兩角和與差的三角函數及二倍角公式

兩角和與差的三角函數及二倍角公式、三角恒等式證明基礎過關基礎過關1．兩角和的余弦公式的推導方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的變式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝4．常見的角的變換：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)；＝5.二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.6．公式的變用：1＋cos2α＝；1－cos2α＝．7．三角函數式的化簡的一般要求：①函數名稱盡可能少；②項數盡可能少；③盡可能不含根式；④次數盡可能低、盡可能求出值．8．常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次．9．求值問題的基本類型及方法①“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時應該仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系，通常是將非特殊角轉化為特殊角或相互抵消等方法進行求解．②“給值求值”即給出某些角的三角函數（式）的值，求另外的一些角的三角函數值，解題關鍵在于：變角，使其角相同；③“給值求角”關鍵也是：變角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角．10．三角恒等式的證明實質是通過恒等變形，消除三角恒等式兩端結構上的差異（如角的差異、函數名稱的差異等）．11．證三角恒等式的基本思路是“消去差異，促成同一”，即通過觀察、分析，找出等式兩邊在角、名稱、結構上的差異，再選用適當的公式，消去差異，促進同一．12．證明三角恒等式的基本方法有：⑴化繁為簡；⑵左右歸一；⑶變更問題．13．三角條件等式的證明就是逐步將條件等價轉化為結論等式的過程，須注意轉化過程確保充分性成立．14．三角條件等式的證明，關鍵在于仔細地找出所附加的條件和所要證明的結論之間的內在聯系，其常用的方法有：⑴代入法：就是將結論變形后將條件代入，從而轉化為恒等式的證明．⑵綜合法：從條件出發(fā)逐步變形推出結論的方法．⑶消去法：當已知條件中含有某些參數，而結論中不含這些參數，通過消去條件中這些參數達到證明等式的方法．⑷分析法：從結論出發(fā)，逐步追溯到條件的證明方法，常在難于找到證題途徑時用之．典型例題典型例題例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.變式訓練1：(1)已知∈(,)，sin=,則tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．變式訓練2：設cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.例4．化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.變式訓練4：化簡：（1）sin+cos;(2）.小結歸納小結歸納1．三角函數式的化簡、求值、證明等是三角變形常見的題型，三角函數式變形的過程就是分析矛盾、發(fā)現差異，進而消除差異的過程。在這一過程中須仔細觀察到式子中各項的角、函數名稱及運算式子的差異，找出特征，從中找到解題的突破口。對于角與角之間的關系，要充分應用角的恒等變換，以整體角來處理和解決有關問題，這樣可以避免一些較復雜的計算，如：2α＋β=α+(α＋β)等．2．在應用過程中要能靈活運用公式，并注意總結公式的應用經驗。對一些公式不僅會正用，還要會逆用、變形用，如正切的和角公式的變形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外還要能對形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函數式要創(chuàng)造條件使用公式．例5.求值：變式訓練5：(cos＋sin)＝（）A．－B．－C．D．例6．已知α為銳角，且，求的值.變式訓練6：化簡：例7．已知；(1)求的值；(2)設，求sinα的值．變式訓練7：已知sin()＝，求cos()的值．小結歸納小結歸納1．二倍角公式是和角公式的特殊情況，在學習時要注意它們之間的聯系；2．要理解二倍角的相對性，能根據公式的特點進行靈活應用(正用、逆用、變形用)．3．對三角函數式的變形有以下常用的方法：①降次（常用降次公式）②消元（化同名或同角的三角函數）③消去常數“1”或用“1”替換④角的范圍的確定例8.（1）化簡：（2）化簡：變式訓練8：已知，若，則可化簡為．例9.已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．變式訓練9：在△ABC中，，，，求A和△ABC的面積．例10.已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.例11．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．變式訓練11：已知（<α<），試用k表示sin－cos的值．小結歸納小結歸納1．三角函數的化簡與求值的難點在于：眾多的公式的靈活運用和解題突破口的選擇，認真分析所給式子的整體結構，分析各個三角函數及角的相互關系是靈活選用公式的基礎，是恰當尋找解題思維起點的關鍵所在;2．要熟悉角的拆拼、變換的技巧，倍角與半角的相對性，熟悉幾種常見的入手方式：①變換角度②變換函數名③變換解析式結構3．求值常用的方法：切割化弦法、升冪降冪法、輔助元素法、“1”的代換法等．例12．求證：＝變式訓練12：求證：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α例13．求證：變式訓練13：已知2tanA＝3tanB，求證：tan(A－B)＝．例14.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求證：sinA＋sinC＝2sinB．變式訓練14：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求證：2cos2α＝cos2β．小結歸納小結歸納1．證明三角恒等式的基本思路，是根據等式兩端的特征通過三角恒等變換，應用化