八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元 易錯(cuò)題提高題檢測(cè)試卷

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元易錯(cuò)題提高題檢測(cè)試卷

一、選擇題

1.如圖，已知平行四邊形ABC。，AB=6,BC=9,NA=12（）。，點(diǎn)P是邊A3上一

動(dòng)點(diǎn)，作尸￡，BC于點(diǎn)E，作ZEPF=120。（PE在PE右邊）且始終保持

C.3屈＜機(jī)＜9+3bD.3百+3S＜加＜3b+9

2.已知在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NBCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分別是BC、CD

邊的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)P,連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q,連結(jié)AF,則下列結(jié)論不

A.CP平分NBCDB.四邊形ABED為平行四邊形

C.CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分D.4ABF為等腰三角形

3.如圖，正方形ABCD的周長(zhǎng)是16,P是對(duì)角線AC上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，則

PE+PD的最小值為（）

4.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD＞BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分別從A、C同時(shí)出

發(fā),P以lcm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng),Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，多少s時(shí)直線將四邊

形ABCD截出一個(gè)平行四邊形（）

BQ

A一PD

A.1B.2C.3D.2或3

5.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)G是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CG=CB,連接8G,取8G上任

意一點(diǎn)H,分別作于點(diǎn)M,HNLBC于點(diǎn)N,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則HM+HN的

值為（）

C.石V2

6.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為5,AG=CH=4,BG=DH=3,連接G”，則線

段G”的長(zhǎng)為（）

C.V2D.5-V2

7.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，CE平分ZDC3交BD于點(diǎn)F,

且NABC=60°,AB^IBC,連接。E,下列結(jié)論：①乙48=30。；

②SYA56=AC8C；③OE：AC=1:4?其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

8.如圖，菱形ABC。中，過(guò)頂點(diǎn)。作CELBC交對(duì)角線于E點(diǎn)，已知

NA=134°,則N3EC的大小為（）

A

A.23°B.28°C.62°D.67°

9.如圖，在ABC中，NACB=90°,4C=BC=2,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC

上，點(diǎn)F在BC上，且AE=CF,給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）DE=DF;（2）DEF是

等腰直角三角形；（3）四邊形CEDF面積=；SOBC；"）EF?的最小值為2.其中正確

的有（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

10.如圖，在菱形A8C。中，AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），且AE=DF,連接8F與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)兒給出如下幾個(gè)結(jié)

苗

論：①△AED也△DFB：②GC平分N8GD；③S四邊彩BCDG=幺CG?；④NBGE的大小為定

4

值.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，在等邊A6c和等邊DE尸中,在直線AC上，BC=30￡：=3,連接

BD,BE,則BD+BE的最小值是.

12.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是.

BHC

13.如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)是4,NABC=60°,點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，邊上的

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B,C重合），且BE=BF，若EGHBC，F(xiàn)G//AB,EG與FG相

交于點(diǎn)G,當(dāng)AOG為等腰三角形時(shí)，8E的長(zhǎng)為.

14.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F,若AB=AE,

/EAD=2ZBAE，則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號(hào)）.

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E,若NCBF=20。，則

/AED等于一度.

B----------------&

16.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=DC,點(diǎn)P為邊

AD上一動(dòng)點(diǎn)，且PC_LPG,PG=PC,點(diǎn)F為EG的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則

CF的最小值為

17.如圖，在ABC中，。是AB上任意一點(diǎn)，E是8c的中點(diǎn)，過(guò)C作C77/4B,交DE的

延長(zhǎng)線于F,連BF,CD,若5>8=30。，ZABC=45°,BC=242>貝U

DF=.

18.已知：如圖，在A5。中，ADA.BC,垂足為點(diǎn)。，BEA.AC，垂足為點(diǎn)E，

M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)AB=4，NO4C=30。則

EM=；EDM的面積為,

19.如圖，在四邊形ABCD中，4)//3。,人。=5,3。=18,?是8。的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng);點(diǎn)。同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)。出發(fā)，沿CB向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

，秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，貝"的值等于.

20.如圖所示，已知A8=6,點(diǎn)C,。在線段A8上，AC=D8=1,P是線段CD上的動(dòng)

點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△4EP和等邊△PFB,連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是.

21.已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABC。所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重

合），AB=AE,過(guò)點(diǎn)B作。E的垂線交DE所在直線于F,連接CF.

提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問(wèn)題：

（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：_；

（2）然后考察點(diǎn)￡的一般位置，分兩種情況：

情況1:當(dāng)點(diǎn)E是正方形A8CD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；

情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí).

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

拓展問(wèn)題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.如圖1,AA8C是以NACB為直角的直角三角形，分別以A8，BC為邊向外作正方

形ABEG，BCED,連結(jié)AO，CF,AO與CF交于點(diǎn)M，ABHCF交于點(diǎn)、N.

EE

(1)求證：MBDv^FBC；

(2)如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接A尸和ED，若A￡>=6,求四邊形ACD產(chǎn)的面積.

23.在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明對(duì)對(duì)角線互相垂直的四邊形進(jìn)行了探究，得出了如下結(jié)

論：如圖1,四邊形A8CO的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，AC1BD,則

AB2+CD2=AD2+BC2.

(2)根據(jù)小明的探究，老師又給出了如下的問(wèn)題：如圖2,分別以RrACB的直角邊

4C和斜邊A8為邊向外作正ACFG和正方形ABOE，連結(jié)CE、BG、GE.已知

AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng)，請(qǐng)你幫助小明解決這一問(wèn)題.

24.綜合與探究

如圖1,在AABC中,ZACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AO,以A￡>為一邊且在AD

的右側(cè)作正方形解答下列問(wèn)題：

(1)研究發(fā)現(xiàn):如果AB=AC,N1%C=90°

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)5不重合)，線段CF、之間的數(shù)量關(guān)系為

，位置關(guān)系為.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍成立并說(shuō)明理由.

(2)拓展發(fā)現(xiàn):如果ABwAC,點(diǎn)力在線段BC上,點(diǎn)尸在A4BC的外部，則當(dāng)

ZACB=時(shí),CFLBD.

圖1圖2圖3

25.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，

?ZBCF="；

②BC,CD,CF之間數(shù)量關(guān)系為.

（2）（數(shù)學(xué)思考）：如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中兩個(gè)結(jié)論是否

仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）（拓展應(yīng)用）：如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AB=6,

CD=^BC,請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)及菱形ADEF的面積.

圖（2）圖（3）

26.如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm,ZADC=120°.動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出

發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動(dòng)，連接AF、CE,分別取AF、CE的中點(diǎn)G、H.設(shè)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0<t<4）.

（1）求證：AFIICE；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，ZkADF的面積為也cm2：

2

（3）連接GE、FH.當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EHFG為菱形.

(1)如圖1,在正方形ABC。中，E是A3上一點(diǎn)，尸是AZ)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DF=BE.CE和。尸之間有怎樣的關(guān)系.請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖2,在正方形ABCD中，E是A6上一點(diǎn)，G是A￡>上一點(diǎn)，如果

ZGCE=45°,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE^BE+CD.

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3在直角梯形ABC。

中，AD//BC(BC>AD),ZB=90°,AB=3C=12,E是A6上一點(diǎn)，且

/DCE=45°,BE=4,求。E的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

28.已知正方形ABCD.

(1)點(diǎn)P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在AB的左側(cè)，ZAPB=45°.

①如圖(1),若點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖(2),若點(diǎn)P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作。連結(jié)AQ.求

NPAQ的度數(shù).

(2)如圖(3),點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)且滿足BC=CF,連接BF并延長(zhǎng)交AD邊于點(diǎn)E,過(guò)

1

點(diǎn)E作EHJ_AD交CF于點(diǎn)H,若EH=3,FH=1,當(dāng)停=耳時(shí).請(qǐng)直接寫出HC的長(zhǎng)

29.在矩形ABCD中，連結(jié)AC,點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著BfA

的路徑運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒).以鹿為邊在矩形ABC。的內(nèi)部作正方形8E//G.

(1)如圖，當(dāng)ABC0為正方形且點(diǎn)”在AABC的內(nèi)部，連結(jié)AH,C〃，求證：

AH=CH；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且把矩形ABC。面積平分的直線有條；

(3)當(dāng)AB=9,8C=12時(shí)，若直線A"將矩形ABC。的面積分成1：3兩部分，求f的

值.

30.如圖，在矩形A8CO中，AB=a,8C=力，點(diǎn)/在。。的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AO

上，且有NC8E=，NABb.

2

(1)如圖1,當(dāng)。=匕時(shí)，若NCBE=60°,求證：BE=BF；

3

(2)如圖2,當(dāng)/?=-“時(shí)，

2

①請(qǐng)直接寫出ZABE與NBFC的數(shù)量關(guān)系：；

②當(dāng)點(diǎn)E是AO中點(diǎn)時(shí)，求證：CF+BF=2a；

③在②的條件下，請(qǐng)直接寫出5位：S矩形ABCD的值.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.D

解析:D

【解析】

【分析】

設(shè)PE=x,則PB=^x,PF=36x,AP=6-空x,由此先判斷出AF_LPR,然后可分

33

析出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，CF+DF最小；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CF+DF最大.從而求出m

的取值范圍.

【詳解】

NBPE=30°,Z￡P(guān)F=120°

ZAPE=30°

由AP、PF的數(shù)量關(guān)系可知A/_LPE，ZPAF=60')

如上圖，作/84"=60°交8(2于乂，所以點(diǎn)F在AM上.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，CF+DF最小.此時(shí)可求得CF=3瓜DF=3s

如上圖，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CF+DF最大.此時(shí)可求得CF=3J7,OR=9

3百+3救〈加＜3e+9

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查幾何圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，判斷出A/_LPE，然后可分析出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，

CF+DF最小；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CF+DF最大是解題關(guān)鍵.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

A.根據(jù)邊角邊”證明△BCF^ADCE,然后利用"角邊角"證明△BEP@ADFP,再利用"邊角邊"

證明△BCPm4DCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NBCP=NDCP；

B.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABED為平行四邊形；

C.連接QD,利用"邊角邊"證明△8CQ和△DCQ全等，根據(jù)全等三角形的面積相等判斷出

5A8CQ=5AOCQ,判斷出CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等.

D.根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得A8=DE,再求出AB=8F,從而得到△A8F為等腰三角

形；

【詳解】

解：?.?BC=CD,E、F分別是BC、8邊的中點(diǎn)，

BE=CE=CF=DF,

在^BCF^ADCE中，

|BC=DC

J/BCF=4￡)CE=9O°

ICE=CF

：./\BCF^/\DCE(SAS),

：.DE=BF,NCBF=NCDE,NBFC=NDEC,

：.180°-ZBFC^1800-ZDEC,

即/BEP=NDFP,

在ABEP和△DFP中，

\LCBF=Z.CDE

jBE=DF

:.△BEPWADFP(ASA),

,BP=DP,

在48。。和4DCP中，

IBP=DP

\ACBF=Z.CDE

IBC=CD'

.?.△BCP絲△DCP(SAS),

:.NBCP=NDCP,

；.CP平分N8CD,故A選項(xiàng)結(jié)論正確；

?：BC^2AD,E是BC的中點(diǎn)，

：.BE=AD,

又：AO〃BC,

...四邊形A8ED為平行四邊形，故8選項(xiàng)結(jié)論正確；

：.AB=DE,

又?：DE=BF(己證),

：.AE=BF,

??.△ABF為等腰三角形，故。選項(xiàng)結(jié)論正確；

連接QD,

D

BEC

在^BCQ和小DCQ中，

IBC=CD

\ABCP=Z-DCP

ICQ=CQ，

.".△BCQ^ADCQ(SAS),

/?SABCQ=SADCQ,

ACQ將直角梯形A8CD分成的兩部分面積不相等，故C選項(xiàng)結(jié)論不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形

的判定，熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于多次證明三角

形全等.

3.A

解析：A

【解析】

【分析】

由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BE,與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn).此時(shí)PE+PD=BE最

小，而BE是直角4CBE的斜邊，利用勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，連接BE,設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P,

?.?四邊形ABCD是正方形，

.?.點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

.?.P'D=P'B,

二P'D+P'E=P,B+P'E=BE最小.

即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，即為BE的長(zhǎng)度.

直角4CBE中，ZBCE=90°,BC=4,CE」CD=2,

2

BE742s=2后

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題題考查了軸對(duì)稱中的最短路線問(wèn)題，要靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)、對(duì)稱性是解決此類問(wèn)

題的重要方法，找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意設(shè)t秒時(shí)，直線將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-

2t.要使成平行四邊形，則就有AP=BQ或CQ=PD,計(jì)算即可求出t值.

【詳解】

根據(jù)題意設(shè)t秒時(shí)，直線將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形

則AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

要使構(gòu)成平行四邊形

則:AP=BQ或CQ=PD

進(jìn)而可得：t=6-2t或力=9一「

解得/=2或「=3

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查四邊形中的動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即

可.

5.A

解析：A

【分析】

連接,過(guò)G點(diǎn)作GPJ_BC于點(diǎn)P,根據(jù)S帖HC+SXGHC=SABCG將HM+HN轉(zhuǎn)化為GP

的長(zhǎng)，再由等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解.

【詳解】

連接CH,過(guò)G點(diǎn)作GP_L8c于點(diǎn)P,如下圖所示：

由題可知：S1MBe=—BCxHN,S.HGC=—GCxHM,S.BGC=—BCxGP

**S即HC+S^GHC=S即CG

：.-BCxHN+-GCxHM=-BCxGP

222

VCG=CB,

/.HN+HM=GP

???四邊形A8CD是正方形，正方形的邊長(zhǎng)為2

.?.Z5c4=45。，AC=2y/2

；?CB=CG=?AC=2

2

?：GP^,BC

：.AGPC是等腰直角三角形

???GP=—CG=yf2

2

???HN+HM=y/2，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的面積求法，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

6.C

解析：C

【分析】

延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明4ABGg/XCDH絲ABCE,可得GE=BE-

BG=1,HE=CH-CE=1,ZHEG=90°,由勾股定理可得GH的長(zhǎng).

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E,

在4ABG和ACDH中,

AB=CD

<AG=CH,

BG=DH

.,.△ABG^ACDH(SSS),

AG2+BG2=AB2,

：.Z1=Z5,Z2=Z6,NAGB=NCHD=90°,

.".Zl+Z2=90°,Z5+Z6=90",

XVZ2+Z3=90°,Z4+Z5=90°,

AZ1=Z3=Z5,N2=N4=N6,

在AABG和ABCE中，

-Z1=Z3

<AB=BC,

Z2=Z4

.".△ABG^ABCE(ASA),

，BE=AG=4,CE=BG=3,ZBEC=ZAGB=90°,

；.GE=BE-BG=4-3=1,

同理可得：HE=1,

在RtAGHE中，GH=ylGE2+EH2=Vl2+12=V2>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)

用，通過(guò)證三角形全等得出4GHE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，得到/ABC=NADC=60°,ZBAD=120°,根據(jù)角平分

線的定義得到/DCE=/BCE=60°推出4CBE是等邊三角形，證得/ACB=90°,求出

ZACD=ZCAB=30°,故①正確；由AC_LBC,得到S-ABCD=AC?BC,故②正確，根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)得到AC=6BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=」BC,于是得

2

到OE：AC=+：6；故③錯(cuò)誤；

【詳解】

解：...四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.ZABC=ZAT)C=60。，/BCD=120。

：CE平分/BCD交AB于點(diǎn)E,

：.4DCE=/BCE=0。,

：.△CBE是等邊三角形，

BE=BC—CE.

???AB=2BC,

AE—BE=CE，

：.ZACfi=90°,

AZACD=ZCAB=3Q°,故①正確；

■:ACIBC,

-SABCD=AC-BC,故②正確；

在RtaACB中，ZACB=90°,NC4B=30°,

AC=6BC.

AO=OC,AE=BE，

AOE=-BC,

2

：.OE：AC=LBC：6BC=?.6,故③錯(cuò)誤.

2

故選：c.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).注意

證得4BCE是等邊三角形，0E是AABC的中位線是關(guān)鍵.

8.D

解析：D

【分析】

先說(shuō)明ABD=NADC=NCBD,然后再利用三角形內(nèi)角和180°求出即可NCBD度數(shù)，最后再

用直角三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】

解：?菱形ABCD

；.AB=AD

AZABD=ZADC

.,.ZABD=ZCBD

又：NA=134°

ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=；(180°-134o)=23°

ZBEC=90Q-23°=67°

故答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角和三角形內(nèi)

角和定理.

9.A

解析：A

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到：CD1AB,從而證明ADE絲CDF且

ZADC=90°,即證明DE「和DEF是等腰直角三角形，以及四邊形CEDF面積

=-SAABC；再根據(jù)勾股定理求得EF,即可得到答案?

【詳解】

???/ACB=90。，AC=BC=2

AB=<2,+2,=25/2

ZA=ZB=45°

?.,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

/.CD_LAB，且AD=BD=CD=—AB=\p2

2

：.^DCB=45°

NA=^DCF,

在ADE和CDF中

AD=CD

<NA=ZDCF

AE=CF

Z.ADE@CDF(SAS)

；.DE=DF,NADE=/CDF

CD±AB

ZADC=90°

，ADF=ADC+NCDF=^EDC+NADE=NADC=90°

；?DEF是等腰直角三角形

ADE絲CDF

/.ADE和CDF的面積相等

：D為AB中點(diǎn)

???AOC的面積='ABC的面積

2

**?四邊形CEDE面積=VCDlyF1LE-LD/VC+SADE=S/AALD/XC--=—cSrXDK--；

當(dāng)￡>EJ_AC,。尸_LBC時(shí)，EF?值最小

根據(jù)勾股定理得：EF?=DE2+DF2

此時(shí)四邊形CEDF是正方形

即EF=CD=V^

,EF2=(V2)2=2

正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)

鍵是熟練掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

10.D

解析：D

【分析】

①先證明AABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明4AED四△DFB;

②證明/BGE=60。=/BCD,從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此NBGC=NDGC=60。；

③過(guò)點(diǎn)C作CM1GB于M,CN1GD于N.證明△CBMg^CDN,所以S四.BCDG=S明彩響易求后者

的面積；

(4)ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°,故為定值.

【詳解】

解：①...ABCD為菱形，

，AB=AD,

：AB=BD,

/.△ABD為等邊三角形,

，/A=/BDF=60。

又?.?AE=DF,AD=BD,

.,.△AED^ADFB(SAS),

故本選項(xiàng)正確；

②：ZBGE=ZBDG+ZDBF=NBDG+NGDF=60。=ZBCD,

即/BGD+NBCD=180。，

.,.點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，

ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,

...NBGC=NDGC=60°,

故本選項(xiàng)正確；

③過(guò)點(diǎn)C作CM_LGB于M,CN，GD于N(如圖)，

則△CBM0ZXCDN(AAS),

Spqia?BCDG-SWii?CMGN

SHa?CMOS—2SAC?G,

VZCGM=60°,

.,.GM=—CG,CM=—CG,

22

?,?S四邊彩CMG=2SACNG=2X—X—CGX2^CG=-^-CG~,

2224

故本選項(xiàng)正確；

④：NBGE=NBDG+/DBF=NBDG+/GDF=60°,為定值,

故本選項(xiàng)正確；

綜上所述,正確的結(jié)論有①②③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握菱形的性質(zhì).

二、填空題

11.737

【分析】

如圖，延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接TW,

DW,過(guò)點(diǎn)W作WKJ_BC交BC的延長(zhǎng)線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

DT+DW的最小值.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接

TW,DW,過(guò)點(diǎn)W作WKJ.BC交BC的延長(zhǎng)線于K.

,/△ABC,Z\DEF都是等邊三角形，BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

；.DE〃TC,

VDE=BT=1,

四邊形DEBT是平行四邊形，

；.BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W關(guān)于直線AC對(duì)稱，

，CB=CW=3,ZACW=ZACB=60",DB=DW,

.".ZWCK=60",

VWK±CK,

/K=90°,NCWK=30°,

13r3J3

，CK=—CW=-,WK=j3CK=^i,

222

，DB+BE=DB+DT=DW+DT2TW,

.\BD+BE>^7,

ABD+BE的最小值為,

故答案為歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.①②③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABGgZiAEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)MAC、BG相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得

ZACE^ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/CA/G=NCAG=90。，于是可判斷②；

過(guò)點(diǎn)E作EP_LHA的延長(zhǎng)線于P,過(guò)點(diǎn)G作GQJ_AM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明絲ZXEAP,可得EP=AH,同理可證GQ=AH,從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明△EPMgaGQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：SABDEACFG,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=90°,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=N8AG,

；./\ABG注"EC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)MAC,8G相交于點(diǎn)K,如圖1,

BH

圖1

/\ABG^/\AEC,

：.NACE=ZAGB,

"：NAKG=NNKC,

/CNG=/CAG=90°,

：.BG±CE,故②正確；

過(guò)點(diǎn)E作EPA.HA的延長(zhǎng)線于P,過(guò)點(diǎn)G作GQ1AM于Q,如圖2,

圖2

'：AH1BC,

：.ZABH+ZBAH=90°,

ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=90°,

：.ZABH=ZEAP,即NEA/W=NA8C,故④正確；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

：./\ABH^/\EAP(A4S),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

?.?在和△GQM中，

"NP=NMQG=90。

<ZEMP=NGMQ,

EP=GQ

.?.△EPM絲△GQM(AAS),

：.EM=GM,

是aAEG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

13.-或4-&G

33

【分析】

連接AC交BD于。，由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,

AO-CO,可證四邊形BEGF是菱形，可得/ABG=30°,可得點(diǎn)B,點(diǎn)G,點(diǎn)D三點(diǎn)共線，由

直角三角形性質(zhì)可求BD=4jj,AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于。，

AAB=BC=4,ZABD=30°,AC±BD,BO=DO,AO=CO,

VEG/7BC,FG//AB,

???四邊形BEGF是平行四邊形，

又?.?BE=BF,

???四邊形BEGF是菱形，

/.ZABG=30°,

?二點(diǎn)B,點(diǎn)G,點(diǎn)D三點(diǎn)共線，

VAC1BD,ZABD=30°,

-■?A0=1AB=2，B0=yjAB2-AO2=A/42-22=26，

，BD=4百，AC=4,

BG

同理可求BG=GBE,即BE=

若AD=DG,=4時(shí)，

.,.BG'=BD-DG'=4^-4，

4G-4.473

??BE=----=—=4------------;

A/33

若AG"=G"D時(shí),過(guò)點(diǎn)G"作G"H±AD于H,

；.AH=HD=2,

?.?/ADB=30°,G"H±AD,

.".DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2,

解得：HG”=^^,DG''=2HG''=^^

33

BG"=BD-DG"=4后-,

33

8

.,.BE"=-,

3

綜上所述：BE為?或4-逑.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論

思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

14.②③

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC_LBD,所以在RtaAFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設(shè)

ZBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出

NABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度數(shù)，從而

判斷②③.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①錯(cuò)誤；

?..四邊形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,

ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設(shè)/BAE=x°,

則/EAD=2x°,ZABE=180°-x°-2xo,

：AB=AE,NBAE=x",

，NABE=/AEB=180°-x°-2x°,

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

?..四邊形ABCD是菱形，

AZBAD=ZCBD=—NABE=36°,

2

，/BFE=/ABD+NBAE=36°+36°=72°,

/BEF=180°-36°-72°=72°,

，BE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

?\ZAFD=ZEAD

；.AD=FD

又：AD=AB=AE

，AE=FD,故②正確

,正確的有②③

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于/BAE的方程是解題

的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角.

15.65

【分析】

先由正方形的性質(zhì)得到NABF的角度，從而得到/AEB的大小，再證4AEB絲AAED,得到

ZAED的大小

【詳解】

?.?四邊形ABCD是正方形

AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=20°,.*.ABF=70o

.?.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE與AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

/.△ABE^AADE

ZAED=ZAEB=65°

故答案為：65°

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出

ZAEB的大小.

16.272

【分析】

由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,得出AB=BC=4,ZB=90°,得出AC=4五，當(dāng)P與D重合

時(shí)，PC=ED=PA,即G與A重合，則EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為DF,由D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，得出DF是4EAG

的中位線，證得NFDA=45°,則F為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，CF_LDF,此時(shí)CF最

小，止匕時(shí)CF=；AG=20.

【詳解】

解：連接FD

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

，AB=BC=4,/B=90°,

??AC=4>/2，

當(dāng)P與D重合時(shí)，PC=ED=PA,即G與A重合，

，EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，

當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡為DF,

是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，

ADF是ZkEAG的中位線，

；.DF〃AG,

VZCAG=90°,ZCAB=45°,

AZBAG=45°,

.,.ZEAG=135°,

AZEDF=135°,

AZFDA=45°,

，F(xiàn)為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，CF_LDF,

此時(shí)CF最小，

此時(shí)CF=3AG=2及；

故答案為：2行.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.4

【分析】

證明CF〃DB,CF=DB,可得四邊形CDBF是平行四邊形，作EMLDB于點(diǎn)M,解直角三角

形即可.

【詳解】

解：：CF〃AB,

ZECF=ZEBD.

VE是BC中點(diǎn)，

.\CE=BE.

VZCEF=ZBED,

.,.△CEF^ABED(ASA).

，CF=BD.

二四邊形CDBF是平行四邊形.

作EM±DB于點(diǎn)M,

:四邊形CDBF是平行四邊形，BC=2尬,

.,.BE=-BC=V2,DF=2DE,

2

在RtAEMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM

在RtAEMD中，

VZEDM=30",

，DE=2EM=2,

r.DF=2DE=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30

度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，

18.26

【分析】

根據(jù)EM是Rt^ABE斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出EM的長(zhǎng)；根據(jù)已知條件推導(dǎo)出是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,進(jìn)一步計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：VADLBC,M為A3邊的中點(diǎn)，4?=4

...在RtAAB。中，DM=AM^-AB^-x4=2

22

同理，在RtAABE中,EM=AM=—AB=—x4=2

22

AZMDA=ZMAD，ZMEA^ZMAE

,**ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE,ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

，ZDME=ABME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

^2ADAC

=60°

;DM=EM

???DME是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2

SEDM=5x2x百=6

故答案是：2；百

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是進(jìn)行推理論證的前提.

19.2或3.5

【分析】

分別從當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間、當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間去分析求解即可求得答案.

【詳解】

1

BE=CE=-BC=9,

2

①當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間，則得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間，則得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

“點(diǎn)睛”此題考查了梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì).解題時(shí)注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.

20.2

【分析】

分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，則

G的運(yùn)動(dòng)軌跡為AHCD的中位線MN,再求出CD的長(zhǎng)度，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,

；NA=/FPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60\

ABHIIPE

...四邊形EPFH為平行四邊形，

；.EF與HP互相平分，

:點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

，點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，即在P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

AG的運(yùn)動(dòng)軌跡為AHCD的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

AMN=-CD=2,

2

，點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，是中考熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得

出G的運(yùn)動(dòng)軌跡為aHCD的中位線MN.

三、解答題

21.⑴DE=OCF；(2)在情況1與情況2下都相同，詳見(jiàn)解析；⑶AF+CF=

插DF或\AF-CF\=ODF

【分析】

(1)易證ABCD是等腰直角三角形，得出DB=QCB,即可得出結(jié)果；

(2)情況1：過(guò)點(diǎn)C作CG_LCF,交DF于G,設(shè)BC交DF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=0CF,連接BE,

設(shè)NCDG=a,則/CBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出NDAE=2a,則NEAB=90--2a,

ZBEA=ZABE=—(180°-ZEAB)=45°+a,/CBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ZkBEF是等腰

2

直角三角形，則EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=0CF；

情況2：過(guò)點(diǎn)C作CG_LCF交DF延長(zhǎng)線于G,連接BE,設(shè)CD交BF于P,由ASA證得

△CDG絲△CBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，得FG=QCF,設(shè)

ZCDG=a,則/CBF=a,證明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=0CF；

(3)①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HDLDF交FA延長(zhǎng)線于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得4ABF絲z\AEF,得出/EFA=NBFA=工/BFE=45°,則4HDF是等腰

2

直角三角形，得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS證得AHDA絲△FDC