數學-壓軸題04 圓的綜合（原版）

圓的綜合圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現，解答題居多且分值較大，難度較高．多考查切線的性質與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數、勾股定理、圖形變換等相關知識點，以及數形結合、整體代入等數學思想.此類題型常涉及以下問題：①切線的判定；②計算線段長及證明線段比例關系；③求三角函數值；④利用“輔助圓”求最值.右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：切線的判定解題模板：

1.（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點D，連接CD，且CD＝AC．求證：CD是⊙O的切線；【變式1-1】（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．求證：DE是⊙O的切線；【變式1-2】（2022?荊門）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．（1）求證：BE是⊙O的切線；

題型2：圓中求線段長度解題模板：2.（2022?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點E，交BC于點F，連接DF，OE交于點M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半徑為2，求FM的長．【變式2-1】（2022?盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點A，點B在⊙O上，邊DA的延長線交⊙O于點E，對角線DB的延長線交⊙O于點F，連接EF并延長至點G，使∠FBG＝∠FAB．（1）求證：BG與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，求AF的長．

【變式2-2】（2022?聊城）如圖，點O是△ABC的邊AC上一點，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點E，交AB于點D，連接OE，連接OD并延長交CB的延長線于點F，∠AOD＝∠EOD．（1）連接AF，求證：AF是⊙O的切線；（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的長．題型3：圓中的最值問題解題模板：技巧精講：

輔助圓模型

3.（碑林區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，半圓O的直徑AB＝10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是．問題探究：（2）如圖②，在邊長為10的正方形ABCD中，點G是BC邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點，請?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長的最小值．問題解決：（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

【變式3-1】（2022秋?南關區(qū)校級期末）【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點共圓．小吉同學的作法如下：連結AC，取AC的中點O，連結OB、OD，請你幫助小吉補全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是邊CD的中點，點F是邊BC上的一個動點，連結AE，AF，作EP⊥AF于點P．（1）如圖②，當點P恰好落在正方形ABCD對角線BD上時，線段AP的長度為；（2）如圖③，過點P分別作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，連結MN，則MN的最小值為．

【變式3-2】（2020秋?盱眙縣期末）如圖，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．（1）小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的長．（3）線段AE最大值為；若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．

4.如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設旋轉角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當∠CPD1＝2∠CAD1時，則旋轉角為a＝（直接寫結果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為（直接寫結果）【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為BC邊上的動點，將△FCE沿直線EF翻折，點C落在點P處，求點P到邊AB距離的最小值．

【變式4-2】如圖，在平面直角坐標系中，點M在x軸負半軸上，⊙M與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于C、D兩點（點C在y軸正半軸上），且，點B的坐標為（3，0），點P為優(yōu)弧CAD上的一個動點，連結CP，過點M作ME⊥CP于點E，交BP于點N，連結AN．（1）求⊙M的半徑長；（2）當BP平分∠ABC時，求點P的坐標；（3）當點P運動時，求線段AN的最小值．5.問題發(fā)現（1）如圖1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，試猜想△ABC面積的最大值為；問題探究（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，連接BD，求cos∠ADB的值；問題解決（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C為AB為直徑的半圓上一點，O為圓心，請問四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求這個最大值；若不存在，試說明理由．【變式5-1】問題提出：

如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點且∠EAF＝45°，請問線段BE、DF、EF有怎樣的數量關系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點E、F分別是射線CB、CD上的動點，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值．若不存在，請說明理由．

1.（2022?東營）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，BD⊥CE于點D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．2．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，D為的中點，連接AE，BD并延長交于點C．連接OD，在OD的延長線上取一點F，連接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半徑．3．（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點E為⊙O上一點，EF∥AC交AB的延長線于點F，CE與AB交于點D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．

4．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．5．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．6．（2022?蘭州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥OC，連接AD，∠ADO＝∠BOC，AC與OD相交于點E．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半徑．

7．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長．8．（2022?遼寧）如圖，△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點P作PD⊥AC，交CB的延長線于點D，交AB于點E，點F為DE的中點，連接BF．（1）求證：BF與⊙O相切；（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的長．9．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，半徑為6，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D

為優(yōu)弧上異于B、C的一動點，連接DA、DB、DC．（1）求證：AD平分∠BDC；（2）如圖2，CM平分∠BCD，且與AD交于M．花花同學認為：無論點D運動到哪里，始終有AM＝AC；都都同學認為：AM的長會隨著點D運動而變化．你贄同誰的觀點，請說明理由．（3）求DA+DB+DC的最大值．10．（2022秋?江都區(qū)月考）在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，點C是直徑AB上方半圓上一動點，連接AC、BC．（1）如圖1，則△ABC面積的最大值是；（2）如圖2，如果AC＝8，①則BC＝；②作∠ACB的平分線CP交⊙O于點P，求長CP的長．（3）如圖3，連接AP并保持CP平分∠ACB，D為線段BC的中點，過點D作DH⊥AP，在C點運動過程中，請直接寫出DH長的最大值．

11．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作PC⊥l，垂足為點C，PC與⊙O交于點D，連接PA，PB，設PC的長為x（2＜x＜4）．（1）當x＝3時，求弦PA，PB的長度；（2）用含有x的代數式表示PD?CD，并求出當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？12．（2022?嵩縣模擬）如圖，Rt△ABC的中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，點G是邊AB上一動點，以AG為直徑的⊙O交CG于點D，E是邊AC的中點，連接DE．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）填空：①當AG＝3cm時，⊙O與直線BC相切；②當點G在邊AB上移動時，△CDE面積的最大值是cm2．13．（1）如圖，△ABC中，OA＝OB＝OC，試求∠ACO和∠ABC的關系．

（2）已知△ABC中，∠A和∠B都是銳角，D和E在AB上，滿足：AD＝BD，CE⊥AB，已知∠ACD＝∠BCE，試判斷△ABC的形狀．14．（2021秋?自貢期末）在△ABC中，AB＝AC，過點C作CD⊥BC，垂足為C，∠BDC＝∠BAC，AC與BD交于點E．（1）如圖1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的長；