北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊解答題訓(xùn)練50題含答案

北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊解答題專題訓(xùn)練50題含答案

1.如圖，在AABC中，AB=AC=10cm,BD_LAC于點(diǎn)D,且BD=8cm.點(diǎn)M從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/秒；同時直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方

向勻速運(yùn)動，速度為1cm/秒，運(yùn)動過程中始終保持PQ〃AC,直線PQ交AB于點(diǎn)P、

交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F.連接PM,設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0<t<5）.

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為y（cm?）,求丫與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（1）當(dāng)1=10?$時，四邊形PQCM是平行四邊形；（2）y=2|t2-8t+40.

【詳解】試題分析：（1）假設(shè)PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊

平行，進(jìn)而得到AP=AM,列出關(guān)于f的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；

（2）根據(jù)PQ//AC,可得△「"?-△ABC,根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知VBPQ

也為等腰三角形，即BP=PQ=f，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含r的

代數(shù)式就可以表示出BF,進(jìn)而得到梯形的高PE=DF=8-t,又點(diǎn)、M的運(yùn)動速度和時間

可知點(diǎn)M走過的路程AM=2。所以梯形的下底CM=10-最后根據(jù)梯形的面積公

式即可得到與f的關(guān)系式；

試題解析：（1）假設(shè)四邊形PQCM是平行四邊形，則PM//QC,

：.AP:AB=AM:AC,

'：AB=AC,

：.AP=AM,即10-片23

解得：，=岑，

.?.當(dāng)/=/時，四邊形PQCM是平行四邊形;

(2)VPQ!/AC,

...△PBQS/UBC,

.../\PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t,

.BFBPBF_t

?.-------,即m....---,

BDBA810

4

解得：BF=m，

4

:.FD=BD-BF=8一一3

5

又,/MC=AC-AM=10-2r,

y=；（PQ+MC>=+10-2r）（8-[f）=|/一8f+40.

52.某商場為緩解我市“停車難”問題，擬建造地下停車庫，如圖是該地下停車庫坡道入

口的設(shè)計(jì)示意圖.其中，AB±BD.ZBAD=18°,C在BD上，BC=0.5m.車庫坡道

入口上方要張貼限高標(biāo)志.以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)?為標(biāo)明限高，請你

根據(jù)該圖計(jì)算CE的長度（即點(diǎn)C到AD的距離）.（參考數(shù)據(jù):sinl8%0.31,cosl8%0.95,

tanl8°=0.33）（結(jié)果精確到0.1m）

【答案】2.3米

【分析】在RtAABD中，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出BD,進(jìn)而求出CD,再在

RtACDE中求出CE即可.

【詳解】解：在RSABD中，ZABD=90°,ZBAD=18°,AB=9,

BD=tan18°xAB=0.33x9=2.97米，

VZDCE+ZADB=90°,ZBAD+ZADB=90°,

；./DCE=/BAD=18°,

在RtACDE中，ZCED=90°,ZDCE=18°,CD=BD-BC=2.97-0.5=2.47（米），

.,.CE=cosl80xCD=0.95x2.47~2.3（米）.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提，構(gòu)造

直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

53.計(jì)算：

（1）2sin30°+tan300-cos30°

（2）7（l-tan6O0）2+（2-cos45°）°--

3

【答案】⑴5

Q)6-五

【分析】(1)將sin3(T=4，8$30°=@,121130。=更代入，再計(jì)算乘法與加法；

(2)將tan60。=6，sin45=1,cos45=[代入，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)病=同，

非0數(shù)的0指數(shù)基等于1,乘積等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù)化簡，最后有理數(shù)無理數(shù)分別

合并.

【詳解】(1)2sin30°+tan300-cos30°

=3

=5；

⑵J(「tan60°)2+(2-cos45°)°—焉

=^FW+[2-T]W

T

=>/3-l+l-x/2

=A/3—>/2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的銳角三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算.解決問題的關(guān)鍵是熟練

掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的順序，二次根式的性質(zhì)，0指數(shù)幕定義，

倒數(shù)的定義.

54.如圖①，將“歡迎光臨”門掛便斜放置時，測得掛繩的一段4c=30c%另一段8c=20

cm.已知兩個固定扣之間的距離AB=30cm

(1)求點(diǎn)C到A8的距離；

(2)如圖②，將該門掛扶“正”(即AC=BC),求NC4B的度數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sin49°?0.75,

4

cos41°?0.75,tan37°?0.75,cos530?0.6,tan53°?-)

3

B

B

［歡迎光臨

①②

【答案】（1）y40>/r2~；（2）53°

【分析】（1）過點(diǎn)C作CH_LAB于點(diǎn)”，設(shè)8H=x,則AH=30-x.根據(jù)勾股定理列式計(jì)

算可得x的值，進(jìn)而可得C”的值；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AH的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出NC48的度

數(shù).

【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CH_LA8于點(diǎn)如圖.

C

設(shè)B〃=x,則A//=30-x.

CH1AB,AC=30,8c=20,

?*-CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,

即302-（30-X）2=202-X2,

解得工=2三0，

CH=>JBC2-BH2=/02_（引號&?

（2）由已知，得AC=8C=25.

C

VAC=BC,CHA.AB,

：.AH=-AB=l5,

2

Al-1

???cosZBAC=——=0.6,

AC

，ZBAC?53°.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握

解直角三角形的方法.

55.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/WC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)(-2,~4),點(diǎn)3

的坐標(biāo)為(0,-4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為

⑴請畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△Agq；

⑵請畫出ABC繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△&B2G；

(3)試求問題(2)中A在運(yùn)動過程中經(jīng)過的路徑的長度.

【答案】(1)圖形見解析；

(2)圖形見解析；

G)亞兀.

【分析】(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)分別作出4、司、G，依次連接即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出&、生、依次連接即可；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角為90。，再利用勾股定理求出OA=2百，最后利用弧

長公式即可得到答案.

【詳解】(1)解：A(—2,-4)、8(0,-4)、關(guān)于原點(diǎn)。對稱點(diǎn)分別為A、及、

G，

.14(2,4)、4(0,4)、

依次連接A、用、c,,得到△A&G即為所求，如下圖；

(2)解：A(-2,-4)、8(0,-4)、C(L-l)繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后對應(yīng)點(diǎn)分別為4、

B^、C2,

二4(-4,2)、鳥(-4,0)、C2(-l,-l),

依次連接為、B2、C2,得到即為所求，如下圖:

（3）解：.一ABC繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△&&G,

ZAOA,=90°

A（—2,—4）、B（0,—4）,

..AB=2,OB=4,

:.OA=siAB2+OB2=V22+42=2行，

點(diǎn)A在運(yùn)動過程中經(jīng)過的路徑A4的長度=9。：；；石=亞兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱變換，弧長公式，勾股定理等知識，熟

練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

56.尺規(guī)作圖，不需要寫作圖方法，保留作圖痕跡，如圖，若線段CO=acm,AB=bcm.

AI--------------------------1BC?-------------------1D

（1）根據(jù)下列要求畫圖，到點(diǎn)A,點(diǎn)8的距離都不大于acm的所有點(diǎn)組成的圖形（用陰

影表示）.

（2）若線段CQ=3cm,AB=3gcm,求出滿足（1）條件所得圖形的面積.

【答案】（1）見解析:

⑵s陰影=（3萬-2

【分析】（1）分別以點(diǎn)A、8為圓心，CD為半徑畫圓，兩圓的公共部分滿足條件；

（2）連接AM、AN,BM、BN,MN,AB與MN相交于點(diǎn)E,如圖，先證明四邊形AMBN

為菱形，則根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN_LAB,AE=BE=^-,再計(jì)算出MN=3得AAMN

2

為等邊三角形，所以NK4N=60。，根據(jù)扇形的面積公式和菱形的面積公式，利用S股影

部分=2S扇形MAN-S菱/AMBN進(jìn)行計(jì)算.

(1)

解：如圖，陰影部分為所作；

(2)

解：連接AM、AN,BM、BN,MN,AB與MN相交于點(diǎn)E,如圖，

則AM=BM=BN=AN=3cm,

???四邊形AM3N為菱形，

:.MNLAB,AE=BE=^AB=迪，

22

在RtAAME中，ME=yjAM2-AE2=^32-(^^)2=y，

:.MN=2ME=3,

：.AM=AN^MN,

...△AMN為等邊三角形，

NMAN=60。,

:?S陰影部分=2S扇形MAN-S差形AMBN=2x陋工-；x3x36=巫)cm2.

360乙2

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；

作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知

直線的垂線)是解決問題的關(guān)鍵.也考查了菱形的判定與性質(zhì)和扇形的面積公式.

57.如圖，A8是的弦，OELAB交。于點(diǎn)E,點(diǎn)C是弦45下方】。上一點(diǎn)，連

接CE與A8交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是A8延長線上一點(diǎn)，且PC=P尸，連接。8、BC.

(1)求證：PC是:O的切線；

(2)若NOBC=45°,BC=30，BP=5,求BF的長.

【答案】(1)見解析；(2)BF=2

【分析】(1)要證PC是＜O的切線，連接OC,即證OC_LCP,即證NOCE+2FCP=90°,

通過OEYAB可得Z￡+ZAF￡=90°,通過PC=PF結(jié)合等邊對等角即可得證；

(2)要求8尸的長，8P的長已知，即求PF的長，進(jìn)而需求CP的長，過點(diǎn)B作BGJLPC

于點(diǎn)G,由CP=CG+PG且PG、8尸在同一直角三角形中，可知需求8G的長，易證

四邊形OCGB是正方形，即可得解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC

■:OELAB

：.ZE+ZEFA=90°

'：OE=OC

：.ZE=NOCE

"：PC=PF

：.NCFP=NFCP

又：NCFP=NEFA

：.4FCP=NEFA

：.NOCE+AFCP=ZE+ZEFA=90°,即Z.OCP=90°

*/OC是；O的半徑

???PC是O的切線；

(2)如圖，過點(diǎn)B作3GLPC于點(diǎn)G

VZOBC=45°,OC=OB

NOCB=NOBC=45°,ZCOB=90°

AOBC是等腰直角三角形

VOB=OC,BC=3近，OB2+OC2=BC2

：.OB=3

VBGA.PC,NOCP=90°

，四邊形O8GC是正方形

:.OB=CG=BG=3

在RMPG中，由勾股定理得PG=dBP-BG?=代-32=4

,?PF=PC=PG+CG=4+3=7

BF=PF-BP=l-5=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等

知識點(diǎn)，較難的是題(2),通過作輔助線，構(gòu)造一個正方形是解題關(guān)鍵.

58.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=3時，y有最小值-4,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,12).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)該拋物線交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,在拋物線對稱軸上

有一動點(diǎn)P,求PA+PC的最小值，并求當(dāng)PA+PC取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=x2-6x+5；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)時，PA+PC取最小值，最小

值為5丘.

【分析】(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)將二次函數(shù)的解析式設(shè)成y=a(x-3)2-4,由該函數(shù)圖象上一

點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由二次函數(shù)圖象的

對稱性可得出連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時PA+PC取最小值，最小值為BC,

根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式及線段BC的長度，再利用一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解.

【詳解】(1):當(dāng)x=3時，y有最小值4,

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-3)2-4.

???二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,12),

12=16a-4,

??a=1,

,二次函數(shù)的解析式為y=(x-3)2-4=X2-6X+5.

(2)當(dāng)y=0時,<x2-6x+5=0,

解得：Xj=l,X2=5,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)；

當(dāng)x=0時,y=x2-6x+5=5,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,5）.

連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時PA+PC取最小值，最小值為BC,如圖所示.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m/0),

將B(5,0)、C(0,5)代入y=mx+n,得:

5m4-〃=0m=-l

，解得:

n=5n—5

???直線BC的解析式為y=-x+5.

VB（5,0）、C（0,5）,

；.BC=5近.

,當(dāng)x=3時,y=-x+5=2,

二當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,2）時，PA+PC取最小值，最小值為5近.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及軸對稱中最短路線問題，解

題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)

之間線段最短結(jié)合二次函數(shù)的對稱性找出點(diǎn)P的位置.

59.如圖，在AABC的邊上取一點(diǎn)。，以。為圓心，OC為半徑畫O,。與邊AC

相切于點(diǎn)C,連接04,平分NC4B.

⑴求證：AB是：。的切線；

4

⑵若AB=10,tanB=p求。的半徑.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）連接0￡>,由切線的性質(zhì)可得42X9=90。，由“A4S”可證MCO=

可得OC=OD,由切線的判定可得結(jié)論；

（2）由銳角三角函數(shù)可設(shè)AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求BC=6,再由勾股定

理可求解.

（1）

過點(diǎn)。作。。，回于點(diǎn)。，

ADB

則/4。(9=90。，

。與邊AC相切于點(diǎn)C,

.-.OC±AC,B|JZACO=90°,

QA平分/C4B,

:.ZCAO=ZDAO,

ZCAO=ZDAO,ZACO=ZADO=90°,OA=OA,

:.MCO=^ADO(AAS),

:.OC=OD,

oc是半徑，

..8是半徑，

又ODLAB,

是。的切線；

Q)

在RtAACB中，ABAC=90°,

04AC

tanB=—=,

3BC

.,.設(shè)AC=4x,BC=3x,

AC2+BC2=AB2,

.?.16X2+9X2=100,

解得玉=2,x2=-2（舍去）,

:.BC=6,AC=8,

由（1）得AACO二AADO,

/.AC=A￡>=8,

AB=10,

，BD=AB-AD=2,

設(shè)l。的半徑為，,，則OC=8=r,

在R3ODB中，/ODB=90°,

OB2=OD2+BD2,

（6-r）2=r2+4,

解得rg

Q

所以。的半徑為‘

【點(diǎn)睛】本題是考查了切線的判定和性質(zhì)，正切，勾股定理，熟記切線的判定定理及銳

角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

60.已知拋物線y=ox?-2奴-3+2/（”片0）.

（1）求這條拋物線的對稱軸；

（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)尸（加,乂），。（3,%）在拋物線上，若,<%，求m的取值范圍.

33

【答案1（1）x=1；（2）'=5尸一3》+］或丫=—x~+2x—1；（3）當(dāng)a>0時，—1<機(jī)<3；

當(dāng)a<0時，/"<-1或M>3.

【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到對稱軸；

（2）根據(jù)（1）中的頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)等于0,解一元二次方程，

即可得到”的值，進(jìn)而得到其解析式；

（3）根據(jù)拋物線的對稱性求得點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，即可得到加的取值范圍.

【詳解】（1）"""y=ax2-2ax-3+2a2,

y=iz（x-l）2-a-3+2/,

其對稱軸為：x=l.

（2）由（1）知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,2/-a-3）,

???拋物線頂點(diǎn)在x軸上，

工2a2—〃-3=0,

解得：a=3或4=_1，

333

當(dāng)°=彳時，其解析式為：y=-x2-3x+^,

當(dāng)a=-l時，其解析式為：y=-x2+2x-l,

綜上，二次函數(shù)解析式為：、=彳丁-3》+2或丫=-/+2萬一1.

(3)由(1)知，拋物線的對稱軸為x=l,

。(3,%)關(guān)于》=1的對稱點(diǎn)為(-1,%)，

當(dāng)a>0時，若M<必，

則

當(dāng)a<0時，若y<%，

則m<-l或m>3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸，解析式的計(jì)算，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求

不等式的取值范圍，熟知相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

61.計(jì)算：

(1)73cos30°+V2sin45°;

(2)6tan2300-6sin600-2sin45°.

【答案】(1)；；(2)——A/2.

【分析】直接代入特殊角度的三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：(1)原式=6x2+值昱="

222

(2)原式=6x；--2X2E=1-5/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了含有特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解

題關(guān)鍵.

62.如圖1,AB是。。的直徑，AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段AC,連接8c交。O于

點(diǎn)。，過。作。EL4C于E.

(1)求證：DE是。0的切線；

(2)過。作_LA8,交。。于點(diǎn)尸，直線4C交。。于點(diǎn)G,連接FG,DG,BF.

①如圖2,證明：FG//BD；

②當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，在5F上取一點(diǎn)”，使得￡>”=￡>￡BF±DG,證明:

D,O,//在同一條直線上.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析②見解析

【分析】(1)如圖1,連接O。、AD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可證得AABC是等腰三角形，根據(jù)直徑

所對的圓周角是直角可得出AOLBC,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得。。〃AC,進(jìn)而推

出再運(yùn)用切線的判定定理即可：

⑵①如圖2,連接BG、AD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得出ADLBC,再運(yùn)用

弦、弧、圓周角的關(guān)系即可證得結(jié)論；

②如圖3,連接。。，運(yùn)用圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理證明/BOO,即可

證得結(jié)論.

(1)

證明：如圖1,連接0￡>、AD,

?：AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段AC,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形，

「AB是。。的直徑，

/.ZADB=90°,BPADIBC,

且AO=BO,

二。。是△ABC的中位線,

：.OD//AC,

VD￡±AC,

:.ODLDE,

???OE是。。的切線;

圖1

(2)

)①證明：如圖2,連接BG、AD,

〈AB是。。的直徑，

.??N8GA=NBDA=90。，

工ADLBC,

?.?AB=AC,

:?BD=DC,

：.BD=GD,

,,BD=GD?

VDF1AB,

?,BD=BF，

:.GD=BF，

AZ1=Z2,

:.FG//BD；

②證明：如圖3,連接0。，

?：DF±AB,A3是。。的直徑，

：?AD=AF，

AZ3=Z4=Z5,

,.?A8=AC

AZ3=ZC,

AZ5=ZC,

???FG//DB,

:，BG=DF，

:?/DBF=NBDG,

VBF1DG,

???ZDBF=NBDG=45。,BD=BF，

：.Z3=Z4="ZDBF=22.5°,

2

.*.Z7=90°-Z4=67.5°,

■:DF=DH,

AZ6=Z7=67.5°,

???ZBDH=Z6-ZDBF=22.5°,

?：0B=0D,

：.Z3=ZBDO=22.5°,

???ZBDH=ZBDO,

???D,0,H在同一條直線上.

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查圓和三角形的綜合應(yīng)用.熟練掌握切線的判定方法，圓周角定理，以

及三角形的中位線定理和三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

63.已知：如圖，內(nèi)切于aABC,ZBOC=105°,ZACB=90°,AB=20cm.求BC、

AC的長.

B

---------------

【答案】BC、AC的長分別是10cm、1055cm.

【分析】先根據(jù)O內(nèi)切于△ABC,得出/ABONCBO,ZBCO=ZACO,再根據(jù)

ZACB=90°,得出NBCO=45。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NOBC的度數(shù)，從而求

出NABC和NA的度數(shù)，即可求出BC的長，再根據(jù)勾股定理即可求出AC.

【詳解】解：團(tuán)圓。內(nèi)切于團(tuán)ABC,

團(tuán)團(tuán)AB。二團(tuán)CBO,團(tuán)BCO二團(tuán)ACO,

fflACB=90°,

0l?]BCO=-x9Oo=45o,

2

00BOC=1O5O,

盟CBO=180°-45°-105°=30°,

00ABC=20CBO=6O°,

fflA=30°,

11

團(tuán)BC=—AB=-x20=10cm,

22

回AC=QAB。_BC?=7202-102=10>/3

團(tuán)BC、AC的長分別是10cm、10石cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形

的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

64.如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AB=8cm,cosZ/A￡?C=|.點(diǎn)。在邊AC上，且C￡)=

7

二cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)即停

止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(s).解答下列問題：

(1)“、N分別是OP、BP的中點(diǎn)，連接MN.

①分別求BC、MN的值；

②求在點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中線段MN所掃過區(qū)域的面積；

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t,使8。平分NCDP?若存在，求出t的值；

若不存在，請說明理由.

啃

3

【分析】(1)①根據(jù)A8=8和cosZA8C=m可求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出8。的

長，然后根據(jù)三角形中位線定理即可求解；

②由于。點(diǎn)不動，所以8。的長不變，從而可得MN的長不變，由此可知掃過的區(qū)域?yàn)?/p>

平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求面積即可得；

(2)過。作于"，過點(diǎn)8作3E_LP￡)于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理

求出HE,DE,DH的長,再根據(jù)三角形的面積的不變性可得。P的長，從而可得EP的長，

然后在RtBEP中,利用勾股定理即可得.

(1)

3

解：①在RtAABC中，NC=90°,A8=8cm,cosNABC=；,

?.^c=ycm,AC=y/AB2-BC2=ycm，

7

CD=-cm,

BD=yjBC2+CD2=5cm，

.M,N分別為DP,BP的中點(diǎn)，

:.MN=-BD=-cm-

22

②因?yàn)?。點(diǎn)不動，

所以BO的長不變，

所以MN的長不變，

所以如圖，線段用N掃過的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅?M其中，點(diǎn)分別為

的中點(diǎn),則％M=gBD=|cm,

過點(diǎn)M。作于點(diǎn)產(chǎn)，

c

D

BN。F八

BN0=AN0=^AB=4cm,

.AD=AC-CD=5cm,

/.AM..=—AD=—cm,

°22

AM?=MaNn,

AF=gAN。=2cm,

__Q

2

MaF=y/M?-AF=-cm,

則平行四邊形BMMM的面積為BNQMF=4X|=6(cm2),

即線段MN所掃過的區(qū)域的面積為6cm?.

(2)

解：如圖，過。作于H,過點(diǎn)8作8E_LPE?于E,

由角平分線的性質(zhì)得：BE=BC=—cm,

:.DE=^BD'-BE2=(cm,

AD=BD=5cm,DH1AB，

AH=-AB=4cm,

2

DH=>JAD2-AH2=3cm，

由題意得：AP=rem,0<r<8,

/.BP=AB-AP=(8-/)cm,

S?=-BEDP=-DHBP,

BKDnP22

—^^=5-？cm),

1Q%

:.EP=DP-DE=-------(cm),

58v7

2222

在RtBEP中，BP=PE+BE>即俗7）、（史-包I+24

I58

解得，=刀或r=16>8(舍去)，

112

故當(dāng)r=W時，8。平分NCDP.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、

等腰三角形的三線合一、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形中位線定理和

勾股定理是解題關(guān)鍵.

65.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=，x+3)(x-〃)與x軸交于A,3(4,0)兩

點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，且OC=O8,D,E分別是線段AC,AB上的動點(diǎn)(點(diǎn)、D,E不

與點(diǎn)A,B,C重合).

(1)求此拋物線的表達(dá)式;

(2)連接QE并延長交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)OELx軸，且AE=1時，求。尸的長;

⑶連接

①如圖2,將△38沿*軸翻折得到BFG,當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時，求點(diǎn)G的坐標(biāo);

②如圖3,連接CE,當(dāng)C￡>=AE時，求BD+CE的最小值.

［答案］⑴y=+2_/_3

嗚

⑶①G、g,一與｝②歷

【分析】(1)把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式，求出“的值，即可得出拋物線的關(guān)系式；

(2)根據(jù)拋物線y=；(x+3)(x-4)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)AE=1,利

用三角函數(shù)，求出QE的長，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，得出

點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，代入拋物線的關(guān)系式，求出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，即可得出EP的值，最后求

出。P的值即可;

(3)①連接OG交AB于點(diǎn)A7,設(shè)OM=a(a>0),AM=OA-OM=3-a,求出

MG=MO=AM-tanNC4O=g(3-“)，得出點(diǎn),將其代入拋物線關(guān)系

式，列出關(guān)于。的方程，解方程，求出。的值，即可得出G的坐標(biāo)：

②在AB下方作NE4Q=NDCB且AQ=BC,連接E。，CQ,證明△4EQ三△CDB,得

出EQ=B。，說明當(dāng)C,E,。三點(diǎn)共線時，3￡>+CE=EQ+CE最小，最小為C。，過

C作C〃，AQ,垂足為“，先證明/C4H=45。，算出AC長度，即可求出CH、AH,得

111HQ,最后根據(jù)勾股定理求出CQ的長度即可得出結(jié)果.

⑴解：???8(4,0)在拋物線y=；(x+3)(x-a)上，.彳口乂-卜。，解得”=4,

?*.y=!(x+3)(x-4),即>,=7%2-Jx-3；

(2)在y=w(x+3)(x—4)中，令y=0,得再=-3,x2=4,A(—3,0),OA=3f*/

,、OC44

OC—OB-4,C(0,4j,VAE=1>/.DE=AE-tanZ.CAO=AE------=lx—=—,

OA33

OE=OA-AE=3-\=2,：.E(-2,0),VDEYx^,：.xr=xD=xE=-2,：.

i334317

y=-(-2+3)(-2-4]=一一，APE=-：.DP=DE+PE=-+-=—.

0p4、八J22t326

(3)①連接QG交A8于點(diǎn)例，如圖1所示:???ABCD

圖1

與尸G關(guān)于x軸對稱，???OG，A8,DM=GM,設(shè)。M=a(a>0),則

AM=OA—OM=3—a,A/G=A/O=AA/?tanNCAO=g(3—a),；?G(一〃,](〃-3)],

點(diǎn)G[a,*—3))在拋物線y=；(x+3)(I)上，；.；(_a+3)“4)=*〃-3),解

得q=3(舍去)，出=鏟???6卜§,一百卜②在A8下方作NEAQ=NOC5且AQ=8C,

連接EQ,CQ,如圖2所示:VAE=CD,：.

△AEQsACDB(SAS),:.EQ=BD,.?.當(dāng)C,E,Q三點(diǎn)共線時，BD+CE=EQ+CE

最小，最小為C。，過C作C”，AQ,垂足為H,VOC^OB,oc=OB=4,：.

NCB4=45°,BC=4夜，：

^CAH=180°-Z.CAB-ZEAQ=180°-NCAB-NDCB=ACBA=45°,

AC=A/OA2+OC2=｛乎+4?=5，AH=CH=AC=丁-，

HQ=AH+AQ=AH+BC=孚+4丘=，CQ=yJCH2+HQ2

=屈，即8D+CE的最小值為質(zhì).

【點(diǎn)睛】本題主要考查J'二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的關(guān)系式，全等三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，證明EQ=8￡?,得

出當(dāng)C,E,。三點(diǎn)共線時，BD+CE=EQ+CE最小,是解題的關(guān)鍵.

66.尺規(guī)作圖只允許使用直尺和圓規(guī)來解決平面幾何作圖題，下面我們用尺規(guī)作圖來解

決一些問題.

【回顧復(fù)習(xí)】下列作圖語句表述正確的是.

①延長射線OA：

②已知線段A8,作MN=AB；

③作直線AB等于直線CD；

④以某定點(diǎn)為圓心，以固定的長為半徑畫圓弧.

【課本呈現(xiàn)】

已知：ZAOB,

求作：NAOB的平分線.

作法：（1）以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.

-MN

(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于2的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB的

內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

畫射線0C,射線0C即為所求.

【小試牛刀】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，在04,上分別截取OM,ON,使0M=0N,并將兩

個完全相同的直角三角尺按如圖1所示的樣子擺放，也可以得到0P為NAOB的平分線，

你認(rèn)為這種做法正確嗎？請說明理由.

【問題解決】如圖2,"C是邊長為2的等邊三角形，直線1經(jīng)過頂點(diǎn)4,且與邊BC

平行，僅用尺規(guī)在直線1上找出點(diǎn)P,使得NAPC=g/ACB,并直接寫出BP的長度(保

留作圖痕跡，不寫作法).

【答案】回顧復(fù)習(xí)：②④；小試牛刀：這種做法正確，理由見解析；問題解決：2或2不

【分析】回顧復(fù)習(xí)：根據(jù)直線和射線的定義可知，延長射線和直線是沒有長度的，可得

①③不正確；作線段等于已知線段，和已知定點(diǎn)和定長作圓都屬于基本作圖，故②④正

確；

小試牛刀：由題意可知：NONP=NOMP=90。.0P=0P,ON=OM,所以Rt/XQMP

gRtOMP,可得NN0P=NM0P即可說明OP為NAOB的平分線是正確的；

問題解決：由△ABC為等邊三角形，8c〃/1可知AB=BC=AC=2,NBAC=NABC=

NBAP、=NCAPf60。,分點(diǎn)尸在片的位置上和點(diǎn)P在鳥的位置上兩種情況進(jìn)行討論.①

當(dāng)點(diǎn)尸在4的位置上時，易證△力和是等邊三角形，即可求解；②當(dāng)尸在6的位置

時，過點(diǎn)8作應(yīng)于點(diǎn)E,可得NBEA=90°,NABE=30°,AE=1AB=\,

BE=AB.cosNABE邛，進(jìn)而知N@C=30。，再求得絲=/+e=5,在Rt&BEP2中,

根據(jù)勾股定理可求Bg的值.

【詳解】解：回顧復(fù)習(xí)②④，

小試牛刀：這種做法正確.理由如下：

由題意可知：NONP=NOMP=90。.

VOP=OP,ON=OM,；.RtZXONP名RtOMP.

...ZNOP=Z.MOP.

???OP為N49B的平分線.

「△ABC為等邊三角形，BC//lt

：.A8=8C=AC=2,ZBAC=NABC=ZBAP、"CAP?=60°

①當(dāng)點(diǎn)P在匕的位置上時，由作圖可知傷=〃=2

AB=AP

:,AABP、是等邊三角形

ABP=AP=2；

②當(dāng)P在6的位置時，過點(diǎn)B作跖_L優(yōu)于點(diǎn)E,如圖,

則NBE4=90。，NA8E=30°

/=；46=1,BE=AB.CGSNABE=yH

：.AP=AC

N釁=30。

由作圖過程可知例=七

，訓(xùn)。=/佟=30。

O

/.^ACP=180°-ZCAP2-ZJ/^C=90

AP=2AC=A

：.里=熊+能=5

在一RmBE4中，

里二啊?+絲2=2"

綜上所述，8P的長度為2或2".

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角

三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟悉基本作圖，綜合運(yùn)用全等三角形的判定定

理和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識.

67.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZACB=90°,OC=2OB,tan/ABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)

為(1,0).拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB

于點(diǎn)E,使PE=；DE.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所

有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=-x2-3x+4；（2）①P（-1,6）,②存在，M（-1,3+VH）或（-1,

13

3-而）或（-1,-1）或（-1,-）.

【分析】(1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

(2)①先得AB的解析式為：y=-2x+2,根據(jù)PDJ_x軸,設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,

-2x+2),根據(jù)PE=^DE,列方程可得P的坐標(biāo)；

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AM,BM的長，分三種情況：^ABM

為直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點(diǎn)時，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐

標(biāo).

【詳解】解:(1)VB(1,0),/.OB=1,

VOC=2OB=2,AC(-2,0),

RtAABC中，tanZABC=2,

.AC0,AC0.八八久

BC3

AA(-2,6),

,f-4-2Z?+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：1,八，

[-l+/?+c=0

■，[b=-3

解得：/,

[c=4

J拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；

(2)①YA(-2,6),B(1,0),

JAB的解析式為:y=-2x+2,

設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,-2x+2),

VPE=-DE,

2

-x2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2),

2

；.x=-l或1(舍)，

：.P(-1,6)；

②在直線PD上，且P(-1,6),

設(shè)M(-1,y),

VB(1,0),A(-2,6)

AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三種情況：

i)當(dāng)NAMB=90。時，有AM?+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3±7FT，

/.M(-1,3+)或(-1,3-->/H);

ii)當(dāng)/ABM=90。時，有AB2+BM2=AM2,

?*.45+4+y2=l+(y-6)2,y=-1,

AM(-1,-1),

iii)當(dāng)NBAM=90。時，有AM2+AB2=BM2,

13

/.1+(y-6)2+45=4+y2,.*.y=—,

13

AM(-1,—)；

2

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，M(-1,3+而)或(-1,3-而)或(-1,-1)

或(T,)?

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度

和勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的判定等知識.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程

思想與分類討論思想的應(yīng)用.

68.在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)尸在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋

轉(zhuǎn)與ZBAC相等的角度，得到線段4Q,連接B。.

如圖1,如果點(diǎn)尸是邊上任意一點(diǎn)，則線段B。和線段PC的數(shù)量關(guān)系是

(2)類比探究

如圖2,如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由.請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明：

(3)遷移應(yīng)用

如圖3,在ZA8C中，AC=2,4BC=90。，/4C8=45。，P是線段BC上的任意一點(diǎn).連

接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到線段A。，連接8。，試求線段8。

長度的最小值.

【答案】(1)BQ=PC-,(2)8Q=PC依然成立，證明見解析；(3)線段BQ的長度最

小值是0-1.

【分析1(1)根據(jù)SAS證△84Q絲△C4P,即可得出B0=PC；

(2)同(1)根據(jù)SAS證"AQ絲△(?”，即可得出BQ=PC依然成立；

(3)在AC上取一點(diǎn)E,使AE=A8,根據(jù)SAS證A8AQ也△EAP,即可得出8Q=PE,

再根據(jù)當(dāng)PE_LAC時，EP最小，求出最小值即可.

【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)知：AQ=AP,

ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

"：AB=AC,

：.4BAQ迫缸CAP(SAS),

:.BQ=PC,

故答案為：BQ=PC；

(2)結(jié)論：B(?=PC依然成立，

理由：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,

'：ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

:,乙BA3匕CAP,

\'AB=AC,

:.XBA空會f\CAP(SAS),

：.BQ=PC；

(3)如圖3,在AC上取一點(diǎn)E,使AE=A8,連接PE,過點(diǎn)E作ERLBC于F,

圖3

由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,ZPAQ=45°,

,?ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

在△ABQ和AAEP中，

AB=AE

<Z.BAQ=^CAP,

AQ=AP

：.（SAS）,

：.BQ=EP,

要使8Q最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是8C上的動點(diǎn)，

.?.當(dāng)EP_LBC時（點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時），EP最小，

在MzVlBC中，AC=2,NABC=90。，ZACB=45°,

：.AB=AC'smZACB=2xsm450=y/2,

:.AE=AB=叵,

：.CE=AC-AE^2-42，

；.EF=CE?sinNACB=（2-及）x顯=及-1,

2

故線段BQ的長度最小值是V2-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線垂線段距離最短

等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

69.如圖，拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物

線的頂點(diǎn)，請解決下列問題.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),當(dāng)|PD-PC|最大時，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位

置；

(3)在(2)的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△BCP,設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C

的橫坐標(biāo)為t(其中0<tV6),在運(yùn)動過程中aBeP與△BCD重疊部分的面積為S,

求S與t