備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷04(新高考Ⅰ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷04（新高考Ⅰ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．已知是實數(shù)集，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以或，因為，所以，故.故選：A.2．已知，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．2〖答案〗D〖祥解〗先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.〖解析〗解：，因為，且為純虛數(shù)，所以，解得，故選：D3．已知為等比數(shù)列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6〖答案〗C〖祥解〗用坐標(biāo)表示向量的垂直和平行，列式即可求解.〖解析〗由得，（對于非零向量的充要條件為）又為等比數(shù)列，所以，又，得．由得，即，所以.故選：C．4．已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（

）A． B．0 C． D．〖答案〗C〖解析〗因為不等式的解集為且，所以，且為的二重根，所以，則，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，即.故選：C5．已知橢圓方程為，長軸為，過橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)，表示出，結(jié)合橢圓方程，代入計算，再由離心率公式，即可得到結(jié)果.〖解析〗設(shè)，則，，則，，所以，且，所以，即，代入橢圓方程可得，化簡可得，則離心率為.故選：B6．已知圓：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當(dāng)最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C7．在和之間插入個數(shù)，組成首項為，末項為的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前項的和，后項的和之比為，則插入數(shù)的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個〖答案〗B〖解析〗設(shè)插入的這個數(shù)分別記為、、、，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，這個數(shù)列的公差為，這個數(shù)列所有項的和為，這個數(shù)列的前項的和為，因為這個數(shù)列的前項的和與后項的和之比為，則，即，解得，所有，插入數(shù)的個數(shù)是個.故選：B.8．已知，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，.，，，，，又因為，所以，則，所以..故選：A二、多項選擇題9．袋子中有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是2〖答案〗BD〖解析〗設(shè)這5個數(shù)字為，對于A：若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為，則，可得，可知這4個數(shù)中至少有2個1，不妨設(shè)為，則這5個數(shù)字的方差，不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個數(shù)字至少有1個1，不妨設(shè)為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為，則這5個數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個數(shù)有2個1，1個2，此時這5個數(shù)字的方差，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10．已知函數(shù)，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，則有最小值〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值，選項A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值4，選項B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值為，選項C正確；因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則有最小值，選項D正確．故選：ACD．11．下列判斷正確的是（

）A．若是一次函數(shù)，滿足，則B．命題“”的否定是“”C．函數(shù)的定義域為，值域，則滿足條件的有3個D．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為是一次函數(shù)，設(shè)，則，可得，解得或所以或，故選項A錯誤；對于B：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，選項B正確；對于C：，可得，所以函數(shù)的定義域可以是：或或，滿足條件的有3個，故選項C正確；對于D：關(guān)于的不等式的解集為，則方程的解是或，且，由韋達(dá)定理可得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為，所以，解得，則不等式的解集為，故選項D不正確．故選：BC．12．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．存在點(diǎn)，使得平面 B．存在點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時，的最大值為1 D．當(dāng)時，的最小值為0〖答案〗BC〖解析〗對于A：由題意得在正方形的內(nèi)部（包括邊界），在正方體中，平面，若平面，則在直線上，不符合題意，A錯誤．對于B：如圖，當(dāng)與重合時，連接．是正方形，平面平面，平面平面平面．是正方形，平面平面，平面平面平面．平面平面B正確．對于CD：如圖，當(dāng)時，得，則在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，圓心角為，半徑為1的圓弧，設(shè)則有，得，得，，由，得，則，C正確，D錯誤．故選:BC.第II卷（非選擇題）三、填空題13．如圖，某景區(qū)共有五個景點(diǎn)，相鄰景點(diǎn)之間僅設(shè)置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設(shè)備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設(shè)備進(jìn)行檢測.若不重復(fù)經(jīng)過同一個檢票口，依次對所有檢票口進(jìn)行檢測，則共有種不同的檢測順序.〖答案〗〖解析〗如圖將個景區(qū)抽象為個點(diǎn)，見個檢票口抽象為條路線，將問題化歸為不重復(fù)走完條路線，即一筆畫問題，從或處出發(fā)的線路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以判斷只能從或處出發(fā)才能不重復(fù)走完條路線，由于對稱性，只列出從處出發(fā)的路線情形即可.①走路線：，，，，，，共種；②走路線：，，，，，，共種；③走路線：，，，，共種；綜上，共有種檢測順序.故〖答案〗為：14．在長方體中，分別是棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則三棱錐體積的取值范圍是.〖答案〗〖解析〗法一：以為原點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，

設(shè)，而，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則所以平面的一個法向量為，點(diǎn)到平面的距離因為設(shè)中的邊上的高為，則，所以（），所以三棱錐的體積的取值范圍是，故〖答案〗為：法二：設(shè)，延長到，使得，則，，則，于是，

而長方體的對角面是矩形，則有，又平面，平面，于是平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，由等體積法可知，又，故，所以，故〖答案〗為：15．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為.〖答案〗〖解析〗由可知，，得，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，的可能取值為.當(dāng)時，由解得，經(jīng)檢驗，時不滿足題意；當(dāng)時，由解得，經(jīng)檢驗，時滿足題意.所以，的可能取值為.故〖答案〗為：16．斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為.〖答案〗〖解析〗若直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點(diǎn)，因為的重心在中線上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因為，且的外心為點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)，可得，因為，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.

四、解答題17．如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中分別在上．設(shè)．

(1)若，求的邊長；(2)求的邊長最小值．解：(1)設(shè)的邊長為千米，由得，中，為等邊三角形，，故，即的邊長為.(2)設(shè)的邊長為千米，所以，中，，由正弦定理得，，故，其中，當(dāng)時，取得最小值，即的邊長最小值為.18．邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當(dāng)點(diǎn)在棱（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.(1)證明：在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，(2)解：∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點(diǎn)，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：

則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，任意，，因為，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所以，所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍..19．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，，且在處取得極小值，求的取值范圍.解：(1)當(dāng)時，，定義域為.，令，可得，當(dāng)變化時，和的變化情況如下：0--0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因為對恒成立，所以對恒成立，顯然不恒成立，不合題意，則，解得.令，可得或，當(dāng)時，，因為，（當(dāng)且僅當(dāng)時，）所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；當(dāng)時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；當(dāng)時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.20．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．(1)解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，則，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即；(2)證明：由(1)知，依題意，因為，，則，即；因為，所以，而，故，即．綜上所述，．21．某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動員，然后該運(yùn)動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動員，有的概率傳給另一位運(yùn)動員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動員的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式；(3)設(shè)，證明：.(1)解：，，；(2)解：由已知，∴，即，∴是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴.(3)證明：.設(shè)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，顯然，則，∴，則，即，∴.22．已知拋物線：（）上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作的切線與，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于，過點(diǎn)作直線垂直于，與相交于點(diǎn)，、、、分別與軸交于點(diǎn)、、、.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方