第九章 基于粗糙集和含糊集

第九章基于粗糙集和含糊集理論的智能信息處理方法9.1粗糙集理論的基本概念9.1.1粗糙集理論的數(shù)值分析9.1.2基于粗糙集理論的規(guī)則只是獲取9.1.3粗糙集只是獲取策略在心電圖波形識別中的應用對于一些復雜的生產(chǎn)控制過程，由于存在多變量耦合、純滯后、參數(shù)時變等非線性特征，即大量的不確定性因素及多層次多任務的控制要求，使得采用傳統(tǒng)的控制方法難以實現(xiàn)有效的控制。近年來，以粗糙集理論、模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡為基礎的智能信息處理和智能控制技術的研究得到了較大的發(fā)展。粗糙集[RoughSets]理論是20世紀80年代波蘭學者Pawlak教授提出的，一種研究不完整、不確定知識和數(shù)據(jù)的表達、學習、歸納的理論方法。它不依賴數(shù)據(jù)之外的附加信息，而完全從數(shù)據(jù)本身的可分辨性角度來分析、推理，并發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的依賴關系，為知識簡約提供了方法。它的基本思想是，在保持信息系統(tǒng)分類能力不變的前提下，通過知識簡約，導出有關概念的決策或分類的規(guī)則。目前粗糙集理論已被廣泛的應用于數(shù)據(jù)庫中的知識發(fā)現(xiàn)、智能控制、故障診斷、決策分析、專家系統(tǒng)以及模式識別等眾多領域。本章介紹粗糙集理論的基本概念，建立基于輸入、輸出數(shù)據(jù)的知識表達系統(tǒng)和基于粗糙集理論的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡等知識。在粗糙集理論中，認為知識是一種將對象進行分類的能力，及對象的知識是通過對象的屬性（特征）和它們的屬性值（特征值）來描述的。通常知識定義為：給定一組數(shù)據(jù)（集合）U和等價關系集合R，在等價關系集合R下對數(shù)據(jù)集合U的劃分稱為知識，記為U/R。U上的一簇劃分(對U的分類)稱為關于U的知識庫。例如，給定一個積木玩具集合U={x1，x2，x3，……x8}，并假設這些積木有不同的顏色（紅、黃、藍），形狀（方、圓、三角），體積（大、?。?，這些積木都可以用顏色、形狀，體積這些知識屬性來描述。比如，一個積木可以是紅色、小而圓或者黃色的、大而方的，如果我們根據(jù)某一個屬性來描述這些積木的情況，就可以按顏色、形狀、體積來分類。定義三個屬性:顏色R1，形狀R2,體積R3。按顏色R1分類：紅:{x1，x3，x7}，黃:{x5，x6，x8}，藍:{x2，x4}。按形狀R2分類：圓：{x1，x5}，三角：{x3，x4，x7，x8}，方：{x2，x6}。按體積R3分類：大：{x2，x7，x8}，?。簕x1，x3，x4，x5，x6}。如果按屬性R1,R2,R3來描述，可以得到下面三種分類方法：U/R1={{x1，x3，x7}，{x5，x6，x8}，{x2，x4}}U/R2={{x1，x5}，{x3，x4，x7，x8}，{x2，x6}}U/R3={{x2，x7，x8}，{x1，x3，x4，x5，x6}}設U是一個論域，R是U上的等價關系。U/R表示U上由R導出的所有等價類。[x]R表示包含元素x的R的等價類，x∈U。一個知識庫就是一個關系系統(tǒng)K={U,P},其中U是論域，P是U上的一個等價關系簇。如果且Q≠?，則∩Q(Q的所有等價關系的交)也是一個等價關系，記為ind（Q）。定義9.1設S是一個只是表達系統(tǒng)，又可稱為決策信息系統(tǒng)，即S=(U,A,V,f)（9-1）其中，U為對象的非空有限集合，稱為論域；A=C∪D是屬性集合，子集C和D分別稱為條件屬性集和結果屬性集（或結論性屬性集）;是屬性集的集合，Va表示屬性a∈A的屬性值范圍，即屬性a的值域；f：U×AV是一個信息函數(shù)，它為每個對象的每個屬性賦于一個信息值，即如果A=C∪D，且C∩D=?，則稱S為決策系統(tǒng)。若設結論性集合D值包含一個元素d，則決策系統(tǒng)可以簡化為(U,C∪c2gyogk)。如果式（9-1）中A=C，即沒有決策屬性D，那么S就叫信息系統(tǒng)。定義9.2決策系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，A=C∪D，,且W≠Q是屬性集合的一個子集，稱二元關系ind（W）為S的一個不可分辨關系（不分明關系），即Ind（W）={（x，y）|x，y∈U，W(x)=W（y）}（9-2）不可分辨關系實際上是一個等價關系。通過一個不可分辨關系，可得到?jīng)Q策系統(tǒng)的一個劃分，劃分后的等價類稱為不可分辨類，用[x]ind（W）來表示包含元素x的不可分辨類。在決策系統(tǒng)S=(U,C∪awycuyy)中，若是條件屬性集合C的一個子集，則B在U上的不可分辨關系可以定義為（9-3）假設ind（B）把U劃分為k個等價類（X1，X2，…，Xk），記作U/ind（B）=（X1，X2，…，Xk）（9=4）{Xi}表示U上的一個等價類的描述。定義9.3給定決策系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，對于每個子集

和不可分辨關系B，X的下近似和上近似

可以分別定義為（9-5）（9-6）定義9.4集合稱為X的邊界；稱為X的B正域；稱為X的B的負域。命題9.1當且僅當,稱為集合X是B可定義集；當且僅當，稱集合X是B粗糙集。定義9.5設P是在論域U上的一個等價關系簇，A∈P。若ind（P\{A}）=ind（P），則稱關系A在P中是絕對不必要的；否則，稱A在P中是絕對必要的。（P\{A}）表示去掉{A}以后的P的等價關系。定義9.6設P施論域U上的一個等價關系簇，A∈P。若每個關系A∈P在P中都是絕對必要的，則稱關系簇P是獨立的；否則，稱P是相互依賴的。定義9.7設P和Q是定義在論域U上的兩個等價關系簇，且Q∈P。若ind（Q）=ind(P)且Q是獨立的，則稱Q是P的一個絕對簡約。定理9.1相對簡約計算。對于決策系統(tǒng)論域U經(jīng)過不可分辨關系ind(W)，劃分為不可分辨類X1，X2，…，Xt，D(Xi)={VX=f(x，d)：d∈D,x∈Xi}為Xi的所有結論值的集合，L(Xi,S)=稱為S相對于Xi的分辨函數(shù)，其中∨Cij表示Cij所有元素的析取運算，∧表示合取運算。若D(Xi)≠D(Xj)，則

Cij={a∈C:f(Xi，a)≠f(Xj，a)}（9-7）否則Cij=?，其中1≤i，j≤t

若L(Xi,S)經(jīng)運算后化為析取范式，即L(Xi,S)=，其中ai∈C，∧aj為的一個合取子式，k為中合取子式的個數(shù)，那么red(Xi,C)={aj:1≤j≤k},1≤i≤t化簡L(Xi,S)成，即求解aj，可運用常規(guī)的邏輯運算定律，在相對簡約red(Xi,C)的基礎上，我們可以得到一組規(guī)則(共k×p條)aj

Dm其中，j=1,2，…，k，k為簡約的個數(shù);m=1,2，…，p，D1，D2，…，Dp是Xi所有結論值得集合D(Xi)，而每條規(guī)則的確定性因子為（9-8）定理9.2決策系統(tǒng)S=(U,A,{Va},f)；U={x1，x2，…，xn}為對象的非空有限集合；A=C∪D為屬性有限集合，其中C={ai|i=1，…m}；D=ma6yc4q；Va為屬性a∈A的值域；f：UVa為單一映射。若ai(xj)是樣本xj在屬性ai上的取值，CD(i，j)表示可辨識矩陣第i行j列的元素，則可辨識矩陣CD為（9-9）其中，i，j=1,2，…，n。Skowron

提出了一種相應的屬性簡約算法：Step1計算決策表中的可辨識矩陣；Step2對于可辨識矩陣中的所有取值為非空集合的元素，建立相應的析取邏輯表達式；Step3將所有的析取邏輯表達式進行合取運算，得到一個合取范式,即；Step4將合取范式轉化為析取范式的形式，得；Step5輸出屬性簡約的結果。析取范式中的每個合取相就對應一個簡約的結果，每個合取相中所包含的屬性組成簡約后的條件屬性集合。在可辨識矩陣基礎上，可定義分辨函數(shù)（9-10）其中為可辨識矩陣的元素，表示中所有屬性的析取運算，表示合取運算。假設經(jīng)運算后，化為析取范式，即（9-11）其中，為的一個合取子式，k為中合取子式的個數(shù)，則決策系統(tǒng)的簡約為（9-12）例9-1設有某汽車信息系統(tǒng)，要求通過簡約的計算方法獲取有關汽車性能的知識。表示汽車論域；表示條件屬性集合{汽車大小、發(fā)動機形式、汽車顏色、最大速度和加速度}；表示屬性值集合{小，中，大}；表示屬性值集合{柴油機，汽油機，丙烷機}；表示屬性值集合{銀色，白色，黑色}；表示決策屬性值最大速度集合{低，中，高}；表示決策屬性值加速度集合{差，中，好}；此汽車性能信息系統(tǒng)決策表如表9-1所示。論域條件屬性決策屬性大小發(fā)動機顏色最大速度加速度abcde1001001122202211121210001222111112201101按決策屬性進行劃分，依照式（9-4）運算，可得如下等價類：依據(jù)定理9-2，由式（9-9），可得到信息系統(tǒng)的分辨矩陣如表9-2所示表9-2汽車信息系統(tǒng)分辨矩陣由式（9-10）可得分辨函數(shù)：由式（9-12）得信息系統(tǒng)的簡約為

red(A)={a，b}根據(jù)簡約red(A)可以得到如下有關汽車性能的規(guī)則ifa=2andb=0thend=2,e=1ifa=1andb=1thend=1,e=2ifa=2andb=2thend=1,e=1ifa=2andb=1thend=2,e=2于是可以獲得4條確定性規(guī)則：(1)若是大型汽車且發(fā)動機為柴油機，則汽車最大速度高，加速度中等；(1)若是中型汽車且發(fā)動機為汽油機，則汽車最大速度中等，加速度好；(1)若是大型汽車且發(fā)動機為丙烷機，則汽車最大速度中等，加速度中等；(1)若是大型汽車且發(fā)動機為汽油機，則汽車最大速度高，加速度好；定理9.3決策系統(tǒng)是屬性集合，分別為條件屬性集和決策屬性集；為論域，是樣本在屬性上的取值，表示區(qū)分表中對應樣本對和屬性的元素，則區(qū)分表定義為

（9-13）其中，i，j=1，…，n；k=1，…，m。例9-2表9-3是一個關于氣象信息的決策系統(tǒng)，分別用基于可辨識矩陣和基于區(qū)分表因子匹配的方法進行簡約處理(N表示高氣壓，P表示低氣壓)。U條件屬性決策屬性（d）天氣（a1）氣溫（a2）濕度（a3）風力（a4）1晴熱高濕無N2晴熱高濕有N3陰熱高濕無P4雨暖和高濕無P5雨冷正常值無P6雨冷正常值有N7陰冷正常值有P8晴暖和高濕無N9晴冷正常值無P10雨暖和正常值無P11晴暖和正常值有P12陰暖和高濕有P13陰熱正常值無P14雨暖和高濕有N(1)基于可辨識矩陣的屬性簡約算法對于表9-3氣象信息表系統(tǒng)，根據(jù)式9-9定義可得其可辨識矩陣如表9-4所示。表9-4氣象信息系統(tǒng)可辨識矩陣根據(jù)可辨識矩陣skowron屬性簡約算法，可以得到45個析取邏輯表達式將這些表達式進行合取，得到合取表達式對L進行轉換，最終得到析取范式這樣就得到兩個屬性簡約結果。(2)基于區(qū)分表的因子匹配屬性簡約算法對于表9-4所示的氣象信息系統(tǒng)，根據(jù)定理9.3可得其區(qū)分表，如表9-5所示。表9-5氣象信息系統(tǒng)的區(qū)分表100011001110111101101110011111011010100111011111111001111111011011001011111111001101011111000001000110100111100010010101110011101101111111100110101000111001111011110011101010011111區(qū)分表存在兩種非零元素個數(shù)為1的對象1000和0001，因此其對應的屬性為核屬性，并將區(qū)分表中包含該元素的對象刪去，修改后的區(qū)分表如表9-6所示。表9-6表9-5修改后的區(qū)分表生成因子0001與區(qū)分表進行“與”運算，結果全為零；繼續(xù)生成因子0010與區(qū)分表進行“與”運算，結果不全為零。所以該因子對應的屬性加上核屬性輸出系統(tǒng)的最小簡約結果為?？梢妳^(qū)分表因子算法具有適合于任意系統(tǒng)，運算實現(xiàn)簡單，且具有最小簡約的特點。011001100110基于粗糙集理論的ECG特征識別算法(1)用差分法建立ECG特征點識別決策表設為ECG原始數(shù)據(jù)，取心電數(shù)據(jù)庫的采樣率為360Hz，考慮到一般的ECG數(shù)據(jù)不少于2S，所以采樣點數(shù)。定義k點一階差分為定義k點二階差分為根據(jù)國際上對確定波形最低幅度和時限要求的規(guī)定，各種波形至少應為20uV的電壓偏轉和6ms寬的時限，以便與人的目測分辨率相當，因此可以按確定k，其中，f是采樣率。因此得可以取k=3來計算特征點的屬性。(2)ECG特征點識別規(guī)則的簡約首先要建立特征點決策表。為了充分描述每個點的特征信息，對每個點計算12個條件屬性。：1點的一階差分；：1點的二階差分；：k點的一階差分；：k點的二階差分；：左側第n點的k點的一階差分；：左側