中考專題復(fù)習(xí)-線段與差的最大值及最小值

./中考專題線段和〔差的最值問題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：一、已知兩個定點(diǎn)：1、在一條直線m上,求一點(diǎn)P,使PA+PB最?。弧?點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：〔2點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。〔1兩個點(diǎn)都在直線外側(cè)：〔2一個點(diǎn)在內(nèi)側(cè),一個點(diǎn)在外側(cè)：〔3兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：〔4、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn),使得圍成的四邊形ADEB周長最短.

填空：最短周長=________________變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.二、一個動點(diǎn),一個定點(diǎn)：〔一動點(diǎn)在直線上運(yùn)動：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動,在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小〔在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：〔二動點(diǎn)在圓上運(yùn)動點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動,在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小〔在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：三、已知A、B是兩個定點(diǎn),P、Q是直線m上的兩個動點(diǎn),P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn),使得PA+PQ+QB的值最小。<原理用平移知識解>〔1點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長等于PQ長,連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長,即為P點(diǎn),此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！?點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：練習(xí)題1．如圖,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn),求△PQR周長的最小值為．QQ2、如圖1,在銳角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M,N分別是AD和AB上的動點(diǎn),則BM+MN的最小值為．3、如圖,在銳角三角形ABC中,AB=,∠BAC=45,BAC的平分線交BC于D,M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn),則BM+MN的最小值是多少？4、如圖4所示,等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為.5、如圖3,在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°,AD∥BC,AD＝4,AB＝5,BC＝6,點(diǎn)P是AB上一個動點(diǎn),當(dāng)PC＋PD的和最小時(shí),PB的長為__________．6、如圖4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn),則PA+PB的最小值為．7、如圖5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中點(diǎn),P是對角線AC上的一個動點(diǎn),則PE+PB的最小值為．8、如圖,菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8,點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn),點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn),則PM+PN的最小值是9、如圖,圓柱形玻璃杯,高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為________cm．10、如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),則PK+QK的最小值為11、如圖,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動點(diǎn)．則PB+PE的最小值是12、如圖6所示,已知正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)M在DC上,且DM=2,N是AC上的一個動點(diǎn),則DN+MN的最小值為．13、如圖,正方形ABCD的邊長是2,∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動點(diǎn),則DQ+PQ的最小值為．14、如圖7,在邊長為2cm的正方形ABCD中,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn),連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值為cm．〔結(jié)果不取近似值．15、如圖,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點(diǎn),則PA+PC的最小值是．16、如圖8,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN＝30°,B為AN弧的中點(diǎn),P是直徑MN上一動點(diǎn),則PA＋PB的最小值為<><A>2<B><C>1<D>2解答題1、如圖9,正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=〔k≠0在第一象限的圖象交于A點(diǎn),過A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為M,已知三角形OAM的面積為1.〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)〔點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合,且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.2、如圖,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2〔x1＜x2是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo),且此拋物線過點(diǎn)A〔3,6．〔1求此二次函數(shù)的解析式；〔2設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；〔3在x軸上有一動點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo)．3、如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1,,△AOB的面積是.〔1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；〔3在〔2中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的周長最小？若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；4．如圖,拋物線y＝eq\f<3,5>x2－eq\f<18,5>x＋3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn),若有一動點(diǎn)P,自M點(diǎn)處出發(fā),沿直線運(yùn)動到x軸上的某點(diǎn)〔設(shè)為點(diǎn)E,再沿直線運(yùn)動到該拋物線對稱軸上的某點(diǎn)〔設(shè)為點(diǎn)F,最后又沿直線運(yùn)動到點(diǎn)A,求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐標(biāo),并求出這個最短路程的長．5．如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,OC=3,過點(diǎn)B作BD⊥BC,交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．〔1求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；〔2當(dāng)BE經(jīng)過〔1中拋物線的頂點(diǎn)時(shí),求CF的長；〔3在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q〔點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方,且PQ＝1,要使四邊形BCPQ的周長最小,求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．6．如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A<2,－3,B<4,－1若C<a,0>,D<a+3,0>是x軸上的兩個動點(diǎn),則當(dāng)a為何值時(shí),四邊形ABDC的周長最短．7、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OB=4,D為邊OB的中點(diǎn).〔1若E為邊OA上的一個動點(diǎn),當(dāng)△CDE的周長最小時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔2若E、F為邊OA上的兩個動點(diǎn),且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí),求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).二、求兩線段差的最大值問題<運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊>基本圖形解析：1、在一條直線m上,求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；〔1點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：解析：延長AB交直線m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,P’A—P’B＜AB,而PA—PB=AB此時(shí)最大,因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)?！?點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’,PA-PB最大值為AB’練習(xí)題1.如圖,拋物線y＝－eq\f<1,4>x2－x＋2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B．<1>求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；<2>若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),求證：PA－PB≤AB；<3>當(dāng)PA－PB最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).2.如圖,已知直線y＝x＋1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線y＝x2＋bx＋c與直線交于A、E兩點(diǎn),與x軸交于B、C兩點(diǎn),且B點(diǎn)坐標(biāo)為<1,0>．〔1求該拋物線的解析式；〔3在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM－MC|的值最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．yyxCBADOEy3、在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為〔－4,－1和〔－2,－5；點(diǎn)P是y軸上的一個動點(diǎn),⑴點(diǎn)P在何處時(shí),PA＋PB的和為最??？并求最小值。⑵點(diǎn)P在何處時(shí),∣PA—PB∣最大？并求最大值。4.如圖,直線y＝－eq\r<,3>x＋2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn),⊙A經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)O,直線BC交⊙A于點(diǎn)D．〔1求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2過O,C,D三點(diǎn)作拋物線,在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使線段PO與PD之差的值最大？若存在,請求出這個最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不存在,請說明理由．5、拋物線的解析式為,交x軸與A與B,交y軸于C,⑴在其對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使⊿APC周長最小,若存在,求其坐標(biāo)。⑵在其對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使∣QB—QC∣的值最大,若存在求其坐標(biāo)。yyCxBA6、已知：如圖,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,OC=3,BC=2,取AB的中點(diǎn)M,連接MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO．〔1試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,連接OP．①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似,試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|TO-TB|的值最大？7、如圖,已知拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+8,圖象與y軸交于D點(diǎn),并且頂點(diǎn)A在雙曲線上．〔1求過頂點(diǎn)A的雙曲線解析式；〔2若開口向上的拋物線C2與C1的形狀、大小完全相同,并且C2的頂點(diǎn)P始終在C1上,證明：拋物線C2一定經(jīng)過A點(diǎn)；〔3設(shè)〔2中的拋物線C2的對稱軸PF與x軸交于F點(diǎn),且與雙曲線交于E點(diǎn),當(dāng)D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí),先求出P點(diǎn)坐標(biāo),并在直線y=x上求一點(diǎn)M,使|MD-MP|的值最大．8、如圖,已知拋物線經(jīng)過A<3,0>,B<0,4>,

〔1.求此拋物線解析式

〔2若拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C’的坐標(biāo)

〔3若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn),以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H,問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,使得|PH－PA|的值最大？若存在,求出該最大值；若不存在,請說明理由。AABCOxyABCOxyDEFH三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中,在該三角形中,其他兩邊是已知的,則所求線段的最大值為其他兩線段之和,最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來,再連接首尾端點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí),點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動,在運(yùn)動過程中,點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是〔A．B． C。D．62、已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),a=b=3,且∠ACB=60°,則CD=；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí),a=b=6,且∠ACB=90°,則CD=；〔3如圖3,當(dāng)∠ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),求CD的最大值及相應(yīng)的∠ACB的度數(shù).圖1圖2圖33、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=.點(diǎn)D在邊AC上〔不與A,C重合,連結(jié)BD,F為BD中點(diǎn).〔1若過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1．設(shè),則k=；〔2若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D、E、B三點(diǎn)共線,點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn),如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；〔3若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn),求線段CF長度的最大值．4、如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD〔不含B點(diǎn)上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM＋BM＋CM的值最小,并說明理由；EADBCNEADBCNM5、如圖,二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A〔-1,0,與y軸交于點(diǎn)C,與一次函數(shù)y=x+a交于點(diǎn)A和點(diǎn)D．〔1求出a、b、c的值；〔2若直線AD上方的拋物線存在點(diǎn)E,可使得△EAD面積最大,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3點(diǎn)F為線段AD上的一個動點(diǎn),點(diǎn)F到〔2中的點(diǎn)E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d,求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．6.如圖,邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過