初中八年級(jí)數(shù)學(xué)課件-用多種方法求線段長(zhǎng)度

與TA的一次邂逅哈密市第十二中學(xué)初中數(shù)學(xué)劉熙德1分析與解題2思想與方法3來(lái)源與價(jià)值4變式與延伸5歸納與反思CONTENTS目錄題目：如圖，設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：PA＝PF★由已知出發(fā)：1.由“正方形ABCD”，我們可以得出有關(guān)正方形的性質(zhì)（邊、角、對(duì)角線等有關(guān)性質(zhì)）；2.

“PF⊥AP”得出∠APF=90°；3.“正方形ABCD”

“CF平分∠DCE”得出∠FCE=45°，∠PCF=135°；★由求證結(jié)論出發(fā)：要證明線段相等學(xué)生首先會(huì)想到證明三角形全等，顯然原圖中PA、PF所在的三角形沒(méi)有全等圖形，因此本題構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵。1.分析與解題題目：如圖，設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：PA＝PF1.分析與解題方法一：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形證明：在AB上截取BG=BP，連接PG在正方形ABCD中，AB=BC，∠B=∠DCB=∠APF=90°∴∠BGP=∠BPG=45°∴∠AGP=180°－∠BGP=135°∵BG=BP∴AB－BG=BC－BP∴AG=PC，∵CF平分∠DCE∴∠FCE=45°

∴∠PCF=180°－∠FCE=135°

∴∠AGP=∠PCF

∵∠１+∠APB=90°∠２+∠APB=90°∴∠BAP=∠FPC，

在△AGP和△PCF中∠１＝∠２AG＝PC∠AGP＝∠PCF

∴△AGP≌△PCF（ASA）∴PA=PF．知識(shí)點(diǎn)１：正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)；知識(shí)點(diǎn)２：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，同角的余角相等；本題考查了邏輯思維能力，從結(jié)論出發(fā)的逆向思維，將有待于解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有明確解決程序的問(wèn)題，即將證明線段相等轉(zhuǎn)化為證三角形全等，使學(xué)生用聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題解決問(wèn)題，而本題的難點(diǎn)在于構(gòu)造全等三角形。方法：做輔助線構(gòu)造全等三角形方法二：利用相似三角形的特殊性，即相似比為１證明：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，由題可知，在正方形ABCD中，AB=BC∠B=∠DCB=∠APF＝∠FHP=90°∵CF平分∠DCE∴∠FCH=∠CFH＝45°

∴CH＝FH設(shè)正方形邊長(zhǎng)AB=BC=a，BP=b，CH=FH=c，PC=a-b，PH=a-b+c

∵∠１+∠APB=90°，∠２+∠APB=90°∴∠１=∠２，在△ABP與△PHF中，∠B=∠FHP，∠１=∠２∴△ABP∽△PHF

∴a=b，或者c=b由于相似比為1，∴△ABP≌△PHF∴PA=PF又∵a≠b∴c=b知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的判定知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的特殊情況：相似比k=1知識(shí)點(diǎn)3：相似的基本圖形“K”知識(shí)點(diǎn)4：分組分解因式在方法二中，學(xué)生很容易想到作了輔助線可以證明出三角形相似，往往會(huì)忽略了題目要求證的結(jié)論帶來(lái)的信息，在這個(gè)問(wèn)題上，大多數(shù)學(xué)生往往會(huì)證明了相似再無(wú)從下手，由于這種求證結(jié)論帶來(lái)相似三角形的特殊性，因此要聯(lián)系到相似比為1，進(jìn)而從邊入手，而設(shè)而不求的方法會(huì)簡(jiǎn)便證明過(guò)程，這種方法對(duì)于中等偏下的孩子有一定的難度。方法：在相似三角形中去證明線段相等，可以去證明相似比等于1。方法三：三角函數(shù)證明：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，由題可知，在正方形ABCD中，AB=BC，∠B=∠DCB=∠APF＝∠FHP=90°∵CF平分∠DCE∴∠FCH=∠CFH＝45°

∴CH＝FH設(shè)正方形邊長(zhǎng)AB=BC=a，BP=b，CH=FH=c，PC=a-b，PH=a-b+c

∵∠１+∠APB=90°，∠２+∠APB=90°∴∠１=∠２，

∴a=b，或者c=b又∵a≠b∴c=b從而證明△ABP≌△PHF∴PA=PF知識(shí)點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)----正切知識(shí)點(diǎn)2：三角形全等的判定知識(shí)點(diǎn)3：分組分解因式在方法三中，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形相似的判定方法“兩角對(duì)應(yīng)相等”，這種方法在某些時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為等角的同名三角函數(shù)相等，在直角三角形中無(wú)形也是一種思考方向。方法：在兩個(gè)直角三角形中，有相等的銳角，可以試一試?yán)眠@兩個(gè)角的同名三角函數(shù)值相等去解決問(wèn)題。方法四：利用等腰三角形證明：連接AC、AF，設(shè)AF中點(diǎn)為O，在正方形ABCD中，∠BCD=∠DCE=90°，又∵CF平分∠DCE∴∠ACD=∠DCF=45°∴∠APF=∠ACF=90°在Rt△APF與Rt△ACF中，∴A、P、C、F四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的圓上∴∠AFP=∠ACP=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴PA=PF知識(shí)點(diǎn)1：直角三角形斜邊上的中線定理知識(shí)點(diǎn)2：圓周角定理的推論知識(shí)點(diǎn)3：四點(diǎn)共圓知識(shí)點(diǎn)4：等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)方法：在這個(gè)問(wèn)題中要注意“共斜邊的直角三角形”，可以推出“四點(diǎn)共圓”，再利用圓的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。這種方法不易想到，但想到了可以使得證明簡(jiǎn)單，因此可以嘗試讓學(xué)生畫(huà)出共斜邊的兩個(gè)直角三角形的情況，方便以后遇見(jiàn)此類問(wèn)題，可以從圖中尋找到這種方法。方法五：利用圖形的變換（軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）構(gòu)造等腰三角形證明思路：作△PCF關(guān)于直線BC對(duì)稱△PCF’∠1=∠2=∠CPF’，∠F=∠F’,∠CPF’+∠F’=45°，即∠2+∠F’=45°而∠1+∠BAC=45°所以∠1=∠F’

，在此還要證明∠ACF是一個(gè)平角180°，才能說(shuō)明點(diǎn)A、C、F在同一條直線上從而PA=PF’，又由于PF=PF’，所以PA=PF方法：要結(jié)合正方形的性質(zhì)，有效的利用圖形的變換，換一種思路，可能會(huì)是下一題的簡(jiǎn)便方法。

這種解法巧妙的利用了軸對(duì)稱構(gòu)造全等三角形和等腰三角形，對(duì)圖形與變換的理解是支撐此解法產(chǎn)生的根源。知識(shí)點(diǎn)1：圖形的變換知識(shí)點(diǎn)2：三點(diǎn)共線知識(shí)點(diǎn)3：三角形全等與等腰三角形△ABP關(guān)于直線BC的對(duì)稱圖形△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△PCF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°方法五：利用圖形的變換（軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）構(gòu)造等腰三角形從考查內(nèi)容上看，本題涉及面廣，主要以正方形為背景知識(shí)，考查全等三角形的性質(zhì)與判定定理，以及等腰三角形，直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)。從考查解題方法上看，本題主要考查全等三角形的應(yīng)用，通過(guò)角與線段的遷移，尋找“橋梁”，鏈接已有條件與目標(biāo)線段，從而解決問(wèn)題。從考查思想方法上看，本題主要考查幾何中的類比思想，轉(zhuǎn)化思想。2.思想與方法3.來(lái)源與價(jià)值這道題原題來(lái)自《新人教版-八年數(shù)學(xué)下冊(cè)》第十八章復(fù)習(xí)題18第14題。特殊的平行四邊形，全等三角形在中考中是熱門(mén)考點(diǎn)，選擇題，填空題，解答題中都會(huì)出現(xiàn)它的蹤影，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)幾何概念的理解，對(duì)幾何圖形特殊性質(zhì)的判斷與運(yùn)用，考查學(xué)生的演繹推理能力與邏輯論證能力，常與直角三角形，等腰三角形，相似三角形，圓等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合命題。一題多解，可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，鞏固、深化所學(xué)知識(shí)，能挖掘?qū)W生潛力，培養(yǎng)思維能力和自己獲取知識(shí)的能力。讓學(xué)生在在相互交流中集思廣益和突破創(chuàng)新，開(kāi)發(fā)學(xué)生的腦力資源，挖掘?qū)W生的潛在能力。最終讓學(xué)生用自己的眼光觀察數(shù)學(xué)問(wèn)題，用自己的頭腦思考、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。4.變式與延伸變式：若把條件“點(diǎn)P是邊BC的任一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論P(yáng)A=PF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由．在這里，完全可以類比剛才所講的題型，嘗試去證明這個(gè)結(jié)論。青海中考題：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。（1）求證AE=EF。（2）如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論．

（3）如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程，若不成立請(qǐng)你