數(shù)學(xué)-專項(xiàng)11 二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）（原版）

專題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x＝m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為h，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請(qǐng)求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

4．【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD＝4m，寬AB＝1m的長(zhǎng)方形水池ABCD進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1）．同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m的矩形水池EFGH（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長(zhǎng)長(zhǎng)度DM為x（m）（x＞0），加長(zhǎng)后水池1的總面積為y1（m2），則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1＝x+4（x＞0）；設(shè)水池2的邊EF的長(zhǎng)為x（m）（0＜x＜6），面積為y2（m2），則y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，則EF長(zhǎng)度的取值范圍是（可省略單位），水池2面積的最大值是m2；（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是

，此時(shí)的x（m）值是；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x（m）的取值范圍是；（4）在1＜x＜4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；（5）假設(shè)水池ABCD的邊AD的長(zhǎng)度為b（m），其他條件不變（這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3），則水池3的總面積y3（m2）關(guān)于x（m）（x＞0）的函數(shù)解析式為：y3＝x+b（x＞0）．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x（m）有唯一值，求b的值．5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．（1）求a，c的值；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線y＝x+b與拋物線交于B，G兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)E（在拋物線上），點(diǎn)F（在拋物線的對(duì)稱軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

8．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

10．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，頂點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E（﹣，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線DC經(jīng)過點(diǎn)B．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O′C′D′E′，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′，C′，D′，E′．設(shè)OO′＝t，矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分的面積為S．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E′在x軸正半軸上，且矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分為四邊形時(shí)，D′E′與OB相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)≤t≤時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

12．綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCD＝2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

13．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

15．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，m）在邊BC上，將△ABD沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線過點(diǎn)A、E、C，求拋物線解析式；（2）如圖3，隨著m的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求∠BAD的余切值；（3）若點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，拋物線y＝ax2+2ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是矩形，AB在x軸上，點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．（1）求證：△BEC≌△BEF；（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O，B，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求b和c的值；（2）當(dāng)GF＝時(shí)，連接BD，求△BDF的面積；（3）H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．18．閱讀材料：一般地，對(duì)于某個(gè)函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x＝a與x＝﹣a時(shí)，函數(shù)值相等，那么這個(gè)函數(shù)是“對(duì)稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取x＝a時(shí)，y＝a2；當(dāng)x＝﹣a時(shí)，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對(duì)稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1對(duì)稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當(dāng)x≥0時(shí)，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出x＜0時(shí)，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當(dāng)它與直線y＝﹣x+n恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．

19．綜合與探究如圖，拋物線與y軸