2024步步高考二輪數(shù)學(xué)新教材講義專題四　第1講　空間幾何體含答案

2024步步高考二輪數(shù)學(xué)新教材講義第1講空間幾何體一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·唐山模擬)若圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶32．(2023·錦州模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，P，Q是棱DD1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則三棱錐Q－PBC的體積為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(32,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(16,3)3.(2023·泉州模擬)如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)O滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則該圓錐的表面積為()A．36πB．27πC．18eq\r(2)πD．9π4．(2023·長沙模擬)最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年)．該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸時(shí)，平地的降雨量是()(注：一尺＝10寸，平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)A．9寸 B．6寸C．4寸 D．3寸5．(2023·日照模擬)紅燈籠起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍．如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上、下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個(gè)相同球冠剩下的部分．如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積S＝2πRh.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，上、下圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為()A．1940πcm2 B．2350πcm2C．2400πcm2 D．2540πcm26．(2023·淄博模擬)某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi)．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A.eq\f(16π,9) B.eq\f(8π,9)C.eq\f(16π,27) D.eq\f(8π,27)7．(2023·廣西聯(lián)考)已知在一個(gè)表面積為24的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在B1D上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)BE＋A1E取得最小值時(shí)，AE等于()A．2B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(2),4)8．(2023·廣州模擬)現(xiàn)有一個(gè)軸截面是邊長為4的等邊三角形的倒置圓錐(頂點(diǎn)在下方，底面在上方)，將半徑為eq\f(\r(3),2)的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過所有切點(diǎn)所在平面將圓錐分割成兩個(gè)部分，則分割得到的圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.eq\f(27π,8)B.eq\f(33π,8)C.eq\f(45π,8)D.eq\f(55π,8)二、多項(xiàng)選擇題9．有一張長和寬分別為8和4的矩形硬紙板，以這張硬紙板為側(cè)面，將它折成正四棱柱，則此正四棱柱的體對(duì)角線的長度為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(5)D.eq\r(66)10．(2023·新高考全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)11．(2023·德州模擬)如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是()A．PD⊥EFB．三棱錐P－DEF的外接球的體積為2eq\r(6)πC．點(diǎn)P到平面DEF的距離為eq\f(2,3)D．二面角P－EF－D的余弦值為eq\f(1,4)12．(2023·遼陽統(tǒng)考)若正三棱錐P－ABC的底面邊長為3，高為eq\r(6)，則該正三棱錐的()A．體積為eq\f(9\r(2),4)B．表面積為9eq\r(3)C．外接球的表面積為27πD．內(nèi)切球的表面積為eq\f(3π,2)三、填空題13.(2023·鄭州模擬)攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑．如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面的等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為____________________________________________．14．(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________．15．(2023·八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體ABCD的棱長為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的eq\f(1,3)，則EF的最小值為________．16．(2023·遼陽模擬)將3個(gè)6cm×6cm的正方形都沿其中的一對(duì)鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖(1)所示，將這6個(gè)部分接入一個(gè)邊長為3eq\r(2)cm的正六邊形上，如圖(2)所示．若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為________cm3.第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·安陽統(tǒng)考)若a，b，c是空間三條直線，a∥b，a與c相交，則b與c的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．異面或相交2．(2023·河南校聯(lián)考模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥βB．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β3．(2023·泉州聯(lián)考)如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是()4．(2023·長沙模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE與B1C1為異面垂直D．A1C1∥平面AB1E5.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，則()A．A，M，N，B四點(diǎn)共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直線BN與B1M所成的角為30°D．BN∥平面ADM6．(2023·長春吉大附中模擬)如圖，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝2eq\r(2)，B為EF的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB，BC將△ABE，△BCF翻折，使點(diǎn)E，F(xiàn)重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P－ABC，則下列結(jié)論不正確的是()A．AC⊥BPB．三棱錐P－ABC的體積為eq\f(4\r(2),3)C．直線PA與平面ABC所成角的大小為eq\f(π,6)D．三棱錐P－ABC外接球的半徑為eq\f(\r(10),2)二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·深圳模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)，則下列命題中的真命題有()A．存在點(diǎn)P，使得PQ⊥A1C1B．存在點(diǎn)P，使得PQ∥A1BC．直線PQ始終與直線CC1異面D．直線PQ始終與直線BC1異面8.(2023·安慶模擬)如圖，已知四邊形ABCD，△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，△ABD為等邊三角形，BD＝2，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD，在翻折的過程中，下列結(jié)論中正確的是()A．BD⊥PCB．DP與BC可能垂直C．四面體PBCD體積的最大值是eq\f(\r(3),3)D．直線DP與平面BCD所成角的最大值是eq\f(π,4)三、填空題9．平面α內(nèi)兩條相交直線l，m都不在平面β內(nèi)．命題甲：l和m中至少有一條與平面β相交；命題乙：α與β相交．則甲是乙的______________條件．10.如圖，P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，eq\f(PF,FC)＝________.11.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝eq\f(\r(3),2)AB，M是BC的中點(diǎn)，G是△PAD的重心，則在平面PAD內(nèi)經(jīng)過G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有________條．12.(2023·北京模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，平面ACE將正方體分成體積分別為V1，V2(V1≤V2)的兩部分，則eq\f(V1,V2)＝________.四、解答題13.(2023·西安聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝4，AD＝eq\r(3)，DC＝1，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，且AM＝1.(1)證明：平面MCC1⊥平面DCC1D1；(2)若點(diǎn)N是B1C1上一點(diǎn)，且MN∥平面ACC1A1，求四面體MNBB1的體積．14．(2023·成都模擬)如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長為4的正方形的三邊AB，CD，AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB，CG就得到了一個(gè)空間五面體，如圖2.(1)若O是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：AO∥平面GCF；(2)若∠AEB＝eq\f(2π,3)，求三棱錐A－BEF的體積．第1講空間幾何體1．A2.B3.A4.D5.C6.A7．A[作出圖形，如圖所示．依題意6AB2＝24，故AB＝2，將平面A1B1D翻折至與平面BB1D共面，易得△A1B1D≌△BB1D，故當(dāng)A1E⊥B1D時(shí)，BE＋A1E有最小值，此時(shí)eq\f(B1E,DE)＝eq\f(1,2)，過點(diǎn)E作平面ABCD的垂線，垂足為F，則BF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(2),3)，EF＝eq\f(2,3)BB1＝eq\f(4,3)，由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos45°＝4＋eq\f(8,9)－2×2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20,9)，則AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(\f(20,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝2.]8．D[作軸截面圖如圖所示，△ABC為圓錐的軸截面，點(diǎn)O為與側(cè)面相切球的球心，點(diǎn)E，F(xiàn)為切點(diǎn)，由已知，可得AB＝BC＝AC＝4，OE＝OF＝eq\f(\r(3),2)，∠ACB＝60°，OE⊥AC，在△OEC中，OE＝eq\f(\r(3),2)，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，所以O(shè)C＝eq\r(3)，CE＝eq\f(3,2)，又AC＝4，所以AE＝eq\f(5,2)，所以圓臺(tái)的母線長為eq\f(5,2)，因?yàn)镃E＝CF，∠ECF＝60°，所以△ECF為等邊三角形，所以EF＝eq\f(3,2)，所以圓臺(tái)的側(cè)面積S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋2))×eq\f(5,2)＝eq\f(55π,8).]9．BD[分兩種情況求解：①若正四棱柱的高為8，則底面邊長為1，此時(shí)體對(duì)角線的長度為eq\r(82＋1＋1)＝eq\r(66)；②若正四棱柱的高為4，則底面邊長為2，此時(shí)體對(duì)角線的長度為eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6).]10．AC[依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3).A項(xiàng)，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，故A正確；B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，故C正確；D項(xiàng)，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故D錯(cuò)誤．]11．AC[如圖1，取EF的中點(diǎn)H，連接PH，DH，易知△PEF和△DEF均為等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，又因?yàn)镻H∩DH＝H，所以EF⊥平面PDH，又PD?平面PDH，所以PD⊥EF，A正確；圖1由PE，PF，PD三線兩兩互相垂直，可構(gòu)造如圖2所示的長方體，長方體的外接球就是三棱錐P－DEF的外接球，長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R，則(2R)2＝12＋12＋22＝6，則R＝eq\f(\r(6),2)，所以所求外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)π，B錯(cuò)誤；圖2設(shè)點(diǎn)P到平面DEF的距離為h，如圖1，在△EHD中，EH＝PH＝eq\f(\r(2),2)，DE＝eq\r(5)，DH＝eq\r(DE2－EH2)＝eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，由等體積法可得V三棱錐D－PEF＝V三棱錐P－DEF，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)×h，解得h＝eq\f(2,3)，C正確；如圖1，因?yàn)镻H⊥EF，DH⊥EF，所以∠PHD即為二面角P－EF－D的平面角，因?yàn)镻D⊥PF，PD⊥PE，且PF∩PE＝P，PE，PF?平面PEF，所以PD⊥平面PEF，又PH?平面PEF，則PD⊥PH，即∠DPH＝90°，在Rt△PHD中，cos∠PHD＝eq\f(PH,DH)＝eq\f(1,3)，D錯(cuò)誤．]12．ABD[如圖，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，故A正確；取AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，則在正三棱錐P－ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.作PH⊥平面ABC，垂足為H，則PH＝eq\r(6).由正三棱錐的性質(zhì)可知H在CD上，且CH＝2DH.因?yàn)锳B＝3，所以CD＝eq\f(3\r(3),2)，則CH＝eq\r(3).因?yàn)镻H＝eq\r(6)，所以PC＝eq\r(3＋6)＝3，則三棱錐P－ABC的表面積為eq\f(9\r(3),4)×4＝9eq\r(3)，故B正確；設(shè)三棱錐P－ABC的外接球的球心為O，半徑為R，則O在PH上，連接OC，則R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝(eq\r(6)－OH)2，解得OH＝eq\f(\r(6),4)，所以R2＝3＋eq\f(3,8)＝eq\f(27,8)，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為4πR2＝eq\f(27π,2)，故C錯(cuò)誤；設(shè)三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,3)×9eq\r(3)r＝eq\f(9\r(2),4)，解得r＝eq\f(\r(6),4)，從而三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2＝eq\f(3π,2)，故D正確．]13.eq\r(3)14.eq\f(7\r(6),6)15.eq\f(\r(3),3)解析由題知VB－AEF＝eq\f(1,3)VB－ACD，所以S△AEF＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，記EF＝a，AE＝b，AF＝c，則eq\f(1,2)bcsin60°＝eq\f(\r(3),12)，即bc＝eq\f(1,3).則a2＝b2＋c2－2bccos60°≥2bc－bc＝bc＝eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝eq\f(\r(3),3)時(shí)等號(hào)成立，所以EF的最小值為eq\f(\r(3),3).16．108解析將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖所示的正方體，該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對(duì)稱性知其體積為正方體體積的一半，即eq\f(1,2)×63＝108(cm3)．第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．D2.D3.D4.C5.B6．B[由題意可知由BP⊥AP，BP⊥CP，又AP∩CP＝P，AP，CP?平面PAC，所以BP⊥平面PAC，因?yàn)锳C?平面PAC，所以AC⊥BP，故A正確；在△PAC中，PA＝PC＝2，AC＝2eq\r(2)，所以△PAC為直角三角形，所以VP－ABC＝VB－PAC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)，故B錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，則VP－ABC＝eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(1,3)S△ABCh?h＝eq\f(2\r(2),S△ABC)，由于S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2eq\r(2)，所以h＝1，又PA＝2，設(shè)直線PA與平面ABC所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(h,PA)＝eq\f(1,2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6)，故C正確；由B選項(xiàng)知，△PAC為直角三角形，所以△PAC外接圓的半徑r＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，設(shè)三棱錐P－ABC外接球的半徑為R，又因?yàn)锽P⊥平面PAC，則R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PB))2＝(eq\r(2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(5,2)，所以R＝eq\f(\r(10),2)，即三棱錐P－ABC外接球的半徑為eq\f(\r(10),2)，故D正確．]7.ABD[在正方體ABCD－A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D1重合時(shí)，PQ?平面BDD1B1，所以PQ⊥A1C1，故A正確；連接A1D，A1B，當(dāng)點(diǎn)P為線段A1D的中點(diǎn)時(shí)，PQ為△A1BD的中位線，即PQ∥A1B，故B正確；CC1?平面AA1C1C，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，PQ?平面AA1C1C，所以直線PQ和CC1在同一平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；BC1?平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P?BC1，所以直線PQ始終與直線BC1不相交，且不平行，所以直線PQ與直線BC1是異面直線，故D正確．]8．ABC[對(duì)于A，如圖所示，取BD的中點(diǎn)M，連接PM，CM，∵△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，∴BD⊥CM，∵△ABD為等邊三角形，∴BD⊥PM，又PM∩CM＝M，PM，CM?平面PMC，∴BD⊥平面PMC，又PC?平面PMC，∴BD⊥PC，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)DP⊥BC，又BC⊥CD，CD∩DP＝D，CD，DP?平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又PC?平面PCD，∴BC⊥PC，又PB＝2，BC＝eq\r(2)，易知PC∈[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]，當(dāng)PC＝eq\r(2)時(shí)，BC2＋PC2＝PB2，故DP與BC可能垂直，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)，平面PBD∩平面BCD＝BD，BD⊥PM，PM?平面PBD，此時(shí)PM⊥平面BCD，∠PDB即為直線DP與平面BCD所成的角，此時(shí)∠PDB＝eq\f(π,3)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)，此時(shí)四面體PBCD的體積最大，此時(shí)的體積V＝eq\f(1,3)S△BCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，故C正確．]9．充要10.eq\f(1,2)11.無數(shù)12.eq\f(7,17)解析如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)H，連接EH，CH，A1C1，因?yàn)锳C∥平面A1B1C1D1，故AC平行于平面ACE與平面A1B1C1D1的交線，又E，H分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，易知EH∥A1C1∥AC，即平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EH，故平面ACE將正方體分為如圖所示的兩部分，設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，V1＝＝eq\f(1,3)(＋S△ABC＋eq\r(·S△ABC))·BB1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2＋\r(\f(1,2)×2)))×2＝eq\f(7,3)，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(7,3),8－\f(7,3))＝eq\f(7,17).13．(1)證明因?yàn)锳M＝1，所以AM＝CD，AM∥CD，又AB⊥AD，所以四邊形ADCM為矩形，即CD⊥CM.由題可知CC1⊥平面ABC