第3章 勾股定理 蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊綜合素質(zhì)評價(含解析)

第3章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(每題3分，共24分)1．【母題：教材P85練習(xí)T3】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A．1，1，2B．9，12，15C．4，5，6D．1.5，2.5，22．在Rt△ABC中，斜邊BC＝5，則AB2＋AC2等于()A．5B．25C．50D．1003．【母題：教材P90復(fù)習(xí)題T1】下列四組數(shù)，分別以各組數(shù)中的三個數(shù)據(jù)為邊長構(gòu)建三角形，不能組成直角三角形的一組是()A．7，24，25B．12，16，20C．4，6，8D．3，4，54．兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距()A．50cmB．120cmC．140cmD．100cm5．【2023·蘇州中學(xué)月考】若直角三角形的兩邊長分別為a、b，且滿足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為()A．25B．7C．25或7D．25或166．【規(guī)律探究】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛思考的小琦發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…則當(dāng)a＝18時，b＋c的值為()A．242B．200C．128D．1627．如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于點E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC，CF于點M，F(xiàn)，若EM＝3，則CE2＋CF2的值為()A．36B．9C．6D．188．如圖，在△ABC中，點O是∠ABC，∠ACB平分線的交點，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，則點O到邊AB的距離為()A．2B．3C．4D．5二、填空題(每題2分，共20分)9．【母題：教材P82練習(xí)】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，則AC＝________．10．Rt△ABC的周長為24，∠C＝90°，且AB：AC＝5：4，則BC的長為________．11．已知三角形三邊長分別是6，8，10，則此三角形的面積為________．12．三角形的三邊長分別是3cm，4cm，5cm，則最大邊上的中線長為________cm.13．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高5米，兩樹相距12米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行________米．14．《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長，如果設(shè)AC＝x，則可列方程為________(方程不用化簡)．15．【2023·正衡中學(xué)期中】葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是12cm，當(dāng)一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高5cm時，這段葛藤的長是________cm.16．【2023·啟秀中學(xué)期中】如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，則圖中陰影部分的面積為________．17．【2023·蘇州中學(xué)期中】如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于點B，AB⊥AD于點A，點E是CD的中點，連接AE并延長交BC于點F，AD＝5，BC＝10，則AE的長為________．18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形△ABD，△ACE，△BCF，若圖中陰影部分的面積分別為S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，則S4＝________.三、解答題(19題6分，20～24題每題8分，25題10分，共56分)19．圖①是一款嬰兒推車，圖②為其調(diào)整后的側(cè)面示意簡圖，測得∠ACB＝90°，支架AC＝6dm，BC＝8dm，求兩輪圓心A，B之間的距離．20．【母題：教材P85習(xí)題T2】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.求證：AC⊥CD.21．學(xué)校內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地ABC，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計花園每平方米造價為30元，學(xué)校修建這個花園需要投資多少元？22．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的長．23．已知△ABC的三邊長分別是a，b，c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)．(1)判斷三角形的形狀，并說明理由；(2)若以邊長b為直徑的半圓形的面積為2π，求△ABC的面積；(3)若以邊長a，b為直徑的半圓形的面積分別為p，q，求以邊長c為直徑的半圓形的面積(用p，q表示)．24．【2023·南京外國語學(xué)校期中】如圖，某小區(qū)有兩個噴泉A，B，兩個噴泉的距離AB的長為250m．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點M在小路AC上，供水點M到AB的距離MN的長為120m，BM的長為150m.(1)求供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長；(2)求噴泉B到小路AC的距離．25．如圖是用硬紙板做成的三個直角三角形，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖，并用這個圖形證明勾股定理；(2)假設(shè)圖中的兩直角邊長為a，b的直角三角形有若干個，你能運用它們拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(不需要證明)．

答案一、1.B2.B3.C4．D【點撥】兩只小鼴鼠10分鐘所走的路程分別為80cm，60cm，∵正北方向和正東方向構(gòu)成直角，∴由勾股定理可得，其距離為100cm.5．C【點撥】∵a2－6a＋9＋|b－4|＝0，∴(a－3)2＋|b－4|＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三邊長的平方＝32＋42＝25，或直角三角形的第三邊長的平方＝42－32＝7.故選C.6．D【點撥】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得a2＋b2＝c2，并且c＝b＋2，則a2＋b2＝(b＋2)2，當(dāng)a＝18時，182＋b2＝(b＋2)2，解得b＝80，則c＝80＋2＝82，所以b＋c＝162.7．A【點撥】如圖，∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∠3＝∠4＝eq\f(1,2)∠ACD，∴∠2＋∠3＝eq\f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∴EM＝MF＝3.∴EF＝EM＋MF＝3＋3＝6，在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2＝62＝36.8．C【點撥】如圖所示，過B作BD⊥AC于D，則∠ADB＝∠CDB＝90°，設(shè)AD＝x，則CD＝14－x，∵在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－x2，在Rt△BCD中，BD2＝CB2－CD2＝152－(14－x)2，∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴AD＝5，∴BD2＝AB2－AD2＝132－52＝122，∴BD＝12.∵點O是∠ABC、∠ACB平分線的交點，∴點O到△ABC的三邊的距離相等，設(shè)點O到邊AB的距離為h，則eq\f(1,2)AC×BD＝eq\f(1,2)(AB＋BC＋AC)×h，∴eq\f(1,2)×14×12＝eq\f(1,2)(13＋15＋14)×h，解得h＝4，∴點O到邊AB的距離為4.二、9.5【點撥】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AC2＝AB2－BC2＝25，∴AC＝5.10．6【點撥】設(shè)AB＝5x，AC＝4x，利用勾股定理得出BC＝3x，根據(jù)已知的周長可得x＝2，問題得解．11．24【點撥】∵62＋82＝102，∴此三角形為直角三角形，∴此三角形的面積為eq\f(1,2)×6×8＝24.12．2.5【點撥】∵32＋42＝52，∴該三角形是直角三角形，∴最大邊上的中線長為eq\f(1,2)×5＝2.5(cm)．13．13【點撥】如圖，建立數(shù)學(xué)模型，過B作BA⊥CD于A，則兩棵樹的高度差A(yù)C＝10－5＝5(米)，間距AB＝DE＝12米，根據(jù)勾股定理可得，小鳥至少飛行的距離BC＝13米．14．x2＋32＝(10－x)2【點撥】因為AC＝x，AC＋AB＝10，所以AB＝10－x，再由AC2＋BC2＝AB2即可列出方程．15．1316．24【點撥】∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，∴BC2＝BD2＋CD2＝25，∴BC＝5.又∵AB＝13，AC＝12，∴AC2＋BC2＝122＋52＝169＝132＝AB2，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S陰影＝S△ACB－S△BDC＝eq\f(1,2)×12×5－eq\f(1,2)×4×3＝24.17.eq\f(13,2)【點撥】∵點E是CD的中點，∴DE＝CE.∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCE.在△AED和△FEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADE＝∠BCE，,DE＝CE，,∠AED＝∠CEF，))∴△AED≌△FEC(ASA)，∴AD＝FC＝5，AE＝EF，∴BF＝BC－FC＝5，∴在Rt△ABF中，由勾股定理可得AF＝13，∴AE＝eq\f(AF,2)＝eq\f(13,2).18．2.5【點撥】如圖，∵△ABD，△ACE，△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵a2＋b2＝c2，∴S△ABD＋S△ACE＝S△BCF，∴S1＋m＋n＋S4＝S2＋S3＋m＋n，∴S4＝3.5＋5.5－6.5＝2.5.三、19.【解】在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10dm，∴兩輪圓心A，B之間的距離為10dm.20．【證明】∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋22＝9，AD2＝32＝9，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°.∴AC⊥CD.21．【解】如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)BD＝xm，則CD＝(14－x)m.在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2，∴AB2－BD2＝AC2－CD2，即132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5.∴AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144.∴AD＝12m.則30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×14×12))＝2520(元)．答：學(xué)校修建這個花園需要投資2520元．22．【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC2＝AB2－AC2＝252－242＝49.∴BC＝7.∵AM＝AC，BN＝BC，∴AM＝24，BN＝7.∴MN＝AM＋BN－AB＝24＋7－25＝6.23．【解】(1)△ABC是直角三角形．理由如下：在△ABC中，a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，c2＝(n2＋1)2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形，a，b為直角邊長，c為斜邊長．(2)∵以邊長b為直徑的半圓形的面積為2π，∴eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)＝2π，解得b＝4.∴2n＝4.∴n＝2.∴a＝n2－1＝3.∴△ABC的面積＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×3×4＝6.(3)∵以邊長a，b為直徑的半圓形的面積分別為p，q，∴p＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πa2,8)，q＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πb2,8).由(1)得a2＋b2＝c2，∴以邊長c為直徑的半圓形的面積＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πc2,8)＝eq\f(π,8)(a2＋b2)＝eq\f(πa2,8)＋eq\f(πb2,8)＝p＋q.24．【解】(1)在Rt△MNB中，由勾股定理，得BN2＝BM2－MN2＝1502－1202＝902，∴BN＝90m.∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)．在Rt△AMN中，由勾股定理，得AM2＝AN2＋MN2＝1602＋1202＝2002，∴AM＝200m.∴AM＋BM＝200＋150＝350(m)．即供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長為350m.(2)∵BM2＋AM2＝1502