離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題 答案

離散數(shù)學(xué)習(xí)題答案

習(xí)題一

1.判斷卜一列句子是否為命題？若是命題說明是真命題還是假命題。

(1)3是正數(shù)嗎？

(2)x+l=O。

(3)請(qǐng)穿上外衣。

(4)2+1=0。

(5)任一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都是正實(shí)數(shù)。

(6)不存在最大素?cái)?shù)。

(7)明天我去看電影。

(8)9+5W12。

(9)實(shí)踐出真知。

(10)如果我掌握了英語、法語，那么學(xué)習(xí)其他歐洲語言就容易多了。

解：(1)、(2)、(3)不是命題。

(4)、(8)是假命題。

(5)、(6)、(9)、(10)是真命題。

(7)是命題，只是現(xiàn)在無法確定真值。

2.設(shè)尸表示命題“天下雪”，。表示命題''我將去書店”，R表示命題“我有時(shí)間”，以符號(hào)

形式寫出下列命題。

(1)如果天不下雪并且我有時(shí)間，那么我將去書店。

(2)我將去書店，僅當(dāng)我有時(shí)間。

(3)天不下雪。

(4)天下雪，我將不去書店。

解：

(1)(-|PAR)1Q。

(2)Q-R。

(3)-|Po

(4)P—iQ。

3.將下列命題符號(hào)化。

(1)王皓球打得好，歌也唱得好。

(2)我一邊看書，一邊聽音樂。

(3)老張和老李都是球迷。

(4)只要努力學(xué)習(xí)，成績(jī)會(huì)好的。

(5)只有休息好，才能工作好。

(6)如果。和b是偶數(shù)，那么也是偶數(shù)。

(7)我們不能既游泳又跑步。

(8)我反悔，僅當(dāng)太陽從西邊出來。

(9)如果加0在點(diǎn)乂處可導(dǎo)，則為0在點(diǎn)％處可微。反之亦然。

(10)如果張老師和李老師都不講這門課，那么王老師就講這門課。

(11)四邊形A8CQ是平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)4BCD的對(duì)邊平行。

(12)或者你沒有給我寫信，或者信在途中丟失了。

解：

(DP：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命題可符號(hào)化：PAQ?

(2)P：我看書，Q：我聽音樂。原命題可符號(hào)化：PAQ?

(3)P：老張是球迷，Q：老李是球迷。原命題可符號(hào)化：PAQo

(4)P：努力學(xué)習(xí)，Q：成績(jī)會(huì)好。原命題可符號(hào)化：P-Q。

(5)P：休息好，Q：工作好。原命題可符號(hào)化：Q—P。

(6)P：a是偶數(shù)，Q：b是偶數(shù),R：a+匕是偶數(shù)。原命題可符號(hào)化：(PAQ)一R。

(7)P：我們游泳，Q：我們跑步。原命題可符號(hào)化：［(PAQ)?

(8)P：我反悔，Q：太陽從西邊出來。原命題可符號(hào)化：P-Q。

(9)P：段)在點(diǎn)兒處可導(dǎo)，Q：危)在點(diǎn)現(xiàn)處可微。原命題可符號(hào)化：P-Q。

(10)P：張老師講這門課，Q：李老師講這門課，R：王老師講這門課。原命題可符號(hào)化：

(-1PAqQ)一R。

(11)P：四邊形48C。是平行四邊形，Q：四邊形4BCO的對(duì)邊平行。原命題可符號(hào)化：P-

Q。

(12)P：你給我寫信，Q：信在途中丟失了。原命題可符號(hào)化：［P由(PAQ),

4.判斷下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

(1)(Q—RAS)

(2)(P=(R—S))

(3)((IPTQ)TQTP)))

(4)(RS一戶)

(5)((PT(QTR))T((PTQ)T(P-R)))

解：

(1),(2)、(5)是合式公式，(3)、(4)不是合式公式。

5.否定下列命題：

(1)桂林處處山清水秀。

(2)每一個(gè)自然數(shù)都是偶數(shù)。

解：

(1)桂林并非處處山清水秀。

(2)并不是每一個(gè)自然數(shù)都是偶數(shù)。或：有些自然數(shù)不是偶數(shù)。

6.給出下述每一個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題。

(1)如果天下雨，我將不去。

(2)僅當(dāng)你去我才不去。

(3)如果△=/-4ac<0,則方程a?+bx+c=0無實(shí)數(shù)解。

(4)如果我不獲得獎(jiǎng)學(xué)金，我就不能完成學(xué)業(yè)。

解：

(1)逆命題：如果我不去，那么天下雨。

否命題：如果天不下雨，我就去。

逆否命題：如果我去，那么天不下雨。

(2)逆命題：如果你去，我將不去。

否命題：如果我去，你將不去。

逆否命題：如果你不去，我就去。

(3)逆命題：如果方程公2+bx+c=0無實(shí)數(shù)解，貝I」△=人2-4這<0。

否命題：如果△=/—!。侖0,則方程af+Ax+c=0有實(shí)數(shù)解。

逆否命題：如果方程有實(shí)數(shù)解，貝IJ公=廿一4。。三0。

(4)逆命題：如果我不能完成學(xué)業(yè)，那么我沒有獲得獎(jiǎng)學(xué)金。

否命題：如果我獲得獎(jiǎng)學(xué)金，我就能完成學(xué)業(yè)。

逆否命題：如果我就能完成學(xué)業(yè)，那么我就獲得獎(jiǎng)學(xué)金。

7.求下列各式的真值表。

(1)P—(RVS)

(2)(PAR)

(3)(PV0)=(QVP)

(4)(PV-]e)NR

(5)(P-(QTR))T((PTQ)—(PTR))

解：

(1)尸一(RVS)

PRSRVS

1111

11011

10111

10000

0111

01011

00111

00001

"J(r/\K)

PQRP/\RPTQ(PAR)V(P-＞。)

1111

110)1

101(1

100)(0

011)1

010)1

001)1

000)1

(3)(PVQ)-(QVP)

pQpve。\/p(PVQ)=(。")

11i1

10i1

01i1

000(1

(4)(PV-|Q)NR

PQR1QPV1Q(PViQ)NR

111011

1100I0

101111

100110

011000

010000

001111

0001I0

(5)(PT。-R))一((尸一。)―(PTR))

PQRQ—>RPT(QTR)PTQPfR(PTQ)T(PTR)原公式

111111111

110001001

101110111

100110011

011111111

010011111

001111111

000111111

8.用真值表判斷下列公式的類型：

⑴尸V-1Q-Q

(2)((尸?Q)V(Rf?尸((PVR)f(QV5))

解：

(l)PV-］。一。

pQ-iQPV-IQPV-IQ-Q

11011

10110

01001

00110

(1)為可滿足式。

⑵((吁Q)V(R-S))一((PVR)-(0V5))

pQRsP-QRfS(P-Q)V(RfS)P\JRQVS(PVR)f(QVS)原公式

11111111111

11101011111

11011111111

11001111111

10110111111

10100001001

10010111111

10000111000

01111111111

01101001111

01011110111

01001110111

00111111111

00101011000

00011110111

00001110011

(2)為可滿足式。

9.證明下列等價(jià)式。

(1)P-(QTP)<=>-|?一(PfQ)

(2)-］(P-(PVg)A-|(PA0

(3)i(尸一。)=?A］。

⑷1(-。)=(PA-)Q)V%PA0

(5)尸一(QVR)O(PAIQ)TR

(6)(PTR)八(。7/?)=(PV0TR

(7)((尸八0)TR)A(QT(5VR))=(QA(S—P))-R

證明：

(1)PTQfP)中PV(-|。VP)QPV(iPV-|0).P—(PjQ)

(2)-)(尸-Q).((PA0V(-)PA-)0))<=>-)(P八Q)A-](-)PA-)0))。(PV0A-)(PAg)

(3)I(PTQ)=I(IPVQ)=P/\IQ

(4)-)(P'Q)oi((P-Q)八(。一尸)).([PV。)V-](-]QYP)o(P八iQ)V(qPA。)

(5)P—(0VR)o-|PV(0V/?)中(PA[。)VR=(PA-|Q)-R

(6)(PTR)八(QTR)O(IPVR)A(-|QVR)<?(-)PAj0)7/?^(PV0V/??>(PV0

(7)((P/\Q)-R)A(。-(5VR))=[(PAQ)V7?)八([QV(SVR))中QV(]PA5)VR

<?-|(。八([SVP))VR<=>-|(。八(S—P))VRo(。八(S—P))TR

10.使用恒等式證明下列各式，并寫出它們對(duì)偶的公式。

(1)(-1(-120V-](nPV。))QP

(2)(PV-i。)A(PV0)A(-|PV-i0)01(-]P7Q)

(3)0V-i((-]PV2)AP)?T

證明：

<1)(-1(-1*0V-](-]PVQ))=(PAQ)V(PA-iQ)=P/\(QViQ)u>p八Top

(2)(PV-iG)A(PVe)A(nPV-iQ)QPV(i2A0A(-|PVnQ)QPVFA(IPV-]。)

QP八(rPV-iQ)=(P/\iP)V(PA-(Q)=FV(PA-iQ)=(P/\-iQ)=iQPMQ)

(3)ev-|((-IPV。)八P)02V(-1(-1PV2)V-1p)o0V(PA-IQ)V-|P

=(QV-IPVP)A(ev-iPV-10)=7vr=r

11.試證明｛V｝,｛—｝不是全功能聯(lián)結(jié)詞集合。

證明：

若｛V｝是最小聯(lián)結(jié)詞組，則rPQ(PV…)

對(duì)所有命題變?cè)概?,則等價(jià)式左邊為尸，右邊為7,等價(jià)式矛盾。

若｛1｝是最小聯(lián)結(jié)詞組，則1P=P-(PT尸一…)...)

對(duì)所有命題變?cè)概?,則等價(jià)式左邊為尸，右邊為7,等價(jià)式矛盾。

12.證明下列蘊(yùn)涵式：

(1)尸八-Q)

(2)Pn(Q-P)

(3)(P-(QTR))=(P-。)—(PTR)

證明：

(1)PAQT(PTQ)=I(PAQ)V(PTQ)=(-)PV-)2)V(-]PVQ)=iPV(iQVQ)<=>T

因?yàn)槭?。一仍一?為永真式，所以PAQn(P—。)。

(2)尸T(。-P)o-1PV(-]QVP)=QV(]PVP)07

因?yàn)槭?QTP)為永真式，所以Pn(Q-P)。

(3)(P一(Q—R))一((尸一。)T(P—R))

o1(-]PV(i0V/?))V(-|(-]PVQ)V(-|PVR))

=(尸八(QA]/?))V((PA-]Q)V(-]PVR))

=(尸AQA]/?)V((PV-|PV/?)A(-|gV-|PVR))

=(PAQA]R)V(iPV-]QVR)

=((PV(1PV-|2V/?))A(0V(-]PV-,QVR))A(i/?V(-)PV-]QVR))=T

因?yàn)?P―>(Q―>/?))—>((P—>。)一>(P—?R))為永真式，所以(P—?(。->/?))0(P—>。)一>(P—>R)o

13.對(duì)下列各公式，試僅用T或1表示。

⑴-1P

(2)P/\Q

(3)PV0

(4)P—Q

解：

(1)-1PQ-](PAP)QP]P

(2)P八QQ(PTQ)T(PfQ)

(3)P-(-1PA-)Q)Q(rPt-IQ)o(PfP)NQTQ)

(4)P-QO-](PTP)VQO((PTP)T(PTP))T(QTQ)

14.將下列公式化成與之等值且僅含｛i,一｝中聯(lián)結(jié)詞的公式。

(1)(尸-1Q)AR

(2)尸二(QAR)VP

解：

(1)(P-1。)八R=(-iPV-i0A/??(nPA7?)V(-i。八R)=~i(PV-iR)V-|(QVrR)

0-1(RfP)V-](RfQ)=(RfP)f-|(RfQ)

(2)P=(QAR)VP=(P-((QAR)VP))A(((QAR)VP)-P)Q(-IPV((0A/?)VP))A(-)((0

AK)VP)VP)=TA(((-i2V-1R)八~iP)VP)u>((iQV-iR)VP)aPV(~iQViK)=PV

(QT-IR)QIPTQfR)

15.如果A(P,Q,R)由RT(。八r(RU°))給出,求它的對(duì)偶A*(P,Q,R),并求出與A及A*

等價(jià)且僅包含聯(lián)接詞“A”，"V”及“r”的公式。

解：

A*(P,Q,R)：/?；(2V-i(RfP))

RT(。八1(RJP))=-i(RA(。八(RVP)))Q-iRV-iQV(~iRAiP)

R\,(2V-1(RfP))=-iRA-iQA(-|/?VnP)

16.把牛。表示為只含有“廠’的等價(jià)公式。

解：Pig(PAQ)0n((PlP)MQlQ))o((P0MQJQ))1((PJP)[(Q1。))

17.證明：

(1)-i(PTQ)oiPhQ

(2)-i(PlQ)or味Q

證明：

(1)-i(PTO)o-i(-1(PAQ))=(PAQ)o-i(1*Q)oi叫Q

(2)-)(PlQ)o-)(-1(PVQ))=(PVQ)o-i(nPA-)Q)o-i尸門Q

18.求公式尸人(尸—0)的析取范式和合取范式。

解：尸人(尸一。)=尸八JPVQ)合取范式

o(PA-iP)V(PA。)析取范式

19.求下列公式的主析取范式和主合取范式。

(1)(1P-OI-iQVP)

(2)(PT(PVQ))\/R

(3)(P—QAR)/\((iP-(-i。八-IR))

解：

(1)真值表法

P。|1PTQr2V尸(iOVP)

11111

10111

01100

00011

主析取范式為：(PAQ)V(P/\rQ)V(-1PA-1Q)

主合取范式為：PViQ

公式化歸法

(-1尸一。)—(1QVP)oi(PV0V(-iQVP右(-)PAnQ)V(~igVP)

PV-iQVP)八(-1QV-iQVP)oPVi。主合取范式

o(PAQ)V(P/\-i2)V(-]PA-iQ)主析取范式

(2)真值表法(P-(PVQ))VR

pQRpvePT(PV。)(PT(PV0))VR

111111

110111

101111

100111

011111

010111

001011

000011

原式為永真式，其主析取范式為所有小項(xiàng)的析取，即：

WoooVwooiVmoloV/nonVnJiooVwioiVOTHOVWIII

不能表示為主合取范式。

公式化歸法

(尸一(PVQ))VRo(iPV(PVQ))VR=7VR=7

(3)真值表法(尸一。AR)八((-iP-(rgA-i??))

pQRQ\RP—QNR-iQArR-)PT(I2A-)R)原公式

11111011

11000010

10100010

10000110

01111000

01001000

00101000

00001111

主析取范式為：(PAQ/\R)V(~iPA~IQA-IR)o，〃ui\/，"ooo=〃?7Vmo

主合取范式為：%八此八歷3八歷4八%八%OM)01八MHOAMOIIAMOOAMIOIAMUOUKPV。

V-17?)A(PV-|QVR)八(PV-IQV-1R)八(~iPVQVR)八(iPVQVrR)八(iPV-iQVR)

20.求下列公式的主析取范式和主合取范式，并指出該公式的類型。

(1)(-1PV-iQ)T(Ph)2)

(2)2A(PV-]Q)

(3)PV(-)P-(QV(-|QTR)))

(4)(P—(。八/?))八(-1PT(-|eAn/?))

(5)P-(PA(QTP))

(6)(2->P)A(-iPA。)

解：

(1)

pQnPViQQ(-1PV-I。)—(PRQ)

11001

10111

01111

00100

主析取范式為：(PAQ)V(P/\rQ)V(-iPAg)

主合取范式為：PVQ

公式為可滿足式。

(2)

pQPV-]QQA(PV-|Q)

1111

1010

0100

0010

主析取范式為：P/\Q

主合取范式為：(iPVQ)八(PV-iQ)八(PVQ)

公式為可滿足式。

(3)PV(nP-(QV(-|。一R)))=PV(PV(QV(QVR)))

oPVQVR主合取范式

OMXJOOM)<=>““V”12V機(jī)3Vm4Vm5V機(jī)6Vm7主析取范式

公式為可滿足式。

(4)(P-*(<2A7?))A(-|P-(-12A-IR))o(-|PV(CA/?))A(PV(-1QAiR))o(rPV0A

(nPV/?)A(PV-12)A(PV-1K)o(-1PVQVR)八(-1PVQV-)7?)A(-|PV-10V-1R)八(P

V-]2V/?)A(PV-IeVnR)A(PVQV-IR)oMl00AMl0iAMmAM0l0AM0ltAM00l^M4

八"5八M7AM2AM3AMi主合取范式

w0V/n6<=>moooVmno主析取范式

公式為可滿足式。

(5)PT(PA(。-P))oiPV(PA(-iQVP))o(-iPVP)八(一1PV(~i0VP))=7

主析取范式為：，“oVsiVmzVnjj

公式為永真式。

(6)(0->P)A(-|PAQ)o(~i(2VP)A(-iPAQ)o(-i2A-)PAQ)V(PArPA0)o尸

主合取范式為：MOAMKMINM、

公式為永假式。

21.用將合式公式化為范式的方法證明下列各題中兩式是等價(jià)的。

(1)(P-Q)A(PTR),IQAR)

(2)(P—0)一(PA。)，(-1P—Q)/\(Q—P)

(3)PASA(-iPV-i。)，-iPA-igA(PV0)

(4)PV(尸一(PA。))，-1pv-iev(PAe)

證明：

(1)(P10)八(PfR)o(rPV0)A(-|PVR)

P—(。八R)orPV(Q/\R)o(-iPVg)A(-iPVR)

(2)(P-。)—(PAQ)o-i(-1PVg)V(PA0?(PA-]2)V(PA0?PA(-|QVQ)oP

(-1P-Q)A(QTP)O(PVQ)A(-IQVP)oPV(。八-IQ)o尸

(3)PA0A(nPV-i。)=仍八。八-iP)V(PA2A-)。)。尸

-)PA-i。八(PVQ)o(-iPA-ieAP)V(-)PA-iQ/\Q)=F

(4)PV(PT(PAQ))=PV(-IPV(PAQ))=7\/(PAQ)=r

-IPV-12V(PA0?(-1PV-10VP)A(-1*OVQ)=r

22.用推理規(guī)則證明以下各式。

(1)-|(夕八1Q)，10VR，~\R=>1P

(2)A—(BVC),(QVE)-A,OVE=BVC

(3)Bf\C,(B±5Q-^(￡>V￡)=>￡>V￡

(4)PTQ，hQVR)A-|R,1(I尸八S)=i

證明:

(1)-i(P/\i。)，nQVR,-iR0-1P

證明:

(1)-iRP

(2)-iQVRP

(3)-iQT⑴⑵I

(4)-i(PArQ)P

(5)-iPNQT(4)E

(6)-iPT(3)(5)I

(2)4—(8VC),(OVE)f,D7E0B7c

證明:

(1)OVEP

(2)(OVE)TAP

(3)AT(1)(2)I

(4)A—(8VC)P

(5)BVCT⑶(4)I

(3)B/\C,(B<=?C)->(￡>VE)=>￡)V￡

證明:

(1)B/\Cp

(2)BVCT⑴I

(3)(B^C)-^(DVE)P

(4)DVET(2)(3)I

(4)PTQ，(nCV/?)A-iR,1(1PA5)=>-|

證明:

(1)(-12V/?)A-|RP

(2)-IQ7RT(1)I

(3)-1RT(1)I

(4)-iQT(2)(3)I

(5)-i(-1PN)P

(6)STPT⑸E

(7)PTQP

(8)s-。T(6)(7)I

(9)-i2—>-iST(8)E

(10)1sT(4)(8)I

23.僅用規(guī)則P和T,推證以卜公式。

(1)-1AVB,C--]8=4--|C

(2)A-(B-C),(CAQ)一E,-|FT(C/\-IE)今A—(8->F)

(3)4VB-CA。，D7ET,=4一尸

(4)A-(8AC),-]B\JD,(E--iF)->-ID,B->(AAnE)=8-E

(5)(4—B)A(C-0,(B-E)八(D—F),n(EAF),4-C=nA

證明：

(1)nAVB,C-BnC

證明:

(1)1AVBP

(2)A-^BT(1)E

(3)C—1BP

(4)CT(3)E

(5)A—?-)CT(2)(4)I

(2)4T(8一C),(C/\D)TE,-I尸一(￡)AiE)=A—(5-F)

證明:

(1)A7(8TC)P

(2)1/4V-!BVCT(1)E

(3)(A八8)-CT(2)E

(4)(C/\D)TEP

(5)C->n(DA-|E)T(4)E

(6)(DA-IcT(5)E

(7)-1FT(。八E)P

(8)-I—IcT⑹⑺I

(9)C—FT(8)E

(10)(4A8)一尸T(3)(9)I

(11)nAV-iBVFT(10)E

(12)AT(B一F)T(11)E

(3)AV5-C八。，OVETF=力一F

證明:

(1)AV8-CAOP

(2)AVB->￡>T(1)I

(3)D\JE—FP

(4)DTFT(3)I

(5)AVB->FT⑵(4)I

(6)4—尸T⑸I

(4)A一(BAC),-iB'VD,(￡->-iF)fD,B->(AA-]E)=B

證明:

(1)-1BVQP

(2)BTDT(1)E

(3)(ET-JF)—>-|DP

(4)。-1(E-F)T(3)E

(5)D—(E八F)T(4)E

(6)Br(E八F)T⑵⑸I

(7)B—ET(6)I

(5)(4-8)/\(C-。)，(BTE)八(DTF),-I(EAF),4-C=~i4

證明：

(1)(4-8)A(C-。)p

(2)T(1)I

(3)C—DT(l)l

(4)(B—E)八(Q—F)P

(5)B—ET(4)I

(6)DTFT(4)I

(7)A—ET⑵⑸I

(8)C->FT(3)(6)I

(9)A—P

(10)A—>FT(8)(9)I

(11)T(7)(10)I

(12)n(EAF)->nAT(11)E

(13)-1（E八尸）P

(14)IAT(12)(13)I

24.用CP規(guī)則推證上題中的（1）、（2）、（3）和（4）式。

證明:

(1)nA\/BfC—BnA―>-]C

證明:

(1)AP（附加前提）

(2)-IAVBP

(3)BT⑴⑵I

(4)C->-iBP

(5)nCT(3)(4)I

(6)AT-JCT(1)(5)CP

(2)(C八0T￡,尸一(￡)A-1E)=>A—(8-F)

證明:

(1)AP（附加前提）

(2)A7(8一C)P

(3)BTCT(1)(2)I

(4)（C八0一EP

(5)C--I(￡>A-i￡)T(4)E

(6)(DA-IE)T(3)(5)I

(7)-IF—(。八1E)P

(8)-I(￡>AnE)TFT⑺E

(9)BTFT(6)(8)I

(10)4—(8-尸)CP⑴(9)

(3)AVB—C八。，OV-ATF

證明:

(1)AP（附加前提）

(2)AVBT(1)I

(3)P

(4)C^DT(2)(3)I

(5)DT(4)l

(6)DVET(5)I

(7)D\JE—FP

(8)FT(6)(7)I

(9)4一產(chǎn)CP(5)(8)

(4)A一(8AC),-iB7D,(EfF)D,B-E)0B—E

證明:

(1)Bp（附加前提）

(2)nBVDp

(3)DT(1)(2)1

(4)(E—1F)-1。P

(5)0fl(E+lF)T(4)E

(6)n(E-i2T⑶⑸I

(7)E/\FT(6)E

(8)ET(7)I

(9)B—ECP⑴⑻

25.證明下列各式。

(1)RT-IQ,RVS,ST-|Q,P-*Qn-|P

(2)S—QiR7S,-]R，1P=Q=P

(3)-i(P-0)f(RVS),(。一P)ViR,—。

證明:

(1)RT-IQ,RVS,ST-|Q,P一Qn-1P

證明：

(1)Pp（附加前提）

(2)PTQp

(3)QT(1)(2)I

(4)RfQP

(5)ST-1QP

(6)QT-IRT(4)E

(7)Q—-IST(5)E

(8)-iR13)(6)I

(9)1sT⑶⑺I

(10)-]7?A-iST⑻⑼I

(ID1(/?V5)T(10)E

(12)RVSP

(13)-l（/?▽5）八（/?丫5）（矛盾）T(12)(13)I

(2)S—>nQ,/?VS,iR，nPUQnP

證明:

(1)1RP

(2)RVSP

(3)ST(1)(2)I

(4)AlQP

(5)1QT(3)(4)1

(6)nP^QP

(7)(-1尸一。)八(?！?1P)T(6)E

(8)-1PTQT(7)I

(9)1Q—PT(8)E

(10)PT⑸(9)I

(3)n(尸一。)--I(RVS)，(Q-P)V-IR,R=P=Q

證明：

(1)RP

(2)(2—P)VrRP

(3)Q—PT(1)(2)I

(4)-1(P-Q)T-I(RVS)P

(5)(RV5)T(P-Q)T(4)E

(6)PTQT(1)(5)I

(7)(PT。)A(。一尸)T⑶(6)I

(8)PqQT(7)E

26.甲、乙、丙和丁四人參加考試,有人問他們，誰的成績(jī)最好？甲說“不是我”，乙說“是

丁”，丙說“是乙”，丁說“不是我”。四人的回答只有一人符合實(shí)際。問成績(jī)最好的是哪些？

若只有一人成績(jī)最好，是誰？

解：設(shè)A：甲的成績(jī)最好。B：乙的成績(jī)最好。C：丙的成績(jī)最好。D：丁的成績(jī)最好。

因?yàn)樗娜说幕卮鹬挥幸蝗朔蠈?shí)際，所以

若甲的回答符合實(shí)際，有：(~14八1。八~18八。)

若乙的回答符合實(shí)際，有：(4八。八1BAD)

若丙的回答符合實(shí)際，有：(AA-]DABAD)

若丁的回答符合實(shí)際，有：(4八IDA-]BA-iD)

所以：

(-1AA-iDA-]BAD)V(/1AOA-|BAD)V0A-|￡)ABAD)V(4A-)。八rBA-)。)=7

即(AA。ArB)V0A-|DA-iB)oT

但(4八。八rB)V(4A-|DA-IB)O0ADA-I8八OV(4A。八-IBAiQV(AA-|DAnB

AC)V(AA-IDA-]BA-iC)

(AADA-i8八。表示甲、丙和丁三人并列成績(jī)最好。

(AADA-)SA-iC)表示甲、丁兩人并列成績(jī)最好。

(AA-i。八18AC)表示甲、丙兩人并列成績(jī)最好。

(AAn。八~1BA-iC)表不甲成績(jī)最好。

若只有一人成績(jī)最好，是甲。

27.三人估計(jì)比賽結(jié)果，甲說“4第一，B第二二乙說“C第二，。第四”。丙說“A第二，

。第四”。結(jié)果三人估計(jì)得都不全對(duì)，但都對(duì)了一個(gè)，問4、B、C、。的名次。

解：設(shè)A：A第一。B-.B第二。C：C第二。D：。第四。E：A第二。

根據(jù)題意有：(A韋B)八(C去￡>)A(E去。)成立。將其化為析取范式的形式：

(A韋B)A(C由。)八仁生。)

=((AA-1B)V(-IAAB))A((CA-]￡>)V(-1CA￡>))A((￡A-)￡>)V(-i￡A￡>))

=((4AiBACA-iD)V(AA-iBA-iCAD)V(-]AABACAqD)V(-|AABAHCAD))A

((￡A-iZ))V(-i￡AD))

其中(AAifiA-iCA。)和(iAAfiACA-iO)不復(fù)合題意，可以從上式中刪去，原式化為：

((AA-IBACA-ID)V(-1AABA-]CAD))A((￡AnD)V(-1EAZ)))

=(4八-1fiACA-iDAEA-iD)V(-|AABA-iCADAFAqD)V(AA-IBACAn。八iE

A￡>)V(-|4八CADAqE/\D)

=(AA-|fiACA-iDAE)V(nAABA-iCADA-iE)

(AAIBACA-IOAE)中C和E)同時(shí)成立矛盾，故只能是(-)4ABA-1CADAqE)成立，

即B第二，。第四，4第三，C第一。

28.4,B,C,。四個(gè)人中要派兩個(gè)人出差，按下述三個(gè)條件有幾種派法？如何派？

(1)若A去則C和。要去一人；

(2)8和C不能都去;

(3)C去則。要留下。

解：設(shè)4：月去。B-.B去。C：C去。D：力去。

則(1)可表示為：A—>(C去。)；(2)可表示為：(BAC)；(3)可表示為：C--]D?

(1)(2)(3)同時(shí)成立，即A—(C隼O)Ai(BAC)A(C--]D)成立。將其化為析取范式的形式：

4-(。生。)八1(8AC)八(C—iD)

<=>(-]AV(-]CA￡>)V(CA-iD))A(~iBV-iC)A(~iCV-iD)

o(~iAV("iCA￡>)V(CA-iD))A(("iBA-iC)V(-iBA-i￡))V~iCV(~iCA-i￡)))

o(-)AAn8八rC)V(-iAA-iBA~IZ))V(~IAA-]C)V(~iAA-iCAn￡))V(-]CADAnB

A-iC)V(-1CADA-iBArD)V(nCA￡>A-iC)V(~iCADA-)CAq0)V(CA-iDA

-1BA-)C)V(CA-i￡)A-ifiA-iD)V(CA-i￡>A-]C)V(CAi。八iCAqD)

=(~iA/\"iBA-iCV("iAA~i2/\~IAA-iC)V("iAA-iC--I￡))V(-)BA-iCAD)

V<-1CAD)V(-1BACA-iD)

上式劃線的部分不符合題意，因此復(fù)合題意的有：

(-1AAiQV(-1BA-iCAD)V(-1CAP)V(-1BACA-iD),

(-1AA-iC)表示B和。去，(-]2八1C八。)表示A和。去，JCAD)表示4和。去或2

和。去，(~i8AC八表示A和C去。

故總共有三種派法：B和。去，4和。去或4和C去。

29.在一個(gè)盜竊案件中，已知下列事實(shí)：

(1)甲或乙是竊賊。

(2)甲是竊賊，作案時(shí)間不會(huì)發(fā)生在夜間12點(diǎn)以前。

(3)若乙的證詞正確，則夜間12點(diǎn)時(shí)被盜物品所在房間燈光未滅。

(4)若乙的證詞不正確，則作案時(shí)間發(fā)生在夜間12點(diǎn)以前。

(5)夜間12點(diǎn)被盜房間的燈光滅了。

判斷誰是盜賊，用構(gòu)造證明法寫出結(jié)論的判斷過程。

證明：設(shè)4甲是竊賊。B：乙是竊賊。C：作案時(shí)間發(fā)生在夜間12點(diǎn)以前。D