廣東省揭陽市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省揭陽市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.且〖答案〗B〖解析〗由得，解得或，所以或，所以.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，所以.故選：A.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，所以.故選：C4.從2019年初，某生產(chǎn)新能源汽車零件企業(yè)不斷引進(jìn)技術(shù)，此后每年的零件銷售額均比上一年增加15%，已知該企業(yè)從2019年到2023年底的零件總銷售額為202萬元，則該企業(yè)2019年的銷售額約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.30萬元 B.35.2萬元 C.40.4萬元 D.42.3萬元〖答案〗A〖解析〗設(shè)是等比數(shù)列，公比，依題意，，解得萬元.故選：A5.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：A6.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)了九點圓，即在任意的三角形中，三邊的中點、三條高的垂足、三條高的交點（垂心）與三角形頂點連線的中點，這九個點共圓，因此九點圓也稱作歐拉圓．已知在中，，，，則的九點圓的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的中點為，的中點為，的中點為，所以的九點圓是三角形的外接圓.，，則為鈍角，所以，設(shè)三角形外接圓半徑為，由正弦定理得，所以.故選：D7.已知兩圓錐的底面積分別為，，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長之和的最小值為（）A. B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐（底面積較小）的底面半徑為，母線長為，圓錐（底面積較大）的底面半徑為，母線長為，依題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B8.函數(shù)的所有零點之和為（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，令，，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又因為的圖象關(guān)于點對稱，如圖所示，兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，橫坐標(biāo)依次為，這兩個交點關(guān)于點對稱，所以.故選：D.二、選擇題9.2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B.當(dāng)時，殘差為-2C.點一定在經(jīng)驗回歸直線上 D.第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130〖答案〗AD〖解析〗由題意可知x，y具有較強的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當(dāng)時，，殘差為，B錯誤；點即點，當(dāng)時，，即點不在經(jīng)驗回歸直線上，C錯誤；當(dāng)時，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130，D正確，故選：AD10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若是不恒為0的奇函數(shù)，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因為函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，是不恒為0的奇函數(shù)，所以，所以，故B錯誤；因為，則，所以，所以為奇函數(shù)，故正確；因為，所以，所以為偶函數(shù)，故D正確；因為，所以，即，故A正確，故選：ACD.11.已知函數(shù)的圖象過點，，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象向右平移個單位后所得圖象關(guān)于原點對稱〖答案〗BC〖解析〗由圖象得，，則，由，因為，所以或，又函數(shù)圖象過點，由五點畫圖法知：，若，所以，解得：；若，所以，解得：；由圖可知，，則，解得：，所以，，所以，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,故C正確.對于D，將圖象向右平移個單位可得：，不為奇函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.12.已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線與交于兩點，且拋物線在兩點處的切線交于點，為的中點，直線交于點，則（）A.點在直線上 B.是的中點C. D.軸〖答案〗BCD〖解析〗因為拋物線的焦點為，所以，解得，故拋物線的方程為.設(shè)點，，且則直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，且.因此，故點的坐標(biāo)為.設(shè)切線的方程為，聯(lián)立可得，由，可得因為，所以，解得，故切線的方程為，化簡得，同理切線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以點在直線上，故選項A錯誤.因為點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，故軸，所以選項D正確.因為直線交于點，所以點的坐標(biāo)為，而點的中點為，所以是的中點，故選項B正確.由拋物線的定義可知，，故，所以有，故選項C正確.故選：BCD.三、填空題13.已知向量，，則______．〖答案〗〖解析〗因為向量，，則，.故〖答案〗為：.14.在二項式的展開式中，若常數(shù)項恰是所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和的5倍，則實數(shù)a的值為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗4〖解析〗二項展開式中二項式系數(shù)和為，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和應(yīng)為所有項二項式系數(shù)和的一半，即，展開式通項為，令可得常數(shù)項為，則：，即，所以.故〖答案〗為：4.15.若雙曲線的同一支上存在兩點A，B，使得（O為原點）為等邊三角形，則稱雙曲線為“優(yōu)美雙曲線”，已知雙曲線C是“優(yōu)美雙曲線”，則C的離心率的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為雙曲線C是“優(yōu)美雙曲線”，則雙曲線的同一支上存在兩點A，B，使得為等邊三角形，又雙曲線的對稱性可得，所以，所以離心率，所以C的離心率的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形,，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗連接，交于，設(shè)是的中點，連接.由于，是的中點，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分別是的中點，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面在四棱柱內(nèi)的部分，關(guān)于平面的對稱點為，連接，交平面于，所以最小值為.故〖答案〗為：四、解答題17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以，所以，所以．（2）證明：因為，所以，因為，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形，，，，點E滿足．（1）證明：平面平面ABCD；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：在中，由余弦定理得，所以，所以．又，平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC．又平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）解：過點A在平面PAC內(nèi)作垂直于AC的直線Az，由（1）可得平面ABCD，以點A為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，所以．設(shè)平面PAB的一個法向量為，由得，取，則，，所以是平面的一個法向量設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線DE與平面PAB所成角的正弦值為．19.為增強學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進(jìn)球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：（1）估計全班同學(xué)的平均進(jìn)球個數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進(jìn)球個數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．（?。┯涍@3人中進(jìn)球個數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個數(shù)在不同區(qū)間的概率．解：（1）該班同學(xué)的平均進(jìn)球個數(shù):．（2）由題意可知進(jìn)球個數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為；所以抽取的8人中，進(jìn)球個數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．（?。┯深}意可知，，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為X0123P所以．（ⅱ）記事件“抽取的3人的進(jìn)球個數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進(jìn)球個數(shù)在不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個人的進(jìn)球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為．20.在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．（1）求；（2）若，D為BC的中點，，求a的值．解：（1）由題意得，即，所以，即．由正弦定理得，即，所以，即，所以．（2）由已知及正弦定理得，由（1）得，所以，解得（舍去）．又D為BC的中點，所以，所以，所以，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得:，解得．21.已知橢圓的短軸長為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C的左、右頂點分別為A，B，直線l經(jīng)過點，且與橢圓C交于M，N兩點（均異于A，B兩點），直線AM，BN的傾斜角分別記為，試問是否存在最大值？若存在，求當(dāng)取最大值時，直線AM，BN的方程；若不存在，說明理由．解：（1）由分析題意得解得所以橢圓C的方程為．（2）存在最大值，當(dāng)取最大值時，直線AM的方程為，BN的方程為，理由如下：由（1）可得，，由題意可知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立，得，所以，，，所以．又所以，可知或．若取最大值，則，此時．此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，此時直線AM的方程為，即，直線BN的方程為，即．22.