廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1.本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.2.答題前，請將學校、班級、姓名和考號用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.3.本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其〖答案〗一律無效.答題卡必須保持清潔，不能折疊.4.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應題目的〖答案〗標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；非選擇題〖答案〗必須用規(guī)定的筆，按作答題目的序號，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).5.考試結(jié)束，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直線即，故直線的斜率等于，設直線的傾斜角等于，則，且，故，故選：B．2.曲線在點處的切線的斜率為（）A.0 B.1 C.e D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，曲線在點處的切線的斜率為1.故選：B3.雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線左支上的一點，且，則（）A.1 B.13 C.1或13 D.3〖答案〗B〖解析〗是雙曲線左支上的一點，所以，解得：，由雙曲線定義可知，，所以13.故選：B.4.已知等比數(shù)列滿足，則（）A.24 B.36 C.48 D.108〖答案〗C〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，則，即，同理，所以，所以，所以.故選：C.5.已知數(shù)列的前項和為，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗①中，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，，即，故為首項為6，公比為3的等比數(shù)列，故.故選：B6.已知，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以在上投影的長度為，所以點到直線的距離為.故選：C7.已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經(jīng)過點，并且與拋物線交于兩點，與軸交于點，與拋物線的準線交于點，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當在第一象限時，設準線與軸的交點為，過作準線的垂線，垂足為，因為，且為的中點，所以為三角形的中位線，即，所以，又根據(jù)拋物線的定義，所以，所以在直角三角形中，，所以，此時，根據(jù)對稱性，當在第四象限時，，故選：D.8.過點可以做三條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設切點為，∵，∴，∴M處的切線斜率，則過點P的切線方程為，代入點的坐標，化簡得，∵過點可以作三條直線與曲線相切，∴方程有三個不等實根.令，求導得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列 B.C.當時， D.當時，取得最大值〖答案〗ABD〖解析〗當，，當時，則，，則滿足題意，故，故選項A正確；，故選項B正確；當時，，故選項C錯誤；，當時，取最大值，但是，所以當時，取最大值，故選項D正確；故選：ABD10.若焦點在軸上的雙曲線的焦距為4，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.離心率是 D.兩條漸近線的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗由題意可知，雙曲線的標準方程為，其中即，，即，得，故A正確；此時，離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，所以其中一條直線的斜率為，傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為，故D正確.故選：ACD11.已知圓，點是直線上一動點，過點作圓的切線，，切點分別為和，線段的中點為，則下列說法正確的有（）A.若，則這樣的點只有一個B.四邊形面積的最小值為1C.直線恒過點D.平面內(nèi)存在一定點，使得線段的長度為定值〖答案〗ABD〖解析〗對于A：設，過點作圓的切線，切線斜率不存在時顯然不滿足題意，設切線方程為，即，則，整理得則方程的根為，又，所以所以，解得，即若，則這樣的點只有一個，A正確；對于B：要四邊形面積的最小值為1，則最小，當為點到直線距離時最小，此時，所以四邊形面積的最小值為，B正確；對于C：由于直線為以為直徑圓與圓的公共弦，設，則以為直徑的圓的方程為，即，結(jié)合，兩圓方程做差可得，變形為，令，解得，即直線恒過點，C錯誤；對于D：由選線C得直線的方程為，即又直線的方程為，即兩式相乘得，當時，，整理得，當時，直線與直線的交點為，滿足，故直線與直線的交點軌跡方程為，即為點的軌跡方程，故存在點，使得線段的長度為定值，D正確.故選：ABD.12.正方體的棱長為1，點為底面正方形上一動點（包括邊界），則下列選項正確的是（）A.直線與平面所成的角的正弦值為B.若點為中點，點為中點，則直線和夾角的余弦值為C.若，則的最小值為D.若點在上，點在上，則的長度最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，對于正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量為，所以，令，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為，故A錯誤；對于B，如圖所示，則，則，所以直線和夾角余弦值為，故B正確；對于C，因為平面，平面，所以，又因為，所以，所以在以為圓心，為半徑的圓上（正方形內(nèi)的部分），取的中點，則，由于，所以，則的最小值為，故C正確；對于D，若點在上，點在上，則的長度最小值即異面直線和的距離，設為直線和的法向量，又因為，則，令，則，所以異面直線和的距離為，即的長度最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，若，則的值為______.〖答案〗2〖解析〗因為，所以，又因為，所以，解得.故〖答案〗為：214.已知為等差數(shù)列，，則______.〖答案〗6〖解析〗根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，又，所以.故〖答案〗為：615.已知為橢圓的右焦點，是橢圓上一動點，點為圓上一動點，則的最大值是______.〖答案〗10〖解析〗設點為橢圓的左焦點，點為圓的圓心，點為圓外的點，的最大值為,,即，的最大值為，如圖，當四點共線時,“=”成立，，,,所以的最大值為.故〖答案〗為：1016.已知矩形中，將矩形沿著對角線對折，形成一個空間四邊形，當時，二面角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗在和中，分別過點作，由，代入,得，所以，同理，，，所以，設二面角大小為，則與夾角為，由，平方得，，所以，解得，所以二面角的余弦值為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.解：（1）因為圓心在直線上，所以設，因為圓經(jīng)過兩點，所以，解得，即，半徑，所以圓的標準方程為（2）因為過點的直線被圓截得的弦長為8，所以到直線距離，當直線斜率不存在時，直線滿足題意；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，所以，解得，此時直線方程為，即.綜上所述，直線的方程為或18.已知數(shù)列滿足.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，所以為定值，所以是首項為，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以19.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，則，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以極大值為，極小值為，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值，極小值（2）由題意得，，所以對恒成立，則對恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為20.如圖，在四棱錐中，，.（1）求證：平面；（2）若，若平面與平面夾角的余弦值為，求實數(shù)的值.解：（1）取中點,連接,因為，則，,且,又面，所以面,面,則,又因為,平面，所以平面.（2）由（1）可知，平面，且，以為原點，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，因為，所以，,,,,,,,所以,,,設平面的一個法向量，則令，可得，所以，設平面的一個法向量為，則,令，可得，所以，因為平面與平面夾角的余弦值為，所以,解得：或，因為，所以.21.已知橢圓過點，左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，動點在直線上，直線的斜率分別為.（1）求橢圓的標準方程；（2）問是否存在實數(shù)，使得恒成立，如果存在，請求出的值，如果不存在，請說明理由.解：（1）由已知得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，，聯(lián)立，消去得，所以，則，又，要恒成立，即恒成立，所以，當直線的斜率不存在時，，，此時，綜上所述：存在實數(shù)，使得