高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)4

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握分類討論必須遵循的原則

2.能夠合理，正確地求解有關(guān)問題

命題分析：

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法，這可以培養(yǎng)學(xué)生思維的條

理性和概括性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.因此分

類討論是歷年數(shù)學(xué)高考的重點與熱點.而且也是高考的一個難點.這次的?？荚囍?，尤其是西城

與海淀都設(shè)置了解答題來考察學(xué)生對分類討論問題的掌握情況.

重點題型分析：

例1.解關(guān)于x的不等式：，+二<5+。2口(aeR)

解:原不等式可分解因式為：(x-a)(x-a?)<0

(下面按兩個根的大小關(guān)系分類)

(1)當(dāng)a>a'na'-a<0即0<a〈l時，不等式的解為xe(a2,a).

(2)當(dāng)aVa'na'-a>。即a〈0或a>l時，不等式的解為:xe(a,a2)

(3)a=a2=>a2-a=0即a=0或a=l時，不等式為x'O或(x-D'o

不等式的解為XS0.

綜上,當(dāng)0<a<l時，xe(a',a)

當(dāng)a<0或a>l時，xe(a,a)

當(dāng)a=0或a=l時，xe0.

評述:抓住分類的轉(zhuǎn)折點，此題分解因式后，之所以不能馬上寫出解集，主要是不知兩根誰

大誰小，那么就按兩個根之間的大小關(guān)系來分類.

例2.解關(guān)于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

解:此題應(yīng)按a是否為0來分類.

(1)當(dāng)a=0時,不等式為DO,解集為R.

(2)a#0時分為a>0與a<0兩類

a>0a>0fa>0

na>l時，方程ax'+2ax+l=0有兩根

Zl>04a2-4a>0[a(a-l)>0

-2a±\4a2-4a-a±yja2-aJa(a-1)

-----------------=--------------=-1±---------

則原不等式的解為(-00,-1-?”伍二1)一)U(-l+8).

aa

a>0a>0[a>0

=><=><=O<Q<1時,

J<04a2-4a<00<〃<l

方程ax2+2ax+l=0沒有實根，此時為開口向上的拋物線，則不等式的解為(-oo,+00).

a>0a>0\a>0

=><=><、=>Q=1時,

4=04a2-4。=0[a=0或〃=1

方程ax2+2ax+l=0只有一根為x=-l,則原不等式的解為(r?,T)U(-1,+oo).

a<0a<0[a<0

=>s=><=〃vO時,

zl>04。2—4。>0。<0或。>1

-2a±-1)y]a(a-1)

2

方程ax+2ax+l=0有兩根，xi2---------------=-1i---------

2aa

此時，拋物線的開口向下的拋物線，故原不等式的解為:

(-1H------------------------------------------)?

aa

a<0[a<0[a<0

(§)<=>5=>5=>tzG(|)

J<0[4a2-4a<0[0<a<l

綜上：

當(dāng)0Wa〈l時，解集為(-oo,+oo).

當(dāng)a>l時，解集為(一叫一1一'T))U(-1+業(yè)僅二D,+8).

aa

當(dāng)a=l時，解集為(-co,-1)U(-1,+oo).

當(dāng)水o時，解集為(―1+”—--1-——-).

aa

例3.解關(guān)于x的不等式ax2-222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

解:原不等式可化為Oax2+(a-2)x-2^0,

(l)a=0時，xW-l,即x￡(-8,—i].

(2)aM時,不等式即為(ax-2)(x+1)20.

2

①a>0時，不等式化為(%——)(x+1)>0,

a

a>0

2

當(dāng)《2，即a〉0時，不等式解為(—oo,—l]U[—,+8).

—>-1a

、a

a>0

當(dāng)〈2，此時a不存在.

-<-1

、a

2

②時，不等式化為(X--)(x+l)<0,

a

a<0

當(dāng)|2，即-2<a<0時，不等式解為[2,—1]

—<-1a

。<0

2

當(dāng)《2，即a<-2時，不等式解為[一1,一].

—>一1a

a<0

當(dāng)|2，即a=-2時，不等式解為x=-l.

一二一1

綜上：

a=0時,x￡(一8,-1).

.2

a>0時，x￡(—oo,-l]U[―,4-co).

a

-2<a<0時，x￡[2,—1].

a

2

a<-2時,x￡[―1,—].

a

a=-2時，x￡{x|x=T}.

評述:通過上面三個例題的分析與解答，可以概括出分類討論問題的基本原則為:

1°：能不分則不分；

2°:若不分則無法確定任何一個結(jié)果；

3°:若分的話，則按誰礙事就分誰.

例4.已知函數(shù)f(x)=cos"x+asinx-a2+2a+5.有最大值2,求實數(shù)a的取值.

a3

I?:f(x)=l-sin2x+asinx-a2+2a+5=—(sinx——)2---a2+2〃+6.

24

令sinx=t,[-1,1].

a->3r

則f(t)=_(f_+2。+6(t￡[—1,1]).

⑴當(dāng)^">1即a>2時，t=L>max=一。3+3。+5=2

初七工口俎3+V^T_|,3—V2T

解方程得：a—-------或a=--------(舍).

22

a32c,八

(2)當(dāng)一時，即-2WaW2時,t=3,'max=--a-+2a+6=2

2f

4

解方程為：。=——或a=4(舍).

3

2

⑶當(dāng)巴<-1即a<-2時，t=T時，ymax=-a+a+5=2

2

即a-a-3=0???〃=生叵，a<-2,:.〃二一】土而全都舍去.

22

綜上，當(dāng)q=3+0T或a時,能使函數(shù)f(x)的最大值為2.

23

例5.設(shè){aj是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S”是其前n項和，證

明.l°g0.5S”+l°go.5S”+2

>SgO.5Sn+\-

22

證明：(1)當(dāng)q=l時，Sn=nai從而Sn-Sn+2-S^+l=nat-(n+2)ai~(n+l)a(=-af<0

（2）當(dāng)qWl時，S“=4（1一?！埃?從而

i-q

（1一4〃）（1-/+2）一〃：（1一/+1）2

S〃,S"+2—S〃+1=2=q"<0，

（I"

由（1）（2）得：S…S,+2<S,"

V函數(shù)y=log￡為單調(diào)遞減函數(shù).二"g°5S"；°g?5S”,2>LOG（）5S“M.

例6.設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

分析：由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應(yīng)分兩種情況求解.

解：（1）當(dāng)雙曲線的焦點在直線y=3時，雙曲線的方程可改為（“一1）2-"一,"2=],一

ab-

條漸近線的斜率為2=2,b=2.e=￡=正三/=叵:=右.

aaa5

（2）當(dāng)雙曲線的焦點在直線x=l時，仿（1）知雙曲線的一條漸近線的斜率為q=2,

b

止匕時e-―—

2

綜上（1）（2）可知，雙曲線的離心率等于行或蟲?.

2

評述:例5,例6,的分類討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例14是

對于含有參數(shù)的問題而對參數(shù)的允許值進行的全面討論.

例7.解關(guān)于x的不等式5、-2<1.

解:原不等式=5，-2<5°

Cl(\—X)1_(1—CI)X+6?-2."八\C

=-------+1<0<=>--------------<0<=>(x-2)[(1-a)x-(2-6Z)]<0

x-2x-2

l-a<0

O⑴1或⑵<2-a或⑶?2,-(2

[(x-2)(l-2)<0(x-2)(x-^-)<0(^-2)(x--)>0

.1-a\-a

由⑴a=l時,x-2>0,即xe（2,+8）.

由(2)a〈l時，~^〉0,下面分為三種情況.

\-a

即a<l時，解為（2,上二■）.

1一〃

、1一。

a<\

a<1

②三=2=>。=0時，解為0.

a=0

.1—。

a<1

a<12-a

③’2-。即0<a<l時，原不等式解為：(--,2).

-----<2Q>01—。

A-a

2—Q

由(3)a>l時,匕’的符號不確定，也分為3種情況.

\-a

a>1

a>\

2=><=>a不存在.

—>2a<0

、1-。

a>1

a>12-a

②,2-a=>當(dāng)a>l時，原不等式的解為：(一8,——-)U(2,+oo).

-----<2a>01一。

、1一〃

綜上：

a=l時,xe(2,+8).

2—

a<l時，xe(2,-)

1-a

a=0時，xe0.

2—a

0<a<1時，xw(-----,2)

\-a

2-ci

a>l時，xG(-00,-----)U(2,+oo).

1-?

評述:對于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個步驟：

1°：明確討論的對象，確定對象的全體；

2°:確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類，不重不漏；

3°:逐步進行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；

4°:歸納總結(jié)，綜合結(jié)記.

課后練習(xí)：

1.解不等式log,(5/-8x+3)>2

2.解不等式|log】x|+|log1(3-x)區(qū)1

23

(IX—5

3.已知關(guān)于x的不等式的解集為M.

x-a

(1)當(dāng)a=4時，求集合M:

(2)若3eM,求實數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線y?=2x,設(shè)點A坐標(biāo)為(a,0),aeR,求曲線上點到點A距離的最小

值d,并寫成d=f(a)的函數(shù)表達式.

參考答案:

133

1.(-,-)U(->+oo)

252

39

2.[?4]

(1)M為(-oo,2)U(*，2)

3.

4

(2)aG(-oo,|)U(9,+oo)

當(dāng)a>1時

4.d=f(a)

當(dāng)a<1時

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對訓(xùn)練

復(fù)習(xí)重點：函數(shù)問題專題，主要幫助學(xué)生整理函數(shù)基本知識，解決函數(shù)問題的基本方法體系,

函數(shù)問題中的易錯點，并提高學(xué)生靈活解決綜合函數(shù)問題的能力。

復(fù)習(xí)難點：樹立數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關(guān)問題。

主要內(nèi)容：

（-）基本問題

1.定義域2.對應(yīng)法則3.值域

4.圖象問題5.單調(diào)性6.奇偶性（對稱性）

7.周期性8.反函數(shù)9.函數(shù)值比大小

10.分段函數(shù)11.函數(shù)方程及不等式

（-）基本問題中的易錯點及基本方法

1.集合與映射

＜1＞認清集合中的代表元素

＜2＞有關(guān)集合運算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應(yīng)注意空集的情形，驗

算端點。

2.關(guān)于定義域

＜1＞復(fù)合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。

＜2＞應(yīng)用問題實際意義。

＜3＞求值域，研究函數(shù)性質(zhì)（周期性，單調(diào)性，奇偶性）時要首先考察定義域。

＜4＞方程，不等式問題先確定定義域。

3.關(guān)于對應(yīng)法則

注：＜1＞分段函數(shù)，不同區(qū)間上對應(yīng)法則不同

＜2＞聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)求解析式

4.值域問題

基本方法：＜1＞化為基本函數(shù)——換元（新元范圍）?；癁槎魏瘮?shù)，三角函數(shù)，……并結(jié)合

函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求值域。

<2>均值不等式：——形如和，積，及/(x)=±X+2h形式。注意識別及應(yīng)用條件。

ax

<3>幾何背景：——解析幾何如斜率，曲線間位置關(guān)系等等。

易錯點：<1>考察定義域

〈2〉均值不等式使用條件

5.函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性。

關(guān)注問題：判定時，先考察定義域。

<2>用定義證明單調(diào)性時，最好是證哪個區(qū)間上的單調(diào)性，在哪個區(qū)間上任取xi及X2。

<3>求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間及定義域，有時需分類討論。

<4>由周期性及奇偶性(對稱性)求函數(shù)解析式。

<5>“奇偶性”+“關(guān)于直線x=k”對稱，求出函數(shù)周期。

6.比大小問題

基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“T”等為分界點。

<2>搭橋<3>結(jié)合單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合

<4>比差、比商<5>利用函數(shù)圖象的凸凹性。

7.函數(shù)的圖象

<1>基本函數(shù)圖象

<2>圖象變換①平移②對稱(取絕對值)③放縮

易錯點：復(fù)合變換時，有兩種變換順序不能交換。如下：

<1>取絕對值(對稱)與平移

例：由y=J7圖象，經(jīng)過如何變換可得下列函數(shù)圖象？

<1>y=<2〉y=山-1|

分析：<1>y=Vx—xf1>y=Jx-l

平移

<2>y=4x—>y=7M—X^X1>y=yJ\x-\\.

對稱

評述：要由y=JI得至Uy=x|—1只能按上述順序變換,兩順序不能交換。

〈11>平移與關(guān)于y=X對稱變換

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=F(x+3)是否相同?

分析：①丫二f(x)>y=f(x+3)/？;2"(x+3)的反函數(shù)。

公rz、(x,y)^(y,x)/一1/、xfx+3-i“、

②y=f(x)>y=f(x)---------->r/，。z+3).

對稱平移

???兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(也可以用具體函數(shù)去驗證。)

(三)本周例題：

X

例1.判斷函數(shù)/(x)=a+fgx"g]>sinx的奇偶性及周期性。

XW2攵兀+7C

分析：＜1＞定義域：《

.71

XW攵兀+一

2

???f(x)定義域關(guān)于原點對稱，如圖：

T~7"/、八1—COSX..

又/(x)=(1+tgx---：----)sinx=tgx-27i-7i0Ji2nx

，f(-x)=-f(x),

???f(x)周期兀的奇函數(shù)。

評述：研究性質(zhì)時關(guān)注定義域。

例2.＜1＞設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+3)=-——,又當(dāng)xd[-3,-2]時，f(x)=2x,

/(x)

求f(113.5)的值。

＜2＞已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)xG(0,1)時，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)上的

解析式。

解：＜1＞V/(x+3)=---------

/(x)

/(x+6)=--------------=/(%),f(x)周期T=6,

/(x+3)

/.f(113.5)=f(6x19-0.5)=f(-0.5).

當(dāng)xG(-1,0)時,x+3e(2,3).

VxG⑵3)時,f(x)=f(-x)=2x.

f(x+3)=-2(x+3).

/(x+3)-2(x+3)

11

??J\/[?

2x(—；+3)5

<2>(法1)(從解析式入手)

xC(1,2),則-xG(-2,T),

2-xC(0,1),,?T=2.

Vf(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+l=3-x.

f(x)=3-x,x€(1,2).

小結(jié)：由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。

(法2)(圖象)y個

f(x)=f(x+2)

如圖：x6(0,1),f(x)=x+l.弋卜、

x€(-1,0)-f(x)=-x+l.丫、

xG(1,2)—f(x)(x-2)+l=3-x.-i0~r-2

注：從圖象入手也可解決，且較直觀。

例3.<1>若xG(1,2)時，不等式(xT)'<log.x恒成立，求a的取值范圍。

<2>已知二次函數(shù)f(x)=x，ax+5對任意t都有f(t)=f(-4-t),且在閉區(qū)間Z[m,0]上有最大

值5,最小值1,求m的取值范圍。

2

分析：<1>設(shè)yi=(x-1),y2=logax

x€(1,2),BPXG(1,2)時，曲線yi在y?的下方，如圖:

a=2時，xG(1,2)也成立，Aae(1,2],

小結(jié)：①數(shù)形結(jié)合②變化的觀點

③注意邊界點，a=2,x取不到2,.?.仍成立。

<2>Vf(t)=f(-4-t),f(-2+t)=f(-2-t)

f(x)圖象關(guān)于x=-2對稱，a=4,f(X)=X2+4X+5.

f(X)=(X+2)2+1,動區(qū)間：[m,0],

xe[m,0],[f(x)]?x=5,[f(x)]?,in=l,

mG[-4,0].

小結(jié)：函數(shù)問題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，并應(yīng)用運動變化的觀

點研究問題。如二次函數(shù)問題中常見問題,定函數(shù)動區(qū)間及動函數(shù)和定區(qū)間，

但兩類問題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而二次函數(shù)的單

調(diào)性研究關(guān)鍵在于其圖象對稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決一類動

直線定曲線相關(guān)問題。

X—5

例4.已知函數(shù)/(x)=loga上」，(a>0且aW1).

X4-5

(I)判定f(x)在X0(-8,一5)上的單調(diào)性，并證明。

(H)設(shè)g(x)=l+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有實根，求a的取值范圍。

分析：(I)任取x〈X2〈-5,

則：/(xJ-)=log“—log。=log。卜—乎

2+5x24-5(x}+5)(X2-5)

(x15)(X2+5)-(xi+5)(X2-5)=1O(X1-X2)<0

又(xi-5)(X2+5)>0且(xi+5)&-5)>0

0<a5)(4+5)<]

(jj+5)(X2-5)

/.當(dāng)a>l時，f(xi)-f(x2)<0,/.f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<水1時,f(x1)-f(X2)>0,???f(x)單調(diào)遞減。

(II)若f(x)=g(x)有實根，即：log“金=l+log〃(x—3)。

x+5

5x+5=>x>5.

x-3>0

X—5

???即方程：——=。(工一3)有大于5的實根。

x+5

(x-5)

(法1)a=-----------------(:x>5)

(x—3)(x+5)(x—5+2)(x—5+10)

x—5________!________<13-V5

(x-5)2+12(x-5)+20(x—5)+-^-+1212+2而16

(x-5)

x—5

(法2)(實根分布)土上=-3)⑴有大于5的實根,

x+5

方程(1)化為：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.

a>0,/.A=64a-24a+l>0.

Zl>5

①有一根大于5<=>(D.

/(5)<0+

zl>0r

/(5)>0nae(0,^^].

②兩根均大于

16

1-24

------->5

、2a

小結(jié)：實根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問題。用此數(shù)形結(jié)合方法解決問題

時，具體步驟為：①二次函數(shù)圖象開口方向。②圖象對稱軸的位置。③圖象與x軸交點。④端點

函數(shù)值的符號。此題(2)中，也可以用韋達定理解決。

小結(jié)：

函數(shù)部分是高考考察重點內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)對其予以充分的重視，并配備必要例題，理順基本

方法體系。

練習(xí)：

已知f(x)是定義在[T,1]上的奇函數(shù)，且f(l)=l,若m,nG[-1,1],m+nrO時，有

/(m)+/(n)、八

>UO

m+n

<1>用定義證明f(x)在[T,1]上是增函數(shù)。

<2>若f(x)Wt2-2at+l對所有x￡[T,l],[-1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

(2)111N2或t=0.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對訓(xùn)練

授課內(nèi)容：復(fù)習(xí)排列與組合

考試內(nèi)容：兩個原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。

考試要求：1)掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析和解決些簡單的問題。

2)理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式，并能用它們解決

一些簡單的問題。

試題安排：?般情況下，排列組合為--道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應(yīng)用題。有時還另有

一道排列、組合與其他內(nèi)容的綜合題(大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合)。

重點：兩個原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。

難點：不重不漏。

知識要點及典型例題分析：

1.加法原理和乘法原理

兩個原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與組合

的應(yīng)用問題的基本原則和依據(jù)；完成?件事共有多少種不同方法，這是兩個原理所要回答的共同

問題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和需要分幾個步驟。

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6木不同的英語書。

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

解：(1)由于從書架上任取本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書，則分為

3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。

(2)由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成3個步驟完成，據(jù)

乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3X5X6=90(種)。

(3)由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況(數(shù)語各1本，數(shù)英各1

本，語英各1本)而在每一類情況中又需分2個步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個原理計

算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X5+3X6+5X6=63(種)。

例2.已知兩個集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},從A到B建立映射，問可建立多少個不同

的映射？

分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對A中的每一個元素，在B中

都有唯一的元素與之對應(yīng)」

因A中有3個元素，則必須將這3個元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分

3個步驟，當(dāng)這三個步驟全進行完，一個映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)

目為：5X5X5=53(種)。

2.排列數(shù)與組合數(shù)的兩個公式

排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計算；二是

階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。

連乘積的形式階乘形式

n!

Pn■二n(n-1)(n-2)(n-m+1)二-------

(n-m)!

「-])(〃-2)........(〃一m+1)_n!

Cn-

m(m-1)........3-2-1m!(九一機)！

例3.求證：Pj+mPTW

證明：左邊二十一——--

(〃一m)!(〃一加+1)!

_(n-m+l)n!+m?n!

(n-m+1)!

(n+l)!

[(n+l)-m]!

=p2=右邊

/.等式成立。

評述：這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)。

n!(n+l)=(n+l)!.可使變形過程得以簡化。

例4.解方程段+]=140P：.

解：原方程可化為：

2x+l>4

x>3

=<

xeN

(2x+l)2x(2x-l)(2x-2)=140x(x—l)(x—2)

x>3

o<xeN

(2x+l)(2x-l)=35(x-2)

x>3

o<xGN解得x=3.

4x2-35x+69=0

評述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號時，要注意把

排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫

在脫掉符號之前。

3.排列與組合的應(yīng)用題

歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條

件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的而解

決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。

一般方法有：直接法和間接法

(1)在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若

問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。

(2)間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡單明了，據(jù)AuX=I且ACN=0的原理，采用排

除的方法來獲得問題的解決。

特殊方法：

(1)特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。

(2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外

分別排列。

(3)插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實位，

在空位上進行排列。

（4）其它方法。

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

（1）甲排中間；（2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰；

（4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（5）甲，乙，丙連排；

（6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有:

IX46=720種不同排法。

（2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個位置上任何一個

位置則有8種，其余6人可任意排列有"種，故共有H?4=3600種不同排法。

（3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個“元素”，連同其余5人共6個

元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有尸22、1400種不同的排法。

（4）甲在乙的左邊。考慮在7人排成一行形成的所有排列可中：“甲在乙左邊”與“甲

在乙右邊”的排法是一一對應(yīng)的，在不要求相鄰時，各占所有排列的泮，故甲在乙的左邊的不

同排法共有g(shù)片=2520種。

（5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、

乙、丙合為一個“元素”，連同其余4人共5個“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，

故共有「5$?=720種不同排法。

（6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，

先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空”。再將甲、乙、丙插

入其中的三個“空”，故共有尸：?片=1440種不同的排法。

例6.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個

數(shù)：

（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；

（4）不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

解：（1）奇數(shù)：要得到一個5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個位必須是奇數(shù)，從1,3,

5中選出一個數(shù)排列個位的位置上有尸；種；第二步考慮首位不能是0,從余下的不是0的4個數(shù)

字中任選一個排在首位上有8種；第三步：從余下的4個數(shù)字中任選3個排在中間的3個

數(shù)的位置上，由乘法原理共有8P：丐=388（個）。

（2）5的倍數(shù)：按0作不作個位來分類

第一類：0作個位，則有乙4=120。

第二類：0不作個位即5作個位，則￡q=96。

則共有這樣的數(shù)為：+印=216（個）。

（3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類：

第一類：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3g1個；

第二類：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的4P：個；

第三類：203xx,204xx,205xx,有,3#個，因此，比20300大的五位數(shù)共有：

3用+4丹+3舄2=474（個）。

（4）不含數(shù)字0且1,2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3,4,5三個數(shù)字排成一

行；第二步將1和2插入四個“空”中的兩個位置，故共有四?廳=72個不含數(shù)字0,且1和2

不相鄰的五位數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點A”Az,Ai,As,A6,圓上四點B“B2,B3,B1,任兩點

連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

解：所得直線最多時，即為任意三點都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上各取

一點連線的直線條數(shù)為=24；第二類為圓上任取兩點所得的直線條數(shù)為=6；第三類為已

知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為N尸屐++1=31（條）.

所得直線最少時，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字數(shù)較為方便，而重合的直

線即是由圓上取兩點連成的直線，排除重復(fù)，便是直線最少條數(shù)：

N2=N,-2C4=31-12=19（條）。

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對訓(xùn)練

內(nèi)容：三角函數(shù)的定義與三角變換

重點：任意角的三角函數(shù)定義

難點：三角變換公式的應(yīng)用

內(nèi)容安排說明及分析：

本部分內(nèi)容分為兩大塊，一塊是三角的基礎(chǔ)與預(yù)備知識，另一塊是三角變換公式及其應(yīng)用。

把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質(zhì)之前來復(fù)習(xí)，其目的是突出“工具提前”的原則。即眾

多的三角變換公式是解決三角學(xué)中一系列典型問題的工具，也是進一步研究三角函數(shù)的圖象和性

質(zhì)的重要工具。

由于本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性與工具性，這是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年的高考

試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時也有解答題，難度多為容易題

與中等題。

知識要點及典型例題分析：

一、三角函數(shù)的定義

1.角的概念

(1)角的定義及正角，負角與零角

(2)象限角與軸上角的表達

(3)終邊相同的角

(4)角度制

(5)弧度制

2.任意角的三角函數(shù)定義

任意角的6個三角函數(shù)定義的本質(zhì)是給角這個幾何量以代數(shù)表達。借助直角坐標(biāo)系這個工具,

把角放進直角坐標(biāo)系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：

(1)三角函數(shù)的定義域

(2)三角函數(shù)值在四個象限中的符號

(3)同角三角函數(shù)的關(guān)系

(4)單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質(zhì)與公式以及解決

三角函數(shù)問題中的作用。

3.誘導(dǎo)公式

總共9組共36個公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號看象限”，并弄清口決中的字詞含義,

并根據(jù)結(jié)構(gòu)總結(jié)使用功能。

“奇變”是指所涉及的軸上角為主的奇數(shù)倍時(包括4組：-±a,—±a)函數(shù)名稱變?yōu)?/p>

222

原來函數(shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當(dāng)需要改變函數(shù)名稱時，比如：由于“和差化積”公式都

是同名函數(shù)的和差。使用時，對于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復(fù)數(shù)化三角形式，有時

也需要改變函數(shù)名稱，如：sina-icosa=cos(——+a)+isin(——+a)。

22

“偶不變”是指所涉及的軸上角為JT土的偶數(shù)倍時(包括5組：2k7r+a,兀土a,2n-a,-a),函

2

數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡及某些證明問題。

二、典型例題分析：

TTTT

例1.(1)已知-'〈a郃〈,，求a+B與a-p的范圍。

(2)已知a的終邊在第二象限，確定兀-a所在象限。

njr

解：⑴V—<a<p<-,；.F〈a+B〈兀，-n<a-p<0.

（2）有兩種思路：其一是先把a的終邊關(guān)于x軸對稱放到-a的終邊（在第三象限），再將-a

的終邊按逆時方向旋轉(zhuǎn)兀放到ka的終邊即-a的終邊的反向延長線，此時兀-a的終邊也在第二象

限。

思路2：是先把a的終邊（第二象限）按順時針方向旋轉(zhuǎn)兀，得到a+（F）（第四象限），再將

它關(guān)于x軸對稱得到-（aF）=7t-a的終邊，此時也在第一象限。

例2.若A=小卜="，keZ},B={x|x=—+—,keZ},則AB。

424

解：由B中的x=^+^=絲業(yè)可視為三的奇數(shù)倍所構(gòu)成的集合。

2444

而A中的x=包是乙的所有奇數(shù)倍，因此AnB。

44

例3.設(shè)0<0<2兀，問59與角0終邊相同，求0。

k冗

解：由已知50=2k7T+0,k€Z,有。二——，

2

3

O<0<2TT,???k=l時，。=一；k=2時，。=兀；k=3時，。=一.

_______22

例4.若『一cos";ctg^csce,求。取值范圍。

V1+COS0

解：先看?看右邊=/8045（；0=您2--!—=整'士，這樣就決定了左邊的變形方向。

sin0sin0sin0

11-cos0_l（l-cosff）2]（1-cos6）2

V1+cosv1-cos20Vsin20，

../（I-cos，）？cos0-1.[cos0-l>0[cos^=l

.J-------^—二———,??〈.八=1.八n8無解,

Vsin20sin。[sm^>0[sin^>0

???不存在這樣的0使所給等式成立。

例5.已知$行（兀-01）-（205（兀+（1）二^^,—<a<7i.

求：(1)sina-cosa的值(2)sin'(2+a)+cos*(2+a)的值

22

2

解：(1)由已知，得sina+cosa=——，平方得：l+2sinacosa=—,

39

..7

..zQsmacosa=-—,

9

/—<a<K,

2

sina-cosa=yj(sma-cosa)2=Jl-2sinacosa-g

(2)sin3(—+a)+cos3(—+a)=cosa-sin'a

22

=(cosa-sina)(cos2a+sinacosa+sinJa)

，(J)

318

——_2_2

27,

例6.已知s