數(shù)學(xué)-專題30 軸對(duì)稱綜合題中的面積問(wèn)題（原版）

專題30軸對(duì)稱綜合題中的面積問(wèn)題【題型演練】一、單選題1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形外一點(diǎn)，且滿足∠BPC＝90°，連接PO．若PO＝4，則四邊形OBPC的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．162．一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△DEF繞點(diǎn)A(F)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后(圖2)，測(cè)得CG＝10cm，則兩個(gè)三角形重疊(陰影)部分的面積為(

)A．75cm2； B．（25＋25)cm2； C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm23．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤4．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（）A． B． C． D．5．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到如圖的新曲線A（﹣3，3），B（，）的直線相交于點(diǎn)C、D，則△OCD的面積為（）A．3 B．8 C．2 D．6．如圖，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，連接BB′，CC′，延長(zhǎng)CC′交BB′于點(diǎn)N，連接AB′，當(dāng)∠BAB′＝∠BNC時(shí)，則△ABB′的面積為（）

A． B． C． D．二、填空題7．如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點(diǎn)重合，將繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，連接，，此時(shí)四邊形的面積是________．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將CD繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是_______．9．如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠DAE=90°，AD=AE=4，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．10．如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)最大時(shí)，______．

三、解答題11．如圖1，在等腰三角形中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接．點(diǎn)M、N、P分別為的中點(diǎn)．(1)觀察猜想．圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小為_(kāi)_________．(2)探究證明把繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸將圖1中的繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F.(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°如圖2所示，得到結(jié)論：

①的值為

；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為

；(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；(3)在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為

.13．如圖，矩形中，為等邊三角形．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)三條線段的和最小時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度由A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度由E點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．E，P兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①求t為何值時(shí)，與相似；②求的面積S的最小值．14．面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)C．將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，①此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_________；②點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，試求最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積是否存在最大值？若存在，直接寫(xiě)出最大值，若不存在，說(shuō)明理由．15．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交折線，于點(diǎn)，連結(jié)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．(1)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．

(4)當(dāng)線段將的面積分成的兩部分時(shí)，直接寫(xiě)出的值．16．如圖1，在中，，，AO是BC邊上的中線，點(diǎn)D是AO上一點(diǎn)，，E是垂足，可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，連接AD和CF．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是_______．（填序號(hào)）①；②點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)：③AO是的角平分線；④．(2)數(shù)學(xué)思考：將圖2中繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，若，將繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．①則_______CF；②若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．17．如圖1，將三角形紙片（）進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開(kāi)鋪平；第二步：將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)E、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、G，直線與邊交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊交于點(diǎn)N．(1)已知．①在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，若直角三角形紙片的兩直角邊，在點(diǎn)G從點(diǎn)C開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

的過(guò)程中，設(shè)與的重疊部分的面積為S，則S的最小值為_(kāi)_______．18．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接DF．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．19．已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AB＝，BE＝2．以BE為邊向右側(cè)作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度(0≤≤90°)，連結(jié)AE，CG（如圖）．(1)求證：△ABE≌△CBG．(2)當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求CG的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，正方形BEFG停止旋轉(zhuǎn)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段AE掃過(guò)的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，，）20．問(wèn)題探究（1）如圖1，中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______；（2）如圖2，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決（3）如圖3，是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中，，邊上的點(diǎn)為休息區(qū)，米，米，兩條觀光小路和（小路寬度不計(jì)，在邊上，在邊上）擬將這個(gè)展示區(qū)分成三個(gè)區(qū)域，用來(lái)展示不同的花卉，根據(jù)實(shí)際需要，，并且要求四邊形的面積盡可能大，那么是否存在滿足條件的四邊形？若存在，請(qǐng)求出四邊形的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）21．如圖1，在中，，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D做邊的垂線，交邊于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_______，直線相交形成的較小角的度數(shù)為_(kāi)_______；(2)【拓展探究】試判斷：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明；(3)【問(wèn)題解決】當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．22．在中中．，，點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng)．連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．

(1)如圖1，點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)；①當(dāng)，時(shí)，則_________°；②猜想線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________．(2)如圖2，點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第（1）間中線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．(3)點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫(xiě)出x的取值范圍）．23．已知：與中，，，，，，現(xiàn)將和按圖的方式擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)、、在同一條直線上，并按如下方式運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)一：如圖，從圖的位置出發(fā)，以的速度沿方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，與相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)二：在運(yùn)動(dòng)一的基礎(chǔ)上，如圖，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與交于點(diǎn)，與交于

點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)在上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)；運(yùn)動(dòng)三：在運(yùn)動(dòng)二的基礎(chǔ)上，如圖，以的速度沿向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)為止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，中間的暫停不計(jì)時(shí)，解答下列問(wèn)題(1)在從運(yùn)動(dòng)一到最后運(yùn)動(dòng)三結(jié)束時(shí)，整個(gè)過(guò)程共耗時(shí)；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)與的重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，點(diǎn)正好在線段的中垂線上，若存在，求出此時(shí)的值；若不存在