高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)清單（全）

第第PAGE12：立體幾何初步、平面解析幾何初步。5：解三角形、數(shù)列、不等式。1：22：32—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。3：63—1：3—3：球面上的幾何。3—4：對(duì)稱與群。3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。4：104—2：矩陣與變換。4—3：數(shù)列與差分。4—5：不等式選講。4—6：4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。4—9：4—10：⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算（007.獲取更多資料干貨

1第一章NNNZQRaMaMaM).ABA中的任一元素都BABBCAABBAA 或BABB中至（1）A（A為非空子集 AA中的任一元素都B，B中的任AAn(n12n2n12n12n2

A{x|xA（1）AA（2）A（3）ABABA{x|xA（1）AA（2）A（3）ABAB{x|xU,且x UAB)(UA(UU(AB)(UA)(U A|x|a(a{x|ax|x|a(ax|xax|axb|c,|axb|c(caxb看成一個(gè)整體，化成|x|a|x|a(a0)b2yax2bxc(aO Oax2bxc0(abb2x1,2 （x1x2xx ax2bxc0(a{x|xx1x{x|xbRax2bxc0(a{x|x1x

ABfABababaxbx[abaxx的集合叫做開區(qū)間，記做(abaxb，或axbx[ab)(ab]

xaxaxbxbx[a,),(a,),(,b],(,b)注意：對(duì)于集合{x|axb與區(qū)間(ab，前者a可以大于或等于bf(xytanxx

(kZ)2f(xf(x的定義域?yàn)閇ab]f[g(xag(xbyf(xyxay)x2by)xcy)0ay0xyb2y4aycy0（ABfAB中都有的映射，記作f:AB．a(chǎn)a叫做元素b如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)y xx如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)時(shí)，都有那么就說f(x)在這個(gè)區(qū) f(xf(x xxy

f[g(x，令ug(xy

f(u為增，ug(xy

f[g(xy

f(u)ug(x)y

f[g(x)]y

f(u)ug(x)yf[g(xy

f(uug(xy

f[g(xf(xx

a(a0yoxxyoxf(x分別在(

a]、

[a0、

f(xI（1）（2）x0If(x0MM是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(x)M．②一般地，設(shè)函數(shù)yf(xI，如果存在實(shí)數(shù)m（1）xI，都有f(xm；（2）x0Ifmax(x)m

f(x0mm是函數(shù)

f(x)的最小值，記作

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x(,那么函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x(,f(xx0f(00 ； h0,右移|h|h0,右移|h|

f(xh)y

f(x)kk0,下移|k|yf(x伸yfyf(x縮yAfyf(xyfyf(xyf

yf(xyfyf(xyf將xyf(x上y|f(x將x第二章xnaaRxRn1nNx叫做ann是奇數(shù)時(shí)，a的nnnana的正的n次方根用符號(hào)表示；0的n0ann

n次方根用符號(hào)nnnan叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為anna)n

；當(dāng)n

a；當(dāng)nn|an

(a．(am

nam(a0mnN且n1．0 1

nnn()m(a0mnNn1．0 指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：①arasars(a0,r,s ②(ar)sars(a0,r,s③(ab)rarbr(a0,b0,ryx0且aa0ayyOya(0,xyayOy(0,xR圖象過定點(diǎn)(0,1x0yax1(x0)ax1(x0)ax1(xax1(x0)ax1(x0)ax1(xa

axN(a0且a1x叫做以aNxlogaN，其中aN叫xlogaNaxN(a0a1N0loga10，logaa1，logaabb第第10lgN，即log10NlnN，即logeN（其中e2.71828…． 如果a0,a1,M0,N0，那logaMlogaNloga(MN nlogMlogMn(n

logaMlogaNlogaM④alogaNM

Mnn

M(b0n logNlogbN(b0,且bb b

logbyloga0且aa0ayOxyloga yOxylogaxR圖象過定點(diǎn)(10x1y0在(0在(0logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)ay

f(xA，值域?yàn)镃y

yC中的任何一個(gè)值，通過式子xyxA中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子xyxyxyyf(xxf1yyf1(x

f(xxf1yxf1yyf1(xy

f(xyf1(xyxyf(xyf1(xP(abyf(xP(bayf1(xy

f(x11PAGE33一、二象限(y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0xy軸．④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)q（pqp pqZp為奇數(shù)qyxppqyxpqpqyxpyxx(0，當(dāng)1時(shí)，若0x1yxx1yx上方，當(dāng)1時(shí)，若0x1yxx1yxf(xax2bxc(a0)f(x)a(xh2k(a0)f(xa(xx1)(xx2)(a0)（2）f(xax2bxc(a0)x

b(

4ac a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(

上遞減，在bb

bxb fmin(x)

；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(, ]上遞增，在 bx2afmax(xb

．f(xax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0xM(x,0),M(x,0),|MM||xx 1 2 1

ax2bxc0(a0)ax2bxc0(a0)xxxxf(xax2bxc ax

yfyf(k)aOk xyxkO f(k)a yayaf(k)OkxyxOkxaf(k) yayaOkf(k)xyf(k)x1k a yfyf(k1)af(k2) xxyxO f(k1)af(k)2⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 或f(k2)=0這兩種情況是否也符合yayaf(k1) xf(k2)yf(k1)O af(k2) f(xax2bxc(a0)在閉區(qū)間pqf(x在區(qū)間pq上的Mm

(pq)121（Ⅰ）a0時(shí)（開口向上 ①若 p，則m

f(

②若p q，則m

f(

③若 q，則m

ff(bff(bf(b ①若2ax0，則Mf ②2ax0，則M

f(?f?f(b0f(b ①若 p，則M

f(

②若p q，則M

f(

③若 q，則M

ff(f(bf(bf(bbb①若2ax0mbb

f

2ax0m

f(p)ff(bf(b??1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y

f(x)(xD)

f(x0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD

f(xf(x0y

f(xf(x0有實(shí)數(shù)根y

f(xx軸有交點(diǎn)y

f(xy

f(x1（代數(shù)法）f(x02（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yyax2bxc(a0)

f(x１）ax2bxc0x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)２）△＝ax2bxc0有兩相等實(shí)根（二重根x軸有一個(gè)交點(diǎn)，３）△ax2bxc0x高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn) 表示PAB'CDE表示PAB'CDE幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯 （1）（）

S

VS

V1 S上SS上S3臺(tái)體的體

V（3（

S上

S

432.1ACABCD

AαAααLABL =>αLAC·B·AC·B·公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn) β=>L L2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān) 1

24：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。a、b、c

4aba、bOO一般取在兩直，)；2.1.32.1.4α aaα =>a∥α

abPabPa∩b=

2.2.4 α∩β=α∩γ=a β∩γ=bLLpα注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；βαβαl2.3.42 第三章3.13.11lxxxl的角αllxα=0°.2、傾斜角α的取值范圍 0°≤α＜180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母kklxα=0klxα90klαk4、直線的斜率公式:k=y2-y1/x2-3.1.21k1=k2L1∥L21、直線的點(diǎn)斜式方程：直線lP0(x0y0

yy0k(xx02斜截式方程：已知直線lky軸的交點(diǎn)為

ykx1P1(x1x2P2(x2y2其中(x1x2y1y2

直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0)與軸的交點(diǎn)為B(0,b，其中

a0,b1xyAxByC0（A，BL1：3x+4y- 3x4y2x=-

2x2y2 2 2點(diǎn)到直線距

點(diǎn)P(x0,y0)到 A2A2BAx0By0

l:AxByC

的距離為：已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1AxByC10l2AxByC20，則l1與l2d

C1 A2B1(xa)2yb)2r 2M(xy與圓(xa)2yb)2r2 （1）(xa)2yb)2r2，點(diǎn)在圓外（2）(xa)2yb)2 (xa)2yb)2r2 1x2y2DxEyF①x2y20．②沒有xy設(shè)直線laxbyc0，圓Cx2y2DxEyF0r，圓心(D2

E2（1）dr時(shí)，直線l與圓C（2）dr時(shí)，直線l與圓C（3）dr時(shí)，直線l與圓C（1）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2（2）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2當(dāng)|r1r2|lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2當(dāng)l|r1r2|時(shí)，圓C1與圓C2（5）當(dāng)l|r1r2|時(shí)，圓C1與圓C21M對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(xyzxyzP、Q、Rxyz2、有序?qū)崝?shù)組(xyz3M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(xyzM在此空間直角坐標(biāo)系中M(x,yz)xMyM的縱坐zMP (xx)2(yy)2(zz)2 高中數(shù)學(xué)必修3第一章算法初步式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框YNABAB下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，ABB框所指定的操作。ABABPAAPA框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。P是否成立PAPA框，離開APAPAP 注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)

INPUT（2）輸INPUT（3（4Disp（3（4）表達(dá)式表達(dá)式變量＝變量＝（3）（4）（5）注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=BB=A1．2．2（1IF—（2IF—否是否是 條 END““語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN是否是否 END（IFIFTHEN后邊1．2．3型（WHILE）和直到型（UNTIL）WHILEUNTIL1、WHILE 是是WHILEWHILEWEND之間2、UNTIL 否是UNTILLOOPUNTIL

135...

S

SS

I

I

I

3

99Step

I

ISS

II

SS

SS

IIPrint

SISSIII

SIII2SS

S

(或者I99

S

I SI

SIDo

I

Do

I

(或者I99SSIII

II2SSIPrint Print （2：若（3：若m，nR1≠0R0R1S2R2；……依次Rn＝0Rn1即為所求的最大公約數(shù)。（1（2：298630f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-==(...(anx+an-1)x+an- v3=v2x+an- vn=vn- 復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè) 由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)1110017139，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。anan1...a1a0(k

(0ank,0an1,...,a1,a0k) 為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分： 1xx1x2n n n(xx)2(xx)2(x4（1）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3sx3s的應(yīng)用；2.3.2Y值的容許區(qū)間。Yx的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如NO2NO2的濃 概3.1.1—3.1.2nAAAfn(A)=nA出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨（A，nAnn，3.1.3AB互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪BP(AP(B)ABP(A∪BP(A)+P(B)=1P(A)=1—P(B)AB互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪BP(A)+ABA∪BP(A∪B)=P(A)+P(B)=1P(A)=1—（1）（2）（3）（1）（2）3.2.1—3.2.2—3.3.2=（2）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)、任意 2、角x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為k360k36090k第三象限角的集合為k360180k360270k第四象限角的集合為k360270k360360kl lr

，1

57.3 1212S1lr2

r2yP M yP M x2y離是rr 0，則siny，cosx，tanyxx2y 10sincostan

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank2sinsin，coscos，tan3sinsin，coscos，tan

5sin2cos，cos2sin．6sin2cos，cos2 13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)1ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）倍（）1ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）1倍（縱坐標(biāo)不變ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

f2；④相位：x

xx2ymax11 ， 1

xxxx

性數(shù)ysinycosytany- - o RRxxk,k xxk,k RR當(dāng)2k ymax 2k yminymax xkymin性性在, 在2k,2kk上是增函數(shù)；在在 2k k,0k 2 第二章 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量． ⑶三角形不等式：ababa abba

ab ab ax1y1bx2y2abx1x2y1y2 ax1y1bx2y2abx1x2y1y2．

abC①aa

a0a20與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba0aa 設(shè)xyba

，其中b0x

x

1 2b00 1 2b01 1 ⑴ababcosa0,b0,0

a和babab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，aba

a與b

2 2

ab

b；aaa

a

．③abab

ax1y1bx2y2abx1x2y1y2x2y若xy2x2yx2y

設(shè)xy，bxy

abx1x2y1y20設(shè)a、b都是非零向量，xy，bxy

是a與babaabaxxyx2 x2 x2 x2 A、B是直線lAB為直線lAB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.②設(shè)平面nxyzaa1a2a3bb1,b2,b3na據(jù)向定建方組 .））設(shè)直線l1l2ab，則要證明l1l2，只需證明abakb(kR 若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證uv，即證uv 設(shè)直線l1l2ab，則要證明l1l2abab0 ②（法二）設(shè)直線la，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為mn，若am0,則l 若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證uv，即證uv0 則

AC設(shè)直線la的法向量為u，a與u的夾角為，sincos

a二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AOlBOl，則AOB為二面角lAlOB②求法：設(shè)二面角lmnmn的夾角為如果是銳角，則coscos

m即

m

如果是鈍角，則coscos

m 即arccosmn ⑴Ql

mnQlP在直線la為直線lbPQQl(|a||b|)(|a||b|)2a21|a dMPcosnMP

n n即d n即d nnab都垂直，MaPbabdMPn方向即d nPAOaPAOa推理模式：PA a推理模式：PA aa,aAPAC內(nèi)的任一條直線，ADABBD⊥ADD.AB與(AD)所成的角為1ADAC2ABAC．則coscos1cos2.8'已知平面SS，它在平面SS，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則'

S=S

S sin2sin2sin22

升冪公式1cos2cos22

cos2sin22降冪公式cos2cos21sin21cos

:2tan

1tan2sinα

;cosα

第1tan22

1

22PAGE42

2．

cosα2tanα2

111cosα;sinα21cos21cos 1cos sin1cosα2sin 1cos

22

2

2

sin

；cos

( (

(4(4

)4

1sin2cos2tancotsin90otan 1

1tan1

tan 3tan20otan40o tan20otan40o 3cos tan 1cos ；1cos 3 tan10o) 3cot 高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形1、正弦定理：在Ca、b、c分別為角、、CR為C的外接圓的半徑2a2Rsinb2Rsinc2RsinC

asin

②sin

，sin2

，sinC2

；③a:b:csin:sin:sinC2

1bcsin1absinC1acsin 4、余弦定理：在Ca2b2c22bccos

cos

b2c21anSn a S

,(n,(n n2anan1=d（n≥2，a、A、b成等差數(shù)列Aa2⑶通項(xiàng)公式：ana1n1)damnanpnqp、q是常數(shù)Sn

nn1dna1an mnp

mnpqNamanapaq②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)akakmak2m,④若{a}、是等差數(shù)列，則{ka、

pb

kp是非零常數(shù))、

and，則：ⅱ）d0an為遞減數(shù)列；ⅲ）d0an為常數(shù)列；an}為等差數(shù)列anpn

⑦若等差數(shù)列an的前nSnSkS2kSkS3kS2k…是等差⑵等比中項(xiàng)：aGb成等比數(shù)列G2ab（ab同號(hào)。

aqn1a a1qn

aan項(xiàng)和公式：Sn

1

1mnp

mnpqNamanapaq a 為lgq的等差

1④若an是等比數(shù)列，則can，an

ana qr ⑦若等比數(shù)列an的前nSnSkS2kSkS3kS2k…是等比觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，公式法：nSn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an a S

,(n,(n nan（n1n2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。anan1f(nan1anf(n型的遞推數(shù)列（f(n是關(guān)于n的函數(shù)）可

aa

f(n將上述n1個(gè)式子兩邊分別相加anf(n1f(n2)f(2)f(1a1nf(nn

aaf(n)an1f(n)型的遞推數(shù)列（f(nn的函數(shù)）a

f(n

f(na2a

f將上述n1個(gè)式子兩邊分別相乘anf(n1f(n2)...f(2)f(1)a1nan1panq（pqp0）p1anq0anp1且q0an}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方an1p(anan1panp1)an1panq （待定系數(shù)法）得

p1p0)an1p1p(anp1)anp1p(an1p1a q構(gòu)成以a

a qa paq得a

q(n2)an1

p即

n

anan

an1panf(np1型的遞推式⑴f(n為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）an.f(ndan1panf(nanpan1f(n1an1anp(anan1d，令bnan1anbnpbn1d轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出bn，再用⑵f(n為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）p為公比的等比數(shù)列anf(n)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出anf(n)的通項(xiàng)整理可an.f(nqan1panf(nanpan1f(n1，兩邊q得anqpqan1qf(n1——②an1anqp(anqan1)，即nan1n

p，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠aanqan paqn（其中p，q均為常數(shù)）或 parqn

an1

p

1引入輔助數(shù)列b（其中banq

qn

qn bn1qbnq再應(yīng)用類型Ⅴ㈠f(n為任意數(shù)列時(shí)，可用通法在

f(npn1

an

f(n

b，則

b

f，

在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法，求出bnapb paq(p0,a0) 在原遞推式

paq兩邊取對(duì)數(shù)得lg

lgp，令blga得

paq型，求出b之后得a10bn.（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇

形如an1anpan1an（pp0）的遞推式：an1an

an

pan1panq

an還有形如

也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成1m1man1pan

pa

q n1an

an2pan1qan用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1an2kan1h(an1kan，比hkp,hkqhk，于是{an1kanh的等比數(shù)列，這樣就化歸為an1panqn.(anb)(an))

anan

b

得

(b2

①n(n

(2n1)(2n 22n 2na (aa

n

Cmnna1ana2an1...n(n①123...n ②135...(2n1)③122232...n21n(n1)(2n6①（對(duì)稱性）abb②（傳遞性）ab,bca③（可加性）abacb

第三章（同向可加性）ab,cdacb（異向可減性）ab,cdacb④（可積性）ab,c0ac⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0ac（異向正數(shù)可除性）ab00cda ⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且nn⑦（開方法則）ab0 nb(nN,且nn⑧（倒數(shù)法則）ab0

1

;ab01

a2①a

2aab2

ab變形公式：ab2變形公式：ab2 ③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式）abc3abc(a、b、cR（abc3④a2b2c2abbccaa，bR（abc時(shí)取到等號(hào)⑤a3b3c33abc(a0,b0,c（abc時(shí)取到等號(hào) 若ab0,

0,ba2（a=b ⑦ba

bma

anb 其中(ab0，m0，n⑧當(dāng)a0時(shí)，xax2a2xa或xxax2a2axababab

2

a22①平均不等式：a1b1a22ab a2ab (aab 2a2a2...a21(aa...

)2 xx2y2 x2y2 (xx)2(yy (x1,y1,x2,y2

(a2b2)(c2d2acbd)2(abcdR).adbc(a2a2a2)(b2b2b2)(aba

ab)2 1 2 3⑥一般形式的柯西不等式：(a2a2a2b2b2b2

(aba

...ab)2

1 2 n⑧排序不等式（排序原理a1a2an,b1b2bnc1c2cn是b1b2bna1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.（反序和亂序和a1a2an或b1b2bnf(xx1x2(x1x2f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x)為凸（或凹）函數(shù).①舍去或加上一些項(xiàng)，如(a1)23a1)2 1 k(k

1 k(k2222

)1 kkkkkkk1kkkkkkkax2bxc0(或(a0b24ac0)f(x)0g(x)

f(x)g(x)

f(x)0f(x)g(x)

g(x)⑴

a(a0)f(x)fff(x)ff(x) a(aff(x)f(x)f g(x)g(x)f

f(x)或 g(x)⑷

f(x) f(x)fg(x)g(x)ff(x)⑸

f(x)fg(x)gfg(x)f(x)g(x)a1afx)agx)f(xg⑵當(dāng)0a1

af(x)ag(x)

f(x)g

f(x)a1

af(x)

g(x)g(x)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1

af(x)

f(x)g(x)g(x) f(x)g(x)a

(a.(a

f(x)

g(x)

f2(x)g2①xaaxa(axaxa或xa(a③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)④fx)gx)fx)gx或fx)gx)(gx)ax2bxc0⑵討論0ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）a0時(shí)b0ca0時(shí)ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）a0時(shí)b0ca0時(shí)f(xa恒成立f(xa恒成立f(xa恒成立

f(x)maxa;f(x)maxa;f(x)mina;f(xa恒成立

f(x)minAxByC0AxByC后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)(x0y0（如原點(diǎn)Ax0By0C的正負(fù)即AxByC0或0法二：AxByC0或0BAxByC0或0表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.⑶zAxBy(AB為常數(shù)）zAx

zz的最小值第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線l0AxBy0，平移直線l0（將直線l0平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(xy；第四步，將最優(yōu)解(xyzAxByzy

Axz,

B0zAxByz取得最大值，使直線的z取得最小值；B0zAxByz取得最小值，使直線的z取得最大值.①“截距”型：zAxy②“斜率”型：z 或zyx

③“距離”型：zx2y2或z x2y2z(xa)2(yb)2或z (xa)2(yb)22pqpqpqqp”.pq”，則它的否命題為“若p，則q”.5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否pqq則p6真真真真真假假真假真真假假假假假7pqpqqp的必要條件．pqpq的充要條件（充分必要條件8pqpqpqpqpqpq是假命題．用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題pq聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq．p、qpqpqpq是假命題．p全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作pp是真命題，則pp是假命題，則p必pxpx，它的否定pxpx。特稱命題的否定是全稱命題。1、求曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程）⑤化簡(jiǎn)方程，并驗(yàn)證（查漏除雜12F1F2的距離之和等于常數(shù)（F1MF1MF22a2a3

xx2y2 1 y2x2 1 與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)eMFe(0edaxa且bybxb且ay1a02a10b、201b0、2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 短軸的長(zhǎng)FF (c2a2b21 a2 e (0e xcycM(x0,y0MF1aMF2aMF1aMF2a b2tan(FMF HHaA(xy),B(xy)，AB1k2xx1k (xx)24x1, 2, 14、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)F1對(duì)應(yīng)d1，點(diǎn)F2對(duì)應(yīng)d2

e5F1F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（F1F

6

MF1

2a2a2cx軸上56PAGE92x2y2 1 y2x2 1 F1F22a|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)eMFe(edxaxayyayax1a02a實(shí)軸的長(zhǎng) 虛軸的長(zhǎng)FF (c2a2b21 a2 e xcycybayabM(x0,y0M在右支M在左支M在下支 b2cot(FMF HHa78、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)d1，點(diǎn)到F對(duì)應(yīng)d2

212 9FlFl稱為10、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段2px,y

py22pxpp

Fx0若 0

F

2y22pp0y22pp0x22pp0x22pp0F和一條定直線lF不在定直線l0,exyxxyyFp,0 Fp,0 F0,p 2 F0,p 2 x2x2y2y2M(x0,y0MFx MFx MFy MFy HH2ABx1x2

y22pxp

Fx， 2p

x22pyp

F

y02；2p

x22pyp

Fy02ABy

2px(

0A(x1y1B(x2y2AB的傾斜角為則⑴x1x2

2 ,y1y2p

⑵

2p ABFAB在準(zhǔn)線上射影的張角為2 |FA |FB 1模（或長(zhǎng)度）0的向量稱為零向量；模為1aa的相反向量，記作a2a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起點(diǎn)的對(duì)角線C就是baaab，則ba3、實(shí)數(shù)a的乘積a是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)0時(shí)，aa方向分配律 ；結(jié)合律：

6，bbab6，bbab78、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面Cxy，使xyC；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有xyC；或若四點(diǎn)C共面，則xyzCxyz1．9a和bbab

aa,ba,b

a,1、對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，若 ，則向量a，b互相垂直，記作b．a(chǎn),b 2ab

稱為a，b的數(shù)量積，記作b．即

0

abcos

ababcosa,

12ab等于a與b

bcosa,babe aa1eaaeacosa,e；2ababaa 與

2

3

ab b同向

，aa

，a

；4cosa,b

；5ababab

ba與b反向

1abba 3abcacbc15a，b，cp

xyzyb 1三個(gè)向量a，b，c不共面則所有空間向量組成的集合是 這個(gè)集合可看作是由向ppxaybzc,x,y,zabc生成的，abca,b,17、設(shè)e，e，e為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换譭，ee的公共起點(diǎn) e1e2e3xyz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系xyzpp一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量p

x,y,

pxe1ye2ze3xyzpeeexyzp的坐標(biāo)是點(diǎn) 直角坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)xyz（1）bxx,yy,zz 2 2 （2）bxx,yy,zz 2 2 abx1x2y1y2z1z2a、bbb0xxyyz

0 1 1 1 x2y2 x2y2 aaa

xxaax2y2aax2y2 y2z1 x2y2

xx y z222 19、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示．向量稱為點(diǎn)的位置向20、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)是直線la表示直線l的方向向量，則對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線lb為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)xy，使得

yb，這樣點(diǎn)ab就確定了平面22、直線l垂直，取直線laa稱為平面23ababa//aa//

bR，abbb0aaaaaa aaaa//a//anan0aaana aaaa//2aba//

b b0aa26、設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為aa27l的方向向量為l的法向量為nl所成的角為ln的夾角為lllln1nn1n28n1n1nn1n

29、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量30llnl ndcos,n ．n31是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，n為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為d

．o,n nyf(xxx0

f(x0x)f(x0)yf(xxx0f(x0y|x

f(x=

f(x0x)f(x0

曲線的切線通過圖像我們可以看出當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于PPT與曲線相切。容易知道，割線PPn的斜率是nkf(xnf(x0)PnPyf(x)在xx0PTknxnk

f(xn)f(x0)f(x

0xn0xf(xxf(x的導(dǎo)函數(shù).yf(xy,f(x)

f(xx)f1若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0 2若f(x)x,則f(x)x13f(x)sinx,f(x)cos5f(xax,f(x)axln

4f(x)cosx,f(x)sinx;6若f(x)ex,則f(x)exa7f(x)logx,f(x)a

xln

8f(x)lnx,f(x)x1.[f(x)g(x)]f(x) 2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)3.[f(x)]f(x)g(x)f(x)gg [g(x)]復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)yf(g(x))

yf(u)ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù)

yf(g(x))為一個(gè)復(fù)合函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(abf(x)0yf(x在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)f(x0yf(x在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況0yf(x的極值的方法是:（1）x0f(x0,f(x0,f(x0是極大值（2）x0附f(x)0,fx)0,f(x是極小值;0求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟 （1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值yf(xf(af(b比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測(cè)其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,理類比推理的一般步驟找出兩類事物的相似性或一致性一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類比得出的命題越可靠考點(diǎn)二演繹推理(俗稱三段論考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法步驟:A.n=1（n0）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.n=kC.n=k+1時(shí)命題也成立完成這兩步,就可以斷定對(duì)任何自然數(shù)(nn0,nN)結(jié)論都成立。考點(diǎn)三證明反證法 2、分析法 復(fù)數(shù):形如abi(aR,bRa和b分別叫它的實(shí)部和虛部分類:復(fù)數(shù)abi(aR,bR中,當(dāng)b0,就是實(shí)數(shù);b0,叫做虛數(shù);a0b0時(shí),叫做純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等且虛部相等就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)復(fù)平面:建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸，yz1abiz2cdi(a,b,c,dR)則（1

z1z2(ac)(bd

（2

z1z2(acbd)(ad

（32z1(acbd)(adbc)i(z c2d 22,

|zz|2|zz|22(|z|2|

zz|z|2|z

(3)z為虛數(shù),則|z|2 (1)zmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(zz)nznzn(m, 關(guān)于虛數(shù)單位i（1）i2

（2）i3

（3）i4

（2）inin2in3in4同的方法，……N類辦法中有MNM1+M2+……+MN種不同的方法。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理Nm1M2不同的方法，……N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有N=M1M2...MN種不同的方法。3、排列nm(m≤n)個(gè)元素，nm

Amn(n1)(nm1)

(n

(mn,n,mN6、Cmn

n(n1)(nm Am Am

m!(nCmCnm Cm1CmC (ab)nC0anC1an1bC2an2b2…Cranrbr…Cnbn

Tr

Cranrb

(r0，1……n)nn1、隨機(jī)變量XXX、Yξ、η等表示。2、離散型隨機(jī)變量：X3、離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,,xi Xxi(i=1,2,）P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X4、分布列性質(zhì)①pi≥0,i=1，2， ②p1+p2+…+pn=5、二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X0<p<1，q=1-pX服從參數(shù)p6、超幾何分布：一般地,設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有Mn(n≤N)件,這nCkCnkCn品件數(shù)XkPXkMNM(k0,12,mCnNmminMn,且n≤NM≤N,nMN7、條件概率ABAB發(fā)生的概率，叫做條件概率.P(B|A)，讀作AB的概率P(B|A)P(AB),P(A)

P(9、相互獨(dú)立事件AB是否發(fā)生對(duì)事件B(A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。P(AB)P(A)P(10、n次獨(dú)立重復(fù)事件：11、二項(xiàng)分布：設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)ξP(k)Ckpkq=1-p于是可得隨機(jī)變量ξ這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)n，p

（k=0,1,Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpnξ13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +（xn-Eξ)2·Pn叫隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱方差二項(xiàng)分布，ξ～f(x)

1

(x) 2

,x(,的圖像，其中解析式中的實(shí)數(shù)0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．則其分布叫正態(tài)分布記作：N(,)，f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線。xxxx時(shí)位于最高點(diǎn)x④當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越大，曲線越“矮胖”，表示總體的⑤當(dāng)σ相同時(shí),正態(tài)分布曲線的位置由期望值μ來決定17、3原則：從上表看到,

以外取值的概率只有4.6%,

由于這些概率很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說,通常認(rèn)為這些情況在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的X和Y，它們的值域分另為{x1,x2}和{y1,y2}總計(jì)abcd總計(jì)若要推斷的論述為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機(jī)變量K^2的值（即K的平方 K2=n(ad-bc)2[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d為樣本容量，K2的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”K2≤3.841時(shí)，XYK2>3.841時(shí)，XY95%可能性有關(guān)；K2>6.635XY99%xy1x其中b nx21(x2n

(xx)(yy)(xx)

ay2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么（1）2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4-4③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過比較這些圖.伸縮變換：設(shè)

P(x,

P(xyP(xy，稱極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)MM是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)OM的距離|OM|M的極徑，記為軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOMM的極角，記為。有序數(shù)對(duì)(,M的極坐M(,.))))如果規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(,表示的點(diǎn)也是唯一確定的。22x2y2 xy tany(xx

r

C(a,0)(a0)為圓心，a

C(a,2)(a

在極坐標(biāo)系中，(0)表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；(R)表示過極點(diǎn)的一條直線.A(a,0)(a0)l的極坐標(biāo)方程是cosa.參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)xyt的函數(shù)xfy

并且對(duì)于

M(x,

xy的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。

(xa)2(yb)2r

ybyb

y211

(ab(ab yx2px2

y22

的參數(shù)方程可表示為

yy2

yxxoy

MO

,yo

，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為

o

x,y的取值范圍保持一致.①（對(duì)稱性）abb②（傳遞性）ab,bca③（可加性）abacb（同向可加性）ab,cdacb（異向可減性）ab,cdacb

⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acab0,0cda ⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且nn⑦（開方法則）ab0 nb(nN,且nnab011;ab01

a2①a2b22aba，bR①

a

時(shí)取

ab 2

a，bRab

a

ab

ab 33④a2b2c2abbccaa，bR④（abc時(shí)取到等號(hào)⑤a3b3c33abc(a0,b0,c（abc時(shí)取到等號(hào)

abc3

)（abc若ab0,ba

0,ba

bbm1an a

b

b其中ab0，m0，n⑧當(dāng)a0時(shí)，xax2a2xa或xxax2a2axababab2

a1

2

（a,

a

時(shí)取

a22（即調(diào)和平均幾何平均a22abab

a2;

a2b2

(a. a2a2...a21(aa...

)2 x2x2y (xx)2(yy xx2y

(x1,y1,x2,

(a2b2)(c2d2acbd)2(abcdR).adbc時(shí)，等號(hào)成立(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)2 1 2 3(a2a2...a2)(b2b2...b2)(abab...ab)2 1 2 n 設(shè)a1a2an,b1b2

b1b2

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...

a1b1a2b2anbn（反序和亂序和順序和，當(dāng)a1a2an或b1b2bn時(shí)，反序和等于順序和f(x,x1x2(x1x2f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x1x2)f(x1)f(x2)

(a1)23(a1)2 22221

k(k

1 k(k

1 kkkkkkk1kkkkkkkax2bxc0(或(a0b24ac0)解集的步驟：f(x)0g(x)

f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)g(x)g(x)

f a(a0)f(f f(x) ff(x)a(aff(x) f(x)fg(x)g(x)f

f(x)或 g(x)⑶⑷

f(x) f(x)fg(x)g(x)ff(x)f(x)fg(x)gfg(x)⑸f(x)g(x)⑸a1時(shí)afx)agx)

f(x)g⑵當(dāng)0a1時(shí)

af(x)ag(x)

f(x)g

f(x)a1時(shí)

af(x)

g(x)g(x)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時(shí)

af(x)

f(x)g(x)g(x) f(x)g(x)

a

(a.(a

f(x)

g(x)

f2(x)g2xaaxa(a①xaxa或xa(a②f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)③④fx)gx)fx)gx或fx)gx)(gx)ax2bxc0⑵討論0ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）a0a0

b0,cax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）a0時(shí)b0ca②當(dāng)a0 f(xa恒成立

f(x)maxf(xa恒成立

f(x)maxf(xa恒成立

f(x)minf(xa恒成立

f(x)minAxByC0AxByC后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)(x0y0（如原點(diǎn)Ax0By0C的正負(fù)即可判斷AxByC0(或0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.AxByC0或0BAxByC0zAxByAB為常數(shù)）zAx

z值，最大的那個(gè)數(shù)為目zz的最小值第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線l0AxBy0，平移直線l0（l0平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)zAxByyAx

B,B為直線的縱截距B0zAxByz取得最大值，使直線的縱截z取得最小值；B0zAxByz取得最小值，使直線的縱截z取得最大值.zAx

zx

zybzx2y2z

x2y2zxa)2yb)2z

(xa)2(yb)21.xAxCUAxCUAxA.CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUBABAAB

ABCUBCUACUBCUABcard(AB)cardAcardBcard(Acard(ABC)cardAcardBcardCcard(Acard(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)集合{aa,a2n2n–12n–1 2n–2f(x)ax2bxc(a0)f(x)a(xh)2k(a0)f(x)a(xx1)(xx2)(a0)Nf(xMNf(x)M[f(x)M][f(x)N]|f(x)MN|M

f(x)NMf f(x) M f(x)0在(k1k2f(k1)f(k2)0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(kk f(k1)f

0f(k10且

k12

f

)0k12

k2f(xax2bxc(a0在閉區(qū)間pqx

a>0x

pqf

f

b),f(x)

max

f(p),f(q)x

p,q，f

maxb

f(p),f(q)，f

min

ba<0x

pq

f(x)minminfp),f(q)x

pqf(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q)f(mf(n0f(x0在區(qū)間(mn內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)f(x)x2pxq，則p24q方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p f(m)f(n)

f(m)f(x0在區(qū)間(mnf(mf(n0或p24q

或af(n m f(n)或af(m0p24q方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p

f(xt)0tf(xt)min0(xL)在給定區(qū)間(,f(xt)0tf(x,t)man0(xL)af(xax4bx2c0恒成立的充要條件是b0

aｐｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

c

24ac是pp且pp或互互互互否為為互否 pqpq必要條件：若qpp是qpqqppqx1x2a,bx1x2(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

x1(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

x1y

f(xf(x0f(xf(x0ff(xg(x)f(xg(xy

f(u和ug(xy

f[g(xy若函數(shù)y

f(x)是偶函數(shù)，則

f(xa)

f(xa)y

f(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)對(duì)于函數(shù)ya

f(x)(xR

f(xa)

f(bx)恒成立,則函數(shù)a

f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)x y2

f(xay

f(b

的圖象關(guān)于直線x 2af(x)f(xay

f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)2

,0)對(duì)稱;若f(x)f(xa,則函yf(x2a n 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)axn xn1 n P(x是奇函數(shù)P(x的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.P(x是偶函數(shù)P(xyf(xyf(xxa對(duì)稱

f(ax)

f(af(2ax)

f(x)

函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱2

f(amx)

f(bf(abmx)

f(mx)yf(xyf(xx0yyf(mxayf(bmxxaby

f(xy

f1xy=xy

f(xa、上移by

f(xabf(xy)0a、上移bf(xayb)0f(a)bf1(b)ay

f(kxby1f1xb]yf1kxbkyf1kxby1f(xbkf(xcxf(xyf(xfy),f(1cf(xaxf(xyf(xfy),f(1a0f(xlogaxf(xyf(xfy),f(a1(a0a1)f(xxf(xyf(xfy),f'(1f(xcosxg(x)sinxf(xyf(xfyg(x)g(y)，f(0)1,limg(x)1 f(x)f(xaf(xf(x)f(xa)01f(xa)

f(x)f(x)f(x)f2

(f(x)0)1或12

f(xaf(x0,1)f(xf(x)1

f(x

f(x)0)f(x

f

x)

f(x1)f(x2

且f(a1f(xf(x10|x

|2a)

f(x)的周期 1f(x)f(x

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)ff(xa)

f(xf(xaf(xm11

（a0,m,n

n1nna

m（a0,m,nNan

n1(na)na

annann

|a|a,a0arasars(a0,r,sQ)(ar)sars(a0,r,sQ)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)a＞0，pap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理alogNbaba

(a0,a1,N0)

Nlogm

a0,且a1m0m

N0m logma推論loga

bn

n

ba0a1mn0,且m1n1N0loga(MN)logaMlogaNMlogaNlogaMlogaN logMnnlogM(nR) mf(x)log(ax2bxc)(a0),記b24acf(xRa0m0f(xRa0，且0a011a0b0x0xaylogaxab時(shí),在(01和1ylog(bx1a1 (2ab時(shí),在(0,)a

1和(,a

ylogax(bx推論:nm1p0a0a1logmp(np)logmn2mlogamlogan NpxyyN(1p)x.39.n as1 s

nn2(數(shù)列{annsna1a2an naa(n1)ddn

d(nN*) sn(a1an)nan(n1) dn2(a1d)n aaqn1a1qn(nN*) a(1qn ,q1sn 1na,q a1anq,q 1 等比差數(shù)列anan1qand,a1b(q0)b(n1)d,qnabqn(db)qn1n

,q nbn(n1)d,(q

1

n,(q 1 1x(1b)n

元(a元n次還清,每期利率為b )，則sinxxtanx2

2 )，則1sinxcosx 22|sinx||cosx|1

(1)2)

(1)2co

(1)2coco2

n

(1)

asinbcos=

a2a2cos2cos2sin22cos2112sin2

1tan

tan3 tantan(13tan2

asin

sin

2Ra2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.S1ah1bh1

（h、h、ha、b、c

S1absinC1bcsinA1casinB

1212(|OA||OB|) 2OA 2在△ABCABCCAB

2C22(AB) sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZtanxa(aR)x(karctana,k Z2tanxa(aR)x(karctana),kZ2(3)（+b·c=a·c+b·c.a(x1y1,b(x2y2b0ab(b0x1y2x2y1061a·ba·ba的長(zhǎng)度|a|ba的方向上的投影|b|cosθ的乘積．a(chǎn)(x1y1,b(x2y2a+b(x1x2y1y2a(x1y1,b(x2y2a-b(x1x2y1y2A(x1y1，B(x2y2ABOBOA(x2x1y2y1a(x1y1,b(x2y2a·b(x1x2y1y2.

(a=(x,y),b=(x,y)x1x2x1x2y1x2y2x2 (xx)2((xx)2(yy

(A(x,y)，B(x,y)

a(x1y1,b(x2y2b0A||b

x1y2x2y10ab(a0a·b=0x1x2y1y20.xx1 1 y

OP

1y 1OPtOP(1t

（t

1ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1B(x2,y2C(x3,y3ABC的重心的坐標(biāo)是G(x1x2x3,y1y2y3) y'y

yy'

OP'OPPP'FP(x，yF'P(xyPP'的坐標(biāo)為(hk.P(xya(hkP(xhyk函

yf(x)的圖象C按向量a(hk)平移后得到圖象C'C'的函數(shù)解析式為yf(xh)kC'a(hk)平移后得到圖象CC的解析式y(tǒng)f(x)C'的函數(shù)解析式為yf(xh)k曲線Cf(xy0a(hk平移后得到圖象C',則C'f(xhyk0m(xya(hkm(xy70設(shè)O為ABCABCabcO為ABC的外心

OCO為ABC的重心OAOBOC0O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOAO為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.abRa2b22aba＝ba,bR

2

a3b3c33abc(a0,b0,c(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dababab.p若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值 pxysxyxy1s24xyR，則有(xy)2xy)2xy是定值,則當(dāng)|xy||xy|最大；當(dāng)|xy||xy|最小.若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|

|xy|當(dāng)|xy|

|xy|73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)a0b24ac0)aax2bxc同號(hào)，x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)xx1,或xx2xx1)(xx20(x1x2).a0xax2a2axaxax2a2xaxa

f(x)ffg(x)

g(x)f(x)f(x)ff

f(x)

g(x)g(x)f(x)f(x)fg(x)g(x)ff(x)

或g(x0.當(dāng)a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x) f(x)g(x)當(dāng)0a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x)f(x)g(x)ky2y1（P(xyP(xyx