數(shù)學(xué)-2021年北京二模-新定義問(wèn)題（學(xué)生版）

2021年北京二?！露x問(wèn)題1．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱(chēng)點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A，在點(diǎn)Q1，Q2，Q3中，______是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；（2）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)，，以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍．2．對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)M，如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q與點(diǎn)M所構(gòu)成的是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，進(jìn)一步地，在中，若頂點(diǎn)M，P，Q按順時(shí)針排列，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“順關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；若頂點(diǎn)M，P，Q按逆時(shí)針排列，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“逆關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知，（1）在中，點(diǎn)A的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)是____，它們?yōu)辄c(diǎn)A的一對(duì)___關(guān)聯(lián)點(diǎn)（填“順”或“逆”）；（2）以原點(diǎn)O為圓心作半徑為1的圓，已知直線．

①若點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q在直線l上，點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)A的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求b的值；②若在⊙O上存在點(diǎn)R，在直線l上存在兩點(diǎn)和，其中，且點(diǎn)T，點(diǎn)S為點(diǎn)R的一對(duì)順關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求b的取值范圍．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖形Q和∠P，給出如下定義：若圖形Q上的所有的點(diǎn)都在∠P的內(nèi)部或∠P的邊上，則∠P的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P對(duì)圖形Q的可視度．如圖1，∠AOB的度數(shù)為點(diǎn)O對(duì)線段AB的可視度．（1）已知點(diǎn)N（2，0），在點(diǎn)，，中，對(duì)線段ON的可視度為60o的點(diǎn)是______．（2）如圖2，已知點(diǎn)A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接寫(xiě)出點(diǎn)E對(duì)四邊形ABCD的可視度為_(kāi)_____°；②已知點(diǎn)F（a，4），若點(diǎn)F對(duì)四邊形ABCD的可視度為45°，求a的值．4．對(duì)于平面內(nèi)點(diǎn)P和⊙G，給出如下定義：T是⊙G上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P繞點(diǎn)T旋轉(zhuǎn)180°后得到點(diǎn)P＇，則稱(chēng)點(diǎn)P＇為點(diǎn)P關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙G的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)P＇的示意圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P（0，－2）．（1）在點(diǎn)A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是；（2）若在直線上存在點(diǎn)P關(guān)于⊙O的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若點(diǎn)D在⊙O上，⊙D的半徑為1，點(diǎn)P關(guān)于⊙D的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)P＇，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P＇的橫坐標(biāo)P＇的取值范圍．5．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于⊙內(nèi)的一點(diǎn)，若在⊙外存在點(diǎn)，使得，則稱(chēng)點(diǎn)為⊙的二倍點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙的半徑為2時(shí)，①在，，三個(gè)點(diǎn)中，是⊙的二倍點(diǎn)的是；②已知一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)是，若一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是⊙的二倍點(diǎn)，求a的取值范圍．（2）已知點(diǎn)，，，⊙的半徑為2，若線段BC上存在點(diǎn)P為⊙的二倍點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．6．在平面直角坐標(biāo)系中，是k個(gè)互不相同的點(diǎn)，若這k個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)的不同取值有m個(gè)，縱坐標(biāo)的不同取值有n個(gè)，，則稱(chēng)p為這k個(gè)點(diǎn)的“特征值”，記為．如圖1，點(diǎn)．（1）如圖2，圓C的圓心為，半徑為5，與x軸交于A，B兩點(diǎn)．①________，_________；②直線與圓C交于兩點(diǎn)D，E，若，求b的取值范圍；（2）點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為1或，且這8個(gè)點(diǎn)構(gòu)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，，若拋物線恰好經(jīng)過(guò)

中的三個(gè)點(diǎn)，并以其中一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，直接寫(xiě)出a的所有可能取值．7．在△ABC中，點(diǎn)P是∠BAC的角平分線AD上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與△ABC的交點(diǎn)不少于4個(gè)，點(diǎn)P稱(chēng)為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度點(diǎn)”，線段PA的長(zhǎng)度稱(chēng)為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度距離”．（1）如圖，在∠BAC平分線AD上的四個(gè)點(diǎn)、、、中，連接點(diǎn)A和點(diǎn)的線段長(zhǎng)度是△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度距離”．（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（0，t），N（4，0）．①當(dāng)t=時(shí)，求出△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”的最大值．②如果內(nèi)至少有一個(gè)值是△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．8．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)．

①若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；②若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________；（2）如圖2，⊙的半徑為1．若⊙上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的取值范圍；（3）是軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙的半徑為2，若⊙上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，直接寫(xiě)出的取值范圍．9．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形G，給出如下定義：若在圖形G上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，且MN＝2，使得以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形，則稱(chēng)P為圖形G的“正點(diǎn)”．已知A（2，0），B（0，）．（1）在點(diǎn)（－1，），（0，0），（2，）中，線段AB的“正點(diǎn)”是；（2）直線（）上存在線段AB的“正點(diǎn)”，求k的取值范圍；（3）以（）為圓心，為半徑作⊙，若線段AB上總是存在⊙的“正點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．10．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M，N間的“閉距離”，記作d（M，N），特殊地，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點(diǎn)時(shí)，規(guī)定d（M，N）＝0已知點(diǎn)．

（1）①求d（點(diǎn)O，線段AB）；②若d（線段CD，直線AB）＝1，直接寫(xiě)出m的值；（2）⊙O的半徑為r，若d（⊙O，線段AB）≤1，直接寫(xiě)出r的取值范圍；（3）若直線上存在點(diǎn)E，使d（E，）＝1，直接寫(xiě)出b的取值范圍．11．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)和，給出如下的定義：若上存在一個(gè)點(diǎn)，連接P