第十一講比和比例(二)

正比例和反比例知識點一：正比例的意義情境導(dǎo)入：文具店有一種彩帶，銷售的數(shù)量與總價的關(guān)系如下表：數(shù)量/m12345678……總價/元3.5710.51417.52124.528……觀察上表，回答下面的問題。表中有哪兩種量？總價是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的？相應(yīng)的總價與數(shù)量的比分別是多少？比值是多少？講解過程：理解題意，觀察上表?？們r隨著數(shù)量的變化而變化，它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。數(shù)量增加，總價也隨之增加；數(shù)量減少，總價也隨之減少?？偨Y(jié)規(guī)律總價和數(shù)量的比值一定，也就是因為單價一定，所以總價隨著數(shù)量的變化而變化。但無論怎樣變化，總價和相對應(yīng)數(shù)量的比值一定。因為總價和數(shù)量有這樣的變化關(guān)系，所以我們就說總價和數(shù)量成正比例關(guān)系，總價和數(shù)量叫做成正比例的量。拓展探究總價隨著數(shù)量的增加而增加，具有這樣變化規(guī)律的兩種量，在生活中你還能舉出一些例子嗎？歸納總結(jié)：1.兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系。2.如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關(guān)系可以用式子表示：。夯實基礎(chǔ)：判斷下面的每張表格中的；兩種量是不是成正比例的量。在一間布店的柜臺上，有一張寫著某種花布的長度和總價的表格：長度/米1234……總價/元8.216.424.632.8……正方形的邊長和周長如下表。正方形的邊長/厘米1234……正方形的周長/厘米481216……判斷下面每題中的兩種量是不是成正比例，并說明理由。每小時織布長度一定，織布總長度和時間。每人植樹棵數(shù)一定，參加植樹的人數(shù)和植樹總棵數(shù)小新跳高的高度和他的身高。長方形的寬一定，它的面積和長。易錯點：當(dāng)兩種量的和一定時，認(rèn)為兩種量成正比例關(guān)系。例：判斷：長方形的周長一定，長和寬成正比例。（√）錯解分析：錯誤解答錯誤地認(rèn)為兩種相關(guān)聯(lián)的量和一定時，這兩種量就成正比例關(guān)系，對正比例的概念沒有完全理解。因為“長方形的周長”，所以“”，長方形的周長一定，也一定，即長與寬的和一定，而不是比值一定。正確解答：×知識點二：正比例圖象情境導(dǎo)入：總價和數(shù)量的變化情況可以用下面的圖象表示。根據(jù)圖象回答下面的問題：從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？把數(shù)對（10，35）和（12，42）所在的點描出來，并和右面的圖象連起來并延長，你還能發(fā)現(xiàn)什么？不計算，根據(jù)圖象判斷，如果賣9m彩帶，總價是多少？49元能買多少米彩帶？小明買的彩帶米數(shù)是小麗的2倍，他花的錢是小麗的幾倍？講解過程：理解題意?？們r和數(shù)量是一對成正比例的量，把每一對數(shù)據(jù)描在方格圖中并連接起來是一對成正比例的量，把每一對數(shù)據(jù)描在方格圖中并連接起來是一條直線，這就是正比例的圖象。觀察并總結(jié)正比例關(guān)系圖象的特點。（1）它是一條直線。（2）圖象中橫軸上的數(shù)據(jù)表示數(shù)量，縱軸上的數(shù)據(jù)表示總價，數(shù)量和它對應(yīng)的總價每一對數(shù)據(jù)都可以用一個點來表示。（3）從圖象上可以直觀地看到數(shù)量與總價之間的變化情況，即數(shù)量增加，總價也隨著增加。3.觀察圖象解決問題（1）從圖中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)量和對應(yīng)的總價可以用一個點表示，并且這些點都在一條直線上。（2）通過描點和延長直線，可以發(fā)現(xiàn)這些點都在一條直線上。（3）買9m彩帶總價是31.5元，49元能買14m彩帶。（4）小明買的彩帶的米數(shù)是小麗的2倍，他花的錢是小麗的2倍。歸納總結(jié)：正比例關(guān)系的圖象是一條經(jīng)過原點O的直線。從圖象中，可以直觀地看到兩種量的變化情況，不用計算，由一種量的值可以直接找到對應(yīng)的另一種量的值。夯實基礎(chǔ)：一臺織布機(jī)織布的時間和長度如下表：時間/時12345678…長度/米81624…把上面的表格補(bǔ)充完整。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出織布機(jī)的工作時間和織布長度所對應(yīng)的點，再按順序?qū)⑺鼈冞B起來。你有什么發(fā)現(xiàn)？練習(xí)：填空題車輪的直徑一定，所行駛的路程和車輪的轉(zhuǎn)數(shù)成（）比例。圓的周長和半徑成（）比例。如果，那么y與x成（）比例。判斷題（對的畫“√”，錯的畫“×”）人的體重與人的年齡成正比例（）收入一定，支出和結(jié)余成正比例（）長方形的長一定，長方形的面積和寬成正比例。（）購買一種自行車的數(shù)量和總價如下表：數(shù)量/輛1245…總價/元250500750…把表格補(bǔ)充完整。寫出幾組對應(yīng)的數(shù)量和總價之間的比，并比較比值的大小。你能用式子表示這種自行車的總價與數(shù)量之間的關(guān)系嗎？自行車的總價與數(shù)量之間是否成正比例？為什么？知識點三：反比例的意義情境導(dǎo)入：杯子的底面積與水的高度的變化情況如下表。杯子的底面積/cm21015203060…水的高度/cm302015105…觀察上表，回答下面的問題：表中有哪兩種量？水的高度是怎樣隨著杯子底面積的大小變化而變化的？相對應(yīng)的杯子的底面積與水的高度的乘積分別是多少？講解過程：根據(jù)公式“圓柱的體積=底面積×高”完成下面的表格。杯子的底面積/cm21015203060…水的高度/cm302015105…體積/cm3300300300300300…觀察上表，總結(jié)水的高度和底面積的變化規(guī)律。底面積是10cm2，水的高度是30cm；底面積是15cm2，水的高度是20cm……說明水的高度隨著底面積的變化而變化，它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。從左到右觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)底面積越大，水的高度越低；從右往左觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)底面積越小，水的高度越高。計算并比較兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積。，說明水的高度和底面積的乘積一定，也就是。小結(jié)：因為水的體積一定，所以水的高度隨著杯子底面積的變化而變化。底面積增加，高度反而降低；底面積減少，高度反而升高。但是無論怎樣變化，高度和底面積的乘積是一定的，我們就說杯子的高度和底面積成反比例關(guān)系，高度和底面積叫做成反比例的量。判斷兩種量是不是成反比例關(guān)系。判斷兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積是否一定，如果乘積一定，這兩種量就成反比例關(guān)系，否則不成反比例關(guān)系。生活中常見的反比例的量。像水的高度隨著底面積增加而降低的變化規(guī)律在生活中還有很多，如：路程一定時，時間隨著速度的增加會減少。歸納總結(jié)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關(guān)系可以表示為（一定）。夯實基礎(chǔ)：1.某自行車廠計劃生產(chǎn)600輛自行車。生產(chǎn)所用天數(shù)/天1020305060…每天生產(chǎn)輛數(shù)/輛6030…把上面的表格補(bǔ)充完整。寫出幾組每天生產(chǎn)的輛數(shù)和生產(chǎn)所用的天數(shù)的積，再比較積的大小。每天生產(chǎn)的輛數(shù)和生產(chǎn)所用的天數(shù)成反比例嗎？為什么？下面各題中的兩種量是否成反比例？路程一定，速度和時間。（2）長方形的面積一定，長和寬。易錯舉例：易錯點：當(dāng)兩種量的和一定時，認(rèn)為這兩種量成反比例。例：判斷：一根木料，用去的和剩下的成反比例。（√）錯解分析：雖然“用去的”越多，“剩下的”越少，是一種量隨著另一種量的變化而變化，但“用去的+剩下的=原來的木料”，是和一定，而不是積一定。反比例必須具備兩種變量的積一定，所以用去的和剩下的不成反比例。正確解答：×練習(xí)：填空題總錢數(shù)一定時，訂《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》的份數(shù)和單價成（）比例。在括號里填上“每小時生產(chǎn)服裝減數(shù)”“生產(chǎn)時間”或“生產(chǎn)服裝總數(shù)”。（）一定，（）和（）成反比例。（）一定，（）和（）成正比例。，則A、B成（）比例。選擇題。因為24÷x=y，所以x和y（）成正比例B.成反比例C.不成比例三角形的高一定，它的面積和底（）成正比例B.成反比例C.不成比例（3）分子一定，分母和分?jǐn)?shù)值（）A.成正比例B.成反比例C.不成比例3.運(yùn)一批貨物，每車運(yùn)的噸數(shù)和需要車的輛數(shù)如下表。每車運(yùn)的噸數(shù)/噸1351012需要車的輛數(shù)/輛60201265表中有哪兩種量？它們是不是相關(guān)聯(lián)的量？寫出幾組這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積，并比較積的大小。表中相關(guān)聯(lián)的兩種量成反比例嗎？為什么？課后作業(yè)：一、判斷．

1．一個因數(shù)不變，積與另一個因數(shù)成正比例．（

）

2．長方形的長一定，寬和面積成正比例．（

）

3．大米的總量一定，吃掉的和剩下的成反比例．（

）

4．圓的半徑和周長成正比例．（

）

5．分?jǐn)?shù)的分子一定，分?jǐn)?shù)值和分母成反比例．（

）

6．鋪地面積一定，方磚的邊長和所需塊數(shù)成反比例．（

）

7．鋪地面積一定，方磚面積和所需塊數(shù)成反比例．（

）

8．除數(shù)一定，被除數(shù)和商成正比例．（

）

9、圓的面積和圓的半徑成正比例。（

）

10、圓的面積和圓的半徑的平方成正比例。（

）

11、圓的面積和圓的周長的平方成正比例。（

）

12、正方形的面積和邊長成正比例。（

）

13、正方形的周長和邊長成正比例。（

）

14、長方形的面積一定時，長和寬成反比例。（

）

15、長方形的周長一定時，長和寬成反比例。（

）

16、三角形的面積一定時，底和高成反比例。（

）

17、梯形的面積一定時，上底和下底的和與高成反比例。（

）

18、圓的周長和圓的半徑成正比例。（

）

19路程一定，速度和時間成正比例。

（

）

20一堆煤的總量不變，燒去的煤與剩下的煤成反比例。

（

）

21花生的出油率一定，花生的重量與榨出花生油的重量成正比例。

（

）

22平行四邊形的面積不變，它的底與高成反比例。

（

）

23正方體的表面積與體積成正比例。（

）

24一堆煤的總量不變，每天燒去的數(shù)量與燒的天數(shù)成反比例。（

）

25長方體底面積一定，體積和高成正比例。（

）

26三角形的面積不變，它的底與高成反比例。

（

）

二、選擇．

1．把一堆化肥裝入麻袋，麻袋的數(shù)量和每袋化肥的重量．（

）

A．成正比例

B．成反比例

C．不成比例

2．和一定，加數(shù)和另一個加數(shù)．（

）

A．成正比例

B．成反比例

C．不成比例

3．在汽車每次運(yùn)貨噸數(shù)，運(yùn)貨次數(shù)和運(yùn)貨的總噸數(shù)這三種量中，成正比例關(guān)系是（

），成反比例關(guān)系是（

）．

A．汽車每次運(yùn)貨噸數(shù)一定，運(yùn)貨次數(shù)和運(yùn)貨總噸數(shù)．

B．汽車運(yùn)貨次數(shù)一定，每次運(yùn)貨的噸數(shù)和運(yùn)貨總噸數(shù)．

C．汽車運(yùn)貨總噸數(shù)一定，每次運(yùn)貨的噸數(shù)和運(yùn)貨的次數(shù)．

4，圓柱體底面積與高(

)。A.成正比例

B.成反比例

C.不成比例

,

5，年齡與身高(

)。A.成正比例

B.成反比例

C.不成比例

6，長方形的_________________，它的長和面積成正比例。

A.周長一定

B.寬一定

C.面積一定

7，圓柱體體積一定，________________和高成反比例。

底面半徑

B.底面積

C.表面積

8，ab=c，當(dāng)c一定時a和b（

）；當(dāng)a一定時b和c（

）；當(dāng)b一定時a和c（

）。A、成正比例

B、成反比例

,

C、不成比例三．選擇填空，判斷數(shù)量間的比例關(guān)系。

（1）圓的面積一定，直徑與圓周率_______________。

（2）比的前項一定，比的后項與比值_________________。

（3）時間一定，速度與路程____________。

（4）被減數(shù)一定，減數(shù)與差______________。

（5）圓錐體體積一定，底面積與高_(dá)____________。

A、成正比例

B、成反比例

C、不成比例

四、下列各題中的兩種量是不是成比例，成什么比例，并說明理由。

（

1）買相同的電腦，購買的電腦臺數(shù)與總價___________________

每捆練習(xí)本的本數(shù)相同，練習(xí)本的總本數(shù)與捆數(shù)__________________

總路程一定，已行的路程與未行的路程____________________

分?jǐn)?shù)值一定，分?jǐn)?shù)的分子與分母_________________

（5）長方形的長一定，它的面積和寬__________________

（6）長方體的體積一定，底面積和高_(dá)___________________

（7）一本書的總頁數(shù)一定，看的天數(shù)與平均每天看的頁數(shù)_______________

（8）圓的周長和直徑____________________

（9）訂閱《揚(yáng)子晚報》，訂的份數(shù)與總價__________________

（19）小麥的出粉率一定，小麥的質(zhì)量與面粉的質(zhì)量_____________

（11）六（1）班同學(xué)做操，每排站的人數(shù)與排數(shù)_______________

五、下面題里的數(shù)量成什么關(guān)系？你能列出式子表示數(shù)量之間的相等關(guān)系嗎？

1,小紅看一本兒童小說，每天看12頁，10天可以看完；如果每天看15頁，8天可以看完。

2,一種螺絲釘，20個重30克。一盒這樣的螺絲釘是600克，