(yīng)中線的比與相似比的關(guān)系；第2課時探索相似多邊形

分的周長筆、面積比與相似比的關(guān)系。

析

教學(xué)流程師生互動

（內(nèi)容概要）（問題設(shè)計(jì)、情景創(chuàng)設(shè)）

一、引入A--------,B若正方形ABCD邊長為1周長為4,面積為1

若邊長增大一倍，變?yōu)?.周長為8,面積為4

1---------1若邊長，變?yōu)?.周長為12,面積為9

CD若邊長，變?yōu)镹.周長為4N,面積為NN

鉗工小王準(zhǔn)備按照比例尺3:4的圖紙制作三角形零件,該零件

的橫截面為△ABC畫在圖紙上是△DEF,CH,FG分別是它們

的高.

二△

AHBEGD

三角形內(nèi)角和定理的證明教學(xué)設(shè)計(jì)

南京市大廠中學(xué)袁新兵蔡祝華

一、教材與學(xué)生現(xiàn)實(shí)的分析

1、三角形的內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之

間的關(guān)系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后

知識的基礎(chǔ)，并且是計(jì)算角的度數(shù)的方法之一。在解決四邊形和多邊

形的內(nèi)角和時都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決。其中輔助線的作

法、把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識、用代數(shù)方法解決幾何問題，為以后的學(xué)

習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，三角形內(nèi)角和定理在理論和實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)

用。

2、三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)熟悉，但在小學(xué)是

通過實(shí)驗(yàn)得出的，要向?qū)W生說明證明的必要性，同時說明今后在幾何

里，常常用這種方法得到新知識，而定理的證明需要添輔助線，讓學(xué)

生明白添輔助線是解決數(shù)學(xué)問題（尤其是幾何問題）的重要思想方法,

它同代數(shù)中設(shè)末知數(shù)是同一思想。

3、學(xué)生在小學(xué)里已知三角形的內(nèi)角和是180°,前面又學(xué)習(xí)了

三角形的有關(guān)概念，平角定義和平行線的性質(zhì)，而且也滲透了三角形

的內(nèi)角和是180°的證明，它的證明借助了平角定義，平行線的性質(zhì)。

用輔助線將三角形的三個內(nèi)角巧妙地轉(zhuǎn)化為一個平角或兩平行線間

的同旁內(nèi)角，為定理的證明提供了必備條件。盡管前面學(xué)生接觸過推

理論證的知識，但并末真正去論證過，特別是在論證的格式上，沒有

經(jīng)過很好的鍛煉。因此定理的證明應(yīng)是本節(jié)引導(dǎo)和探索的重點(diǎn)。輔助

線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，只要教師設(shè)置恰當(dāng)?shù)?/p>

問題情境，學(xué)生再由實(shí)驗(yàn)操作、觀察、抽象出幾何圖形，用自主探索

的方式是可發(fā)完成的，并且這樣的過程可以更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造

能力和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

從本節(jié)開始訓(xùn)練學(xué)生將命題翻譯為幾何符號語言，寫出已知、求證，學(xué)會分析命題的證

明思路，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力將起到重要的作用。

教學(xué)知識點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的證明。

掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步

能力訓(xùn)練要求學(xué)會利用輔助線證明，同時培養(yǎng)

教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生觀察、猜想、和論證能力。

通過新穎、有趣的實(shí)際問題，來

情感與價值觀要求

激發(fā)學(xué)生的求知欲。

三角形內(nèi)角和定理的證明思路及

教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的證明方法。

教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)法，討論法。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明

我們在七年級曾經(jīng)把一個三角形的三個內(nèi)

角撕下來拼在一起得到一個平角，由此得到三

創(chuàng)角形的內(nèi)角和是180°。從學(xué)過的

設(shè)教師指出：這只是實(shí)驗(yàn)得出的命題，不能知識引入符合

問當(dāng)做定理，只有經(jīng)過嚴(yán)格的幾何證明，證明命學(xué)生的認(rèn)知規(guī)

題題的正確性，才能作為幾何定理，今后，在幾律，且小學(xué)已知

情何里，常采用這種方法得到新知識。三角形三個內(nèi)

境那么如何證明此命題是真命題呢？能否用角和是180°。

學(xué)過的舊知識作平行線，利用平行線的性質(zhì)來

證明呢？

學(xué)學(xué)生回憶證明一個命題的步驟：

生①畫圖有本章前

自②分析命題的題設(shè)和結(jié)論，寫出已知求證，面幾節(jié)作為基

主把文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言。礎(chǔ)，學(xué)生有能力

探③分析、探究證明方法。畫圖，寫已知，

究求證。

教師引導(dǎo)：要證三角形三個內(nèi)角和是180°,

觀察圖形，三個角間沒什么關(guān)系，能不能象前聯(lián)想前面

創(chuàng)面那樣，把這三個角拼在一起呢？拼成什么樣撕角拼角的方

設(shè)的角呢？法，學(xué)生能想

問學(xué)生思考與180°有關(guān)的角后回答，可拼到。

題成：①平角，②兩平行線間的同旁內(nèi)角。教師讓學(xué)生體

情引導(dǎo)，要把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述兩種會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)

境角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做思想方法，把新

輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，知識化為舊知

添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把識。

三個角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角

呢？下面同學(xué)們利用準(zhǔn)備好的三角形紙片拼

一拼，畫一畫。

學(xué)生通過自主探究，可以得出以下幾種輔學(xué)生通過觀

助線的作法：察分析、歸納，

學(xué)①如圖1,延長BC得到一平角NBCD,使思維達(dá)到高

生然后以CA為一邊，在4ABC的外部畫潮，由感受性認(rèn)

自Zl=ZAo識上升到理性

主②如圖1,延長BC,過C作CE〃AB認(rèn)識。

探③如圖2,過A作DE〃AB請不同畫

究④如圖3,過C作CD〃AB。法的學(xué)生板演，

并口述畫圖方

法，敘述不恰當(dāng)

BB圖2c

圖1

時，同學(xué)可改

正，

D畫法4,部分學(xué)

/AZXk

BCBPC

圖3圖4生可能想到。

⑤如圖4,在BC邊上任取一點(diǎn)P,作PD

〃AB,PE〃AC。

學(xué)生可能還有其它畫法。

辨通過以上分析、研究，讓不同做法的學(xué)生進(jìn)一步搞

析講解依據(jù)。清作輔助線的

與①根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)，利用同位角把三思路和合乎邏

研角形三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。輯的分析方法，

討②根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯角和同位角，充分讓學(xué)生表

把三角形三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。述自己的觀點(diǎn)，

③根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯角，把三角形這個過程對培

三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。養(yǎng)學(xué)生的能力

④根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯角把三角形三極為重要，依據(jù)

內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的同旁內(nèi)角。不充分，學(xué)生可

⑤根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯角、同位角或爭論。

同旁內(nèi)角把三角形三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。

學(xué)

生目的是培

自根據(jù)以上幾種輔助線的作法，選擇一種，養(yǎng)學(xué)生的思維

主師生合作，寫出示范性證明過程。其余由學(xué)生能力和推理能

探自主完成證明過程。力。

究

1、弄清證明命題的必要性及步驟。

反2、如何將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言。

思3、三角形內(nèi)角和定理的證明是借助于什引導(dǎo)學(xué)生

與么獲得（實(shí)驗(yàn)、觀察、添加輔平行線），平進(jìn)行總結(jié)和概

評行線是以后幾何中常作的輔助線。括，培養(yǎng)學(xué)生的

價4、添輔助線的技巧：通過平行線把三角形歸納概括能力。

三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁

內(nèi)角，即把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識去解決。

例1△ABC中，ZC=Z使學(xué)生靈

ABC=2NA,BD是AC/\活應(yīng)用三角形

例

邊上的高，內(nèi)角和定理。用

題B---------C

如圖，求NDBC的度數(shù)。代數(shù)方法解決

講

學(xué)生自主探索，教師巡視、診斷，不同解幾何問題（方程

解

法的學(xué)生板演，學(xué)生辨析。思想）是重要的

方法。

思1、已知AABC中，DE〃BC,ZA=60°,進(jìn)一步使

維NC=70°,學(xué)生靈活應(yīng)

拓求證：Z用三角形內(nèi)

展ADE=50°D/\F.角和定理。

練

BZ-------------------------C

習(xí)2、z^ABC中，ZA=n°,NABC、ZACB

的平分線交于點(diǎn)0,A

求證：ZBOC=90°+-n°/\

2/\

-------

把三個內(nèi)角集中在一起有很多種方法，下面提供其中的

兩種，課后寫出證明方法

課

后A工拓展學(xué)生

思的思維。

考

BZ---------------XCB------------------C

我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和

定理，證明思想是，運(yùn)用輔助線將原三角形中

小

處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一

結(jié)

個平角。輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋

梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它。

頻數(shù)與頻率（第一課時）

教學(xué)目標(biāo):

1、理解頻數(shù)、頻率等概念，會對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并列出相

應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖表。

2、能根據(jù)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，做出合理的判斷與預(yù)測，從而解決

實(shí)際問題，并在這一過程中體會統(tǒng)計(jì)對決策的作用。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解頻數(shù)、頻率的概念并繪制出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖表，從而作

出合理的判斷和預(yù)測。

難點(diǎn)：正確列出統(tǒng)計(jì)圖有。

教學(xué)準(zhǔn)備：

學(xué)生課前先對本班同學(xué)最喜愛的球類體育運(yùn)動項(xiàng)目做調(diào)查，教師

制作好投影片或課件。

設(shè)計(jì)思路：

通過學(xué)生交流各自調(diào)查的結(jié)果，使學(xué)生經(jīng)歷收集整理數(shù)據(jù)的過

程，也體會到其必要性；再通過學(xué)生親自動手繪制各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方

法，進(jìn)一步讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)對解決實(shí)際問題的重要性。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

（投影顯示問題）

提問：你們喜愛球類體育運(yùn)動嗎？請從下面幾項(xiàng)中選出你最喜愛的球

類運(yùn)動項(xiàng)目。

A、籃球排球C^足球D、羽毛球E、乒乓球

（每小組分別請一位同學(xué)到黑板上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將每位同學(xué)最喜愛的球

類運(yùn)動用字母表示出來。通過活動，使學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與整理

的過程）

二、想一想

（投影顯示問題）

問題：1、從上面統(tǒng)計(jì)情況來看，你能很快說出全班同學(xué)最喜愛的球

類運(yùn)動嗎？

（如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果非常明顯，教師可做適當(dāng)改變或轉(zhuǎn)移到課本第159的

例子）

2、你們認(rèn)為這種數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方式好不好，能否設(shè)計(jì)出比較好的表示方

式？

（此問題目的讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)據(jù)整理與表示的必要性，幫助學(xué)生

復(fù)習(xí)數(shù)據(jù)表示的幾種方法）

三、活動與探究

（學(xué)生交流各自課前對本班同學(xué)最喜愛的球類運(yùn)動統(tǒng)計(jì)的方法，教師

對參加交流的同學(xué)加以肯定并作出適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評。）

本問題除了課本上給出的列頻數(shù)頒布表、頻率頒布直方圖外，還可以

提醒學(xué)生用數(shù)據(jù)的其他表示方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如畫扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)

計(jì)圖等。

四、講解概念

1、頻數(shù)：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)。

2、頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值。

（在講解這兩個概念時，切忌不要生搬硬記，要結(jié)合上述具體情況加

以分析，讓學(xué)生體會其意義，如有25人喜愛籃球運(yùn)動，則把籃球的

頻數(shù)記為25,再用25除以全班總?cè)藬?shù)即得喜愛籃球運(yùn)動的人的頻率）

五.做一做

對課本158頁“讀一讀”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，看看哪個漢字的使用頻率最高？

（通過對這個問題的解決，使學(xué)生進(jìn)一步理解頻數(shù)、頻率的意義）

七.課堂小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是：

1、學(xué)會用正確的統(tǒng)計(jì)方式表示一組數(shù)據(jù)。

2、理解頻數(shù)、頻率。（可以用提問的方式進(jìn)行小結(jié)）

A.布置作業(yè)：

課本習(xí)題5.3第1、2題

定義與命題

課時2

【教學(xué)目標(biāo)】

一、教學(xué)知識點(diǎn)

1.命題的組成.

2.命題真假的判斷。

二、能力訓(xùn)練要求:

1.使學(xué)生能夠分清命題的條件和結(jié)論，能判斷命題的真假

2.通過舉例判定一個命題是假命題，使學(xué)生學(xué)會反面思考問題

的方法

三、情感與價值觀要求：

1.通過反例說明假命題，使學(xué)生認(rèn)識到任何事情都是正反兩方

面對立統(tǒng)一

2.幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，拓展視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

3.通過對《原本》介紹，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展史和人類文明價

值

【教學(xué)重點(diǎn)】準(zhǔn)確的找出命題的條件和結(jié)論

【教學(xué)難點(diǎn)】理解判斷一個真命題需要證明

【教學(xué)方法】探討、合作交流

【教具準(zhǔn)備】投影片

【教學(xué)過程】

一、情景創(chuàng)設(shè)、引入新課學(xué)生活動-------

師：如果這個星期不下雨，我們就探索命題的結(jié)構(gòu)特征

去郊游，這是命題嗎？分析這句話，學(xué)生觀察、分組討論，得

這個周日，我們郊游一定能成行嗎？出結(jié)論：

為什么？(1)這五個命題都是用“如

新課：果……那么……”形式敘述

(1)觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這的

些命題有什么共同結(jié)構(gòu)特征？與同伴(2)這五個命題都是由已

交流。知得到結(jié)論

1.如果兩個三角形的三條邊對應(yīng)(3)這五個命題都有條件

相等，那么這兩個三角形全等。和結(jié)論

2.如果一個四邊形的一組對邊平

行且相等，那么這個四邊形是平行四

邊形。

3.如果一個三角形是等腰三角形，

那么這個三角形的兩個底角相等。

4.如果一個四邊形的對角線相等，

那么這個四邊形是矩形。

5.如果一個四邊形的兩條對角線學(xué)生活動二——

相互垂直，那么這個四邊形是菱形。探索命題的條件和結(jié)論

師：由此可見，每個命題都是由條生：命題1、2如果部分是

件和結(jié)論兩部分組成的，條件是已知條件，那么部分是結(jié)論；命

的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事題3如果兩個三角形兩角和

項(xiàng)。一般地，命題都可以寫成“如其中一角對邊對應(yīng)相等是

果……那么……”的形式，其中“如條件，那么這兩個三角形全

果”引出部分是條件，“那么”引出等是結(jié)論；命題4如果是菱

部分是結(jié)論。形是條件，那么四條邊相等

二、例題講解：是結(jié)論；命題5如果兩三角

例1：師：下列命題的條件是什么？形全等是條件，那么面積相

結(jié)論是什么？等是結(jié)論。

1.如果兩個角相等，那么他們是

對頂角；

2.如果a>b,b>c,那么a=c；

3.兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相

等的兩個三角形全等；

4.菱形的四條邊都相等；

5.全等三角形的面積相等。學(xué)生活動三

例題教學(xué)建議：1：其中（1）、（2）探索命題的真假一一如何

請學(xué)生直接回答，（3）、（4）、（5）判斷假命題

請學(xué)生分成小組交流然后回答。生：可以舉一個例子，說明

2：有的命題的描述沒有用“如命題1是不正確的，如圖：

果……那么……”的形式，在分析時

可以擴(kuò)展成這種形式，以分清條件和A

結(jié)論。

例2：上述命題哪些是正確的，哪些B

是不正確的？你是怎么知道它是不正

已知：ZAOB,Z1=Z2,

確的？與同伴交流。

Zl,N2不是對頂角

師：正確的命題叫真命題，不正確

生：命題2,若

的命題叫假命題。要說明一個命題是

a=10,b=8,c=5,此時a>b,

假命題，通?？梢耘e一個例子，使之

b>c,但aWc

具備命題的條件，卻不具備命題的結(jié)

生：由此說明：命題1、2

論，即反例。是不正確的

教學(xué)建議：對于反例的要求可以采生：命題3、4、5是正確的

取啟發(fā)式層層遞進(jìn)方式給出，即：說

明命題錯誤可以舉例一綜合命題(1)、

(2)的兩例，兩例條件具備f例子結(jié)

論不吻合f給出如何舉反例要求。

三、思維拓展：

拓展1.師：如何證實(shí)一個命題是真

命題呢？請同學(xué)們分小組交流一下。學(xué)生活動四

教學(xué)建議：不急于解決學(xué)生怎么探索命題的真假一一如何

證實(shí)真命題的問題，可按以下程序設(shè)證實(shí)一個命題是真命題

計(jì)教學(xué)過程學(xué)生交流：

(1)首先給學(xué)生介紹歐幾里得的生：用我們以前學(xué)過的觀

《原本》察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證特例等方法

(2)引出概念：公理、定理，證生：這些方法往往并不可靠

明生：能夠根據(jù)已知道的真命

(3)啟發(fā)學(xué)生，現(xiàn)在如何證實(shí)一題證實(shí)呢？

個命題的正確性生：那已經(jīng)知道的真命題又

(4)給出本套教材所選用如下6是如何證實(shí)的？

個命題作為公理生：那可怎么辦呢？

(5)等式性質(zhì)、不等式有關(guān)性質(zhì)，

等量代換也看作定理。

生：可通過證明的方法

拓展2.師：任何公理、定理是命題學(xué)生分小組討論得出結(jié)論

嗎？是真命題嗎？為什么？

建議：在學(xué)生回答后歸納總結(jié)：

公理是經(jīng)過長期實(shí)踐驗(yàn)證的，不需要

再進(jìn)行推理論證都承認(rèn)的真命題。定

理是經(jīng)過推理論證的真命題。

練習(xí)書P197習(xí)題6.31

四、問題式總結(jié)

師：經(jīng)過本節(jié)課我們在一起共同探

討交流，你了解了有關(guān)命題的哪些知生：命題的結(jié)構(gòu)特征：條件

識？和結(jié)論

建議：可對學(xué)生進(jìn)行提示性引導(dǎo)，生：命題有真假之分

如：命題的構(gòu)成特點(diǎn)、命題是否都正生：可以通過舉反例的方法

確、如何判斷一個命題是假命題、如判斷假命題

何證實(shí)一個命題是真命題。生：可通過證明的方法證實(shí)

作業(yè)：書pl97習(xí)題6.32、3真命題

板書設(shè)計(jì)：

定)W與命題

果時2

-條件

1.命題的結(jié)構(gòu)特征

1結(jié)論

1.假命題一一可以舉反例

2.命題真假的判別，

2.真命題---需要證明

不等式的解集

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生正確理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在數(shù)軸上表示不等式

的解的集合的方法；

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較的能力，并初步掌握對比的思想方法；

3.在本節(jié)課的教學(xué)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并使學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去

分析問題、解決問題.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.

難點(diǎn)：不等式的解集的概念.

課堂教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1.什么叫不等式?什么叫方程?什么叫方程的解?(請學(xué)生舉例說明)

2.用不等式表示：

(l)x的3倍大于1；(2)y與5的差大于零；

(3)x與3的和小于6；(4)x的小于2.

(3)當(dāng)x取下列數(shù)值時，不等式x+3<6是否成立?

-4,3.5,-2.5,3,0,2.9.

（（2）、（3）兩題用投影儀打在屏幕上）

一、講授新課

1.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對比的方法，得出不等式的解的概念

2.不等式的解集及解不等式

首先，向?qū)W生提出如下問題：

不等式x+3<6,除了上面提到的，-4,-2.5,0,2.9是它的解外，還有沒有其它的解?若有,

解的個數(shù)是多少?它們的分布是有什么規(guī)律？

（啟發(fā)學(xué)生利用試驗(yàn)的方法，結(jié)合數(shù)軸直觀研究.具體作法是，在數(shù)軸上將是x+3<6的解的

數(shù)值-4,-2.5,0,2.9用實(shí)心圓點(diǎn)畫出，將不是x+3<6的解的數(shù)值3.5,4,3用空心圓圈畫

出，好像是“挖去了”一樣.如下圖所示）

然后，啟發(fā)學(xué)生，通過觀察這些點(diǎn)在數(shù)軸上的分布情況，可看出尋求不等式x+3<6的解的

關(guān)鍵值是“3”，用小于3的任何數(shù)替代X,不等式x+3<6均成立；用大于或等于3的任何

數(shù)替代x,不等式x+3<6均不成立.即能使不等式x+3<6成立的未知數(shù)x的值是小于3的

所有數(shù)，用不等式表示為x<3.把能夠使不等式X+3V6成立的所有x值的集合叫做不等式

x+3<6的集合.簡稱不等式x+3<6的解集，記作x<3.

最后，請學(xué)生總結(jié)出不等式的解集及解不等式的概念.（若學(xué)生總結(jié)有困難，教師可作適當(dāng)?shù)?/p>

啟發(fā)、補(bǔ)充）

一般地說，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合.簡稱為這個不

等式的解集.

不等式一般有無限多個解.

求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

3.啟發(fā)學(xué)生如何在數(shù)軸上表示不等式的解集

我們知道解不等式不能只求個別解，而應(yīng)求它的解集，一般而言，不等式的解集不是由一個

數(shù)或幾個數(shù)組成的，而是由無限多個數(shù)組成的，如x<3.那么如何在數(shù)軸上直觀地表示不等

式x+3<6的解集x<3呢?（先讓學(xué)生想一想,然后請一名學(xué)生到黑板上試著用數(shù)軸表示一下，

其余同學(xué)在下面自行完成，教師巡視，并針對黑板上板演的結(jié)果做講解）

在數(shù)軸上表示3的點(diǎn)的左邊部分，表示解集x<3.如下圖所示.

由于x=3不是不等式x+3<6的解，所以其中表示3的點(diǎn)用空心圓圈標(biāo)出來.(表示挖去x=3

這個點(diǎn))

記號讀作大于或等于，既不小于；記號“W”讀作小于或等于，即不大于.

例如不等式x+523的解集是x2-2(想一想，為什么?并請一名學(xué)生回答)在數(shù)軸上表示如下

圖.

即用數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)和它的右邊部分表示出來.由于解中包含x=-2,故其中表示-2的點(diǎn)用

實(shí)心圓點(diǎn)表示.

此處，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)，這里特別要注意區(qū)別是用空心圓圈”還是用實(shí)心圓點(diǎn)，是左

邊部分，還是右邊部分.

三、應(yīng)用舉例，變式練習(xí)

例1在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

(l)xW-5；(2)x20；(3)x>-l;

(4)1WXW4;(5)-2VXW3；(6)-2Wx<3.

解⑴，⑵，⑶略.

(4)在數(shù)軸上表示1WXW4,如下圖

(5)在數(shù)軸上表示-2<xW3,如下圖

(此題在講解時，教師要著重強(qiáng)調(diào)：注意所給題目中的解集是否包含分界點(diǎn)，是左邊部分還

是右邊部分.本題應(yīng)分別讓6名學(xué)生板演，其余學(xué)生自行完成，教師巡視遇到問題，及時糾

正)

例2用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系，再用數(shù)軸表示出來：

(l)x小于-1：(2)x不小于-1；

(3)a是正數(shù)；(4)b是非負(fù)數(shù).

解：(l)x小于-1表示為x<-l；(用數(shù)軸表示略)

(2)x不小于-1表示為x/-l；(用數(shù)軸表示略)

(3)a是正數(shù)表示為a>0；(用數(shù)軸表示略)

(4)b是非負(fù)數(shù)表示為b20.(用數(shù)軸表示略)

(以上各小題分別請四名學(xué)生回答，教師板書，最后，請學(xué)生在筆記本上畫數(shù)軸表示)

例3用不等式的解集表示出下列各數(shù)軸所表示的數(shù)的范圍.(投影，請學(xué)生口答，教師板演)

解：(l)x<2；(2)x》-1.5；(3)-2WxVl.

(本題從另一例面來揭示不等式的解集與數(shù)軸上表示數(shù)的范圍的一種對應(yīng)關(guān)系，從而進(jìn)一步

加深學(xué)生對不等式解集的理解，以使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會到數(shù)形結(jié)合的方法具有形象，直觀，易

于說明問題的優(yōu)點(diǎn))

練習(xí)(1)用簡明語言敘述下列不等式表示什么數(shù)：①x>0;②xVO;③x>-l;④xWl.

(2)在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

①x>3;②x2-l;③xW-1.5;

④OWx<5;⑤-2<xW2；@-2<x<.

(3)用觀察法求不等式VI的解集，并用不等式和數(shù)軸分別表示出來.

(4)觀察不等式VI的解集，并用不等式和數(shù)軸分別表示出來，它的正數(shù)解是什么？

自然數(shù)解是什么?(*表示選作題)

四、師生共同小結(jié)

針對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，請學(xué)生回答以下問題：

1.如何區(qū)別不等式的解，不等式的解集及解不等式這幾個概念？

2.找出一元一次方程與不等式在“解”，“求解”等概念上的異同點(diǎn).

3.記號“2”、“W”各表示什么含義？

4.在數(shù)軸上表示不等式解集時應(yīng)注意什么？

結(jié)合學(xué)生的回答，教師再強(qiáng)調(diào)指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式這三者的定義是

區(qū)別它們的唯一標(biāo)準(zhǔn)；在數(shù)軸上表示不等式解集時，需特別注意解的范圍的分界點(diǎn)，以便在

數(shù)軸上正確使用空心圓圈”和實(shí)心圓點(diǎn)“?”.

五、作業(yè)

1.不等式X+3W6的解集是什么？

2.在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

(l)xWl；(2)xW0;(3)-1<xW5;

(4)-3WxW2;(5)-2<x<;(6)-Wx<.

3.求不等式x+2V5的正整數(shù)解.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

由于本節(jié)課的知識點(diǎn)比較多，因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時，緊緊抓住不等式的解集這一重點(diǎn)知

識.通過對方程的解的電義的回憶，對比學(xué)習(xí)不等式的解及解集.同時，為了進(jìn)一步加深學(xué)生

對不等式的解集的理解，教學(xué)中注意運(yùn)用以下幾種教學(xué)方法：(1)啟發(fā)學(xué)生用試驗(yàn)的方法，

結(jié)合數(shù)軸直觀形象來研究不等式的解和解集；(2)比較方程與不等式的解的異同點(diǎn)；(3)通過

例題與練習(xí)，加深理解.

在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).而在數(shù)軸上表示不等式的解集則又進(jìn)了一步.因此，

在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時，就充分考慮到應(yīng)使學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想

方法具有形象、直觀、易于說明問題的優(yōu)點(diǎn)，并初步學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的觀念去處理問題、解

決問題.

《不等式的基本性質(zhì)》教案

教學(xué)目的

掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。

教學(xué)過程

師：我們已學(xué)過等式，不等式，現(xiàn)在我們來看兩組式子(教師出示小黑板中的兩組式子)，請同學(xué)們觀察,

哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3;a+b=b+a;S=ab;4+x=7.

第二組：-7<-5;3+4>1+4;2x<6,a+220;3W4.

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數(shù)學(xué)熾，我們用等號“=”來表示相等關(guān)系，用不等式號“〈"、"）”或“片”表示不等關(guān)系，其

中“〉”和表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。

前面我們學(xué)過了等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？

生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所

得到的仍是等式。

師：很好！當(dāng)我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說，如果

在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結(jié)果將會如何呢？讓

我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。

練習(xí)1（回答）用小于號或大于號“〉”填空。

（1）74;（2）-2_6;（3）-3____-2；（4）-4-6

練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個不等式出發(fā)，進(jìn)行下面的運(yùn)算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5,結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5,結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5）,結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結(jié)果是不等

號的方向改變了！

師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真，大家再進(jìn)一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發(fā)生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)的情況下，不等號的方向要改變。

師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學(xué)不放心，讓我們再做?些試驗(yàn)。

練習(xí)3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2,看看不等號的方向是否改變：

7>4；-2V6；-3V-2；-4>-6。

師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說，不等式的基本性質(zhì)有三條：

性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向.

（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向。（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向。（讓同學(xué)回答。）

現(xiàn)在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質(zhì)。

不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，先請一位同學(xué)說一說第一條基本性質(zhì)。

生：如果aVb。那么a+cVb+c（或a-cVb-c；如果a>b,那么a+c>b+c（或a-c>b-c）。

師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？

生：沒有什么要求。

CCC。師：哪位同學(xué)來回答第二、三條性質(zhì)？

生甲：如果a〈b,且c>0,那么ac〈bc（或）；如果a>b,且c>0,那么ac>bc（或

abab

—〉——4—

cccc

生乙：如果a〈b,且c<0,那么ac>bc（或）；如果a〉b,且c〈0,那么ac〈bc（或

師：這兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？

生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

師：很好，c可以為零嗎？

生：c不能為零。因?yàn)閏為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。

師：好！應(yīng)用剛才學(xué)到的基本性質(zhì)，我們來看下面的例題.

［例1］按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：

（1）5<9,兩邊都加上-3；

（2）9>4,兩邊都減去10；

（3）-5<3,兩邊都乘以4；

（4）14>-8,兩邊都除以-2。

解(1)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,在不等式59的兩邊都加上-3,不等號的方向不變，所以

5+(-3)<9+(-3),

2<6

(2)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,得

9-10>4-10

(3)根據(jù)不等式基本性質(zhì)2,得

-5X40X4

-20<12

(4)根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,得

144-(-2)<(-8)+(-2)

-7<4

［例2］設(shè)a>b,用不等號連結(jié)下列各題中的兩式：

(1)a-3與b-3;(2)2a與2b;(3)-a與-b.

師：哪一位同學(xué)來做這題？解題時，要講清一步的理由。

生甲：因?yàn)閍