四川省瀘州市瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

瀘縣一中高2023級高一上期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知A，B均為全集的子集，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補集與交集定義進行計算得出結(jié)果.【詳解】已知全集，且，所以，又，所以，若，則，所以，這與矛盾，所以，同理.所以.故選：D.2.已知定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域求解規(guī)則求解即可.【詳解】解：因為定義域為，所以函數(shù)的定義域為，所以，的定義域為需滿足，解得.所以，的定義域為.故選：A3.已知集合，，則集合的真子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)集合的定義和集合中元素的互異性寫出集合，然后根據(jù)真子集的性質(zhì)求解.【詳解】依題意，集合中有個元素，則其真子集的個數(shù)有個.故選：C4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以,解得，故選:C.5.方程x+sinx=0的根有()A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個【答案】B【解析】【分析】設(shè)，方程的根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個圖像有幾個交點的問題，由數(shù)形結(jié)合得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出的圖像，如圖所示，由圖知的圖像僅有一個交點，則方程x+sinx=0僅有一個根.故選B【點睛】本題考查了方程的根有幾個，轉(zhuǎn)化為兩個圖像有幾個交點的問題，屬于基礎(chǔ)題.6.下列函數(shù)中，周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出各選項中函數(shù)的周期，并判斷出各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可出得出結(jié)論.【詳解】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于B選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期的求解，以及在某區(qū)間上單調(diào)性的判斷，解題時要充分利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的基本性質(zhì)來進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.7.若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】化簡原式得，然后利用基本不等式求解【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，的最小值為6．故選：C．8.高德納箭頭表示法是一種用來表示很大的整數(shù)的方法，它的意義來自乘法是重復(fù)的加法，冪是重復(fù)的乘法.定義：，（從右往左計算）.已知可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為，則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)高德納箭頭表示法即可求解，進而根據(jù)對數(shù)的運算與指數(shù)的互化即可求解.【詳解】因為，故，取對數(shù)得，故，故最接近的是，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知角的終邊與單位圓相交于點，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到正弦，余弦及正切值，進而利用誘導(dǎo)公式進行計算，作出判斷.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義得：，，，故AB正確；，C正確；，D錯誤.故選：ABC10.已知集合，，則是的真子集的充分不必要條件可以是（）A. B.m∈C.m∈ D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根據(jù)充分不必要條件的概念即可得到結(jié)果.【詳解】因為集合若集合是集合的真子集，當(dāng)時，即集合，顯然成立；當(dāng)時，則或，所以或所以若集合是集合的真子集，則；所以是的真子集的充分不必要條件可以是或.故選：AD.11.已知，關(guān)于x的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.【詳解】當(dāng)時，不等式等價于，解得；當(dāng)時，不等式的解集是；當(dāng)時，不等式等價于，解得或；當(dāng)時，不等式等價于，解得；當(dāng)時，不等式等價于，解得或.故選：BCD12.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則滿足（）A. B.是偶函數(shù)C.在上有最大值 D.的解集為【答案】AD【解析】【分析】賦值法可以求出，，判斷出AB選項；C利用賦值法和題干中的條件可以得出的單調(diào)性，從而得到在上有最大值；D選項利用C選項中判斷的函數(shù)的單調(diào)性進行解不等式，得到答案.【詳解】定義在R上的函數(shù)滿足，令得：，解得：，A正確；令得：，因為，所以，故是奇函數(shù)，B錯誤；任取，，且，則令，，代入得：，因為當(dāng)時，，而，所以，故，即，從而R上單調(diào)遞減，在上有最大值為，C錯誤；由A選項得到，而在R上單調(diào)遞減，故，解得，解集為，D正確.故選：AD第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角的終邊經(jīng)過點，則______【答案】【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【詳解】角的終邊經(jīng)過點，則，，，，故答案為．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.寫出一個滿足“圖象既關(guān)于直線x=1對稱又關(guān)于原點中心對稱”的函數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】可取，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性驗證即可.【詳解】解：可取，令，則，所以函數(shù)得圖象關(guān)于直線對稱，令，則，則函數(shù)得對稱中心為，即函數(shù)得圖象關(guān)于原點中心對稱，所以符合題意.故答案為：.（答案不唯一，符合條件即可）15.已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則不等式的解集是__________【答案】【解析】【分析】通過奇偶性和單調(diào)性并結(jié)合對數(shù)不等式進行計算即可【詳解】因為定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以由不等式，得所以，即或，解得或即不等式的解集是故答案為：.16.已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的周期，求得的取值范圍，結(jié)合為的零點、為圖象的對稱軸，求得的最大值.【詳解】由于在區(qū)間上單調(diào)，所以，即.由于為的零點，為圖象的對稱軸，所以，兩式相減并化簡得，所以為奇數(shù)，由于，當(dāng)時，，符合題意.所以的最大值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、零點和對稱軸等知識，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計算：；（2）已知，試用表示.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運算法則以及對數(shù)運算法則求解得結(jié)果；（2）根據(jù)換底公式以及對數(shù)運算法則化簡得結(jié)果.【詳解】（1）（2）.【點睛】本題考查指數(shù)冪運算法則、對數(shù)運算法則、換底公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18.設(shè)，已知集合，．（1）當(dāng)時，求實數(shù)的范圍；（2）設(shè)；，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由題可得是的真子集，分類討論為空集和不為空集合兩種情況，即可求得m的取值范圍.【小問1詳解】由題可得，則；【小問2詳解】由題可得是的真子集，當(dāng)，則；當(dāng)，，則（等號不同時成立），解得綜上：19.已知函數(shù)是定于在[2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，且函數(shù)的解析式；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性性質(zhì)及可求解；（2）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性化簡不等式解不等式即可.【小問1詳解】解：由題意得：當(dāng)時，，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)故，所以所以函數(shù)當(dāng)時，且函數(shù)的解析式【小問2詳解】由函數(shù)得解析式可得奇函數(shù)在上單調(diào)遞增所以即為所以，解得：又因為，且解得：故a的取值范圍.20.某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部），需另外投入成本萬元，其中，已知每部售價為5000元，且生產(chǎn)的當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，,∴當(dāng)時，，當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.21.函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，且圖象的一條對稱軸是直線．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)集合,若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，求得函數(shù)的周期，得到，再由圖象的一條對稱軸是直線，求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）由，把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，可得,解得，又由，所以，又由圖象的一條對稱軸是直線，可得，且，解得，所以（2）由集合，因為若，即當(dāng)時，不等式恒成立，所以，因為，則，當(dāng)，即，函數(shù)取得最小值，最小值為；當(dāng)，即，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.22.已知函數(shù)，記.（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，則說明理由.【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)真數(shù)大于0，分別求f(x)和g(x)定義域，F(xiàn)(x)為這兩個