截長補短輔助線

截長補短法分析證明一條線段等于兩條線段和的根本方法有兩種：(1)通過添輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和()，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等．(2)通過添輔助線先在求證中長線段()上截取與線段中的某一段(如)相等的線段，再證明截剩的局部與線段中的另一段()相等．圖4-1：如圖4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.圖4-1求證：AB=AC+CD.例2.在四邊形ABCD中，點P在AD上，PB平分，PC平分，且，求證：例3.中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．例4：如圖，E是正方形ABCD邊BC上任意一點，AF平分∠EAD交CD于F，試說明BE+DF=AE.例5.：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，〔1〕如圖〔1〕，假設(shè)有∠EAF=45o.求證：BE+DF=EF.〔2〕如圖〔2〕，假設(shè)有BE+DF=EF，求：∠EAF的度數(shù).應(yīng)用：〔2009東城期末〕23．：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于點．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時〔如圖1〕，易證．〔1〕當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時〔如圖2〕，線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜測，并加以證明．〔2〕當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜測．圖1圖2圖3例6..等邊△ABC，D為△ABC外一點，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，①當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜測①中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請證明．③當(dāng)點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用：如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．例7.在正內(nèi)取一點，使，在外取一點，使，且，求.例8.在中，，AD平分，CE平分，AD與CE相交于P，求證：AC=AE+CD例9.如圖1，BD是等腰的角平分線，.〔1〕求證BC=AB+AD；例10．：如圖7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．〔1〕求證：BC＝AE＋BE；〔2〕探究：假設(shè)∠A＝108°，那么BC等于哪兩條線段長的和呢？試證明之．圖7－11練習(xí)：1.〔1〕如圖①，△ABC中，AB=AC，過B點任作射線l，在l上取一點D，使∠ABD=∠ACD，AM⊥BD于M．求證：BM=DM+DC．ABCMD圖②ABCMD圖①〔2〕如圖②，△ABC中，過B點任作射線l，在l上取一點D，使∠ABD=∠ACD，AM⊥ABCMD圖②ABCMD圖①2.如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90,∠A、∠B、∠C的平分線交于點P。(1)求證：AB=CP+BC;(2)假設(shè)∠A、∠B的外角平分線以及∠C的平分線交于點P,(1)中結(jié)論是否仍成立？請畫出圖形，并寫出結(jié)論〔不需要證明〕FEDCABGPFEDFEDCABGPFEDCABGP求證：①PE+PF=CD.②PE–PF=CD.4.，如圖，BD是△ABC的角平分線，AB=AC,〔1〕假設(shè)BC=AB+AD,請你猜測∠A的度數(shù)，并證明；〔2〕假設(shè)BC=BA+CD,求∠A的度數(shù)〔3〕假設(shè)∠A=100°,求證：BC=BD+DA二、借助角平分線造全等例1、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD〔中考應(yīng)用〕30.如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，請說明理由。OOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③②以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例2：如圖23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求證：AB=AC+CD．例3：如圖24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B+∠ECD．例4.等腰直角三角形ABC中，，AB=AC，BD平分，，垂足為點E，求證：BD=2CE〔3〕利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形例5如圖26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于點E．求證：CD=BE．例6.：A