貴州省貴陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1貴州省貴陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選B.2.已知集合，，若，則的一個(gè)值為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗不等式整理得，觀察選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，不等式解得，所以，，則都可以）．故選：D．3.已知向量，，若，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，，則，則，則.故選：B4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.24 B.42 C.64 D.84〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，若，則，所以.故選：B.5.橢圓：的左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得：，則，則，則，則，則，則，則.故選：C6.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得.故選：C7.計(jì)算的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗?故選：B.8.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則劣弧的長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，則圓心，，則，則中，，則，則.故選：A.二、選擇題9.樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，則（）A.的極差等于的極差B.的平均數(shù)等于的平均數(shù)C.的中位數(shù)等于的中位數(shù)D.的標(biāo)準(zhǔn)差等于的標(biāo)準(zhǔn)差〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則，故，，，的極差等于，，，，的極差，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)，，，，故B正確；對(duì)于C，，，，的中位數(shù)為，不一定等于，，，，的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，的方差，而，，，，的方差，兩組數(shù)據(jù)的方差不等，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相等，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：），不同聲聲強(qiáng)級(jí)如下，則（）（）正常人能忍受最高聲強(qiáng)正常人能忍受最低聲強(qiáng)正常人平時(shí)談話聲強(qiáng)某人談話聲強(qiáng)（）120080A B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由表格可知，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，故A錯(cuò)誤；，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，即，得，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.如圖點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體六個(gè)面的中心，以為頂點(diǎn)的多面體記為八面體，則（）A.四點(diǎn)共面 B.八面體的外接球表面積為C.八面體的體積為 D.直線與八面體的各面所成的角都是〖答案〗ABC〖解析〗在正方體中，因?yàn)?，分別是正方體面的中心，所以，故四點(diǎn)共面，A正確；八面體的外接球即為正方體的內(nèi)切球，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的內(nèi)切球的半徑為1，所以正方體的內(nèi)切球的表面積為，即八面體的外接球的表面積為，B正確；由圖可知，，因?yàn)?，，所以，C正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意知，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體六個(gè)面的中心，所以，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以，所以直線與平面所成角不是，D錯(cuò)誤.故選：ABC12.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，直線：與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三角形面積的最小值為2D.函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足①，所以②由②可得，代入①可得，當(dāng)時(shí)，，又由①式可得，當(dāng)時(shí)，，即，所以；則，故A正確；若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，可得，即與矛盾，故B不正確；當(dāng)直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以直線一定過點(diǎn)，如圖：所以，因?yàn)?，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故C正確；令，得，函數(shù)在區(qū)間,上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題13.的展開式中的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）〖答案〗160〖解析〗根據(jù)二項(xiàng)式定理展開可得，第項(xiàng)為，令，可得的系數(shù)為.故〖答案〗為：160.14.若為偶函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，,因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，得，解得.故〖答案〗為：.15.函數(shù)的圖象向右平移（其中）個(gè)單位得到曲線，若在處的切線方程是，則曲線的一條對(duì)稱軸方程為______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）.〖解析〗函數(shù)的圖象向右平移（其中）個(gè)單位,則，則切點(diǎn)為，，則，則切線方程為，即，則，又，解得，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，則曲線的一條對(duì)稱軸方程為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.直線與拋物線：交于兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的射影分別為，則四邊形繞準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè),，,，聯(lián)立，整理可得，可得顯然成立，，，所以，整理可得：，解得，（舍，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，且，，所以，可得，到準(zhǔn)線的距離之和為，；四邊形繞準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺(tái)，且上底半徑即到準(zhǔn)線的距離為，與下底半徑即到準(zhǔn)線距離為，所以，，所以上底圓的面積，下底面積，所以，而，，，所以．故〖答案〗為：．四、解答題17.已知的角的對(duì)邊分別為，，．（1）求；（2）若的面積為，求邊上的高．解：（1）因?yàn)?，在中，，所以，因?yàn)?，由正弦定理可得?即，化簡(jiǎn)得：①，又因?yàn)棰?，由①可得：，代入②式得：，解得或，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，得③，由余弦定理：，因?yàn)?，所以，所以④，所以由③④解得，，，設(shè)邊上的高為，所以，即，解得.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，由（1）知平面，所以平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?，，所以，令，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若是常數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．解：（1）由題意，可知，，則，數(shù)列是常數(shù)列，，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，，解得，，．（2）由（1）可得，，，則，，兩式相減，可得，．20.有個(gè)編號(hào)分別為的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，，依次進(jìn)行．（1）求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；（2）求從第個(gè)盒子中取到紅球的概率；（3）設(shè)第個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，的期望值為，求證：．（1）解：記“從第個(gè)盒子中取到紅球”為事件，此時(shí)，，則；（2）解：因?yàn)?，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，符合題意，綜上，從第個(gè)盒子中取到紅球的概率為；（3）證明：易知的所有可能取值為1，2，此時(shí)，，則的分布列為：12所以，由于，故．21.圓：與軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于兩點(diǎn)，是圓與軸垂直非直徑的弦，直線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角確定的直線稱為定向直線．是否存在不過點(diǎn)的定向直線，當(dāng)直線與軌跡交于時(shí)，；若存在，求直線的一個(gè)方向向量；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意得，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為所以軌跡的方程為（2）當(dāng)定向直線的傾斜角為90°時(shí)，設(shè)，由得時(shí)，所以，矛盾.當(dāng)定向直線的傾斜角不為90°時(shí)，假設(shè)存在定向直線由得，時(shí)，設(shè)，則由得即，故，，化簡(jiǎn)得，所以或，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，滿足條件；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，不合題意綜上所述，當(dāng)即直線的一個(gè)方向向量為時(shí)，22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，．①求證：；②比較與的大?。?）解：由可知，函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上