2021-2022學年高二下學期期末復習卷01

2020–2021學年高二數(shù)學下學期期末測試卷01一、單選題1．曲線在點(，0)處的切線的斜率為（）A． B． C．- D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，然后可得答案.【解析】所以曲線在點(，0)處的切線的斜率為故選：B2．等差數(shù)列前項和為，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化成和的形式，得到二者關(guān)系，求得，利用求得結(jié)果.【解析】，即故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合等差數(shù)列通項公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項與公差的式子；（2）化簡求得數(shù)列的某一項；（3）結(jié)合等差數(shù)列求和公式，得到和與項的關(guān)系，求得結(jié)果.3．等比數(shù)列的前項和為，則（）A．-10 B．-16 C．-22 D．-8【答案】A【分析】首先利用等比數(shù)列的前項和，求公比和首項，再求.【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，若，則，由，則，得，解得，又由，則有，解得，所以，有.故選：A4．已知數(shù)列與滿足，，，且，下列正確的是（）A． B．C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】D【分析】令、可判斷AB；由已知得和，l兩式相減可判斷D；利用得的通項公式，結(jié)合可得的通項公式可判斷C.【解析】因為數(shù)列與滿足，令，，由，所以，令，，由，所以，所以，故A錯誤；令，，由，所以，所以，故B錯誤；由已知得，即，，即，兩式相減得，，所以是以6為首項，9為公比的等比數(shù)列，故D正確；由得，由，得，所以，不是常數(shù)，不是等差數(shù)列，故C錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了由遞推數(shù)列證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，關(guān)鍵點是掌握等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義以及理解數(shù)列中下角標的意義，考查了學生的推理能力、運算能力，5．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.【解析】詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；故選：B.【點睛】有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路：①由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．6．設為等差數(shù)列的前項和，．若，則（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】D【分析】由等差數(shù)列求和公式整理可得，確定為遞增數(shù)列；根據(jù)可判斷數(shù)列前項為負，由此得到結(jié)果.【解析】由得：，整理可得：，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，，當且時，；當且時，；有最小值，最小值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列前項和的最值問題，解題關(guān)鍵是能夠確定等差數(shù)列中由負變正或由正變負的項.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求導數(shù)，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)求解的最小值即可.【解析】，由題意可知在恒成立，即恒成立，設，時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)；的最小值為，所以，故選：A.【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)時，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在區(qū)間上恒成立；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立.8．定義在R上的函數(shù)滿足，當時，函數(shù)．若，，不等式成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，，，借助導數(shù)求出，，不等式成立，得出≥，求解即可．【解析】∵當x∈[0，2）時，∴x∈[0，2），為最大值，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）＝2f（x+2），∵，∴，，x∈[﹣2，0]，∴，，，∴，∵函數(shù)g（x）＝x3+3x2+m，∴由3x2+6x＞0解得x＞0或，由3x2+6x＜0解得由3x2+6x＝0，x＝0或，∴函數(shù)g（x）＝x3+3x2+m，在上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣8≥m﹣16，故實數(shù)滿足：m≤8，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：若，，不等式成立，轉(zhuǎn)化為≥，再根據(jù)解析式及導數(shù)求出函數(shù)的最小值求解，屬于中檔題.二、多選題9．下列函數(shù)最小值是的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)均值不等式等號成立的條件判斷ABC,利用導數(shù)的極值判斷D即可求解.【解析】，當且僅當，即時等號成立，故A正確；，當且僅當，即時等號成立，故B正確；，當且僅當時，即，顯然等號不成立，故C不正確；，，令可得，所以當時，有極小值，而，故D不正確.故選：AB【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.10．已知函數(shù)，，則（）A．1是函數(shù)的極值點 B．當時，函數(shù)取得最小值C．當時，函數(shù)存在2個零點 D．當時，函數(shù)存在2個零點【答案】AD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷AB的正誤，根據(jù)零點存在定理和最值的符號可判斷CD的正誤.【解析】，令可得，當時，；當時，，故為的極大值點，故A正確.又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當時，函數(shù)取得最大值，故B錯誤.當時，，又，而，故且，令，則，故在上為減函數(shù)，故，由零點存在定理及的單調(diào)性可得有兩個不同的零點，故D正確.而當時，當時，恒成立，故在最多有一個零點，故C錯誤.故選：AD【點睛】方法點睛：導數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明，注意需選擇特殊點的函數(shù)值，使得其函數(shù)值的符號符合預期的性質(zhì)，選擇特殊點的依據(jù)有2個方面：（1）與極值點有明確的大小關(guān)系；（2）特殊點的函數(shù)值較易.與零點有關(guān)的不等式問題，可依據(jù)零點的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建新函數(shù)來證明.11．設數(shù)列前項和，且，，則（）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．C． D．【答案】BCD【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，可判斷AB選項的正誤；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷C選項的正誤；利用裂項求和法可判斷D選項的正誤.【解析】對任意的，.當時，，可得；當時，由可得，上述兩式作差得，可得，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，A選項錯誤，B選項正確；，所以，，C選項正確；，，所以，，D選項正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.12．已知數(shù)列中，，，.若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)可能為（）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】AB【分析】由題意可得，利用裂項相相消法求和求出，只需對于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，然后將選項逐一驗證即可求解.【解析】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對于任意的恒成立，整理得對于任意的恒成立，對A，當時，不等式，解集，包含，故A正確；對B，當時，不等式，解集，包含，故B正確；對C，當時，不等式，解集，不包含，故C錯誤；對D，當時，不等式，解集，不包含，故D錯誤，故選：AB.【點睛】本題考查了裂項相消法、由遞推關(guān)系式求通項公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.三、填空題13．已知等比數(shù)列的前項和，則實數(shù)__.【答案】.【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的前項和求出數(shù)列的前三項，由等比中項的性質(zhì)可得，解可得的值，即可得答案.【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列的前項和，則，，，則有，解得，故答案為：.14．已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和為，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得到，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，即可求出范圍.【解析】由題意可得：，據(jù)此可得：，則，令，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式有：，令，則，據(jù)此可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題根據(jù)等差數(shù)列的條件，求出首項與公差的關(guān)系，看作一個整體t,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，考查了運算能力，屬于中檔題.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【解析】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內(nèi)，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.16．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)已知函是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)題目給出的定義可得，即方程在區(qū)間有兩個解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可構(gòu)造關(guān)于的不等式組，求解可得的取值范圍．【解析】因為，在區(qū)間存在，滿足方程在區(qū)間有兩個不相等的解令，則，解得：故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查新定義的運算問題，關(guān)鍵是能夠通過定義將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)問題，從而可以根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，構(gòu)造出不等關(guān)系，從而可求得結(jié)果．四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且和的等差中項為1．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用等差中項的定義得出與的關(guān)系，然后由得出數(shù)列的遞推關(guān)系，求出其為等比數(shù)列，從而得通項公式；（Ⅱ）用裂項相消法求和．【解析】解：（Ⅰ）因為和的等差中項為1，所以，即，當時，．兩式相減得，整理得．在中，令得，所以，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此．（Ⅱ）．則．所以．【點睛】方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和．數(shù)列求和的常用方法：設數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．18．已知函數(shù)．（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若是的極值點，求在上的最大值和最小值．【答案】（1）a≤5（2）最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.【分析】（1）轉(zhuǎn)化為在恒成立，即在恒成立，利用單調(diào)性求出在上的最小值即可得解；（2）根據(jù)是的極值點求出，分析單調(diào)性即可求出最值.【解析】（1）因為在上是增函數(shù)，令f′(x)＝3x2－2ax＋30在上恒成立，∴min在上為增函數(shù)，當時，，∴a≤5.（2）f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去).當1＜x＜3時，f′(x)＜0，當3＜x＜5時，f′(x)＞0，即當x＝3時，f(x)的極小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）問轉(zhuǎn)化為在恒成立是解題關(guān)鍵，第（2）問根據(jù)是的極值點求出是解題關(guān)鍵.19．設數(shù)列的前項和為，______．從①數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列；②；③．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）條件性選擇見解析，；（2）．【分析】（1）選①：由題意可得，再利用等比數(shù)列的公比為可求，進而可求數(shù)列的通項公式；選②：，令可求，當時，可得，與已知條件兩式相減可求得，進而可求數(shù)列的通項公式；選③：，當時，，當時，，與已知條件兩式相減可求得，檢驗也滿足，進而可求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，則，利用乘公比錯位相減即可求和.【解析】（1）選①：因為，，成等差數(shù)列，所以，又因為數(shù)列的公比為2，所以，即，解得，所以．選②：因為，當時，，解得．當時，，所以．即．所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．故．選③：因為，所以當時，，當時，，所以，當時，依然成立．所以．（2）由（1）知，則，所以，①，②①－②得．所以．所以數(shù)列的前項和．【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20．已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設函數(shù)（為的導函數(shù)），若方程在上有且僅有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出，計算得切線斜率，從而得切線議程；（2）對求導，確定的單調(diào)性，極值，得的變化趨勢，從而可得結(jié)論．【解析】（1）由已知，所以，又，所以切線議程為，即；（2）由（1），定義域為，，所以在時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，，時，，所以方程在上有且僅有兩個實根，則實數(shù)的取值范圍是．【點睛】方法點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)研究方程根的分布．根據(jù)方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍問題，一般方法是數(shù)形結(jié)合思想，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點問題，可利用導數(shù)研究出函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的變化趨勢，然后利用函數(shù)的圖象得出參數(shù)范圍．21．已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，x∈(0，e]，其中e是自然常數(shù)，.（1）討論a＝1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；（2）求證：在（1）的條件下，f(x)>g(x)＋；（3）是否存在正實數(shù)a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；最小值1；（2）證明見解析；（3）存在，.【分析】(1)根據(jù)f(x)＝x－lnx，求導得，分別令f′(x)<0，f′(x)>0求解單調(diào)性和極值.(2)要證f(x)>g(x)＋，即證[f(x)]min－[g(x)]max>，由(1)知f(x)在(0，e]上的最小值為1，再利用導數(shù)法求得[g(x)]max即可.(3)假設存在正實數(shù)a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，求導，分0<<e，≥e討論求解.【解析】(1)因為f(x)＝x－lnx，所以，所以當0<x<1時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減；當1<x≤e時，f′(x)>0時，此時f(x)單調(diào)遞增．∴f(x)的極小值為f(1)＝1.(2)∵f(x)的極小值為1，∴f(x)在(0，e]上的最小值為1，即[f(x)]min＝1.又g′(x)＝，∴當0<x<e時，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞增．∴[g(x)]max＝g(e)＝，∴[f(x)]min－[g(x)]max>，∴在(1)的條件下，f(x)>g(x)＋.(3)假設存在正實數(shù)a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，則.①當0<<e時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增，[f(x)]min＝f()＝1＋lna＝3，a＝e2，滿足條件；②當≥e時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，[f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此時f(x)無最小值．綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當x∈(0，e]時f(x)有最小值3.【點睛】方法點睛：不等式問題.（1）證明不等式時，可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題．（2）求解不等式恒成立問題時，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為