重慶楊家坪2023年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于函數(shù)/（幻=』口一高在區(qū)間（全乃］的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先遞減后遞增D.先遞增后遞減

2.一輛郵車從A地往3地運(yùn)送郵件，沿途共有"地，依次記為4，…A”（4為A地，4為3地）.從4地出

發(fā)時(shí)，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達(dá)A，…A,,各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為%（Z=l,2,…則4的表達(dá)式為

（）.

A.k（n-k+l）B.k（n-k-l）C.n（n-k）D,k（n-k）

22

3.若AB為過橢圓工+匕=1中心的弦，￡為橢圓的焦點(diǎn)，則△面積的最大值為（）

16925

A.20B.30C.50D.60

4.已知等邊△A5C內(nèi)接于圓7：x2+y2=l,且尸是圓r上一點(diǎn)，則PA《23+PC）的最大值是（）

A.0B.1C.73D.2

5.若雙曲線《-4=1的離心率e=E,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）

4b12

A.25/3B.2C.V3D.1

6.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個(gè)正整數(shù)，如果

它是奇數(shù)，則將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2；如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個(gè)程序框圖.若輸入〃的值為10,則輸出i的值為（）

（開始）

7=0

/輸入正壑?jǐn)?shù)萬/

w=J〃=3曾+1(結(jié)束

i=Z+1

________________[J

A.5B.6C.7D.8

22

7.已知片、入分別是雙曲線c：5—與=1（4>0力>o）的左、右焦點(diǎn)，過心作雙曲線c的一條漸近線的垂線，分

a"b~

別交兩條漸近線于點(diǎn)A、8,過點(diǎn)8作％軸的垂線，垂足恰為￡,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.GC.2^3D.75

8.甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包，被乙.丙、丁三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得

“最佳手氣''（即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人）的概率是（）

1323

A.-B.—C.—D.一

31054

9.已知拋物線C：y的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，直線與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，若PA=2AE，

4i

則|人同為（）

4016

A.—B.40C.16D.—

93

10.已知函數(shù)f（x）滿足當(dāng)xWO時(shí)，2/（%-2）=/（%）,且當(dāng)xG（-2,0]時(shí)，/（x）=|x+l|-l；當(dāng)x>0時(shí),

/0）=108“宜4>。且。。1）.若函數(shù)/（幻的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對，則。的取值范圍是（)

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

11.已知直線Gx-y+,"=O過雙曲線&二-2=1（。>0力>0）的左焦點(diǎn)尸，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)4,若

cTb

\FA\=\FO\（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為

A.2B.>/3+1C.V?D.V5-1

12.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=界+1,貝氏=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知△ABC得三邊長成公比為,3的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.

14.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

①因?yàn)閟山（x+5卜sinx,所以?不是函數(shù)y=sinx的周期；

②對于定義在R上的函數(shù)/（X）,若./（-2）。/（2）,則函數(shù)“X）不是偶函數(shù)；

③“M>N”是“l(fā)og2M>log[N”成立的充分必要條件；

④若實(shí)數(shù)。滿足/44,則。42.

22

15.已知雙曲線三-與=1（。>02>0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,則該雙曲線的離心率為_____.

ab~

16.在邊長為2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=\,則的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=lnx.

（1）求函數(shù)g（x）=/（x）-x+l的零點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)“X）的圖象與函數(shù)y=x+：-l的圖象交于A&,X）,乂）（為<々）兩點(diǎn)，求證：?<x,x2-x,；

（3）若女〉0,且不等式（丁_1）〃月2M》-1丫對一切正實(shí)數(shù)*恒成立，求A的取值范圍.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為直角梯形，AB±AD,ZADC=45°,AD//BC,AD=2AB=2,

△AZ*為等邊三角形，平面底面ABC。，E為AO的中點(diǎn).

p

(1)求證：平面尸3C_L平面PCE；

(2)點(diǎn)廠在線段CD上，且C等F=：3，求平面P4)與平面尸班'所成的銳二面角的余弦值.

f_oV2

X=2H----1

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為:2。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

V=1-----1

V2

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為22一42cos6=3.

(1)求直線/的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,l),求曲訃|尸3|的值.

20.(12分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD=2,BC=4,M，N,。分別為BC,CD,

AC的中點(diǎn)，以AC為折痕將ACD折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P位置(Pe平面ABC).

(1)若，為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面A3P；

(2)若直線A8與直線MN所成角為四，求二面角A—PC—3的余弦值.

4

22

21.(12分)已知耳鳥為橢圓￡：十+去=1(。＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)，離心率為:，點(diǎn)P(2,3)在橢圓上.

(1)求橢圓E的方程;

1.1

(2)過K的直線4,分別交橢圓于A、C和A。，且《上右，問是否存在常數(shù)兄，使得的"，兩成等差數(shù)列？

若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(*)=k一3|+上一1|.

(1)求不等式6的解集；

(2)設(shè)/(力的最小值為正數(shù)“，。滿足"+4)2=^,證明：a+2b>4ab.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先用誘導(dǎo)公式得/(%)=-sinjx-?卜cos卜+q],再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.

【詳解】

函數(shù)/(幻=一5足口-￡)=85卜+2]的圖象可由>=85%向左平移2個(gè)單位得到,如圖所示,/(幻在色,萬)上先

遞減后遞增.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第攵站時(shí)，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第攵站時(shí)，一共裝上了S-D+(〃-2)+……5_幻=(2〃_1；公義1件郵件,

需要卸下1+2+3+……伏7)=話二12件郵件，

加(.2n-\-k)xkkx(k-\)

貝!Jak=--------------------------------——=%(〃-k),

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.D

【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對稱性可得8(-x,-y),在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),

此時(shí)△耳面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y),根據(jù)對稱性可得8(-x,-y),

則\F.AB的面積為S=^x\0F\x\2y\=c\y\,

當(dāng)3最大時(shí)，△片的面積最大，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A耳AB的面積最大,

22

又由工+2L=I,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5),(0,5),

16925

所以△片AB的面積的最大值為S=cb=V169-25x5=60.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化

歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

4.D

【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(cosO,sin。)，則PA.(P8+PC)=l-cos8,計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則A(1,O),岑)，C，設(shè)P(cosO,sin。)，

則AX?(而+PC)=(1-cose,—sin6)?(—1—2cos仇一2sin，)

=(1-cos0)(-1-2cos0)+2sin20=2cos2^-cos^-l+2sin26=1-cos642.

當(dāng)。=一不，即尸(一1,0)時(shí)等號(hào)成立.

本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得a,),c的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.

【詳解】

雙曲線三一4=1的離心率6=立，

4b22

則。=2,e=￡=[,解得c=&,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為上6,0),

所以b=M?-a2=<7-4=>/3'

則雙曲線漸近線方程為y=±且x，即石尤±2y=0,

2

7

不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得”5

3+4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

輸入〃=10,〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=L=5,i=0+1=1；

2

〃二1不成立，〃是偶數(shù)不成立，貝!U=3x5+l=16,i=l+l=2；

〃二1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=3=8,i=2+1=3；

2

Q

〃二1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=4,,=3+1=4；

2

一4

〃二1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=2,i=4+l=5；

2

.2

〃二1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=7=1,i=5+1=6；

2

〃=1成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

bh2

設(shè)點(diǎn)N位于第二象限，可求得點(diǎn)3的坐標(biāo)，再由直線86與直線丁二一元垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為-1可得出二

aa

的值，進(jìn)而可求得雙曲線。的離心率.

【詳解】

hhr(be1

設(shè)點(diǎn)3位于第二象限，由于幽，x軸，則點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為4=-c,縱坐標(biāo)為%=——4=一，即點(diǎn)8-C,一,

be

b,.b2

由題意可知，直線8人與直線y=-x垂直,a，..——2,

a~ba.

22

因此，雙曲線的離心率為ea+b

a2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出。、b.C的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

8.B

【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.

【詳解】

設(shè)乙，丙，丁分別領(lǐng)到X元J元義元，記為（X,y,Z）,則基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)洪10個(gè)淇中符合乙獲得，，最佳手

_3

氣”的有3個(gè)，故所求概率為正,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法，屬于基礎(chǔ)題型.

9.D

【解析】

如圖所示，過A3分別作于D,利用AAPCMPD和AFPMNBPD,聯(lián)立方程組計(jì)算得

到答案.

【詳解】

如圖所示：過分別作ACJ■/于C,BD1./于D.

PA=2AF>則|AC|=|忻M|=g

4

APArAP

根據(jù)AAPC&3PD得到：—,即3

AP+2〉如

4

AP+-c

FM

根據(jù)AfPM她叫得到：—=，即-----F-=~BD)

BDAP+-+BDBD

3

解得AP=|,BD=4,故|A@=|AF|+忸日=|AC|+忸O|=g.

本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

10.C

【解析】

先作出函數(shù)fM在（-8,0］上的部分圖象，再作出/'（X）=log“x關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)

時(shí)滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數(shù)f（x）在（-8,0］上的部分圖象，再作出/（x）=log“x關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，

如圖所示，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，對稱后的圖象不可能與/（X）在（-8,0］的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a＞1時(shí)，要使函數(shù)fM關(guān)于原點(diǎn)對稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

a>1

貝!!<一log,,?〉一］,解得9<a<625.

,u1

-loga5<--

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

11.B

【解析】

直線Gr-y+〃?=O的傾斜角為藝，易得I旦RF0=c.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得△山方中，ZE4￡=90,則

3

\AE\=y[3c,所以雙曲線C的離心率為e=耳士=6+1.故選B.

12.B

【解析】

Enl+2i(l+2i)(2+i),2+i+4i+2”

因?yàn)閆二5萬--------------------F1=--------------------+l=l+i,所以］=IT，故選B.

(2-i)(2+i)5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.士

4

【解析】

試題分析：根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為q,"a,2a，「2a>而?！怠??：2。所對的角為最大角，設(shè)為仇則根據(jù)

余弦定理得cos8=g士巫匕士上,故答案為寶.

2西44

考點(diǎn)：余弦定理及等比數(shù)列的定義.

14.①②④

【解析】

對①,根據(jù)周期的定義判定即可.

對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.

對③,舉出反例判定即可.

對④，求解不等式CC<4,再判定即可.

【詳解】

JIJI

解：因?yàn)楫?dāng)一刀時(shí)，sinx+-wsinx.

31J

所以由周期函數(shù)的定義知?不是函數(shù)y=s加x的周期,

故①正確；

對于定義在R上的函數(shù)/（X）,

若/（-2）=〃2）,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)/（X）不是偶函數(shù),

故②正確；

當(dāng)M=1,N=0時(shí)不滿足log2M>log2N,

則“M>N”不是“/%例>%2%,”成立的充分不必要條件，

故③錯(cuò)誤；

若實(shí)數(shù)“滿足/44,

則-2Va<2,

所以a42成立，

故④正確.

???正確命題的序號(hào)是①?④.

故答案為：①②

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.

15.y/5

【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示匕=2。，再由雙曲線a,A,C關(guān)系表示°=9最后結(jié)合雙曲

線離心率公式計(jì)算得答案.

【詳解】

yp-JA

因?yàn)殡p曲線為二-與=1（“>0力>0）,所以該雙曲線的漸近線方程為y=+-x.

ab1a

又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,即2=介，則。=2a,

由此可得c=yjcr+b2—y/5ane=￡二.

故答案為：y[5.

【點(diǎn)睛】

本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.

16.(-2,-^]

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得CO-8E=2孫+2x+2y-4,而x〉0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(O,l),由此構(gòu)造函數(shù)/(幻=一2/+2%一2,0<%<1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(-1,O),5(1,0),C(0,回設(shè)。5，0),E5,力)，

根據(jù)瓦5=尤麗，即據(jù)T,0)=x(-2,0),則為=l-2x,

CE=yCA>即(工2,%一5^)=y(—1,-V3),貝!|工2=一y，%~,

所以CZ>BE=a，—百)?(占一1,必)，

=xi(x2—Y)—\!3y2=(1—2x)(—y—1)—3(—y+1)=2xy+2x+2y—4,

0,y>0,x+y=\,

:.y=\-x,且xe(0,l),

故C￡>8E=2x(l-x)+2x+2(l—x)-4=-2f+2x—2,

設(shè)f(x)=-2f+2x—2,0<x<l,易知二次函數(shù)/(x)的對稱軸為x=g,

故函數(shù)/(x)在[0,1]上的最大值為/(}=一^，最小值為/(°)=/⑴=-2,

3

故CDBE的取值范圍為(-2,-

3

故答案為：(一2,一個(gè).

2

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,

求解時(shí)注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴x=l(2)證明見解析⑶0<鼠2

【解析】

(1)令g(x)=/，a-x+l,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；

(2)轉(zhuǎn)化思想，要證馬一玉，即證王孫(1-史三如)<玉々一為，即證/“盧)>1一五，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證

(3)不等式，-1)機(jī)v/(x-)2對一切正實(shí)數(shù)X恒成立，，-1)加?依》-1)2=(/一1)［弧-處?11,設(shè)

X+1

心)=加一梃二?，分類討論進(jìn)而求解.

X+1

【詳解】

11—Y

解：(1)令g(x)=/nx-x+l,所以g，(x)=--l=——,

XX

當(dāng)Xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(1,+c。)單調(diào)遞減;

所以g(x%,=g⑴=0,所以g(x)的零點(diǎn)為x=1.

,a.

bvC]=XjH----1

x\lnx-lnx

Z12{L

(2)由題意?,.,.?=xlx2.(l---------),

7a1々一百

Inx^y=%)H-----1

_九2

_.Inx^-Inx,.x.

z2xx

要證a<\x2—x}x2—xl9即證無---------)<為9一\9即證/〃(=)>1---9

令，=三〉1,則布>1-1,由(1)知/碼,x-i,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)等號(hào)成立，所以山！/-1,

X,ttt

即/m>1-1,所以原不等式成立.

t

(3)不等式(爐-l)/nx/(x->對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，

(x2-l)//tr-^(x-l)2=(x2-l)[/nx--^—~,

x+1

工“、,女(x-1)12kx1+2(\-k)x+\

設(shè)h(x)=lnx---——,h\x)=一一-~-j=------------

x+1x(x+1)x(x+l)-

記(p(x)=x2+2(1—^)+1,△=4(1—A)：_4=4k(k—2),

①當(dāng)A”。時(shí),即0<￡,2時(shí)，〃(x)..O恒成立,故〃(x)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(幻<〃(1)=0,又/一1<0,故(x2-l)/nx>A(x-l)2,

當(dāng)%>1時(shí),〃(幻>如)=0,又/-1>0,故“2—1)/心>伙％-1)2,

又當(dāng)尤=1時(shí)，(x2-\)ln-k(x-Y)2,

因此，當(dāng)0<￡,2時(shí)，(X?,

②當(dāng)△>0,即左>2時(shí)，設(shè)Y+2(1-Qx+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根分別為X,，毛(W<七)，

又。⑴=4-2&<0,于是毛<1<&-1<犬4，

故當(dāng)xe(l,Z-l)時(shí)，〃(x)<0,從而〃(x)在(1歡-1)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,無一I)時(shí)，/i(x)</?(l)=0,此時(shí)％2一1>(),于是，一l)/i(x)<0,

BP(x2-V)lnx<^(x-1)2舍去，

綜上，人的取值范圍是0<匕，2.

【點(diǎn)睛】

(1)考查函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)；(2)考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；(3)考查分類討論

思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導(dǎo)；屬于難題.

18.(1)見解析(2)理叵

61

【解析】

(D根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得PELAD,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得PE，底面ABCD,由此證得PELBC,

結(jié)合CELBC證得8CL平面PCE,由此證得：平面依C_L平面PCE.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面尸3廠和平面24。的法向量，計(jì)算出平面尸4)與平面所成的銳二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：,??△Q4O為等邊三角形，E為的中點(diǎn)，，PE_LA￡>

?.?平面Q4DJ_底面ABC。，平面底面ABCD=AD,

二PEL底面ABCD,3Cu平面ABC。，/.PEVBC

又由題意可知A5CE為正方形，CE1BC

又PEEC=E,:.BC工平面PCE

BCu平面PBC,.?.平面PBC，平面PCE

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則E(o,o。)，A(0,-1,0),8(1,TO),C(1,O,O),D(O,1,O),P((),(),百)，由已知

6=|皿得尸停I，。)，

尸5=(1,PF=('，1，一百)

設(shè)平面PBF的法向量為〃=(x,y,z),貝！)

n-PB-x-y-'fiz=0

n-PF-—x+—y—y/3z-0

55.

由(1)知平面PAO的法向量可取為加=(1,0,0)

J.平面PAD與平面PBF所成的銳二面角的余弦值為生感.

61

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔

題.

19.(1)直線/的普通方程尤+丁一3=0,圓C的直角坐標(biāo)方程：x2+y2-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.

【詳解】

X=24-----1

(1)直線/的參數(shù)方程為二2(￡為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0.

V=1-----1

V2

圓C的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos0=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為-4x-3=0.

"+名

2

(2)把直線，的參數(shù)方程為:(，為參數(shù))，代入圓的直角坐標(biāo)方程/+/-4工-3=0,

V=1------1

I2

得到「一"_6=0，

所以幽|小西=|，也|=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

20.(1)見解析(2)織

7

【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面"NQ平面Q4B,即可證明MH〃平面4??；(2)以QM,QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接QM,

?；M,N,。分別為BC,CD,AC的中點(diǎn)，

AQM//AB,

又?.?QMZ平面Q48,AB\平面

：.QM平面

同理，QN〃平面PAB,

：。"<=平面四。，QNu平面MNQ,QMQN=Q,

平面MNQ平面B4B,

??,MWu平面MNQ,

〃平面ABP.

(2)連接PQ,在ABC和ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2ABBC-COS/ABC

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC)

由NA8C與NADC互補(bǔ)，AD=AB=CD=2,BC=4,可解得AC=2百,

于是BC2=AB2+AC2，

AABI.AC,QMLAC,

TT

'：QMAB,直線AB與直線MN所成角為一,

4

TT

:?4QMN=—,又QM=QN=\,

4

TT

：.ZMQN=-,即QM_LQN,

Q例，平面APC,

...平面ABC_L平面APC,

?.?。為AC中點(diǎn)，PQ1AC,

PQ,平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為x,y,二軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(2,-百,0),C(0,百,0),尸(0,0,1),

依=(2,",-1),PC=(0,V3,-l).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n-PB=Q2x-y/iy-z=0

，即《

n-PC=0出y-z=0

令y=l,則x=VLz=5可得平面P6c的一個(gè)法向量為〃=(6,1,6).

又平面APC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),

.m*hV21

??cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

...二面角A-PC-3的余弦值為叵.

7

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.

r2.,27

21.(1)—+^-=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由條件建立關(guān)于的方程組，可求得。，"c,得出橢圓的方程;

(2)①當(dāng)直線//的斜率不存在時(shí)，可求得|4。=6,忸。|=8,,求得2,②當(dāng)直線4c的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)

展：y=/c(x+2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段n。=筆詈2