泛函分析 第六章習(xí)題答案

實(shí)變函數(shù)與泛函分析第六章習(xí)題01-17PAGE13PAGE13第六章習(xí)題第一部分01-17設(shè)M是線(xiàn)性賦范空間X的閉子空間，若對(duì)任意的f?X*，f(M)=0蘊(yùn)涵f(X)=0，則M=X．[證明]若不然M是X的真閉子空間，由Hann-Banach定理，存在f?X*，使f(M)=0，并且||f||=1，這與題目的假設(shè)相矛盾．設(shè)X是線(xiàn)性賦范空間，M是X的子集，x0?X，且x01q．證明x0?cl(spanM)的充分必要條件為：對(duì)任意的f?X*，f(M)=0蘊(yùn)涵f(x0)=0．[證明](必要性)對(duì)任意的f?X*，由f(M)=0及f是線(xiàn)性的，可推出f(spanM)=0；而f又是連續(xù)的，所以又可進(jìn)一步得到f(cl(spanM))=0；所以對(duì)x0?cl(spanM)，有f(x0)=0．(充分性)若x0?cl(spanM)，由Hann-Banach定理，存在f?X*，使得f(cl(spanM))=0，但f(x0)=||x0||10，這與題目的假設(shè)相矛盾．設(shè)X是線(xiàn)性賦范空間，x1,x2,...,xn是X中n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的元素，a1,a2,...,an是n個(gè)數(shù)，M>0．證明：存在滿(mǎn)足條件：f(xk)=ak，k=1,2,...,n，且||f||￡M的有界線(xiàn)性泛函f的充要條件為：對(duì)于任意的n個(gè)數(shù)c1,c2,...,cn都有．[證明](T)對(duì)于任意的n個(gè)數(shù)c1,c2,...,cn，令．由于|f(x)|￡M||x||，以及f(xk)=ak，k=1,2,...,n，得到．(ü)考慮X的線(xiàn)性子空間S=Span{x1,x2,...,xn}，對(duì)于任意的n個(gè)數(shù)c1,c2,...,cn，在S上定義．則g是S上的有界線(xiàn)性泛函，滿(mǎn)足條件g(xk)=ak，k=1,2,...,n，且||g||￡M．由Hann-Banach定理，存在X上的有界線(xiàn)性泛函f使f|S=g，且||f||=||g||．事實(shí)上，此f即為滿(mǎn)足條件的泛函．[第4題到第9題只需要直接驗(yàn)證，它們應(yīng)該是“集合論”而非“泛函分析”中的題目．此處略去]設(shè)X是Banach空間．證明X自反的充要條件為X*自反．[證明]必要性：設(shè)X自反，即X上的典則映射J:X?X**，滿(mǎn)足J(X)=X**．為證明X*自反，我們要證明X*上的典則映射J*:X*?X***為滿(mǎn)射．"x***?X***，令x*=x***?J．容易看出x*:X?是上的線(xiàn)性泛函．由于|x*(x)|=|x***(J(x))|￡||x***||·||J||·||x||，所以x*?X*．注意到J(X)=X**，故"x**?X**，存在x?X使得J(x)=x**．則(J*x*)x**=x**(x*)=x*(x)=(x***?J)(x)=x***(J(x))=x***(x**)，所以J*x*=x***，即J*為滿(mǎn)射，故X*自反．充分性：設(shè)X*自反，即X*上的典則映射J*:X*?X***滿(mǎn)足J*(X*)=X***．假若X不自反，即J(X)1X**．則由于X是Banach空間，且X上的典則映射J:X?X**是保范的線(xiàn)性單射，容易看出J(X)是X**的真閉子空間．由Hann-Banach定理，存在x***?X***，使得x***(J(X))=0，||x***||=1．由于J*(X*)=X***，存在x*?X*，使得J*x*=x***．顯然對(duì)"x?X有x*(x)=(J(x))x*=x***(J(x))=0，所以x*=q，這與||x*||=||J*x*||=||x***||=1相矛盾．設(shè)X為線(xiàn)性賦范空間，X*可分．證明X可分．[證明]由于X*可分，不妨設(shè)X*\{q}中子集F={f1,f2,...}在X*中稠密，令gi=fi/||fi||，用S*表示X*中的單位球面．對(duì)"f?S*，"e>0，存在某fi?F，使得||fi-f||<min{e/4,1/2}．則|(||fi||-1)|=|(||fi||-||f||)|￡||fi-f||<1/2，故||fi||>1/2．對(duì)應(yīng)的gi滿(mǎn)足||gi-f||=||(fi/||fi||-f)||￡||(fi/||fi||-f/||fi||)||+||(f/||fi||-f)||=||fi-f||/||fi||+|1/||fi||-1|·||f||=||fi-f||/||fi||+|1/||fi||-1|=||fi-f||/||fi||+|(1-1/||fi||)|/||fi||￡2||fi-f||/||fi||<4||fi-f||<e．所以S*中的可數(shù)集G={g1,g2,...}在S*中稠密．對(duì)任意i，由于||gi||=sup{|gi(x)||||x||=1}，故存在X的單位球面S中的點(diǎn)xi，使得|gi(xi)|>1/2．記A={x1,x2,...}．注意到A是可數(shù)的，故它的所有的有限的有理系數(shù)線(xiàn)性組合構(gòu)成的集合也是可數(shù)的，并把這個(gè)可數(shù)集合記為B，容易看出B在span(A)中稠密，因而B(niǎo)也在cl(span(A))中稠密．下面證明cl(span(A))=X．若不然，存在x?X\cl(span(A))．則由Hann-Banach定理知存在f?S*，使得f(cl(span(A)))=0．而G={g1,g2,...}在S*中稠密，故存在gi?S*，使||gi-f||<1/2．這就得到下面的矛盾：1/2<|gi(xi)|=|gi(xi)-f(xi)|￡||gi-f||·||xi||=||gi-f||<1/2．故cl(span(A))=X．因此X有可數(shù)稠子集B，所以X可分．設(shè)H為復(fù)Hilbert空間，．證明：，，，，，．[證明]對(duì)任意的，.．．．因?yàn)?，故，所以．因?yàn)?，故，所以．設(shè)H為Hilbert空間，A,B為H上的兩個(gè)線(xiàn)性算子，對(duì)于任意的x,y?H有<Ax,y>=<x,By>．證明：A為有界線(xiàn)性算子．[證明]對(duì)"x?S={x?H|||x||=1}，考慮fx:H?，fx(y)=<By,x>．由于|fx(y)|=|<By,x>|=|<y,Ax>|￡||y||·||Ax||，故fx為H上的有界線(xiàn)性泛函，且||fx||￡||Ax||．因fx(y)=<By,x>=<y,Ax>，故fx(Ax)=<Ax,Ax>=||Ax||2．所以，||Ax||2=|fx(Ax)|￡||fx||·||Ax||，故||Ax||￡||fx||．所以||fx||=||Ax||．有界線(xiàn)性泛函族{fx|x?S}在H的每一點(diǎn)y處，|fx(y)|=|<By,x>|￡||By||·||x||=||By||，由共鳴定理知存在M>0，使得"x?S有||fx||￡M．即"x?S有||Ax||￡M．所以A為有界線(xiàn)性算子．設(shè)為上的有界線(xiàn)性算子，對(duì)于，，其中，．又設(shè)，而．證明：．[證明]，而，故，，所以，．設(shè)X為Banach空間，Y為線(xiàn)性賦范空間，Tn?B(X,Y)，n=1,2,...，且sup{||Tn||}=+￥．證明：存在x0?X使得sup{||Tnx0||}=+￥．[證明]這只是共鳴定理的逆否命題．舉例說(shuō)明：在共鳴定理中，X的完備性是不可缺少的．[例]考慮m空間的子空間X={x=(xi)|只有有限個(gè)xi不為0}．Tn:X?R，Tn(x)=nxn，"x=(xi)?X．顯然Tn是線(xiàn)性算子，可以證明Tn有界，且||Tn||=n．顯然{||Tn||}無(wú)界，但對(duì)"x=(xi)?X，{Tn(x)}有界．設(shè)S:?2??2為S(x1,x2,...)=(x3,x4,...)，Tn=Sn．求sup{||Tnx||}，||Tn||，以及sup{||Tn||}．[解]顯然Tn(x1,x2,...)=(x2n+1,x2n+2,...)，故sup{||Tnx||}=