數(shù)學-專項20 特殊四邊形中的面積轉(zhuǎn)換（帶答案）

專題20特殊四邊形中的面積轉(zhuǎn)換解題思路解題思路類型一：利用”同底等高“解決平行四邊形的面積”問題【模型歸納】類型二：特殊平行四邊形中等面積法應用典例分析典例分析【類型一：利用”同底等高“解決平行四邊形的面積”問題】【典例1】（2021春?滿城區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點F，E，若設該平行四邊形的面積為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．4 B．1 C． D．無法確定【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，在△AOB和△COD中，

，∴△AOB≌△COD（SSS），∴S△AOB＝S△COD，同理可證：△AFO≌△CEO（ASA），△BOE≌△DOF（ASA），∴S△AFO＝S△CEO，S△BOE＝S△DOF，∴陰影部分的面積＝S四邊形ABEF＝S平行四邊形ABCD＝1．故選：B．【變式1-1】（2021春?宜城市期末）如圖，在?ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝10，BC邊上的高為6，則圖中陰影部分的面積為（）A．6 B．15 C．30 D．60【答案】C【解答】解：觀察并結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可知，圖中下半部分的陰影面積等于上半部分的空白面積，∴S陰影＝S?ABCD，∵BC＝10，BC邊上的高為6，∴S?ABCD＝10×6＝60，∴S陰影＝×60＝30．故選：C．【變式1-2】（2021春?商河縣校級期末）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于O，EF經(jīng)過點O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，已知?ABCD的面積是20cm2，則圖中陰影部分的面積是（）

A．12cm2 B．10cm2 C．8cm2 D．5cm2【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴S陰＝S△BOC＝S平行四邊形ABCD＝5（cm2），故選：D．【變式1-3】（2021秋?岷縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【解答】解：作AM⊥BC于M，如圖所示：則∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四邊形ABCD＝BC?AM＝3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴圖中陰影部分的面積＝?ABCD的面積＝，故答案為：．【類型二：特殊平行四邊形中等面積法應用】【典例2】（2020?東坡區(qū)校級模擬）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為10cm、24cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（）cm．A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵對角線AC、BD的長分別為10cm，24cm，∴AO＝CO＝5cm，BO＝DO＝12cm，∴BC＝CD＝AB＝AD＝13cm，∴AC×BD＝BC×AE，

∴AE＝＝＝（cm）．故選：D．【變式2-1】（2020春?南寧期末）如圖，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于點H，則DH的長為（）A．3 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝，BO＝DO＝1，∴AB＝2，∴DH×2＝AC×BD，∴DH＝＝．故選：D．【變式2-2】（2021秋?金水區(qū)校級月考）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為4，6，AE⊥BC于點E，則AE的長是．【答案】【解答】解：如圖，設AC與BD的交點為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝2，BO＝BD＝3，AC⊥BD，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝，

∵S菱形ABCD＝BC?AE＝AC?BD＝×4×6＝12，∴AE＝12，∴AE＝，故答案為：．【典例3】（2020?廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，

∴EO+EF＝，故選：C．【變式3-1】（2020秋?歷城區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝3，BC＝4，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故選：C．【變式3-2】（2021春?平邑縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為對角線AC上一點，且CE＝CB，點P為線段BE上一動點，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，則PG+PF的值為．

【答案】【解答】解：連接CP，BD，交AC于M，∵四邊形ABCD為正方形，BC＝2，∴BD⊥AC，垂足為M，BM＝MC＝BC＝，∵S△BCE＝CE?BM，S△PCE＝CE?PF，S△BCP＝BC?PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，∴CE?BM＝CE?PF+BC?PG，∵BC＝CE，∴BM＝PF+PG，∴PG+PF＝．故答案為．夯實基礎夯實基礎1．（2021春?齊齊哈爾期末）如圖，?ABCD中，AC．BD為對角線，BC＝3，BC邊上的高為2，則陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．24

【答案】A【解答】解：∵?ABCD中，AC．BD為對角線，BC＝3，BC邊上的高為2，∴S?ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，∴S陰影＝S△ABD＝S?ABCD＝×6＝3．故選：A．2．（2021?建華區(qū)三模）如圖，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積為（）A．5 B． C．10 D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD

∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四邊形AEPF為平行四邊形，設?AEPF的對角線AP、EF相交于O，則AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF，∴△POF≌△AOE（SAS），∴圖中陰影部分的面積等于△ABC的面積，過A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，∴S△ABC＝×5×2＝5，即陰影部分的面積等于5．故選：B．3．（2021秋?畢節(jié)市期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于點E，則AE＝（）A．6 B．8 C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，∵AC＝6，DB＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴BC＝，

∵AC＝6，DB＝8，∴菱形ABCD的面積＝，∵BC＝5，∴AE＝＝，故選：C4．（2021春?吉林期末）如圖，E是?ABCD內(nèi)任意一點，連接AE、BE、CE、DE．若?ABCD的面積是10，則陰影部分圖形的面積是．【答案】5【解答】解：過E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴EN⊥AD，∵S△AED＝AD?EN，S△BCE＝BC?EM，∴S△ADE+S△BCE＝AD?EN+BC?EM＝BC?MN＝平行四邊形ABCD的面積＝×10＝5，∴陰影部分的面積＝5，故答案為：5．5．（2021秋?諸城市期末）如圖，菱形ABCD的周長為40，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，若PE+PF＝8，則菱形ABCD的面積為．

【答案】80【解答】解：連接AP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵菱形ABCD的周長為40，∴AB＝AD＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴菱形ABCD的面積＝2S△ABD＝2×（S△ABP+S△ADP）＝2（×10PE+×10PF）＝10（PE+PF）＝10×8＝80，故答案為：80．6．（2021?香坊區(qū)一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，BC＝8，OE+EF＝，則線段AB的長為．【答案】6【解答】解：∵矩形ABCD中，BC＝8，∴AC＝＝，∴AO＝AC，

∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積＝矩形ABCD的面積＝×AB?BC＝2AB，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即2AB＝AO×EO+DO×EF，∴2AB＝×AO（EO+EF）＝AC×＝AC，∴2AB＝，∴5AB＝3，解得AB＝6或AB＝﹣6（舍去），故答案為：6．7．（2020秋?萊州市期末）如圖1，平行四邊形紙片ABCD的面積為120，AD＝20．今沿兩對角線將四邊形ABCD剪成甲、乙、丙、